Inleiding elektriciteit en magnetisme

w.

Buijze

.

I

"".

R.

Roest

nielolng

Elektriciteit en

Magnetisme

i

I

I

I n I e i din gEI e

kt

r i c i

t

ei

t

en Magnetisme

TU

Delft Ubra

ry

'I

prometheuSPleîn j '

2628 ze

Deift

.. ~-- ->..--..-'-Bibliotheek TU Delft 1111111111111111111111111111111111 C 3861821

2519

325

7

In leidi ng Elektriciteit

en Magnetisme

W .

..

Buijze

R. Roest

Buij~e, W.

Inleiding elektriciteit en magnetisme I W. Buijze, R. Roest - Delft: Delftse Universitaire Pers. - 111. Uitg. in opdracht van: Vereniging voor Studie- en Studentenbelangen te Delft. - Oorspr. titel: Inleiding elektriciteit. - Delft: Delftse U.M., 1989. - Ie dr. door W. Buijze: Delft:

Delftse U.M., 1992. -Met reg.

ISBN 90-407-1152-6 NUG! 811

Trefw.: elektriciteit I magnetisme.

©VSSD

Tweede druk 1995

Uitgegeven door:

Delftse Universitaire Pers Stevinweg I, 2628 eN Delft

tel. 015 - 783254, telefax 015 - 781661.

In opdracht van:

Vereniging voor Studie- en Stu~entenbelangen te Delft Poortlandplein 6, 2628 BM Delft

tel. 015 - 2782124, telefax 015 - 2787585, e-mail VSSD@dutiws.twi.tudelft.nl

Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opge-slagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of op enige andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke' toestemming van de uitgever.

All rights reserved. No part ofthis publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electron ie, mechanical, photo-copying, recording, or otherwise, without the prior written permission of the publisher. ' '

•

Voorwoord

Aan de TU-Delft worden voor verscheidene faculteiten colleges Elektriciteit gegeven. De inhoud daarvan, de volledigheid en de gestrengheid van het betoog hangen af van hetgeen de betrokken faculteit wenst en mogelijk maakt.

In dit boek worden de onderwerpen uit zulke colleges behandeld. Een onderwerp wordt - waar nodig en waar dat kan - behandeld op verschillende niveaus van mathematische rigueur. Dat maakt het mogelijk uit de paragrafen steeds dié keuze te maken, die voor een bepaald college gewenst wordt. Bij de didactische opzet is daarmee rekening gehouden. Passages aangegeven met D kunnen bij een eerste lezing worden overgeslagen; passages met • kunnen worden overgeslagen, als men geen vectorpotentiaal of meer geavanceerde beschouwingen gebruikt.

Het boek is opgezet als studieboek en niet als standaard handboek. Het is - zoals de titel al zegt - een inleiding.

Bij het schrijven heb ik op de voortdurende kritische hulp van mijn collega drs. R. Roest kunnen rekenen. Hem dank ik voor zijn hulp. De jarenlange samenwerking met ir. A. Henderson leidde tot de vorm waarin het hoofdstuk over wisselstromen is gegoten. De samenwerking met de VSSD was als steeds plezierig.

Mijn gedachten gaan ook uit naar A.I. Buijze, die mij destijds (Baros VI, Tjimahi; 23 okt' 44-22 aug' 45) de eerste beginselen van de natuurkunde bijbracht.

Het is mijn verwachting dat ik er niet in geslaagd zal zijn alle drukfouten te elimineren. Wellicht zijn er ook tekortkomingen in het betoog. Wie mij op deze feilen wil wijzen zal ik dankbaar zijn.

Den Haag, maart 1992 W. Buijze

In deze nieuwe druk zijn verbeteringen en kleine aanvullingen aangebracht, vaak op grond van opmerkingen van vele anderen. Deze nieuwe uitgave kan gewoon naast de vorige gebruikt worden.

Den Haag,

Voorburg, januari 1995

W. Buijze R. Roest

Inhoud

VOORWOORD 5

1. ELEKTROST A TISCHE VELDEN IN VACUÜM

11

1.1.

De Wet van Coulomb 11

1.2.

Elektrische veldsterkte

12

1.3. Elektrische potentiaal.

12

1.4.

Veld-, en broncoördinaten 13 1.5. Conserverende velden

14

1

.

6.

Potentiaal-verschil

16

1.7.

Continue ladingsverdelingen

17

1.8

.

De stelling van Gauss

19

1.9

.

Voorbeelden

23

1.10. Elektrische geleiders in elektrostatische velden

29

1.11.

Condensatoren

29

1.12.

De vergelijkingen van Poisson en van De Laplace

34

1.l3

.

De eenduidigheidsstelling

35

1.14.

Mutuele potentiële energie

37

1.15.

Overzicht van hoofdstuk

1

40

2.

ELEKTROST ATISCHE VELDEN IN DIËLEKTRICA

41

2.1.

De elektrische dipool

41

2.2.

Krachtwerking op een starre, elektrische dipool in een uitwendig

elektrisch veld

42

2.3.

Polarisatie

46

2.4.

Continuüm-model

47

2.5.

Poissonladingen

47

2.6.

De elektrische tluxdichtheid

49

2.7.

Poissonladingen

51

2.8.

De elektrische tluxdichtheid

53

2.9.

Diëlektrische materialen

54

2.10.

Eigenschappen van elektrische velden in grensvlakken

56

2.11.

Elektrische veldenergie

58

2.12.

Oplossing van problemen met behulp van de vergelijkingen van

Poisson en De Laplace

60

2.l3.

Overzicht van hoofdstuk

2

68

3. ELEKTRISCHE STROMEN

69

3.2. Wet van behoud van lading 70

3.3. De stroom wet van Kirchhoff 71

3.4. De wet van Ohm 73

3.5. De wet van Joule 76

3.6. De spanningswet van Kirchhoff 77

3.7. Schakeling van weerstanden 80

3.8. Bronnen van elektrische energie 81

3.9. Overzicht van hoofdstuk 3 83

4. HET MAGNETISCHE VELD VAN STATIONAIRE STROMEN 84

4.1. Inleiding 84

4.2. De krachtwerking tussen twee stroomvoerende geleiders;

lorentzkracht, wet van Biot en Savart 85

4.3. Enkele voorbeelden 88

4.4. Een bewegend deeltje en het magnetische veld 93

4.5. De circuitregel van Ampère 94

4.6. De divergentie van de magnetische flux-dichtheid

99

4.7. De magnetische vectorpotentiaal 100

4.8. Voorbeeld 104

4.9. De vergelijking van Poisson voor de vectorpotentiaal 106

4.10. De circuitregel van Ampère 107

4.11. Overzicht van hoofdstuk 4 108

5. MAGNETOSTATISCHE VELDEN

109

5.1. De magnetische dipool

109

5.2. Krachtwerking op een starre magnetische dipool Hl

5.3. De magnetische vectorpotentiaal 114

5.4. Het magnetische veld op grote afstand van een magnetische dipool 116 5.5. Krachtwerking opeen magnetische dipool in een willekeurig

magnetisch veld 116

5.6. De potentiële energie van en het koppel op een starre magnetische

dipool in ren willekeurig veld 118

5.7. De magnetisatie 119

5.8. De magnetische veldsterkte 121

5.9.

Opnieuw de magnetische veldsterkte 123

5.10. Eigenschappen vim magnetische velden in grensvlakken 127

5.11. Voorbeelden 128

5.12. Magnetische susceptibiliteit 130

5.13. De oplossing van magnetostatische problemen met behulp van de

vergelijking van De Laplace 134

5. 14. Magnetische ladingen 134

6. ELEKTROMAGNETISCHE INDUCTIE

6.1. De inductiewet van Faraday-Maxwell 6.2. Inductie en de vectorpotentiaal 6.3 . Inductiespanning

6.4. Voorbeelden

6.5. Superpositie van beide vonnen van inductie

6.6. Inductie in bewegende en van vonn veranderende kringen 6.7. Mutuele of wederkerige inductie

6.8. Zelfinductie

6.9. Magnetische veldenergiedichtheid 6. 1

o

.

De transfonnator

6.1 1. De reciprociteit

6.12. Nog eens de reciprociteit 6.13. Koppelingsfactor 6.14. Magnetische veldenergie 6.15. De regel van Hopkinson 6.16. Magnetische netwerken 6.17. Elektromechanische systemen 6.18. Overzicht van hoofdstuk 6 7. DE VERGELIJKINGEN VAN MAXWELL

7.1. Inleiding

7.2. Eerste wet van Maxwell

7.3. Een voorbeeld van voortplanting van elektro-magnetische verschijnselen

7.4. Golfvergelijking

7.5. Voortplanting van elektro-magnetische veldenergie 7.6. Overzicht van hoofdstuk 7

8. NEIWERKEN

8. 1. Spanning

8.2. De wetten van Kirchhoff 8.3. Enkele elementen 8.4. Impedantie 8.5. Bron

8.6. Enkele berekeningen in netwerken met weerstanden 8.7. Superpositie

8.8. De stelling van Thévenin 8.9. De stelling van Norton

8.10. Berekeningen met complexe grootheden 8.11. Impedantie

8.12. De wetten van Kirchhoff

139 139 141 142 142 145 146 149 150 152 153 154 155 156 157 159 162 163 167 168 168 169 172 173 177 178 179 179 180 181 184 185 186 187 191 194 195 200 203

8.13. Enkele berekeningen met complexe grootheden 8.14. Wijzerdiagrammen . 8.15. Energie 8.16. Resonantie 8.17. Overgangsverschijnselen BULAGEN

B.l. Functies van meer dan één onafhankelijk veranderlijke B.2. Vectoralgebra

B.3. Het differentiëren van vectoren B.4. De vectoroperator "nabla" (V) B . 5 . Enkele belangrijke betrekkingen B .6. Coördinatenstelsèl B.7. Complexe getallen TREFWOORDENLUST 205 208 210 213 217 227 227 228 231 232 234 234 237 240

I

I

11

1

Elektrostatische velden in vacuum

1.1. De Wet van Coulomb

Door - voor zijn tijd zeer nauwkeurige - metingen te verrichten stelde Coulomb (1736-1806) vast, dat de elektrostatische krachtwerking tussen twee lichamen met zeer kleine afmetingen, geplaatst in vacuüm omgekeerd evenredig is met het kwadraat van de onderlinge afstand en recht evenredig met de grootte van elk der betrokken ladingen.

Plaatsen w~ een puntlading q in de nabijheid van een puntlading Q, die zich bijvoor-beeld in de oorsprong bevindt dan geldt:

-

r

I ~

F(r)

=

f(r)

r

met f(r)

=

41tEo

f2 .

Hierbij zijn SI eenheden gebruikt en hierin is

r

de plaatsvector van q. Dan is

f

de eenheidsvector wijzend vanuit Q in 0 naar q .

..

-+ -f(r) ~---r -+ F(r) Q _q Figuur 1.1.

Het door Q veroorzaakte krachtveld is een centraal krachtveld, dat bovendien "omge-keerd" kwadratisch is. De wet van Coulomb is:

- 1 ~

r

F

-- 41tEo r2 _r (1.1)

De ladingen zijn uitgedrukt in coulomb (C), de afstand in meter (m) en de kracht in newton (N). De positieve evenredigheidsconstante 1I41tEQ is gelijk aan 9.109 _Nm2C-2. Hiermee volgt voor de permittiviteit f{) van vacuüm

De krachten zijn afstotend als beide ladingen hetzelfde teken hebben en aantrekkend in het andere geval.

Zijn meer ladingen aanwezig dan vind.t men de totale kracht op q uit een superpositie als vectorsom van alle op q werkende krachten.

1.2. Elektrische veldsterkte

De kracht, die op de eenheid van lading in een willekeurig elektrostatisch vectorveld wordt uitgeoefend, noemt men de elektrische veldsterkte Ë.

Voor het geval van figuur 1.1, kan voor het elektrische veld van

Q

geschreven worden:

-+

Q

r

E = ·

-. 4ntor2 r (1.2)

In het algemeen schrijft men:

0.3) Men ziet dat (1.2) een bijzonder geval is van (1.3). Merk op dat de elektrische veldsterkte een vector is'. De eenheid voor E is NC-I _{(of Vm-I ). Een lijn waarvan de,}

raaklijn steeds langs de lokale veldsterktevector ligt noemt men een veldlijn.

1.3. Elektrische potentiaal

Wij bekijken het veld van een puntlading Q die zich bevindt in de oorspong van een cartesisch coördinatenstelsel.

Nuisr=xi +yJ +zk~r="x2 + y2 + z2 .

In de vector-rekening is gedefinieerd een "nabla-vectoroperator" V, volgens:

Hiermee volgt:

1

-a

1

-a

1

-a

1 V(-) = i - (-) + j - (-) + k - (-).

r iJx r ~ r ~ r

Substitutie van r geeft na uitvoeren van de partiële differentiaties:

1 1 -+ ,

V(-) = - - .L. Ga dit na!

r r2 r

Hiermee valt voor (1.2) te schrijven:

Ë=

-v[

41t~r

J,

of Ë = - VeV), ook wel Ë = - grad(V), (l.4)

waarin V een scalar is die wij potentiaal noemen. Net als hier, is in het algemeen Veen functie van r.

i

I·

l

Elektrostatische velden in vacuüm 13

Voor een puntlading geldt dus op afstand r, Ver)

=

4

~

+ constante.

1kor

Als wij stellen V(oo)

=

0 is de constante nul en schrijven wij voor de potentiaal in een veld rond eenpuntlading Q:

Q

V

=

41tEor' (l.5)

De S.I.-eenheid voor potentiaal is JC-I. Men noemt deze eenheid volt, naar Volta.

o

1.4. Veld- en broncoördinaten

Wanneer wij meer ladingen beschouwen bevinden deze zich niet alle in de oorsprong. De afstandsvector f van de i-de lading Qi tot de lading q wordt dan met

f' = xii

+

/1

+ ik en met

fv = x

i

+ Y

J

+ zk dus:

f=fv- f'

z _Oi

Alessandro Giuseppe Antonio Anastasio Volta (Como. 1745 - Como. 1827) ..

Natuurkundige en chemicus. Constru-eerde de eerste bron die in staat was gedurende langere tijd een elektrische (gelijk)stroom resp. -spanning te leveren: de zgn. zuil van Volta.

q

y O~

__________________ ___

x

Figuur 1.2.

De plaatsvector

fv

heeft de kengetallen x, y en z die wij de veldcoördinaten noemen van het punt in de ruimte waar wij het veld (b.v. meteen lading q) willen onder-zoeken.

De vector f' met de coördinaten van de lading Qi - die een bron is van elektrische krachtwerking - zijn x', y' en z'. Deze coördinaten noemen wij de broncoördinaten. Voor de ladingen Qi en q wordt de wet van Coulomb dan geschreven als:

... 1 Q:n

F---~.r 1 - 47teo r3 .

Voor de veldsterkte en de potentiaal volgt met (1.2) en (1.5) dan resp.:

en

Ë

.

-

_1_ Qi.

_r

1 - 41tEo r3

V; -

_1_.Qi

1 - 47teo r

Bij superpositie over alle ladingen krijgen wij dan

en F=-q-

±

~i.r,

41tEo i=l r

Ë=_I_

±

Qi.

_r

47teo i=l r3 V =_1_

±

Qi. 41tEo i=l r

N.B.

Met de nabla-vector operator, V

=

i

Ix

+

J

/y

+ k

fz

voert' men differentiaties

. ~ d

uit naar de veldcoördinatenx, y en z. Men kan ook meteen nabla-vector V' = i dX ' + ~ d ~ d

j :iI + k:\l' differentiaaloperaties uitvoeren naar de broncoördinaten x', y' en Z/.

uy uZ .

Merk op dat V

=

4Qi en dus

=

4

II~

... /11 ,Voor de gradiëntbewerking

1tEQr 1tEo r v - r

bijvoorbeeld geldt dan: V(V) = -V/(V).

1.5. Conserverende velden

Verre"Yeg de meeste elektrostatische velden ontstaan uit superpositie van de velden van meer (soms zeer vele) ladingen.

Voor een willekeurig elektrostatisch veld kan men gelet op paragraaf (l.4) algemeen schrijven:

Ë

=

-V(V) of

Ë

= -

grad(V). (1.6)

H· . . t7 -;> d -;> d ~k d d bI d d'fti . .

lenn IS v

=

I dX + J

dY

+

dZ'

e na avectoroperator waarmee e lerentiatles naar de veldcoördinaten moeten worden uitgevoerd. Zie in dit verband paragraaf 5.3 van Inleiding Mechanica van Roest.

Bij de vectoranalyse is gebleken dat de rotatie van een gradiëntveld nul is. Dus: rotgrad(V) =

0

ofwel Vx {VVl =

o.

!

j.

j

Elektrostatische velden in vacuüm 15

Een elektrostatisch veld wordt dus gekenmerkt door:

rotE=O ofwel VxE=O. (1.7)

Het rotatie vrij zijn van een vectorveld is een criterium voor het conserverend karakter van dat veld. Gelet op het voorgaande is het duidelijk dat conserverende velden ook wel potentiaalvelden worden genoemd.

Alleen in een conserverend veld kan men zinvol een potentiaal definiëren.

Met de integraalstelling vanStokes (1819-1903) kan men het differentiaalcriterium (1.7) ook in de vonn van een integraal schrijven. Dat gaat als volgt:

-Stokes bewees dat voor een wiLLekeurig vectorveld A geldt:

~

A·dl

=

ff

(V x

A).dS,

'\I C, '\I S, '\I

A.

c s ( 1.8)

Dit noemt men de stelling van Stokes.

Hierin is C de contour die in het veld een oppervlak S omrandt. Zie figuur 1.3 .

. Figuur 1.3.

Voor de kringi~egraal langs de contour kiest men een willekeurige omlooprichting. De lijnstukjes dl langs C zijn in overeenstemming hiennee geöriënteerd. Het opper-vlak S verdeelt men in infinitesimaal kleine stukjes dS waaraan men als volgt een vector karakter geeft. Men richt loodrecht op dS een vectortje op waarvan de nonn gelijk i~ aan de grootte van dS. Omdat S twee zijden heeft zijn nog twee richtingen voor dS mogelijk. Men kiest die richting die correspondeert met de gang van een rechtse schroef (kurkentrekker), die past bij de gekozen omloopsrichting van C. Zie figuur 1.3.

Het zal duidelijk zijn dat S een "fatsoenlijk" oppervlak met twee zijden moet zijn en niet een singulier mathematisch bedenksel zoals b.v. de band van Möbius.

Om~at ~oor een elektrostatisch veld (conserverend veld of gradiëntveld) geldt

rot(E) =

°

kan met de integraal stelling van Stokes ook geschreven worden:

J. ....

-'f. E·dl =0,

Dit is een integraal-criterium voor een conserverend veld, dat gelijkwaardig is aan het . differentiaaIcriterium:

rotË=

o.

(1.7)

Welke van de beide criteria men wil hanteren hangt af van het op te lossen probleem.

In paragraaf 5.6 van Inleiding Mechanica (Roest, Delft, 1990) wordt aangetoond dat ieder centraal vectorveld conserverend is. Dat geldt ook voor het geval zo'n veld niet omgekeerd kwadratisch is zoals wel het geval is bij de wet van Coulomb of de gravitatie-wet van Newton (1643-1727). Een centraal krachtveld is een veld waarin:

a. de veldkracht steeds gericht is naar een vast punt toe (het krachtcentrum) of daarvan af.

b. de grootte van de veldkracht alleen een willekeurige functie is van de afstand r tot dat kracht-centrum. Die functie behoeft dus niet omgekeerd kwadratisch "in r te zijn" zoals bij Coulomb. Een elektrostatisch veld is op grond van de wet van Coulomb opgebouwd via een superpositie van centrale krachtvelden. Ook met het bewijs uit Inleiding Mechanica van Roest valt dus inte zien dat een elektros~tisch veld een conserverend ofwel rotatie-vrij veld is.

1.6. Potentiaal-verschil

z Or---~~----~--~--Y _I x Figuur 1.4. I I V

Als geldt:

~

Ë·

dl

= 0, '<;/ C, dan betekent dit

B A

J

Ë·dl +

J

Ë·dl

=

0, Al Bil I I V I I

waarbij de indices I en 11 betrekking·hebben op de wegen in figuur

IA.

Met

J~n

Ë·dl

=

-J~

Ë·dl

geldt

B B

J

Ë·dl

=

J

Ë.dl,

V

C, dus voor alle I en 11. A, All

I

I

I

I

I

\

I

I

In woorden betekent dit dat de uitkomst van de integraal J~

Ë

·

dl

onafhankelijk is van de gevolgde weg van A naar B, indien E een conserverend veld is.

Wij definiëren nu een potentiaalverschil: B

VA - VB

=

J

Ê·dT. (1.10)

A

Alleen omdat de integraal tussen A en B onafhankelijk is van de gevolgde weg kan men zoals in (1.10) een potentiaalverschil definiëren. De vorm (1.10) volgt uit de definitie

Ê

=

-V(V).

1. Immers volgens (1.6) is:

- -dV -dV -dV

E

= -

{i dx + j dy + k

az }.

Met

dl=

dxT + dYJ + dzk, volgt:

--

av

av

av

E·dl

= -

{dX dx +

ay

dy +

az

dz }, of

Ê·dÏ

= -

dV.

-dV =-E·dl. (1.11) A A

J

dV

= -

J

Ê·dl,

B B A B

J J

-VA - V B

=

-

E· dl

=

E· dl . B A 2. Equipotentiaalvlakken.

Uit (1.11) volgt dat dV

=

0 als Ê.l dI. .

Men ziet, dat als men zich steeds verplaatst loodrecht op het veld, de potentiaal constant blijft. Met andere woorden· veldlijnen staan loodrecht op equipotentiaal-vlakken.

3. V is een continue functie! Was dit niet zo, dan zou Ê

=

-V(V) leiden tot een lokaal

1.7. Continue ladingsverdelingen

Wanneer zich in een gebied zeer veel puntIadingen bevinden die zeer dicht opeen zitten spreekt men wel van een ladingscontinuüm.

De continue ladingsverdeling kan zich bevinden binnen een volume, op een oppervlak

of langs een lijn. De dichtheid van de lading zal niet overal even groot behoeven te

zijn. Men bekijkt dan een kleine hoeveelheid lading in een klein element en definieert dan:

a. Een ruimteladingsdichtheid p (Cm-3),

~f lim .1q

P -

-

.

-,

~t-+O L\t

waarin L1't een klein volume-elementje is.

b. Een oppervlakteladingsdichtheid cr (Cm-2),

0' ~f tim L\q

~S-+O L\S'

met L\S als klein oppervlakte-elementje.

c. Een lijnladingsdichtheid À. (Cm-I),

À.

~

lim

Ll<I,

6/-+0 L1l

met L\l een klein lijn~lementje.

Men beschouwt de lading in een elementje als een puntlading en de berekening van

ve'ldsterkte en potentiaal verloopt dan door integratie van de vergelijkingen (1.2) en

(1.5).

In het licht van paragraaf 1.4 wordt voor ruimteladingen geschreven:

-- JIf

pr

E= - - dt. t 41tE

_o

r3

Met' p = p(x{,y{,z{) terwijl wij rj schrijven als r.

Zoals in paragraaf 1.3 kan men zeggen

... Jff

P 1

E=- -4-V(-)d't. t 1tEa r

De integratie over 't vindt plaats naar de broncoördinaten terwijl de operator V werkt

met veldcoördinaten. De integratie en differentiatie-volgorde mag dus worden omge-keerd waarmee volgt:

Elektrostatische velden in vacuüm 19

-

{ill

pd't }

E=-V

-. 't 4nEor '

waannee met (l.4) geschreven kan worden: pd't

v-

rrr-- .UJ

't 4nEor .

Op dezelfde manier kan men voor oppervlakte-ladingen schrijven:

_

ar

adS

E=

rr

4~dS

met v=ff - 4 - '

11

s nEor s nEor

en voor lijnladingen krijgen wij dan:

- f

À-r

f

À-dl

-E= - - dl met V= - - .

I 4nEor3 I 4nEor

1.8;

De stelling van Gauss

De stelling van Gauss legt verband tussen de eigenschappen van een elektrostatisch veld aan het

Johann ·Carl Friedrich Gauss

(BrunsiNijk. 1777 - Göttingen, 1855). Misschien de grootste en meest vruchtbare mathematicus die de mensheid heeft gekend. Was actief in zeer vele en uiteenlopende gebieden van de zuivere wiskunde, de natuurkunde en de astronomie.

gesloten oppervlak dat een volume bepaalt en de door dat oppervlak omsloten lading. Om deze stelling te bewijzen gaan wij uit van een willekeurig oppervlak dat één enkele puntlading Q omsluit. Wie de voorgaande paragrafen heeft begrepen ziet in, dat via superpositie het door ons voor één ladingQ te vinden resultaat gemakkelijk kan wor-den gegeneraliseerd.

Bewijs: kies een lading +Q binnen een volume 't bepaald door een oppervlak S. Beschouw een kegeltje met top in Q en met een zeer kleine tophoek. Ditkegeltje snijdt uit het oppervlak S een klein elementje dS. Aan dit elementje geven wij een vector-karakter, door daar in P loodrecht op S een vector dS te kiezen meteen norm gelijk aan de grootte van dS. Net als bij Stokes (paragraaf 1.5) zijn twee richtingen mogelijk. Wij kiezen voor de richting vanuit 't naar buiten toe. Dit impliceert ook hier dat wij een "fatsoenlijk" lichaam hebben waarbij binnen en buiten eenduidig vast te stellen is. Geen singulier mathematisch bedenksel dus.

In het punt P waar dS is opgericht bestaat een elektrisch veld

Ê:

- Q

r

E = - - · - .

4nEor2 r

-Wij bekijken nu het "in"-produkt van Een dS:

,<i B " " ' "

V

_~ E Tc

n:

,~ J i _h~1 +0 S Figuur 1.5. Ë.dS

=

E dS cos(9)

=

QdScos(9) . ' . ' 41tEor2

Een dergelijk produkt kan voor alle punten van het gesloten oppervlak van S worden bepaald. Als wij over het gehele oppervlak sommeren krijgen wij:

,.«.

-+ -+

Q

f

dS

'jf. E·dS

=

_{41tc 2} ·cos(9).

s ~o s r

Wij bekijken de situatie in P nader in figuur 1.6.

In P is loodrecht op

Ë

een vlak gekozen waaruit door het kegeltje een oppervlak dS' wordt gesneden. Men ziet dS'

=

dS cos(9).

Vervolgens brengen we dS' over op dS" volgens figuur 1.7.

Met

Q

als middelpunt is een eenheidsbol (straal 1 m) getekend, waaruit hetzelfde kegeltje als hiervoor een oppervlakje dS" snijdt. Omdat de afstanden van

Q

tot dS' en dS" zich verhouden als r : 1 geldt:

Figuur 1.7. dS' dS" =-2-' r Substitutie levert: ~---> ---> Q ~ 1rs E·dS

=

47tEo

1r

_s

"

dS", dS'

waatmee de integratie over S is overgebracht tot een integratie over de eenheidsbol S". Daarvoor geldt: zodat ~ dS"

=

47t,

1rs"

<ff:

---> ---> Q E·dS =

-s

Eo ( 1.12)

De betrekking (1.12) staat bekend als de stelling van Gauss. Wij hebben aldus een - naar zal blijken - machtig instrument gevonden om problemen uit de elektrostatica op te lossen.

Het resultaat (1.12) kan worden gegeneraliseerd voor het geval er meer ladingen worden omsloten.

Voor elk geldt:

Áf.. ...

Q.

ff.

&·dS =~.

s

~O

Na sommatie volgt,

Met

Ê

=

L

~ en Qomsl

=

L

Q volgt dat voor het superpositieresultaat geldt:

i i

Áf..

Ë.dS

=

QomSI.

'ffS EO (1.12)

Dat de integratie geschiedt over een gesloten oppervlak S geven wij aan met de

dubbele integraal met daarin een kring.

N.B. Opmerkelijk is dat wij uitsluitend rekening houden met de door het oppervlak S omsloten lading. Die lading geeft een "veldlijnenstroom", m.a.w. een elektrische flux

die via het oppervlak het volume verlaat.

Buiten het volume gelegen ladingen geven natuurlijk ook een bijdrage tot de grootte van het elektrische veld in de ruimte en dus ook op het oppervlak S. Maar het is zo dat de bijdrage tot het linkerlid van de stelling van Gauss (1.12) nul moet zijn. Dat komt omdat een "veldlijnenstroom" of een elektrische flux van de zich buiten S bevindende

ladingen die het lichaam binnenkomt dat lichaam ook weer moet verlaten. Alleen de

flux die binnen S "geboren wordt" in de ladingen Qomsl geeft een netto, van nul verschillende, bijdrage.

Men kan dat inzicht ook verkrijgen door het betoog dat werd gegeven voor het bewijs

De stelling van Gauss (1.12) is geschreven in integraalvorm. Als wij bedenken dat

Q

_.

=

_JJJ't

rrr

p d't krijgen wij:

Áf... 1

rrr

'jf. E·dS

=

e

JJJ

p d't,

S 0

't

(1.13)

waarin S het oppervlak is dat 't omsluit.

Nu bestaat er in de wiskunde een integraalstelling, voor willekeurige vectorvelden, die

de divergentiestt!lling wordt genoemd.

Deze luidt, als wij hem schrijven voor een veld

Ë:

<f.

E·dS =

ill

div(E) d'r, V E.

S 't

(1.14)

Het bewijs van deze stelling is niet zo moeilijk; wij verwijzen hiervoor naar de boeken over vectoranalyse.

Als wij (1.13) en (l.l4) vergelijken en als wij bedenken dat die gelden voor alle "fatsoenlijke" oppervlakken S die een volume t omsluiten volgt:

- p -

P

div(E) = - of V·E =

-EO EO (1.15)

De vormen (1.15) noemt men de stelling van Gauss in differentiaalvorm; wat duidelijk is, omdat de nabla operator een (vector-)differentiaal-operator is.

Door de vergelijking (1.15) wordt-benadrukt dat elektrische velden divergeren uit de aanwezige ladingen. In dat verband is het begrijpelijk waarom de operatie V· di vergentie wordt genoemd.

Daarmee wordt tot uitdrukking gebracht dat de bronnen van het elektrisch veld zetelen

in de ladingen.

1.9. Voorbeelden

a. Wij bekijken het veld van een uniform met lading bezet verticaal lijnstuk in een in het middelloodvlak gelegen punt P. Op een lijnelementje dz van de rechte draad bevindt zich een lading À.dz, als

A.

de lijnladingsdichtheid is.

-+

21 dE

Figuur 1.8.

De veldsterkte die deze lading in het punt P geeft is:

-Wegens de symmetrie van de configuratie zal van deze bijdrage dEp, alleen de horizontale component na sommering overblijven.

14 ,

24 Inleiding Elektriciteit en Magnetisme

Immers, symmetrisch t.o.v. C gelegen lijnelementjes geven even grote, verschillend gerichte, maar symmetrische bijdragen waarvan de verticale componenten elkaar daar telkens twee aan twee opheffen. Voor de totale veldsterkte in P geldt dat deze loodrecht op de draad naar rechts wijst.

Stel dE = dEpcos(q». Dan is:

1

J

Ad

z

E = - 4 -2- cos(q»

1tEo r

gehele draad

. z Rdq>

UIt tan(q» = R volgt dz = 2 .

COS (q» Omdat r =

~

geldt:

cos( q»

À, Rdq> cos2( q> )

E = 41teo

J

cos2(q» R2 cos(q», gehele draad

A

.

.

I

+<Pmax

E = 41tE R sm(q» ;

o

-{j>max

zodat:

b. Indien de draad zeer lang is (I

»

R) nadert de veldsterkte tot:.

A

E = 21te

oR = E(R).

c. Het laatste resultaat kunnen wij ook vinden met de stelling van Gauss. Van een oneindig lange rechte en uniform met lading bezette draad kan men zeggen dat de veldsterkte E steeds loodrecht op de draad staat. Als de draad samenvalt met de z-as, kiezen wij een rechte cirkel~cilinder met straal R en hoogte h met de z-as als as. Voor de platte boven- en onder-vlakken geldt steeds: Ë(r) .1 dS. Zodat Ë·dS = 0 en de bijdragen van die oppervlakken tot de integraal

~an Gau~t·Ë.d~

=

o.

-+

Op het cilindrische oppervlak geldt juist steeds: E(R) /I dS, zodat E(R)·dS = E(R)dS. De door de cilinder omsloten lading is À,h Coulomb.

De stelling van Gauss geeft dan:

Ai, E(R) dS = Ah, met E(R) = constant over S.

~il.

opp. Eo t

À,h · A

E(R) dS = E(R)-21tRh = -

=>

E(R) = 21tEoR '

eil. opp. EO

I

!

I

I

I

-Elektrostatische velden in vacuüm 25

Figuur 1.9.

d. Wij berekenen nu het elektrische veld op de as van een uniform geladen, in een cirkel vorm gebogen draad. Wij gebruiken hier de wet van Coulomb.

z

-+ dE x

Figuur 1.10.

Op een lijnstukje dl van de cirkelomtrek bevindt zich een lading Adl. Deze lading geeft

in het punt P een bijdrage tot het elektrische veld: dE

_-.ML

p - 41teor2 .

Aan de hand van figuur 1.10 valt in te zien dat dankzij de symmetrie in de situatie de

. totale elektrische veldsterkte in P in de richting van de positiev.: y-as wijst. De loodrecht op de y-as staande com~nenten van de vectorbijdragen dEp van te~enover elkaar liggende lijnstukjes, zullen elkaar opnieuw steeds opheffen. Er geldt dus ook hier: dE

=

dEpcos( <p) zodat

26 Inleiding Elektriciteit en Magnetisme

E=

MIl À.cos( cp )

J --

cOS(ln) -

J

dl

41tEor2 'I" - 41tEor2

cirkel cirkel

)."R COS(cp) E - - - - ·

- 2eo . r2 ' omwerken geeft:

e. Dit resultaat is ook op een andere manier te vinden. Immers de bijdrage van een lijnstuk je dl tot de potentiaal in Pis:

[zie (1.5)]

De sommering hiervan over de gehele cirkelomtrek is eenvoudig, omdat de potentiaal een scalar is en geen vector.

)."R )."R

V.

-. p - 2Eor - 2Eo(y2 + R2)1/2 .

Uit

Ë

=

-VV volgt hier E

= -

~

,

wijzend langs de y-as ..

Als we deze differentiatie uitvoeren vinden we het antwoord onder d weer. Ga dit na! f. Wij berekenen nu de elektrische veldsterkte op de as van een uniform met lading bedekte schijf. (De oppervlakte-Iadingsdichtheid is o)

z

Een ringetje met straal r en breedte dr is bezet met 21t0" r dr coulomb. Deze lading geeft met het resultaat van het vorige probleem een ,bijdrage tot het veld in de richting van de y-as gelijk aan:

_..Q... r ydr

dE -,..,~ ( 2 -2)3/2'

'=0 Y +r

Controleer dit!

Omdat alle dÊ in de richting van de positieve y-as wijst geldt:

Om deze integraal te berekenen kiezen wij als nieuwe variabele de hoek ep, zie figuur

1.11. dep

Dus r

=

y tan( ep)

~

dr

=

y 2 Verder geldt: ' cos (ep)

y

=

cos(ep) en

V

y2 + r 2

Daarmee volgt:

q>=q>m

E

=

2~0

J

sin( ep )dep

=

~O

{ 1 .:.. cos( epm) }

q>=o

of:

g. Als het geladen oppervlak zich tot in het oneindige uitstrekt(R ~ (0) vereenvoudigt deze vorm zich tot:

.... 0 -E=-j

2eo (1.16)

Het opmerkelijke daarvan is dat de sterkte van het elektrische veld in een punt van de ruimte niet afhangt van de afstand van dat punt tot dat geladen vlak.

h. Het resultaat (g) kan veel sneller gevonden worden door gebruik te maken van de stelling van Gauss. Beschouw een cilinder als in figuur 1.12. Op grond van symme-trie kan men zeggen dat

Ê

steeds loodrecht staat op het oneindig grote geladen vlak. Langs de cilinderwand is steeds Ê

J-

d'S en een bijdrage tot de integraal van Gauss is dan dus nul. Op de platte grensvlakken van de cilinder geldt steeds, Ê /I d'S zodat daar de bijdrage tot de integraal van Gauss niet nul is. Als de cilinder links en rechts even ver buiten het vlak steekt weet men dat Elinks = Erechts = E.

Ê

Figuur 1.12.

De door de cilinder omsloten lading is aS, zodat met:

Jh ... . Qomsl

'JJ

E·dS =

-ei! EO volgt

of E

=

2~o'

evenals hiervoor.

2ES = aS

EO '

Ê

i. Wij beschouwen nu een bolvormig deel van de ruimte met straal R dat uniform gevuld is met een totale ruimtelading Q. Wij passen de stelling van Gauss toe op een bol met straal r ~ R.

Jh Ê.dS

=

Qomsl.

'JJ

_bol Eo

Pit de bol symmetrie blijkt dat steeds

Ê

11 dS. Overal op de bol met straal r, heeft de veldsterkte dezelfde grootte. Daarom kan men schrijven

Dit result~at is natuurlijk niet zeer verrassend omdat de stelling van Gauss weer de wet van Coulomb levert die wij voor de afleiding van die stelling hebben gebruikt.

Het blijkt· dus, dat wij (zolang wij ons buiten een bol bevinden) alle lading in het middelpunt van een bol geconcentreerd kunnen denken.

Het valt gemakkelijk in te zien dat de laatste uitspraak eveneens geldt indien de ladingsverdeling binnen de bol met straal R, niet uniform is maar willekeurig, mits er maar bolsymmetrie bestaat.

1.10. Elektrische geleiders in elektrostatische velden

a. Wanneer een geleider gebracht wordt in een uitwendig elektrostatisch veld

Ë

zullen

de vrije ladingen in die geleider een kracht ondervinden als gevolg waarvan zij zich binnen die geleider gaan verplaatsten. Hierdoor ontstaat in die geleider plaatselijk een overschot aan positieve lading en elders een overschot aan negatieve lading.

Deze influentieladingenveroorzaken binnen die geleider een elektrisch veld~. De vrije ladingsdragers zullen zich niet meer verplaatsen als:

Dan bestaat er weer een (elektro-)statische situatie; het totale elektrische veld binnen een geleider is dan nul.

Omdat binnen de geleider in elk punt geldt div Ë

=

:0'

en in elk punt Ë

=

0

betekent dit dat binnen de geleider p = O. Eventuele ladingen kunnen zich dus alleen bevinden aan het buiten-oppervlak van de geleider.

b. Omdat voor een potentiaalverschil tussen twee punten A en B geldt:

B

VA - VB

=

f

Ë.dl,

A

volgt hieruit voor een geleider in een elektrostatische situatie dat VA

=

V B, "iI A en "iI B

van de geleider.

In woorden geformuleerd betekent dit dat alle punten van zo'n geleider dezelfde potentiaal heQben. Het oppervlak van die geleider is dus een equipotentiaal oppervlak. Als buiten de geleider

Ë

'#

0,

houdt dit met het oog op paragraaf 1.6.2 in, dat de veldlijnen van het veld buiten de geleider loodrecht staan op het oppervlak van die geleider.

1.11. Condensatoren; capaciteit

Wij denken ons een geleider A waarop zich een lading

Q

bevindt. Om deze geleider slaan wij een geleider B die ongeladen is. De situatie is statisch. Overal binnen de geleider B is het elektrische veld nul zodat volgens Gauss voor het gesloten oppervlak SB geldt

,+r.,---'jJ. E·dS

=

O.

SB

Figuur 1.13.

Omdat QA

*"

0 moet zich aan de binnenzijde van B een even grote influentielading Q maar met het tegengestelde teken bevinden. Als men twee tegenover elkaar geplaatste oppervlakken heeft waarop zich een even grote maar tegengestelde lading bevindt spreekt men in die combinatie van een condensator. Voor een gesloten oppervlak S tussen A en B geldt volgens de stelling van Gauss:

~

-_{E·dS =-,} - Q _VS.

S Eo

Als de lading

Q

van A met een bepaalde factor vergroot wordt volgt hieruit dat het elektrische veld overal in dezelfde verhouding toeneemt. (lineariteit van de vacuüm-ruimte). Hieruit volgt weer dat:

B

VAB

=

J

Ë·dl

A

ook evenredig toeneemt, wdat V AB oe QA.

De constante verhouding noemt men de capaciteit C.

(1.17) De S.I.-eenheid van capaciteit is de farad (F); dit n.a.v. Faraday (179f-1867). a. Als voorbeeld berekenen wij de capaciteit van een bolcondensator, zie figuur 1.14. Stel op A bevindt zich een lading +Q, dan bevindt zich aan de binnenzijde van Been lading -Q. Tussen A en B bestaat een radiaal veld. Met de stelling van Gauss, of met hetgeen gezegd is in paragraaf 1.9i kan men schrijven:

Figuur 1.14. of E(r) = - Q -, {RA::; r ::; RB }, 41tEor2 ·B V AB

=

f

Qdr

=

~ {_I _ _ 1 } A 41tEor2 41tEo RA RB '

Voor de capaciteit van een bolcondensator geldt dus:

en

b. Voor een vlakke plaatcondensator (figuur 1.15) met

QA

=

Q

en

QB

='

-Q

kan men de stelling van Gauss gebruiken op een cilindertje met de as loodrecht op de platen. Een van de vlakke begrenzingen laten wij vallen binnen het metaal van plaat A. De andere vlakke begrenzing bevindt zich tussen A en B. Die cilinder omsluit een lading

Q

.

Q

cr.1S met cr =

S

'

dus een lading

S

.1S.

d

A

B

Figuur l.15.

Met Gauss vinden wij op analoge wijze als in paragraaf 1.9h

1 Q.1S Q cr

E.1S=- - ~ E = =

Voor het potentiaalverschil V AB geldt

Q:t EoS

VAB=E·d ~ VAB=EoS ~ Q=TVAB,

zodat Cv/,p/=(f' . EoS (l.l8)

Uit deze afleiding blijkt dat wij ervan uitgegaan zijn dat de platen A en B zeer groot zijn en/óf dat de afstand d daartussen relati~f klein is.

Met andere woorden: de afgeleide formule voor de capaciteit van een vlakke plaat-condensator geldt alleen als wij afzien van "rand-effecten".

c. Als men in een schakeling een condensator wil aangeven, gebruikt men het symbool van figuur 1.16.

Figuur 1.16.

Onder de lading van een condensator verstaat men de lading van de positieve plaat, terwijl men het potentiaalverschil tussen de platen wel de spanning ovèr de conden-sator noemt:

Dus Q=CU. (l.l9)

Als condensatoren verbonden zijn zoals is aangegeven in figuur 1.17 spreekt men van parallelschakeling.

LI

l

B

De spanning over elke condensator is dezelfde en is gelijk aan het potentiaalverschil U tussen de klemmen A en B.

Als QI + Q2 + ... + Qn = Q wordt genoemd geldt:

Q={

±Ck}U.

k=1

Omdat Q de totaal via klem A aan het systeem toegevoerde lading isen de spanning U de spanning over het systeem, kan men de schakeling tussen de klemmen A en B substitueren door een capaciteit:

(1.20)

Cp noemt men de vervangings~ (of substitie- )capaciteit.

De schakeling van figuur 1.18 heet een serieschakeling van condensatoren.

Figuur 1.18.

Wij gaan uit van ongeladen condensatoren. Als men op de linkerplaat van Cl een lading +Q brengt, dan wordt op de rechterplaat een lading -Q geïnfluenceerd. Daardoor wordt de linkerplaat van C2 met +Q bezet en de rechter plaat daarvan weer met -Q. Dit gaat steeds zo. Alle condensatoren bevatten dus dezelfde lading. Er geldt:

Hieruit volgt:

UI +U2+ ... + Un={d

l

+d

2

+ ...

+dJQ·

Omdat voor de totale spanning U tussen de klemmen A en B geschreven kan worden

34 Inleiding Elektriciteit en Magnetisme

kriJgen · WIJ ..

U

=

{

.

~

kJ

C

I}Q

·

.

k=1 k

Hieruit volgt voor de vervangingscapaciteit van een serieschakeling van condensatoren:

1 n 1 Cs

=

LCk k=1 (1.21)

1.12. De vergelijkingen van

Poisson

(1780-1840)

en van

De Laplace

(1749'-1827)

Indien een ladingsverdeling over de ruimte gegeven is kan men met behulp van de wet van Coulomb, de stelling van Gauss en de vergelijkingen (1.10), (1.4), de veldsterkten en potentialen in die ruimte berekenen.

Pierre Simon de Lap/ace (Beaumont

en Auge. 1749 - Parijs. 1827).

Begon zijn studie aan de Ecole Militaire te Parijs. Was zeer briljant. Bestudeerde de beweging van de planeten in het zonnestelsel. Ont-wikkelde de hemelmechanica en schiep daarmee een groot deel van de analyse.

Meestal echter is juist de ladingsverdeling onbekend, terwijl juist wel potentialen bekend zijn. Daarmee is het probleem dus omgekeerd. Met de genoemde vergelijkin-gen kan men bij eenvoudige gegeven ladingsverdelinvergelijkin-gen in symmetrische-gevallen nog wel een eind komen. Maar voor ingewikkelder ploblemen zullen wij een andere aanpak moeten kiezen.

Wij vallen dan terug op de vergelijkingen (1.4) en (1.15), d.w.z. op:

en

Ë=-vv

--. P

V·E=-. Eo

Substitutie van (l.4) in (1.15) geeft:

of p' V·(VV)

= -

Eo ' V2(V)

=-~

Eo ' a2 a2 a2 waarin de operator V2

= -

+ - + - . . ax 2 ay2 az 2

De vergelijking (1.22) heet de vergelijking van Poisson.

(l.4)

(1.15)

(1.22)

Als in de ruimte de lading op bepaalde plaatsen verzameld is en in de ruimte daartussen

I.

zich geen ruimtelading bevindt, dan geldt voor dit laatste deel van de ruimte p

=

O. In dat gedeelte van de ruimte (met p

=

0) geldt dan de vergelijking van De

Laplace:

(1.23)

die een bijzonder geval is van de vergelijking van Poisson.

Het oplossen van deze partiële differentiaalvergelijking van De Laplace of Poisson betekent het oplossen van het gestelde probleem van het berekenen van velden en ladingsverdelingen als de potentiaal in een ruimte gegeven is.

Daarbij moeten wij bedenken dat de fysica enige (rand-)voorwaarden stelt. De potentiaal in het oneindige kiezen wij meestal nul. Binnen en op een geleider moet de potentiaal overal dezelfde zijn en verder moet de lading begrensd zijn naar grootte en ruimtelijke verdeling. Daarnaast is nergens de veldsterkte onbegrensd groot. Dit betekent dat overal V continu is. Iedere oplossing moet aan deze randvoorwaarden voldoen.

Opmerking. De Laplace was een wiskundige die zich in het bijzonder bezig hield met de hemelmechanica. De wisselwerking tussen massa's in het heelal wordt bepaald door de gravitatiewet van Newton (1642-1727). Deze wet heeft een vorm analoog aan die van de wet van Coulomb. De berekeningen aan gravitatie-velden kunnen dus op dezelfde wijze worden geformuleerd als wij dat nu doen voor de elektrostatica. Het behóeft dus geen verwondering te wekken dat de differentiaalbetrekking die De Laplace vond voor de gravitatievelden van de hemelmechanica hier weer tevoorschijn

. komt in de· elektrostatica.

1.13. De eenduidigheidsstelling

De vergelijking van De Laplace is een lineaire tweede orde (partiële) differentiaalver-gelijking die in beginsel vele onafhankelijke oplossingen heeft. Toch blijkt er in een

Bewijs: eris een aantal geleiders A,B, ... , waarvan de potentialen respectievelijk zijn VA,VB, .... In de ruimte tussen de geleiders bevindt zich geen lading. Stel dat er twee onafhankelijke oplossingen V'(f) en V"(f) zouden bestaan die beide aan de vergelijki_ng van De Laplace voldoen en die tevens beide voldoen aan de randvoor-waarden, dan zegt de te bewijzen eenduidigheidssteIling V'

=

V".

Daarom beschouwen wij de functie

Dan' is

Ven

een oplossing van de situatie waarbij alle geleiders een potentiaal nul hebben; immers de randvoorwaarden voor V'(f) en V"(f) zijn gelijk. Indien V(f) in de ruimte t tussen de geleiders A,B, ... een van nul afwijkende waarde zou hebben moet V(n ergens in die ruimte t een maximum of een minimum vertonen. In de buurt van zo'n extreem divergeert (of convergeert) het elektrische veld; dan zou zich in t

lading bevinden. Dit is in strijd met het uitgangspunt, dus V(f) : 0 in t, ofwel V'(f): V"(f).

Heeft trien, op welke wijze dan ook een oplossing van, de vergelijking van De Laplace gevonden, die aan alle randvoorwaarden gehoorzaamt dan kan men op grond van de eenduidigheidsstelling zeggen dat dat ook de enige oplossing is.

Twee voorbeelden

1. Het veld van een puntlading nabij een groot geleidend geaard plat vlak.

s

Figuur 1.19,

. Uit Q divergeren veldlijnen die het geaarde equipotentiaal-oppervlak S loodrecht treffen, zo dat zich op de linkerzijde van S negatieve influëntielading (totaal -Q) verzamelt. Dit veld lijkt voor wat de ruimte links van S betreft op het veld van een lading Q en een lading -Qop een afstand 2a uiteen. In beide gevallen is voldaan aan de randvoorwaarde dat de potenthvl van S nul is. Volgens de eenduidigheidsstelling zijn beide gevallen equivalent. Dat de lading -Q op een afstand a van de plaat ligt en even groot is als Q is intuïtief in te zien maar kan ook worden bewezen.

Stel dat -Q

=

Q' en de ~fstand tot de plaat is x. Dan geldt in C:

Q Q'

VC

=

41tEoa + 41tEox

=

0 --+ Q'

= -

i

Q.

Ook in een willekeurig punt P moet Vp

=

0 zijn zodat: Qcos( <p) Q' cos( <p')

Vp

=

41tEQa + '_47tEox,

=

O.

Uit beide volgt cos(ep) = cos(ep'), zodat S inderdaad in het middelloodvlak ligt en x = a terwijl Q'

=-Q.

Men noemt Q' de beeldlading van Q. Zo'n beeldlading is niet echt aanwezig maar is een hulpmiddel dat buiten de ruimte is gelegen waarin men het veld wil bepalen.

2. Het veld van een puntlading nabij een geleidende, geaarde bol.

+Q

A -, ~:;:.-_ _ _ _ _ +-_....c....~----L=---i 8

a

Figuur 1.20.

Op grond van het vorige voorbeeld denken wij ons Q gespiegeld binnen de bol als Q'. Vanwege de symmetrie ligt Q' ergens op de verbindingslijn AB; stel op

x

van C. .

In elk willekeurig punt P van het boloppervlak is V

=

0, zodat:

Dit moet gelden voor elke waarde van ep; dus ook voor ep

=

0 en ep

=

1t. Hieruit volgt:

R2 R

x=-_a en Q'=--Q. _a

Substitutie hiervan geeft een gelijkheid voor alle ep.

Met de eendüidigheidsstelling weten wij nu dat het veld buiten de bol te berekenen is met de ladingen Q en Q' op de aangegeven plaatsen.

Een andere oplossing kan er volgens deze stelling niet zijn.

1.14. Mutuele potentiële energie van een ladingsverdeling

op een afstand r12 van een puntIading QI bestaat een potentiaal: Q\

VI =41teo r\2 •

Als men, vanuit het oneindige, een puntIading Q2 op r\2 van QI plaatst is de potentiële energie van dit stelsel ladingen:

38 Inleiding Elektriciteit en Magnetisme

Brengt men een derde puntlading Q3 vanuit het oneindige naar een punt gelegen op rl3 van QI en r23 van Q2 dan is de potentiële energie van deze lading in het veld van Q! en

02:

De totale energie is dan

u

=_

.

1_{QIQ2

+

QIQ3

+

Q2Q3}. e 41t€o rl2 rl3 r23 Het toevoege~ van een vierde ladin&.9 geeft dan

U =_1_ {a

+

QIQ2

+

QIQ3

+

QIQ4

+

e 41tEo rl2 rl3 r!4

a

₊

Q2Q3

_---rïJ

₊

Q2Q4

_f24

₊

Q3Q4

a

+

a

+f34}.

Als we dit schrijven als een matrixprodukt is de structuur van deze vorm beter te zien.

D QI rl2 rl3 rin 0

a

Q2 r23 r2n 1 Ue

=

41tEO [QJ,Q2, ... ,Qn]

_{a a a}

r3n

a a a

a

_r(n-I)n

a a a

a

a

Qn Omdat rl2

=

r21 enzovoorts, kunnen wij ook schrijven

a

Q! rl2 rl3 rin

a

1 Q2 Ue

=

t

x

4~Eo

[QI,Q2, ... ,Qn] r21 r23 r2n r31 r32

a

r3n

a

On

waarbij uit de nul-elementen op de hoofddiagonaal blijkt dat termen met QiQj ontbre-ken als i

=

j. De factor

t

is nodig omdat het matrixprodukt met de nu symmetrisèh

gemaakte matrix met door toevoeging van de elementen

r~'

twee maal zo groot is als

J I

eerst.

We kurinen nu inzien, dat ook geschreven kan worden:

(1.24 )

Dit is een nogal ingewikkelde vorm voor de mutuele potentiële energie van een stelsel ladingen.

Stellen wij de potentiaal veroorzaakt door alle ladingen (behalve Qi) ter plekke van Q voor door n 1 Qj y.-~--1 -""-'41tE r··' '-1 0 IJ J.- . J;él (1.25)

dan kan de vorm wat eenvoudiger worden geschreven als

n .

Ue=tIQSi,

(1.26)

i=l

Voor een continu verdeelde (vrije) ruimtelading waarbij geen andere geladen lichamen in de buurt zijn kunnen we de lading Qi vervangen door p d't. De sommatie wordt dan een sommatie over een oneindig aantal oneindig kleine ladingen; een integraal dus. Schrijven wij voor Vi nu V dan geldt

Ue

=

tfffv

P d't, (1.27)

t

waarbij 't willekeurig mag zijn mits maar de gehele ruimtelading in 't besloten ligt. N.B. Naast vrije lading bestaat ook gebonden lading. Zie hoofdstuk 2.

Voor een met een lading Q geladen lichaam dat een potentiaal V heeft volgt uit (1.27)

1

Ue

=2

QV. (1.28)

Een dergelijk lichaam heeft een capaciteit C

=

~,

zodat ook geschreven kan worden:

1 _ r Q2

Ue

="2

CV2 of Ue -

_{2C .}

1.15. Overzicht van hoofdstuk 1

Wet van Coulomb:

Veldsterkte: Potentiaal: Veldsterkte: Conserverend E-veld: Stokes: Divergentie-steliing: Gauss: Capaciteit: Poisson: De Laplace:

F--I_Q}I

- 41tEo r2 r B VAB=

f

Ë·dl.

A Ë = -grad(V).·

f

Ë·dl

=

0 c of rot

dh

=

o.

f

Ë·dl

=

ff

(V x Ë).dS, V'Ë. c s

~

Ë·dS =

.rrr

V·Ë d'r, V'Ë. S t ,4 -+ -+ Qomsl { I

i:

rr

}

'irs E·dS

=

~'

=

Eo lItP d'r . div(Ë)

=

:0 .

.

Q C=U·

P

V2(V) =-Eo. V2(V)

=

o.

2

Elektrostatische velden in

d i

ë

I

e

kt

ri ca

2.1. De elektrische dipool

Twee ladingen +q en -q van gelijke grootte maar tegengesteld teken, die op een afstand s van elkaar geplaatst zijn, vormen een elektrische dipool. Wij zullen hier hei geval beschouwen, dat de afstand s relatief klein is, Lo.v. andere afstanden die we beschouwen.

Sommige moleculen als H20 of Hel blijken permanent een dipool te vormen. De afstand s is dan op atomaire schaal, en dus zeer klein. Sommige moleculen vormen alleen een dipool als zij zich bevinden in een uitwendig elektrisch veld; glas en mica zijn hiervan voorbeelden. Voor de beschrijving van de elektrische eigenschappen van materie is de kennis van elektrische dipolen onontbeerlijk.

'"

-q _+q Figuur 2.1. \ \ _, / ;1/

De potentiaal in P als gevolg van de beide ladingen +q en -q volgt uit superpositie. Wij gebruiken vergelijking (1.5).

V _ _ q _ q q { r2 - rl }

p - 41tEorl - 41tEor2 = 41tEo rl r2 .

Voor r

»

s geldt r2 - rl "" s cos(9) en rlr2 "" r2. Wij definiëren nu een elektrisch dipoolmoment

p

door:

p=qs.

De eenheid van p is Asm.

Daarbij is aan de lengte s een vectorkarakter gegeven waarbij S een vector is die wijst van de negatieve lading naar de positieve! Zo volgt:

Vp

=

p cos(S)

41t EO r 2

p.;

of Vp = - - .

. 41tEor3

Voor de radiële component

Er

van E vinden we met: Ê=-VV,

iJV

Er=-dr -7 Er

=

2 P cos(S)

41tEor3

en voor de transversale component Es volgt:

av

Es=-r~ -7

(2.1)

(2.2a)

(2.2b)

Merkop, dat wij hier geen cartesische-, maar bolcoördinaten hebben gebruikt. Omdat Er en Es, dus

Ê

p in hetzelfde vlak liggen als de vector pis Vp geen functie van q> en is Eq> = O.

N.B. Men ziet dat de sterkte van het elektrische veld van een dipool evenredig is met

1 3 en dus veel sneller afneemt dan volgens de wet van Coulomb voor een puntlading.

2.2.

Krachtwerking op een starre, elektrische dipool

'

in

een

uitwendig elektrisch veld

Figuur 2.2.

a. Aan de hand van figuur 2.2 is gemakkelijk in te zien dat in een uniform elektrisch veld de totale krachtwerking op een dipool nul i~. De grootte van het koppelmoment is T

=

qsE sin(S)

=

pE sin(S) Rekening houdend met de richting van de vector

T

kan men zeggen:

I.

Figuur 2.3.

b. Als het elektrische veld niet uniform is kan men gemakkelijk inzien dat de netto

krachtwerking ongelijk aan nul is. Zie figuur 2.3.

In een veld waarvan de sterkte van de plaats afhangt, kan men voor de resulterende

kracht schrijven:

F

=

F

+ -

F _

=

q {~

-ïL} .

Stel

ïL

=

Êm

=

Ê(x,y,z) dan is

Ê+

=

Êcr + s)

=

Ê{ (x+L1x),(y+L1y),(z+L1z)}

waarin:

~

Beschouwen wij de x-component van F dan schrijven wij:

Fx

=

q[Ed(x+L1x),(y+L1y),(z+L1z)} - Ex{x,y,z}].

Volgens Taylor (1685-1731) geldt bij verwaarlozing van termen van de tweede orde

en hoger:

Zodat:

dEx dEx dEx

Ex {(x+L1x),(y+L1y),(z+L1z)}

=

Ex(x,y,z) + dx L1x + dy L1y + dz L1z.

~ dEx dEx dEx '7

Fx=q{ dX L1x+ dy ~y+ dZ ~Z}l,

Fx

=

q(s·V)Ex

=

W,V)Ex.

Een analoge vorm vinden wij voor Fy en Fz, d.w.z. Fy = (p·V)Ey en Fz = _(p·V)Ez;

waarmee:

F

=

(p.V)Ë. (2.4)

Wij zien dat als Ê een uniform veld is de differentiaaloperatie W·V) op Ê de nulvector oplevert. Dit is in overeenstemming met wat wij onder a al intuïtief vaststelden.

c.

Het koppelmoment werkend op een elektrische dipool in een niet uniform elektrisch veld is i.h.a. ongelijk aan nul, zoals snel blijkt na het be.zien van figuur 2.3.

Stel de plaatsvector van het midden van de dipool is r; dan is de plaatsvector van de positieve lading q, (f + tS)o Voor de negatieve lading is dat (f - tS)o Voor het krachtmoment t.o.v. de oorsprong 0 schrijven wij dus:

Met (2.4) kunnen wij schrijven

- 1 - 1

-en E(f - 2S) - E(f) = -(2S.V)E(f),

als wij evenals hiervoor genoegen nemen met èen eerste-orde benadering. Substitutie geeft met

p

=

qs en het stellen E(f)

=

E, na enig rekenen:

(2.5)

met andere woorden:

Ma

=

r x F+

T,

wàarin

T

wederom het koppelmoment is. Wij zien als E een uniform veld is dat de differentiaal operatie W·V)Ê =

0

oplevert zodat

(2.5) overgaat in het bijzondere geval (2.3).

d1. De potentiële energie van een starre elektrische dipool in een uitwendig elektrisch veld is de som van de potentiële energie van de lading +q en de lading ~ in dat veld. Epot

=

qV(f + S) ~V(f), als r de plaatsvector van de negatieve lading is.

Met r

=

x

T

+ y

r

+ z k en s

=

dx

T

+ dy

r

+ dz k wordt, V(f+ s) = V(X+dX,y+dY, Z+dZ),

hetgeen in een eerste ordebenadering geschreven wordt als:

_ _ dV dV dV

Ver + s)

=

V(x,y,z) + dX dx + dy dy + dZ &

=

=

V(x,y,z) + (dX

T

+ dy

r

+ & kHVV).

Verder geldt Ver) =:= V(x,y,z). Deze vormen, - met p

=

qs - substituerend in de vorm van de potentiële energie vinden wij:

Epot =p.VV:

Met

Ê

"

= -

VV volgt:

Omdat men in berekeningen wel het risico loopt Epol te verwarren met een veldsterkte schrijft men ook wel:

U_pot =

-p.Ê.

(2.6)

Ook U is een door de normalisatie toegelaten notering voor energie (en potentiaal-verschil).

d2. Indien de dipool niet star is zoals bijvoorbeeld het geval is in polariseerbare media waarin p oe Ê geldt een iets andere berekening met ook een ander resultaat dan (2.6). In dit geval zijn pen

Ê

gelijk gericht; stel

p

=

a; Ê.

Men noemt a; de polariseerbaarheid.

V.

anuit een bepaald punt P in de ruimte bewegen wij- de dipool naar het oneindige waar wij de potentiële energie Ep of Up gelijk stellen aan nul.

Wij kiezen bijvoorbeeld een weg van P ~ 00 evenwijdig aan de x-as, zodat dr = dx.

Up = J P.dr= JFx dx.

p p

met (2.4) krijgen wij

Up =

J

(p·V)Ex·dx

p

J

oo {dEx dEx dEx }

Up

=

PxTx

+

Pi"dy

+

PZdz

dx

p

J

""

{dEx dEx dEx }

Up = a Ex

dX

+ E

ydy

+ Ez

dZ

dx.

p

Het E-veld is conserverend

~

rot Ê =

5.

Hieruit volgt

di;

=

dd~Y

en

d~x

=

d!z

Substitutie hiervan geeft:

Nu is:

zodat

x _

en omdat

p

=

a.Ë

kunnen wij hiervoor ook schrijven: Upot = - t

p.

Ë.

Als gevolg van

het niet star zijn van de dipool en de lineairiteit treedt hier t.o.v. formule (2.6) een correctiefactor top.

2.3. Polarisatie

Een diëlektricum is een niet geleidende stof, dus een conglomeraat van positieve en negatieve ladingen die zich niet vrij tussen de atomen en moleculen kunnen ver-plaatsen. Bij, overigens elektrisch neutrale, moleculen is het mogelijk dat de "zwaarte

-punten" van de positieve en negatieve elektrische ladingen niet samenvallen (water en alcohol bijvoorbeeld). Dergelijke moleculen zijn permanente dipolen die in een elektrisch veld krachten en koppels kunnen ondervinden volgens de beschouwingen van paragraaf 2.2. Wanneer men een groot aantal van dergelijke polaire molecl,llen bijeenbrengt zullen de dipoolmomenten

Pi

in het algemeen willekeurig georiënteerd

n

zijn. Het resulterend dipoolmoment

L

Pi

is dan nul. Zij kunnen gericht worden door

i=1

het aanbrengen van een uitwendig elektrisch veld, hoewel de warmtebeweging dat zal tegenwerken. Op zeker ogenblik heeft zieh een dynamisch evenwieht ingesteld .

. n

waardoor de materie een permanent dipoolmoment

L

Pi

-:f. <5 vertoont. Men zegt dan

i=1

dat het diëlektricum gepolariseerd is.

Naast moleculen die permanent een dipoolmoment bezitten zijn er ook moleculen die men door een uitwendig elektrisch veld een geïnduceerd dipoolmoment kan geven dat weer verdwijnt als het veld wegvalt. In normale toestand vallen de "zwaartepunten" van de positieve en negatieve ladingen daarbij samen. Door het uitwendige elektrische veld kan men die centra ten opzichte van elkaar verplaatsen, waardoor het molecuul

tijdelijk een dipoolmoment verkrijgt. Sommige kristallen zoals kwarts kunnen

gepolariseerd worden.als gevolg van het aanbrengen van mechanische druk. Die polarisatie verdwijnt weer als men de druk wegneemt. Een kristalelement van een piek-up-element maakt van deze eigenschap gebruik; omgekeerd ontstaat bij zo een stof vormverandering als men een spanning aanlegt. Men noemt deze eigenschappen

piëzá-elektriciteit. Maardoor welke oorzaak de materie ook gepolariseerd moge zijn,

voor de beschrijving van de elektrische eigenschappen daarvan, moet men uitgaan van n

het aanwezige totale dipoolmoment

L

Pi.

i=1

Natuurlijk neemt de grootte van dat dipool moment toe naarmate het aantal moleculen groter wordt; daarom beschouwt men het dipoolmoment per volume-eenheid van de gepolariseerde materie.

Men definieert:

als in het volume-element Ll't zich n moleculen bevinden met dipoolmomenten

Pi.

Ll't is Iclein, maar niet zo klein dat er niet vele moleculen in zitten. Men noemt de vector

P

wel de polarisatievector of gewoon de polarisatie.

2.4.

Continuüm-model

Als wij materie in detail willen bekijken, zullen we niet kunnen ontkomen aan beschouwing van het fundamenteel corpusculaire of discrete karakter daarvan. Als wij op microscopische schaal kijken nemen wij locaal separate positieve en negatieve ladingen waar. Als wij echter een klein volume A't nemen dat op macroscopische schaal klein is maar op atomaire schaal bekeken groot, kunnen wij over A't bijvoorbeeld ladingsdichtheden van positieve respectievelijk negatieve ladingen aangeven. Die ruimteladingen vertonen dan op macroscopische schaal een continu karakter. Men spreekt dan van een beschouwing van de materie volgens het continuüm-model. Men laat daarbij dan los, de lotgevallen van individuele moleculen maar kijkt naar een statistisch gemiddeld gedrag gemeten over grote aantallen.

Is een diëlektricum niet gepolariseerd, dan is in elk volume-element het resulterend dipoolmoment nul. In het continuüm-model betekent dit dat in elk volume-element de centra van de positieve en negatieve ruimteladingen samenvallen. Brengt men het diëlektricum in een uitwendig elektrisch veld dan zullen in elk volume-element de ladingscentra ten opzichte van elkaar worden verplaatst.

2.5.

Poissonladingen I

Ter verduidelijking van het voorgaande beschouwen wij eerst een neutraal rechthoekig blok meIH!e:DOlar

Het in deze paragraaf te geven betoog en dat in paragraaf 2.6 beperkt zich tot een rechthoekig blok materie uniform gepolariseerd in een richting loodrecht op twee zijvlakken. Alles wat hiervoor wordt afgeleid geldt strikt genomen alleen voor dit geval. Toch blijkt dat de begrippen en afgeleide formules ook gelden voor alle andere gevallen waarvoor het continuümmodel gebruikt wordt. Dus ook voor willekeurige en niet uniform gepolariseerde stukken materie. Voor het verkrijgen van een eerste inzicht

is deze paragraaf zeer geschikt. Voor een ingewikkelder, maar algemener bewijs wordt verwezen naar paragraaf2.7 en 2.8.

d

)

s

a

Figuur 2.4.

Simon Denis Poisson (Pithivier, 1787 -München, 1854). Trok al jong de

aan-dacht van Lagrange en De Laplace.

Mathematicus uit de school die na de Franse Revolutie illustere namen als

Legendre en Cauchy opleverde.

Poly-technicus en astronoom.

- -

p·t::: P·Sd

b

~e positieve ladingen denken wij ons uniform

verdeeld in de ruimte die in figuur 2.4a met I/tl is aangegeven. De negatieve ladingen denken wij ons ook uniform verdeeld en aangegeven met \ \\ \.

Een ruimte die in beide richtingen is gearceerd is neutraal.

Indien het blok gepolariseerd wordt, bijvoorbeeld door ~et aanbrengen van uitwendig elektrisch veld

Ev,

ontstaat door verschuiving van de ladingscentra t.o.v. elkaar, de situatie van figuur 2.4b. Er ontstaan aldus twee lagen elektrische lading met dezelfde ladingsdichtheid, maar met een tegengesteld teken.

De materi~ is aldus uniform gepolariseerd met polarisatie P.

Volgens de beschouwingen onder (2.7) is het totale dipoolmoment

(2.8)

Beschouwen wij het systeem als een elektrische dubbellaag met resp. +crp en -<Jp als oppervlakte ladingsdichtheid, dan is de grootte van de totale lading op een oppervlaIc S gelijk aan crpS. De oppervlakteladingen +crpS en -<JpS bevinden zich op een afsland d en vertegenwoordigen zo een dipoolmoment met een grootte:

(2.9)