ZESZYTY N A U K O W E POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 1993
Seria: M E C H A N I K A z. 113 Nr kol. 1198
Franci sz ek PLEWA, Ka zi mierz WANAT Katedra E ks p loatacji Złóż Poli t ec hn ik a Ś l ąs k a
M OD EL MA T EM ATYCZNY PRZEPŁYWU WIELOFAZOWEGO (WODA-GAZ-CIALA STALE)
S t r e s z c z e n i e . Przedstawiono zasadę modelowania przepływu wody, p o w i e tr za i ciał stałych występującego w rurociągach pionowych instalacji do transportu urobku z poziomu niższego na wyższy. Pracę k o ń c z ą przykładowe wyniki obliczeń otrzymane za pomocą EMC.
M AT HE MA TI C AL MODEL O F MULTIPHASE FLOW (WATER - GAS - SOLID BODIES)
Summary. A principle for modelling water, air and solidsflow in v ertical pipeline of an installation for the transport of the output f ro m a lower to a higher level. Some examples of computations done w i t h the he lp of EMC are given.
M A T E M A T H H E C K A H MOJlEJlb M H O r O G A S H O r O ( B 0 H A - r A 3 - T B E P f l b l E HACTHllbl) T E H E H H H .
_ P e3joMe. Ilp e n c T a B J ie H npH Hunn M onennpoBaHHH TeneHHH bojim, B0 3f ly x a u T B ep cb ix T e n MMewmero MecTO b T p y ó o n p o B o n a x B e p T H K ajI b HbIX yCTaHOBOK flJIH TpaHCnOpTMpOBKM flOÓblHJt c HiDKHero r o p H3 0HTa Ha C epxH H ii. Ila fio T y 3aBepmaioT npim epH bie p e3y n b T a T b i p a c n e T O B n ojiyn eH H bie Ha 3BM.
1. W S TĘ P
C/
W instalacjach hydrauliczno-pneumatycznego transportu, służących do podnoszenia kopa li n stałych z poziomu niższego na wyższy, występuje proces zasysania i transportu ciał stałych w strumieniu mieszaniny wodno-powietrznej. Występ uj ą cy tu*proces jest bardzo skomplikowany i trudny
za k ła da ją c ym i mieszaninę jednorodną [3] lub zwiększanie się objętości j ed no r o d n y c h pęch er zy kó w powietrza bez uwzględnienia ich rozpadu na mniejsze [5]. Z a ł o ż e n i a te oraz przyjmowana jednokierunkowość ruchu cząstek opisują p roces u p r o s z c z o n y i nie odpowiadający tym zjawiskom, które obserwuje się w p r a c u j ą c y c h instalacjach.
D lat e go też na podstawie dotychczasowych badań i analiz zaproponowano całkow ic ie odmi e nn y sposób opisu i analizy obserwowanych zjawisk w p r z e p ł y w a c h wielofazowych.
2. M O D E L O W A N I E P RZ EPŁYWU WIELOFAZOWEGO (WODA-GAZ-CIALA STALE)
2.1. Z a ł o ż e n i a do m odelu teoretycznego [1,2.4]
R u c h mi es za n i n y wodno-gazowej oraz ruch takiej mieszaniny z udziałem ciała sta łe go p r zedstawia się w postaci sumy niezależnych ruchów środ kó w mas p ę c h e r z y gazu, cząstek reprezentujących wodę oraz cząstek ciał stałych.
U wz gl ę d n i a się także ruchy kolektywne składające się z układów tych cząstek, a b ę d ą c y c h e f e kt em wzajemnego łączenia (zlepiania) się p os z czególnych faz układu.
W o d n ie s ie ni u do niezależnych ruchów cząstek poszczególnych faz przyjmuje się, że cząstki te poruszają się w polu siły ciężkości i siły wyporu w yn ik a ją ce j z usytuowania cząstki w ośrodku zastępczym o gęstości:
M + M + M
p = _ i " L _ (!)
v
gdzie:
p - gęstość ośrodka zastępczego, m
M - masa ciał stałych, M - ma s a wody,
w
V - objętość instalacji,
oraz siły oporu działającej przeciwnie do różnicy prędkości cząstki d i prędkości ośrodka w.
O zn ac za j ąc przez
m - masa cząstki,
g - przyspieszenie ziemskie, r - promień cząstki,
Model m a t e m a t y c z n y przepływu 333
(2)
(3)
(4 ) b = - 6 n v p —
m m
(5)
W p r z e d st a wi on ym modelu przyjęto założenie, że ruchy p o zi om e są jednostajne. U wz gl ęd n ia się odbicia cząstek o ścianki rurociągu oraz tarcie, zakładając, że jeśli cząstka weszła w obszar przyścienny, to jej p i o no w a składowa pr ęd kości ulega określonemu zmniejszeniu (współczynnik „k").
P i o n o w ą skła d ow ą prędkości cząstki po czasie At otrzymuje się rozw ią zu ją c równanie r óż niczkowe (2) z uwzględnieniem warunku początkowego
Przy m a ł y c h warto ś ci ac h x można odrzucić wyraz kwadratowy tego równania.
K o l e k t y w n e ruchy cząstek są bardzo trudne do uwzględnienia. Pr z yjmuje się, że w w y n i k u działania sił wewnętrznych cząstki znajdujące się we wnętrzu kuli o p ewnym promieniu r (parametr modelu) ulegają zlepieniu i w
9
przedziale c za su At poruszają się jako całość, a następnie rozpadają się na poszczególne składowe. Proces powstawania takiego k on gl omeratu (supercz ąs tk i ) podlega prawom zderzenia idealnie niesprężystego. Pęd takiej cząstki P jest równy sumie pędów jej składników przed zderzeniem
(6) 2
ax + bx + c
Postać funkcji x(t) zależy od znaku wyróżnika A = b2- 4ac
(7) k - liczba cząstek zawartych w obszarze kulistym o promieniu r
Wektor prędkości i energię kinetyczną wyznacza się z zależności:
(9)
E = 0. 5 M v 2 Energia wi ązania konglomeratu (supercząstki):
E = 0.Sm v 2- E ł 0
(10)
(11)
i i
po czasie At staje się jej energ ią rozpadu.
Na r oz p atrywaną supercząstkę działają:
- siła ciężkości zaczepiona w jej ś ro dk u masy
( 1 2 )
1 = 1 - siła wypor u zaczepiona w ś ro d ku wyporu
k (13)
gdzie Q - objętość i-tej super cząstki
P od d ziałaniem tego układu sił supercząstka zachowuje się jak ciało sztywne w irujące z prędk oś ci ą kąto w ą £1 i przemieszczające się z prędkością środ ka masy O.
Po czasie At oblicza się nowe położenia i prędkości cząstek składowych super cząstki i dokonuje się jej rozpadu.
W układzie ś rodka ma sy cząstki wylatującej oraz pozostałości po supercząstce M = M - m pęd u kł ad u musi być zerem.
m Ó = M f l ( 1 4
i i
Natomiast suma energii kinetycznych
musi być równa energii wiązania. W z o ry te u m ożliwiają obliczanie modułów prędkości 0 = |# | oraz & = |d|, natomiast ich zwrot jest dowolny.
W istocie o kierunku prędkości wylatującej cząstki nie można niczego powiedzieć z uwagi na zupełną nieznajomość lokalnych sił powodujących jej rozpad. Z tego względu wektor prędkości określa się losując przypadkowy kier u ne k w przestrzeni. Proces rozpadu supercząstki ko nt ynuowany jest do
(15)
Model m a t e ma ty cz n y przepływu 335
m o me nt u ro zb i ci a jej na wszystkie składniki.
O p i s an e rodzaje ruchów zmieniają wewnętrzną strukturę układu, ale nie u w z g l ę d n i a j ą działania zewnętrznej siły hydrostatycznej wywołanej obecnością z ewn ę tr zn eg o płaszcza wody. Jej oddziaływanie może być uwzględnione poprzez d o d a t k o w y kolek ty wn y ruch ośrodka.
R o zw aż a się ruch ośrodka o gęstości p poruszającego się z prędkością wewn ą tr z ru r y o polu przekroju A, zanurzonej w cieczy nieskończonej o gęstości p. Dla rozpatrywanego przypadku słuszna jest zasada zachowania e nergii w postaci:
, ^ 1 2 (16)
p g h = p gh + T p v
l m c. rn m
Jeżeli sł up cieczy o wysokości h wychyli się z p oł o żenia równowagi na odległość „x", wówczas zadziała na ni ą siła harmoniczna
F = -Sr gx (17)
dążą ca do przywrócenia równowagi układu.
P onieważ ruchy cząstek umożliwiają wyznaczenie pozi om u h mieszaniny, natomiast ze wz or u (16) można wyznaczać położenie równowagowe h, więc wzór
(17) poztfala na skorygowanie prędkości i położenia cząstek.
2.2. R o z p a d y cząstek
C ząstki gaz u i cieczy mogą się rozpadać i łączyć (zlepiać). Zdarzenia rozpadu bądź syntezy cząstek poszczególnych faz są niezależne od siebie.
Zakł ad a się, że prawdopodobieństwo p^ wystąpienia n takich zdarzeń w p rzedz ia l e czasu At opisuje rozkład Poissona:
, ... (Ańt)n , .... (18)
p (n, At) = .----— exp(-AAt)
r n !
natomiast p arametr rozkładu A jest jednym z parametrów mode lu i wynosi:
A - T
T - średni czas rozpadu.
Jeśli u k ł a d liczy (zawiera) N cząstek, to:
p ochłaniającymi inne. Jeżeli rozpatruje się proces rozpadu, wówczas w yl os o wa ną cząstkę dzieli się na dwie, nadając im masy o przypadkowych wartościach, ale takich, że ich suma jest równa masie cząstki wyjściowej.
Prędkości cząstek ustala się w taki sposób, jak przy opisanym rozpadzie supercząstki, przyjmując, że energia wiązania cząstki ma pr zypadkową wartość nie w i ę k s z ą od jej energii kinetycznej. Syntezie po dl egają zaś te cząstki, które poło żo n e są najbliżej cząstki o w y losowanym numerze do syntezy. Proces ten rozpatruje się jako zderzenia niesprężyste.
(19) 2.3. Sy mu l ac ja pr ac y instalacji
W stanie wyjści ow ym instalacja jest napełniona wo d ą do poziomu h , co reprezentuje N cząstek wod y o identycznych masach i objętościach równomiernie rozłożonych w przestrzeni. Powietrze jest dostarczane do instalacji poprzez dysze znajdujące się na poziomie h . Jeśli liczba dysz
d
wynosi L , natomiast średnia objętość pęcherza gazu wynosi V , gęstość p ,
d 9 9
to w czasie ńt jest dostarczana do układu następująca masa gazu:
M = Q G At
9 9 9
N V p = M (20)
9 9 9 9
N
Na każdą dyszę przypada więc średnio pęcherzyków powietrza.
d
Mi n imalna prędkość wlotu pęcherzy musi być równa promieniowi kuli o objętości N /L V podzielonemu przez czas ńt. Kierunek tej prędkości określa
9 d g
kąt wl ot u powietrza. W praktyce prędkość wlotu powietrza zależy od ciśnienia zasilania konstrukcji i ukierunkowania dysz. Objętości wtryskiwanych pę cherzy losowane są zgodnie z rozkładem Gaussa o wariancji 5 i średniej V . 9 Zasysanie no wych porcji wody następuje wówczas, gdy estymowana wysokość słupa miesz an in y h jest taka, że objętość hnR 2 zajmowana przez mieszaninę
jest więk sz a od sumy objętości w szystkich cząstek. Woda jest zasysyana porcjami o minimalnej objętości V w ilości koniecznej do uzyskania
m h
wymaganej zgodności geometrycznej. Jeśli w przepływie uczestniczą cząstki stałe, wówc za s porwanie ich następuje z prawdopodobieństwem p (parametr
M odel m a t e ma ty c zn y przepływu
337
modelu) p r z y czym zawsze zasysana jest pewna wielokrotność k (parametr modelu) objętości słupa wody znajdującego się między cząstką ciała stałego a d n e m instalacji. Ciała stałe zasysane są z obszaru znajdującego się opd d n e m instalacji na głębokości h i widzianego pod kątem <p, (parametr modelu) p r z y spełnieniu warunku, że prędkość cieczy w tym miejscu jest w i ę k sz a od prędkości un os zenia cząstek. Każdy z aktów pochłonięcia cząstki, powoduje z mn ie jszenie prędkości mieszaniny, gdyż jest to efekt niespr ę ży st eg o zderzenia pochłanianej cząstki z ruchomą mieszaniną. Początkowe prędkości za s ys an yc h cząstek stają się równe średniej prędkości mieszaniny, p r z y czym w sp ół r zę dn a pionowa ma wartość zero, a współrzędne poziome są liczbami p rzypadkowymi o takich wartościach, by cząstki te mieściły się w e wnątrz instalacji.
W ogólności na początku odcinka czasu At jest N cząstek wody, N cząstek
w g
g a z u i N cząstek stałych o znanych masach, prędkościach i objętościach.
S
P rz yj mu j e się, że w czasie At powstanie K supercząstek, nastąpi wtry s k N /L g d p ę c h er zy ga z u w każdej z dysz oraz, że każdy wtrysk powietrza prowadzi do p ow st an i a supercząstki. Dopóki liczba aktów wtrysku jest mn iejsza od K p rz yj mu j e się, że w centrum supercząstki umieszczony jest pęcherz w try ś ni ęt eg o powie.trza. Później centrum to losuje się wewnątrz objętości zajmowanej przez mieszaninę. Następnie badane są ruchy supercząstek poprzez określ an ie n o wych współrzędnych i składowych prędkości po czasie At.
P ar ametry symulacji cząstek:
Prom ie ń [m]
W s pó łc zy n ni k tarcia [-]
Ilość powsta ły ch cząstek w czasie At K ro k czasowy
W ar iancja objętości gazu
O bszar p rz yścienny [m]
S po wolnienie (-)
Czas rozpadu wo dy [s]
Czas rozpadu gazu [s]
Czas syntezy wo dy [s )
Czas syntezy gazu (s)
Tarcie woda - ośrodek [-]
Tarcie cząstki stałe - ośrodek (-)
4. PODSUMOWANIE.
Z a p r o p o n o w a n y model matematyczny przepływu gazu, w o d y i czą s te k stałych w r ur oc i ą g a c h pi o nowych daje rezultaty zgodne z wynikami doświadczeń. Istotna jest również zgodność uzyskiwanych charakterów p r z e b i eg u z wynikami obse rw o wa ny mi i rejestrowanymi na instalacji laboratoryjnej.
LI T ER A T U R A
[1] K a m p e n N . G . van:Procesy stochastyczne w fizyce i chemii. PWN, Warszawa 1990.
[2] P at te r D . : Metody obliczeniowe fizyki. PWN, Wars z aw a 1977.
[3] P l ew a F . : Model matematyczny przepływu mi es z an in dw u fa z o w y c h (woda, ciała stałe) w rurociągach pionowych pr zy koncentracji Ct s 10%.
M a t e r i a ł y na XXII Sympozium PTMTS, W i sł a 1983.
[4] P l ew a F . , Wanat K . : Moddeirowanije p ro tekanija gazowodianoj smiesi w w i e r t i k a l n y c h truboprowodach i jego rieszenlje s po m os z c z j u ewm.
H y d r om ec h an is at i on VII, Warna 1991.
[5] P l e w a F . : Optymalizacja parametrów p rz e pływu trójfazowego w instalacjach hydro-pneumo-transportu. Pol. Śl. , Gliwice 1981 (praca doktorska).
Recenzent: Prof. Ad am Klich
W pł yn ę ł o do Redakcji dnia 4. 10. 1992
Abstract
A ver y complexand turbulent process of a flow of air bubbles, water and solid bodie s occurs in installation for hydraulic and pneumatic t ra ns po r ta ti on of grained material from a lower to a hi gher level. So far anal o gu e attempts at describing this phenome no n have not b e e n succesful since they could not take into account such factors like different d i r e c t i o n s of movements, huge diversity of air bub bl e s and their
Model m a t e m a t y c z n y przepływu 339
d ec om p o s i t i o n into smaller ones.
The p r o p o se d mathematical model makes it possible to take into account all those pa ra m et er s and the worked out computing programme is capable of determining:
- v ol um e i nt ensity of air, water and solids velocities in a cr os s -s ec ti o n of a pipeline,
- d i s t r i b u t i o n of air, water and solids velocities in a c r o s s- se c ti on of a pipeline,
d i s t ri bu ti o n of air, water and solids velocities in a horizontal secti on of a pipeline,
- di s tr i b u t i o n of air bubbles in the flowing hydromixture.
