Michał Kolupa, Joanna Plebaniak
Koincydentność modelu
ekonometrycznego a jego jakość
mierzona wartością współczynnika
R²(K)
Studia i Prace Wydziału Nauk Ekonomicznych i Zarządzania 31/1, 195-201
Michał Kolupa
Politechnika Radomska w Radomiu Joanna Plebaniak
Szkoła Główna Handlowa w Warszawie
KOINCYDENTNOŚĆ MODELU EKONOMETRYCZNEGO
A JEGO JAKOŚĆ MIERZONA WARTOŚCIĄ WSPÓŁCZYNNIKA R
2(K)
Streszczenie
W artykule pokazano, że jakość koincydentnego modelu ekonometrycznego określonego przez regularną parę korelacyjną (R(k), R0(k)), mierzona wartością współczynnika r2(k), gdzie: r2(k) = ( ) ( ) ( ) 0 1 T 0 k R k R k R − spełnia warunek: r2(k) ≥ Sr 1, gdzie S = a1 + a2 + …+ ak.
Zarówno r2(k) jak i S obliczamy, stosując macierz brzegową Q postaci: Q= ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − 0 0 ) ( ) ( ) ( T 0 0 1 R R R k k k ,
gdzie 1 – wektor wierszowy k-wymiarowy, którego każda składowa jest równa jedności.
Po wykonaniu (na macierzy Q) przekształceń elementarnych typu α i β dostajemy: Q~ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ S ) ( r ) ( ) ( 2 * 0 * 0 0 R R k k k , stąd odczytujemy wielkości r2(k) oraz S.
METODY ILOŚCIOWE W EKONOMII 196
Rozpatrujemy model ekonometryczny określony przez regularną parę ko-relacyjną (R(k), R0(k)), gdzie R(k) = [rij] jest macierzą korelacji stopnia k,
na-tomiast wektor R0(k) = [ri] stanowi wektor korelacji. Jest to k-wymiarowy
wek-tor kolumnowy o składowych ri,. i = 1, 2, …, k, będących współczynnikami
korelacji między zmienną endogeniczną Y a poszczególnymi zmiennymi objaś-niającymi Zi, to znaczy, że ri = r(Y, Zi), i = 1, 2, …, k. Z kolei elementami rij
macierzy R(k) są współczynniki korelacji między parami zmiennych objaśnia-jących Zi oraz Zj, czyli rij = r(Zi, Zj), ), i = j = 1, 2, …, k. Przypominamy, że para
korelacyjna (R(k), R0(k)) jest regularną parą korelacyjną, to znaczy, że jest
spełniona zależność [1]:
0 < r1 ≤ r2 ≤ … ≤ rk < 1 (1)
natomiast parze korelacyjnej (R(k), R0(k)) odpowiada model:
Y = α1Z1 + α2Z2 + … + αkZk + e (2)
Mówimy, że zmienna Zi modelu (2) jest zmienną koincydentną, jeżeli:
= i r sign signai (3) gdzie: ai – oszacowanie parametru αi, (i = 1, 2, …, k) modelu (2) uzyskane MNK.
Zatem składowe ai tworzą wektor A(k), który jest rozwiązaniem układu równań:
R(k)A(k) = R0(k) (4)
Ponieważ para korelacyjna (R(k), R0(k)) jest z założenia regularną parę
korela-cyjną, więc równość (3) przechodzi w równość: 1 + = i a sign (5)
Chcąc rozstrzygnąć, czy dana zmienna objaśniająca modelu (2) jest zmienną koincydentną, korzystamy z następującego twierdzenia [2]:
Twierdzenie (Kolupa 1986)
Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby zmienna objaśniająca
Zi (1≤i≤k) była koincydentna, jest spełnienie warunku: i
ii i i
gdzie:
ri = r(Y, Zi), i
ρ
– i-ty wiersz macierzy R(k) bez i-tego elementu.i
0
R powstaje z wektora R0(k) przez odrzucenie i-tej jego składowej, a macierz
ii
R powstaje z macierzy R(k) przez odrzucenie i-tego wiersza i również i-tej kolumny. Przypominamy, że istnieje macierz odwrotna do macierzy R , po-ii nieważ macierz korelacji jest macierzą dodatnio określoną. Chcąc zatem zbadać koincydentność zmiennej Zi, korzystamy z macierzy brzegowej Ui o postaci:
Ui = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ i i i ii r ρ R R 0 (7) na której wierszach wykonujemy elementarne przekształcenia typu α (macierz
ii
R przechodzi w górną macierz trójkątną (zera poniżej głównej przekątnej) z jedynkami na głównej przekątnej) oraz przekształcenia typu β (wektor
ρ
iprzechodzi w wektor zerowy). Po wykonaniu tych przekształceń macierz Ui
przechodzi w macierz * i U o postaci: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = i i ii i d 0 R R U * 0 * * (8) gdzie: di = ri−ρiRii−1R0i (9)
Jeżeli di > 0 (di < 0), to zmienna Zi jest koincydentna (nie jest koincydentna).
Przypomnijmy, że jakość pary korelacyjnej (R(k), R0(k)) mierzymy
war-tością współczynnika r2(k) o postaci:
k kr a r a r a k k k k)= ( ) − ( ) ( )= + +...+ ( r2 RT0 R 1 R0 11 2 2 (10)
Współczynnik ten możemy obliczyć, wykorzystując macierz brzegową V o po-staci: V = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ( ) 0 ) ( ) ( T 0 0 k k k R R R (11)
METODY ILOŚCIOWE W EKONOMII 198
Wykonujemy na niej przekształcenia elementarne typu α oraz β. Po ich wyko-naniu macierz V przechodzi w macierz V* o postaci:
V*= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ) ( r ) ( ) ( 2 * 0 * k k k 0 R R (12) z której bezpośrednio odczytujemy wartość r2(k).
Z uwagi na zależności (1) i (5) współczynnik r2(k) dany wzorem (10)
speł-nia nierówność [3]: 1 2 1 ... ) ( ) ( r2 k ≥ a +a + +ak r (13)
Dla wygody w dalszych rozważaniach oznaczono:
S a a
a1+ 2+...+ k = (14)
Wówczas nierówność (13) zapisujemy w równoważnej postaci:
1
) ( r2 k ≥Sr
(15) Pokażemy, w jaki sposób można jednocześnie obliczyć r2(k) i S. W tym celu skorzystamy z macierzy brzegowej Q o postaci:
Q= ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − 0 0 ) ( ) ( ) ( T 0 0 1 R R R k k k (16)
gdzie 1 – wektor wierszowy k-wymiarowy, którego każda składowa jest równa jedności.
Na macierzy Q danej wzorem (16) wykonujemy przekształcenia elementarne typu α i β. Po ich wykonaniu otrzymujemy:
Q~ Q* = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ S k r k k 0 0 R R ) ( ) ( ) ( 2 * 0 * (17)
Przykład.
Dana jest regularna para korelacyjna (R(2), R0(2)), gdzie:
R(2) = , 1 2 , 0 2 , 0 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ R0(2) = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 4 , 0 3 , 0 (18) Sprawdzamy, czy jest to para koincydentna. Innymi słowy, czy model o postaci:
Y = α1Z1 + α2Z2 + e (19) jest koincydentny. U1 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 3 , 0 2 , 0 4 , 0 1 1 1 01 11 r ρ R R (20) oraz: U2 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 4 , 0 2 , 0 3 , 0 1 2 2 02 22 r ρ R R (21) Na macierzach brzegowych U1 oraz U2 wykonujemy przekształcenia
elemen-tarne typu α i β. Mamy zatem:
U1 ~ , 22 , 0 0 4 , 0 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡
0,22 > 0, więc zmienna Z1 jest koincydentna. Analogicznie:
U2 ~ , 34 , 0 0 3 , 0 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡
0,34 > 0, więc zmienna Z2 jest koincydentna. Wobec tego para korelacyjna dana
wzorem (18) jest koincydntna i regularna. W dalszym ciągu korzystamy z ma-cierzy brzegowej Q danej wzorem (16):
Q = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − 0 1 1 0 4 , 0 3 , 0 4 , 0 1 2 , 0 3 , 0 2 , 0 1 (22)
METODY ILOŚCIOWE W EKONOMII 200
Na tej macierzy wykonujemy przekształcenia elementarne typu α i β. Mamy wówczas: Q ~ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − 12 7 0 0 480 101 0 0 48 17 1 0 3 , 0 2 , 0 1 ~ 3 , 0 8 , 0 0 09 , 0 34 , 0 0 34 , 0 96 , 0 0 3 , 0 2 , 0 1 (23)
Z macierzy danej wzorem (22) odczytujemy: ) (k r2 = 480 101 ; S = 12 7 (24) Ponieważ r1 = 0,3, więc Sr1 = 40 7
. Jest zatem spełniona nierówność (15) ( 480 101 > 40 7 ).
Istota przedłożonej propozycji polega na tym, aby móc od dołu oszacować wartość współczynnika r2(k) mierzącego jakość danej regularnej i koincy-dentnej pary korelacyjnej. Oszacowanie to powinno być łatwe do wyznaczenia pod względem rachunkowym. Chodzi tu o podanie wielkości Sr1, która zgodnie
z nierównością (15) jest oszacowaniem od dołu współczynnika r2(k).
Zauważmy, że wyznaczenie sumy S danej wzorem (15) jest możliwe wy-łącznie za pomocą macierzy brzegowej, ponieważ wykorzystanie układu (4) jest niecelowe. Posługujemy się macierzą brzegową o postaci:
F = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 0 ) ( ) ( 0 1 R R k k (25)
Jak zawsze na macierzy tej wykonujemy przekształcenia elementarne typu α i β. Po ich wykonaniu z macierzy F* o postaci:
F*= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ S k k 0 R R ( ) *( ) 0 * (26) odczytujemy wartość S.
Literatura
1. Hellwig Z., Przechodniość relacji skorelowania zmiennych losowych i płynące stąd
wnioski ekonometryczne, „Przegląd Statystyczny” 1976, nr 2.
2. Kolupa M., O kryterium służącym do badania koincydentności danej zmiennej
objaśniającej, „Przegląd Statystyczny”1986, nr 4.
3. Kolupa M., Marcinkowska-Lewandowska W., Radzio A., Koincydencja modeli
ekonometrycznych – teoria i zastosowania, Instytut Cybernetyki i Zarządzania,
SGPiS Warszawa 1991.
COINCIDENCE OF THE ECONOMETRICS MODEL AND ITS QUALITY MEASURED BY THE VALUE OF COEFFICIENT R2(K)
Summary
In the paper it was proved that the quality of the coincidence model defined by a regular correlation pair (R(k), R0(k)) measured by the value of coefficient r2(k) where:
r2(k) = ( ) ( ) ( ) 0 1 T 0 k R k R k R −
is the solution to the equation:
r2(k) ≥ Sr 1, where S = a1 + a2 + …+ ak.
Value r2(k) and S can be derived from a bordered matrix Q of: Q= ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − 0 0 ) ( ) ( ) ( T 0 0 1 R R R k k k ,
where 1– row vector of order 1xk, whose every coefficient is one.
When elementary operations type α and β are performed (on the matrix Q), we arrive at: Q~ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ S ) ( r ) ( ) ( 2 * 0 * 0 0 R R k k k , thus the value of r2(k) and S can be read.
Keywords: correlation matrix, coincidence, the quality of models.
