Scenariusz lekcji: Rozwiązywanie układów równań metodą podstawiania (lekcja 1)
1. Cele lekcji
a. Wiadomości Uczeń:
1. zna metodę podstawiania przy rozwiązywaniu układów równań, 2. zna pojęcie układu równań,
3. wie, co to znaczy znaleźć rozwiązanie układu równań.
b. Umiejętności Uczeń:
1. umie wyznaczyć dowolną niewiadomą z równania, 2. umie rozwiązać układ równań metodą podstawiania.
2. Metoda i forma pracy
Pokaz, obserwacja, ćwiczenia.
3. Środki dydaktyczne
a. rzutnik multimedialny, b. laptop,
c. karty pracy,
d. prezentacja multimedialna,
e. kalkulator graficzny Casio z panelem projekcyjnym (do sprawdzania wyników).
4. Przebieg lekcji
a. Faza przygotowawcza
Rozwiązywanie układów równań jest bardzo przydatne do rozwiązywania wielu problemów matematycznych. Istnieje kilka metod rozwiązywania układów równań I stopnia z dwiema
niewiadomymi. Pierwsza, jaką poznamy, to metoda podstawiania. Jak sama nazwa wskazuje, będziemy w miejsce jednej niewiadomej podstawiali wielkości ją opisujące w drugim równaniu układu,
otrzymując tym samym jedno równanie z jedną niewiadomą.
b. Faza realizacyjna Przykład 1:
Rozwiąż podany układ równań metodą podstawiania:
1 2
5 y x
y x
Z pierwszego równania wyznaczamy niewiadomą x, do drugiego równania w miejsce x wstawiamy wyznaczoną wartość 5 – y:
1 )
5(
2 5
y y
y x
Pierwsze równanie przepisujemy, drugie rozwiązujemy (otrzymaliśmy równanie z jedną niewiadomą y):
1 2
10 5
y y
y x
9 3
5 y
y x
3 5 y
y x
Mając wyznaczoną wielkość y, możemy obliczyć wartość x:
3
3 5 y x
Odpowiedź:
3 2 y x
Sprawdzenie:
I równanie 2 + 3 = 5 5 = 5 L = P II równanie 2 * 2 – 3 = 1 1 = 1 L = P
Kalkulator graficzny posiada funkcję rozwiązywania układów równań z dwiema niewiadomymi, my na razie będziemy korzystali z tego urządzenia jedynie po to, by sprawdzić wynik.
W trybie EQUA wprowadzamy odpowiednio współczynniki obu uporządkowanych równań i otrzymujemy jedynie odpowiedź.
Ćwiczenia wykonywane przez uczniów na tablicy i w kartach pracy.
Zadanie 1.
Wyznacz niewiadomą x z każdego z podanych równań:
x y x
x y
y x
y x
3 ) ( 2
1 4 5 , 0
2 2 2
1
3 2
Odpowiedzi:
Przykład pierwszy:
2x + y = 3
2x = 3 – y /:2
Stąd:
y
x 2
1 23
Przykład drugi:
y x 2 2 2
1 /*2 x – 4 = 4y
Stąd:
x = 4y + 4 Przykład trzeci:
0,5y = 4x – 1
–4x = –1 - 0,5y /:(–4) Stąd:
y
x 8
1 41
Przykład czwarty:
2(x – y) = 3x 2x – 2y = 3x 2x – 3x = 2y
–x = 2y /:(–1)
Stąd:
x = –2y Zadanie 2.
Rozwiąż podane układy równań metodą podstawiania, sprawdź wyniki. Sprawdź również poprawność rachunków w kalkulatorze graficznym, jednak dopiero wówczas, gdy rozwiążesz układy samodzielnie
a)
3
5 2
x y
x
b)
1
2 x
y
x
c)
1
3 2 3
y y
x
d)
y x
y x 3
14
2
e)
53 5 2
37 4
y x
y x
Odpowiedzi:
a) (3, –1) b) (–1, –3) c) (1/3, 1) d) (2, 6) e) (9, 7) Rozwiązania:
a)
3
5 2
x y x
Do pierwszego równania wstawiamy wartość x = 3 i otrzymujemy jedno równanie z jedną niewiadomą y:
5 3
* 2 y
Stąd y = 5 – 6 y = –1
odp. x = 3, y = –1
b)
1
2 x
y x
Tym razem do pierwszego równania w miejsce x wstawiamy wartość –1 i otrzymujemy jedno równanie z jedną niewiadomą y:
–1 – y = 2 –y = 2 + 1 –y = 3 /: (–1) y = –3
odp. x = –1, y = –3
c)
1
3 2 3
y y x
Do pierwszego równania wstawiamy w miejsce y wartość 1 i otrzymujemy jedno równanie z jedną niewiadomą x:
3x + 2 * 1 = 3 3x = 3 – 2 3x = 1 /:3 x =3
1 odp. x =
3
1, y = 1
d)
y x
y x 3
14 2
Tym razem do pierwszego równania można wstawić w miejsce y wielkość 3x, otrzymamy:
x + 2 * 3x = 14 x + 6x = 14
7x = 14 /:7
x = 2
Obliczamy wartość niewiadomej y:
y = 3x y = 3 * 2 y = 6
odp. x = 2, y = 6
e)
53 5 2
37 4
y x
y x
W tym przypadku sami musimy wyznaczyć jedną z niewiadomych. Najwygodniej jest wyznaczyć niewiadomą x z pierwszego równania. Otrzymamy:
x = 37 – 4y
wielkość 37 – 4y wstawiamy do drugiego równania układu zamiast x, stąd mamy:
2(37 – 4y) + 5y = 53 74 – 8y + 5y = 53 –3y = 53 – 74 –3y=-21 /:(–3) y = 7
Obliczamy wartość niewiadomej x:
x = 37 – 4 * 7 x = 37 – 28 x = 9
odp. x = 9, y = 7
c. Faza podsumowująca
Zebranie i podsumowanie wiadomości dotyczących jednego ze sposobów rozwiązywania układów równań jakim jest metoda podstawiania.
5. Bibliografia
a. Matematyka z plusem dla klasy II gimnazjum – podręcznik wyd. GWO
6. Załączniki
a. Karta pracy ucznia
b. Zadanie domowe
Zadanie 1, 2 str. 97 podręcznik do matematyki klasa II wyd. GWO
