Model matematyczny ciała sztywnego

(1)

Jan Królikowski Fizyka IBC 1

VII.1 Pojęcia podstawowe.

(2)

Model matematyczny ciała sztywnego

Zbiór punktów materialnych takich, że

Ciało sztywne nie ulega

odkształceniom w wyniku działania sił.

Swobodne ciało sztywne ma 6 stopni swobody:

•3 translacyjne, opisujące ruch

wybranego punktu P np. jego środka masy,

•3 rotacyjne, np. kąty Eulera,

opisujące ustawienie ciała względem tego punktu

; , 1,...

− = =

G G

i j

r r const i j N

x z

0 U ^y

G ri

G r

j

P

(3)

Swobodne ciało sztywne ulega przesunięciu w kierunku

działania siły zewnętrznej F gdy ten kierunek przechodzi przez środek masy ciała P_S.

W tej konfiguracji znika moment siły.

Gdy dowolny punkt ciała P jest unieruchomiony ciało dokonuje obrotu dookoła niego.

Obrót następuje wskutek działania momentu siły względem P:

P

_S

P

F G

G P

r

G = × G G

M r F

(4)

cd.

Na ciało sztywne może działać wiele sił. Wypadkowa siła i wypadkowy moment względem pewnego punktu O dane są jako:

Jeżeli wypadkowa siła i wypadkowy moment dwóch zestawów sił są takie same mówimy o równoważnych układach sił.

Układy równoważne mają jednakowe momenty względem dowolnego punktu.

=

= = ×

∑

∑ ∑

G G

G G G G

i

O O

i i i

F F

M M r F

(5)

Układ sił działających na ciało sztywne możemy zawsze zastąpić przez układ sił równoważnych. Ruch ciała się nie zmieni.

W ogólnym przypadku ruch bryły sztywnej składa się z ruchu postępowego i obrotu.

(6)

Twierdzenie o redukcji układu sił

Dowolny układ sił działających na bryłę sztywną można zastąpić siłą wypadkową, równą sumie działających sił i zaczepioną na linii działania tej siły i jedną parą sił o momencie równym

momentom sił działających względem punktu zaczepienia siły wypadkowej.

Dowód:

1. Wypadkowa pary sił znika; para sił nie wnosi więc wkładu do ruchu postępowego.

2. Siła wypadkowa ma znikający moment względem swego punktu zaczepienia. Stąd moment całkowity jest równy momentowi pary sił. Tylko para sił zmienia moment pędu bryły.

(7)

VII.2 Obroty bryły sztywnej dookoła ustalonej osi

(8)

Wielkości charakteryzujące obrót bryły sztywnej dookoła ustalonej osi

Masa

Moment bezwładności względem ustalonej osi:

Energia kinetyczna ruchu obrotowego względem ustalonej osi:

Moment pędu bryły sztywnej:

( )

3

= ∫∫∫ = ∫∫∫ ρ ^G

V V

m dm r d r

( )

²

2

⊥ 3

= ∫∫∫ = ∫∫∫ ρ ^G

V

I r dm r r d r

2 ,

1 = 2 ω

k obr

E I

r G

ω G

G = ω G L I

⊥

r G

O G

F

(9)

W tym szczególnym przypadku wektory M, L i ω skierowane są wzdłuż jednej prostej‐ osi obrotu:

Równanie ruchu postępowego:

= × = = ω = ω = ε G G G G G

d d

M r F L I I I

dt dt

2

= =

2

G G d r G F ma m

dt

(10)

Momenty bezwładności

(11)

(12)

cd.

(13)

momenty bezwładności względem dwóch równoległych osi odległych o d. Niech O będzie środkiem masy.

x y

O y’

P d

r G G ′

r

( )

²

2

ʹ 2

= = + =

= + ⋅ + =

= +

∫∫∫ ∫∫∫

P

O

o

I dmx dm x d

I d dm x d dm

I md

(14)

VII.3 Równania ruchu bryły sztywnej. Tensor

bezwładności

(15)

Środek masy bryły sztywnej:

Całkowity pęd bryły sztywnej:

bo

x z

0 U ^y

G ri

G r

j

G ŚM

( )

₃

R

ρ

=

∫∫∫

^G =

∫∫∫

^{G G}

G V V

rdm r r d r

R m m

= ∫∫∫ = =

G G G G

P rdm mR mV

( ) ( )

( ) ( ) ( )

;

0

= − + = − + =

= ω× − + = ω× − +

ω× − =

∫∫∫

G G G G

G G

G G G

r r R R r d r R R dt

r R R r R V

r R dm

(16)

cd.

Ruch postępowy:

Ruch obrotowy: oś obrotu przechodzi przez wybrany punkt w układzie inercjalnym, np. przez O. Prędkość liniowa dowolnego punktu bryły jest dana wzorem: . Obliczamy całkowity moment pędu:

=

G G

d P F d t

G = ω×G G

v r

( ) ( ) ( ( ) )

( )

( ) ( )

2

= = × ω× =

= ω − ⋅ω

= ω

∫∫∫ ∫∫∫

G G G G

G G

G

^V

G

^V

L t L r dm r r dm

r dm r rdm

L I t t

=

G G

d L M

d t

(17)

W ogólnym przypadku moment pędu bryły sztywnej nie jest równoległy do wektora prędkości kątowej:

Składowe tensora bezwładności obliczone w pewnym układzie odniesienia:

ˆ ;

= ω = ω

G G

k kj j

L I L I

( )

( ) ( )

( )

2

2 2 2 2

11 22

2 2

33

12 13 23

; ;

⎡ ⎤

= ⎢ δ − ⎥ ω

⎣ ⎦

= δ −

= + = +

= +

= − = − = −

∫∫∫

∫∫∫ ∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

j j

k kj k

V

j

kj kj k

V

V V

V

V V V

L dm r r r

I dm r r r

I dm y z I dm x z

I dm x y

I dm xy I dm xz I dm yz

(18)

cd.

Tensor bezwładności jest tensorem symetrycznym:

Ma 6 niezależnych składowych:

kj

=

jk

I I

( )

2 2

⎡ ⎤

+ − −

⎢ ⎥

= ⎢ − + − ⎥

⎢ ⎥

⎢ − − + ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

V V V

dm y z dmxy dmxz

I dmxy dm x z dmyz

dmxz dmyz dm x y

Momenty dewiacyjne

(19)

Tensor bezwładności zawsze można zdiagonalizować tj. tak

obrócić układ współrzędnych, żeby momenty dewiacyjne znikły i zostały tylko momenty główne. Mówimy, że sprowadzamy

tensor bezwładności na osie główne

Tensor bezwładności obliczany w układzie inercjalnym jest na ogół zależny od czasu m.in. dlatego, że bryła się obraca w UI.

W układzie związanym z bryłą np. w jej układzie środka masy tensor bezwładności jest niezależny od czasu ale układ związany z bryłą jest na ogół układem nieinercjalnym.

(20)

Zdiagonalizowany tensor bezwładności

Tensor w postaci diagonalnej:

Wielkości I_x, I_y, I_Ż nazywamy głównymi momentami

bezwładności, a odpowiednie osie układu współrzędnych‐

osiami głównymi.

Dla ciał o symetrii sferycznej wszystkie główne m.b. są sobie równe.

Dla ciał o symetrii obrotowej dwa z głównych m.b. są sobie równe.

0 0

⎛ ⎞

⎜ ⎟

= ⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

x

y

z

I

I I

I

(21)

Obliczmy i zdiagonalizujmy tensor m.b w układzie środka masy bryły. W tym układzie zbudujmy elipsoidę o półosiach:

Sposób znajdowania kierunku wektora L gdy dany jest

kierunek wektora ω jest przedstawiony na rysunku.

1

= 1 ;

2

= 1 ;

3

= 1

x Y Z

a a a

I I I

x y

O a

₁

a

₂

ω G

L G

Pł. styczna

Model matematyczny ciała sztywnego

VII.1 Pojęcia podstawowe.