Evaluatie van een aantal glijvlakberekeningsmethoden

laboratorium voor grondmechanica

delft

tul+:

S . 7 r . o q

Y

EVALUATIE VAN EEN AANTAL GLXJVLAKBEREIü3NWGSMETHODEN

Rapport SE-690099

januari 1977

Werkmmheden ten behoeve van opdrachtgevers worden slechts uitgevoerd op voorwaarde dat de opdrachtgever atstend doet van ieder recht op aenaprakelljkatellIng en zich verplicht tot vrljwarlng voor Iedere aansprakelijkheid jegens derden.

. . . . . . . .~ . - . . ._

_ _

. . . . . . .. . . -_. - I ..

.,

'. , I . - - .. - . . ' . . I . .

- 1 -

O. I n l e i d i n g

I n h e t navolgende z a l een a a n t a l van de meer bekende, en gebruikte glijvlakberekeningsmethoden worden beschreven e n vergeleken. Deze methoden z i j n d i e van:

F e l l e n i u s

Bureau of Reclamation

Bishop (vereenvoudigde methode) Spencer

Morgenstern & P r i c e Janbu

Hoogenboom

Opgemerkt wordt d a t deze rekenmethoden gebaseerd z i j n op een z.g. kinematisch bezwi jkmechanisme waarvan bekend i s d a t een oplossing

.

wordt gevonden d i e hoger l i g t dan de echte bezwijkbelasting, dus

aan de o n v e i l i g e kant.

Daar de echte bezwijkbelasting n i e t kan worden berekend zou men b e t e r een bezwijkmechanisme kunnen gebruiken d a t een l a g e r e waarde

o p l e v e r t dan de echte bezwijkbelasting, dus aan de v e i l i g e kant.

Een d e r g e l i j k e methode i s bijvoorbeeld d i e d e r eindige elementen. Hoewel deze methode a l v e e l wordt gebruikt i s z i j b i j de huidige s t a n d t o t a a l ongeschikt voor routineberekeningen om hoofdzakelijk d r i e redenen: - , ,

.

fi. ' 2 .

-.__

3. Er

--.

e r wordt geen g e t a l voor de v e i l i g h e i d a l s uitkomst gevonden. de i n t e voeren grondparameters z i j n erg l a s t i g m e t behulp van laboratoriumonderzoek t e bepalen, wasarbi j ook de nauwkeurigheid

t e

wensen o v e r l a a t .

kostbaar, zowel op z i c h z e l f a l s door de duurdere monsterbeproe- ving.

- 2 -

E r kan d i r e c t e e n s c h e i d i n g worden gemaakt i n twee groepen:

Groep 1: omvat de meestal oudere methoden die beperkt z i j n i n hun mogelijkheden; b. v. a l l e e n geschikt v o o r homogene grond,

of hoogstens 2 v e r s c h i l l e n d e g r o n d s o o r t e n , geen mogelijk- h e i d voor e e n s c h e i d i n g i n droge en n a t t e grond, geen h e l l e n d e freatische l i j n enz.

Groep 2 : omvat de meestal meer r e c e n t e methoden d i e g e s c h i k t z i j n voor e e n o n b e p e r k t a a n t a l g r o n d l a g e n , en w i l l e k e u r i g e

waterspanningsverdelingen.

D e i n de aanvang genoemde methoden v a l l e n a l l e onder groep 2;

groep 1 i s voor d i t o v e r z i c h t van geen b e l a n g en z a l dan ook n i e t beschreven worden. E l k e g l i j v l a k b e r e k e n i n g v a l t u i t e e n i n v e r s c h i l l e n d e d e l e n : i. 2. 3. 4 . 5. D e

i n v o e r i n g van de l a g e n v e r d e l i n g m e t volumieke massa's van de l a g e n , z o d a t i n elk w i l l e k e u r i g p u n t de v e r t i k a l e grondspanning

kan worden berekend.

i n v o e r i n g van de waterspanningen, z o d a t nu de v e r t i k a l e korrel-

spanningen o v e r a l bekend z i j n .

h e t berekenen van de a a n d r i jvende k r a c h t e n . h e t berekenen van de tegenwerkende k r a c h t e n .

h e t b e p a l e n van de e v e n w i c h t s f a c t o r ( " v e i l i g h e i d " )

.

p u n t e n 1 en 2 vormen e e n deel d a t v o o r a l l e methoden g e l i j k is.

H e t is a l s h e t ware een v r a a g s t u k apart ( z e k e r w a t p u n t 2 betreft!)

d a t o n a f h a n k e l i j k i s v a n d e v e r d e r t e g e b r u i k e n g l i j v l a k m e t h o d e . Over

Punt 3 i s i n p r i n c i p e voor a l l e methoden g e l i j k , doch meestal zo verweven daarmee, d a t h e t automatisch t e r sprake'komt,

Punt 4 g e e f t a a n l e i d i n g t o t v e r s c h i l van mening. Hoe d i t komt z a l l a t e r worden behandeld; d e mogelijkheid t o t meningsverschil l e i d t

t o t de v e r s c h i l l e n d e i n de l i t e r a t u u r behandelde glijvlakmethoden; h i e r o v e r zal. h o o f d z a k e l i j k h e t hiernavolgende handelen.

Punt 5 v e r e i s t e n i g e t o e l i c h t i n g . E r z a l namelijk afgesproken moe- t e n worden waarin de " v e i l i g h e i d " van een t a l u d u i t g e d r u k t z a l worden. Ook h i e r o v e r b e s t a a n v e r s c h i l l e n van i n z i c h t .

E r i s één methode d i e de v e i l i g h e i d u i t d r u k t i n een e x t r a k r a c h t boven aan h e t t a l u d waarvan de g r o o t t e per m ' i n l e n g t e r i c h t i n g zo wordt bepaald d a t h e t t a l u d j u i s t nog i n evenwicht is. D i t kan

b.v. n u t t i g z i j n voor t a l u d s van bouwputten.

In h e t algemeen is men h e t e r o v e r e e n s d a t de v e i l i g h e i d h e t b e s t e k a n worden u i t g e d r u k t a l s de verhouding t u s s e n de beschik-

bare schuifweerstand van de grond e n de s c h u i f s p a n n i n g d i e nodig

i s o m j u i s t evenwicht t e maken. Een g e t a l g r o t e r dan één w i j s t dan op een overmaat aan s t a b i l i t e i t , e n een . g e t a l k l e i n e r dan één op een t e k o r t . Welk g e t a l men z a l e i s e n i n een bepaald g e v a l is een w a a g s t u k a p a r t waarover h i e r v e r d e r n i e t z a l worden gesproken. B i j de g l i j v l a k b e r e k e n i n g e n gaan a l l e onderzoekers u i t van h e t

theorema van Coulomb, d a t de schuifweerstand weergeeft als:

'I S = c + u s t g $

waarin T = schuifweerstand i n h e t s c h u i f v l a k

5

= k o r r e l s p a n n i n g l o o d r e c h t op h e t s c h u i f v l a k

= hoek van inwendige w r i j v i n g Cp

c = ware cohesie of nul-wrijving

D a n i s de v e i l i g h e i d F:

( c

+

u

t g $1 b e s c h i k b a a r

( c

+

u

t g $1 benodigd voor evenwicht schuifspanning

-

-

s c h u i fweerc tand

E r i .

2.

worden nu algemeen twee aannamen gedaan:

de waarde voor F i s i n a l l e punten van h e t g l i j v l a k g e l i j k . D i t dus o n a f h a n k e l i j k van de p l a a t s v k h e t p u n t ( i n h e t

a c t i e v e of h e t p a s s i e v e g e d e e l t e ) en van de s o o r t grond waarin h e t punt z i c h b e v i n d t .

de waarde van F w e r k t i n g e l i j k e mate op c en op tg

9.

ad. 1. d i t i s geen e r g reële aanname, en zeker geen n o o d z a k e l i j k e , doch w e l een gemakxelijke. I n f e i t e b e t e k e n t h e t d a t wanneer een t a l u d door de één of andere oorzaak steeds d i c h t e r b i j h e t moment van afschuiven wordt g e b r a c h t , i n a l l e punten

lan3c h e t p o t e n t i ë l e g l i j v l a k de optredende schuifspan- n i n g i n dezelfde verhouding de beschikbare schuifweerstand b e n a d e r t , t o t d a t op h e t z e l f d e moment i n a l l e punten d i e ver- houding = 1 i s geworden.

D T t kan n i e t j u i s t z i j n i n d i e n men bedenkt d a t voor elke

grondsoort g e l d t d a t voor h e t b e r e i k e n van de maximale s c h u i f - weerstand een zekere vervorming n0üi.g. i s . D i t v o l g t b.v.

d i r e c t u i t de t r i a x i a a l p r o e f . U i t ùezc z e l f d e proef v o l g t

e c h t e r ' o o k d a t de mate van d i e vervoriidng l a n g n i e t d e z e l f d e i s voor a l l e grondsoorten.

I n een a f s c h u i f v l a k t r e e d t e c h t e r i n a l l e punten d e z e l f d e a r - vorming op, z o d a t de verhouding

F

a f h a n k e l i j k z a l z i j n van de grondsoort.

. Anderzijds z u l l e n ook de spanningsverhouäingen i n de omgeving van h e t g l i j v l a k zodanig z i j n d a t ook i n h e t g e v a l van een .

homogeen massief niet i n alle punten d e z e l f d e verhouding F

o p t r e e d t : u i t behandelingen van t a l u d s m e t de e i n d i g e ele-

menten methode b i j v o o r b e e l d v o l g t d u i d e l i j k d a t i n sommige delen van h e t s c h u i f v l a k de "breukspanning" v e e l e e r d e r wordt b e r e i k t dan i n andere delen.

Met geen van beide overwegingen wordt d e r h a l v e b i j de orthodoxe g l i j v l a k b e r e k e n i n g e n rekening gehouden. Vooral t e n aanzien van het eerstgenoemde p u n t

zou

overwogen kunnen worden naar

:

rn

- 5 -

ad. 2 . D e beschikbare c en t g

9

(= schuifweerstand) wordt i n t e r - n a t i o n a a l aangeduid m e t c ' en t g $ ' (z.g. ' g e c o n s o l i d e e r d e waarden).

( c '

+

u

t g

c p ' )

( c + u t g + )

D a n i s F:

Onder aanname van p u n t 2 kan d i t ook geschreven worden als:

< + Ct d , = c t a t g r $ L

F F

I n h e t bekende

'I-u

diagram ( z i e f i g u u r 1) wordt ü i t aangegeven door de l i j n I.

B i j h e t benaderen van T

rnax

het punt A (a =-c'ctg

c p ' ) .

H e t i s e c h t e r lang n i e t zeker d a t op deze w i j z e i n de grond de

'I wordt b e r e i k t . Waarom zou b.v. n i e t e e r s t c ' g e h e e l ge-

mobiliseerdworden, en daarna p a s o t g I$ aangroeien?

Brinch Hansen neemt aan d a t d e F voor c' inderdaad v e r s c h i l t

van d i e voor u t g $ ' , z i j h e t op grond van andere overwegingen. B i j d e . b e p a l i n g van d e ' c ' - e n +'-waarden u i t proeven b l i j k t s t e e d s d a t de s p r e i d i n g i n de c'-waarden g r o t e r i s dan d i e i n de $'-waarden. B l i j k b a a r kan de

+ '

m e t een g r o t e r e nauw- k e u r i g h e i d worden b e p a a l d dan de c'. Om deze reden v o e r t

( l i j n 11) d r a a i t dus l i j n I om

m a x

. .

Brinch Hancen voor de c ' een e x t r a " o n z e k e r h e i d s f a c t o r " i n waardoor de F voor d e c ' g r o t e r i s dan d i e voor de CJ t g

4 ' .

Nog enkele algemene opnerkingen:

1. A l l e g l i j v l a k b e r e k e n i n g e n z i j n tweedimensionaal opgezet. Een

enkele methode (b.v. Janbu) kan ook axiaal-symmetrisch worden t o e g e p a s t , doch w i l l e k e u r i g d r i e d i m e n s i o n a l e g e v a l l e n kuiinen

- 6 -

H e e f t men t o c h b e h o e f t e aan een d e r g e l i j k e b e h a n d e l i n g , dan z i j n i n de l i t e r a t u u r w e l e n k e l e beschouwingen t e v i n d e n , z o a l s b.v. voor kegelvormige t a l u d s [12].

2. De v e r s c h i l l e n i n u i t k o m s t van de h i e r t e behandelen bereke-

-

ningsmethoden z i g n b e t r e k k e l i j k g e r i n g ; o n d e r l i n g e a f w i j k i n g e n van meer dan 10% z i j n u i t z o n d e r i n g e n . Daartegenover komen b i j

de d i v e r s e methoden om de c ' - en de 4'-waarden van de grond v a s t t e s t e l l e n v e e l g r o t e r e v e r s c h i l l e n voor; a f w i j k i n g e n van 50% e n meer worden g e r e g e l d g e c o n s t a t e e r d . D a a r n a a s t z a l men

b i j d e v a s t s t e l l i n g van l a a g v e r d e l i n g e n , volumieke massa's, e n ,

de waterspanningen moeilj. j k e e n g r o t e r e nauwkeurigheid dan ca 10% kunnen b e r e i k e n . D e r e p r e s e n t a t i v i t e i t van een bepaald

p r o f i e l voor een' b e p a a l d e s t r e k k i n g van een d i j k of een t a - l u d is d a a r b i j nog een v r a a g s t u k apart.

I n d i t l i c h t l i j k t h e t voor h e t afwegen vrn. de v e r s c h i l l e n d e rekenmethoden e e r d e r n u t t i g t e l e t t e n op p r a k t i s c h e en u n i - v e r s e l e t o e p a s b a a r h e i d dan op nauwkeurigheid i n de u i t k o m s t .

0.1. G e b r u i k e l i j k e o p z e t van een g l i j v l a k b e r e k e n i n g

A l l e meer r e c e n t e g l i j v l - a k b e r e k a n i n g e n v e r d e l e n h e t g e b i e d binnen h e t gekozen af s c h u i f v l a k i n v e r t i k a l e lamellen. Hierdoor wordt h e t s c h u i f v l a k i n een a a n t a l d e l e n v e r d e e l d , waarbij zo nodig per d e e l met andere w r i j v i n g s g r o o t h e d e n kan worden gerekend ( z i e f i - guur 2a). O p deze wi.jze kan men eenvoudig m e t een v e r d e l i n g i n l a g e n m e t v e r s c h i l l e n d e grondeigenschappen r e k e n i n g houden. Door bovendien ook de k r a c h t e n d i e op de l a m e l s c h e i d i n g e n werken i n de b e r e k e n i n g t e b e t r e k k e n kan n a a s t h e t u i t w e n d i g evenwicht van de afschuivende massa, ook h e t inwendige evenwicht daarvan worden ge- controleerd ( z i e f i g u u r 2b).

- 7 -

D i t b r e n g t o n s op de e r v a r i n g d i e v e l e o n d e r z o e k e r s melden o m t r e n t

de i n v l o e d d i e v e r s c h i l l e n d e b e r e k e n i n g s o n d e r d e l e n hebben op de

nauwkeurigheid van d e u i t k o m s t . W a a r u i t 'deze b e r e k e n i n g s o n d e r - d e l e n b e s t a a n moge u i t h e t volgende b l i j k e n :

D e g l i j v l a k b e r e k e n i n g i s i n b e g i n s e l e e n e v e n w i c h t s v r a a g c t u k : men o n d e r z o e k t e e n omgrensde grondmassa d i e i n g r e n s e v e n w i c h t v e r k e e r t .

D i e grondmassa o n d e r v i n d t u i t w e n d i g e k r a c h t e n d i e j u i s t m e t elkaar

i n evenwicht v e r k e r e n ; v o o r d e z e k r a c h t e n moet d e r h a l v e e e n ge-

s l o t e n k r a c h t e n v e e l h o e k k u n n e n worden g e c o n s t r u e e r d . H e t i s e c h t e r n i e t m o g e l i j k h i e r v o o r e e n é é n d u i d i g e o p l o s s i n g t e v i n d e n ; e r z i j n t e n m i n s t e o n e i n d i g vele o p l o s s i n g e n d i e v o l d o e n , m e t e l k e e n e i g e n g e t a l voor d e " v e i l i g h e i d " . Hoewel i n h e t algemeen d e z e v e i l i g - h e i d s f a c t o r e n o n d e r l i n g n i e t z o e r g v e e l i n g r o o t t e v e r s c h i l l e n z a l men toch w i l l e n nagaan welke o p l o s s i n g de meest j u i s t e is.

Daartoe wordt als r e g e l op é é n of a n d e r e wijze ook h e t inwendig e v e n w i c h t van de af s c h u i v e n d e massa i n de b e r e k e n i n g b e t r o k k e n .

N u de grondmassa al i n v e r t i k a l e l a m e l l e n v e r d e e l d w a s Gedacht

l i g t h e t voor de hand a l s tweeùe s t a p voos de o p l o s s i n g van h e t v r a a g s t u k van d i t inwendige e v e n w i c h t h e t e v e n w i c h t van e l k e

lamel a f z o n d e r l i j k t e k i e z e n . Voor de k r a c h t e n d i e u i t w e n d i g op e ì k e l a r i e 1 a f z o n d e r l i j k werken moet weer e e n g e s l o t e n k r a c h t e n - v e e l h o e k kunnen worden g e c o n s t r u e e r ä . Ook h i e r e c h t e r z i j n v e l e o p l o s s i n g e n per lamel m o g e l i j k waaruit een k e u z e

daan.

Vele methoden s t o p p e n h i e r , i n d i e z i n , d a t u i t die v e l e m o g e l i j k e o p l o s s i n g e n e r é é n gekozen wordt d o o r b e t r e k k e l i j k w i l l e k e u r i g e

moet worden ge-

* e x t r a voorwaarden o p t e l e g g e n aan twee of meer van de k r a c h t e n .

H e t h a n g t nu a f van de "slimheid" waarmee deze voorwaarden z i j n o p g e s t e l d o f e e n min of meer b e v r e ä i g e n d e o p l o s s i n g w o r d t

gevonden.

Andere o n d e r z o e k e r s doen h i e r nog e e n derde stap d o o r ook de

k r a c h t e n d i e op de l a m e l s c h e i d i n g e n werken a a n e e n onderzoek t e

onderwerpen. Deze k r a c h t e n moeten weer per l a m e l s c h e i d i n g even- w i c h t maken, e n d a a r n a a s t , a f h a n k e l i j k van de methode, gesommeerd vaak .ook nog e v e n w i c h t maken met bepaalde u i t w e n d i g e k r a c h t e n .

- 8 -

A l s v i e r d e s t a p kunnen nog aan de lcmelscheidingskrachten afzonder-

~ l i j k bepaalde voorwaarden worden g e s t e l d . D i t v o l g t u i t de over-

weging d a t de v e r t i k a l e lamelscheidingen geen toegevoegde s c h u i f

-

vlakken z i j n . D i t b e t e k e n t d a t d e i n die vlakken berekende s c h u i f - spanningen r e l a t i e f v e r d e r verwijderd moeten z i j n van de beschik- b a r e schuifweerstand, dan i n h e t e i g e n l i j k e s c h u i f v l a k . M e t

andere woorden de evenwichtsfactor FL ( " v e i l i g h e i d " ) d i e u i t de

berekening van de schuifspanning i n de lamelscheidingen v o l g t

moet g r o t e r z i j n d a n de F van h e t g l i j v l a k z e l f .

A l n a a r gelang de analyse verder wordt v e r f i j n d z a l een steeds b e t e r e waarde voor de evenwichtsfactor F worden bepaald. H i e r b i j

b l i j k t de e e r s t e s t a p verreweg de b e l a n g r i j k s t e t e z i j n ; de tweede al v e e l minder, de derde weer minder enz.

D e eerste s t a p b e t r o f h e t uitwendig evenwicht. De aandrijvende krachten (eigengewicht afschuivende moot, e v e n t u e l e uitwendige b e l a s t i n g e n op h e t t a l u d , aarübevingskrachten, waterdrukken) moe- t e n evenwicht maken m e t de weerstaridbiedende k r a c h t e n (gesommeerde iiormaal- en schuifspanningen l a n g s h e t g l i j v l a k ) . Hoewel i n p r i n -

c i p e h e t o p z e t t e n van een krachtenveelhoek n i e t onmogelijk i s , i s

deze g r a f i s c h e methode v e e l omslachtiger dan een a n a l y t i s c h e be- handeling. Deze a n a l y t i s c h e behandeling wordt a l s r e g e l u i t g e - voerd i n de vorm van d r i e evenwichtsvergelijkingen: momenteven- . wicht, v e r t i k a a l evenwicht, h o r i z o n t a a l evenwicht.

Het b l i j k t nu d a t alleen a l m e t h e t voldoen aan h e t momenteneven-

w i c h t h e t vraagstuk voor ca 90% is o p g e l o s t . D e volgende belany-

r i j k e voorwaarde i s h e t v e r t i k a l e evenwicht; h e t h o r i z o n t a l e evenwicht i s van v e e l k l e i n e r e i m p o r t a n t i e . Pas daarna b l i j k e n de

volgende h i e r v ó o r behandelde stappen 2 , 3 e n 4 nog t o t v e r d e r e v e r f i j n i n g en nauwkeurigheid b i j t e dragen, ongeveer i n de ver-

- 9 -

U i t de e r v a r i n g d a t i n d e a l l e r e e r s t e p l a a t s aan h e t u i t w e n d i g momentenevenwicht moet worden voldaan kan a r e c t worden a f g e l e i d

,

d a t een b e r e k r d n g c w i j z e , d i e de v e i l i g h e i d u i t d r u k t i n de v e r - houding van weerstamlbiedend moment gedeeld door a a n d r i jvend mo- ment, i n elk g e v a l t o t e e n z e e r onnauwkeurig antwoord moet l e i - den. E r wordt dan i m m e r s n i e t aan d e b e l a n g r i j k s t e voorwaarde voldaan.

I n f i g u u r 2a was een a f s c h u i v e n d e moot getekend met een aange-

nomen s c h u i f v l a k van w i l l e k e u r i g e vorm, e n i n f i g u u r 2b i s één

der lamellen er u i t g e l i c h t met d a a r b i j aangegeven de k r a c h t e n d i e op die lamel werken,

B e t gewicht: G , de eventue1.e k r a c h t e n Q.. e n Q ( b . v . aardbevings- k r a c h t e n o€ furlderingskrachten) de n o r m a d k r a c h t N op het. s t u k j e s c h u i f v l a k Ai3 e n de s c h u i f i r a c h t W op d i t z e l f d e v l a k j e z i j n

uitwendige k r a c h t e n . D e k r a c h t e n Ei, Ti, E2 en T scheidingsvlakken z i j n inwendige k r a c h t e n .

D e lamel h e e f t e e n b r e e d t e

Ax,

en h e t s c h u i f v l a k AB maakt een h e l l i n g a met de h o r i z o n t a a l . Aangenomen wordt v e r d e r d a t de

n

V

op d e lamel-

2

-

b r e e d t e Ax zo g e r i n g i s t e n o p z i c h t e van de hoogte van de lamel d a t aangenomen mag worden d a t h e t a a n g r i j p i n g s p u n t van de nor- maalkracht N i n h e t midden van AB l i g t .

Bekend i n g r o o t t e en r i c h t i n g z i j n a l l e e n . d e k r a c h t e n G , QH en Q,. Onbekend i n g r o o t t e z i j n a l l e andere k r a c h t e n , e n onbekend z i j n bovendien de a a n g r i j p i n g s p u n t e n van de k r a c h t e n E l e n E

D e k r a c h t e n N en W z i j n d a a r e n t e g e n gekoppeld door h e t theorema

van Coulomb. 2 ' 1 I m m e r s N = o x

A B =

U.AX.

-

c o s 01 1 W = ( c '

+

ú t g

4 ' )

.Ax.

-

cos a

:

m

-

10

-

De k r a c h t Wkan i n N worden u i t g e d r u k t . Echter,. dit geldt. a l l e e n i n d i e n de c

+-

0 t g

+

die nodig i s voor j u i s t eveqwicht g e l i j k i s

aan de b e s c h i k b a r e s c h u i f w e e r s t á n d c' $. t g

4 ' .

Is e r e e n over-

maat aan weerstand dan wordt volgens a f s p r a a k W u i t g e d r u k t als:

E n e r z i j d s kan één d e r k r a c h t e n N of W worden g e ë l i m i n e e r d , ander- z i j d s moet e e n onbekende f a c t o r F worden i n g e v o e r d , d i s dan w e l

(ook weer volgens a f s p r a a k ) voor a l l e l a m e l l e n d e z e l f d e waarde heeft.

Wanneer de afschuivende moot i n n l a m e l l e n i s v e r d e e l d

i s per

l a m c l N onbekend; dus n Onbekenden.

E r z i j n n-1 lamelscheidingen; per l a m e l s c h e i d i n g z i j n onbekend T ,

E e n h e t a a n g r i j p i n g s p u n t van E: 3(n-1) onbekenden. Verder i s er

nog 1 onbekende F. Totaal 4n-2 onbekenden.

Per lamel z i j n e r d r i e e v e n w i c h t c v e r g e l i j k i n g e n ; ( b i j sqmmige metho- den g e b r u i k t men a l l e e n 6 t h uitwendige m o m e n t v e r g e l i j k i n g ) .

Uitwendig v e r t i k a a l e n h o r i z o n t a a l evenwicht z i j n a u t o m a t i s c h i n o r d e b i j een goede methode i n d i e n d i t per lamel i n orde is. To- t a a l 3n v e r g e l i j k i n g e n . E r z i j n dus (411-2)- (3n) = n-2 verge- l i j k i n g e n t e k o r t , of onbekenden t e v e e l .

W i l men h e t v r a a g s t u k kunnen o p l o s s e n , dan moeten er nog n-2 be- t r e k k i n g e n t u s s e n onbekenden worden opgelegd, v e r o n d e r s t e i l i n g e n voor onbekenden worden gedaan, onbekenden worden v e r w a a r l o o s d , of

c o m b i n a t i e c . h i e r v a n worden v a s t g e s t e l d . D e vele mogelijkheden d i e

' h i e r v o o r b e s t a a n geven aanle'iding t o t de v e l e g l i j v l a k m e t h o d e n

d i e

i n

de l i t e r a t u u r t e vinden z i j n .

D e b e r e k e n i n g g a a t u i t e r a a r d u i t van de bekende k r a c h t e n G e n e v e n t u e e l Q. L a a t men Q even b u i t e n beschouwing dan k r i j g t iedere lamel z i j n e i g e n gewicht mee. S t e l t men de. k r a c h t e n E e n T g e l i j k n u l dan s t a a n de l a m e l l e n w r i j v i n g s l o o s los n a a s t e l k a a r .

1

-

i i

-

Z i j n de krachten E en T

#

O dan vindt: een zekere h e r v e r d e l i n g p l a a t s van de krachten G binnen de afschuivende moot. In a l l e

g e v a l l e n b l i j k e n de v e r t i k a l e drukken op h e t g l i j v l a k aan de p a s s i e v e ( l a g e ) k a n t t o e t e nemen, e n aan de a c t i e v e (hoge) k a n t af t e naien.

D i t i s op z i c h z e l f j u i s t d a a r i n i e d e r t a l u d d i t e f f e c t van na- t u r e o p t r e e d t . H e t i s e c h t e r n i e t zeker of deze h e r v e r d e l i n g

overeenkomt met de werkelijkheid, waarbij a l w e l kan worden

aangetekend d a t d i e herverdeling v e r s c h i l l e n d z a l z i j n b i j de v e r s c h i l l e n d e glijvlakmethoden, d i e i m m e r s v e r s c h i l l e n d e waarden

voor de krachten E en T opleveren.

Ten einde e n i g i n z i c h t t e v e r k r i j g e n i n h e t e f f e c t van de her-

v e r d e l i n g op de berekende v e i l i g h e i d i s op h c t LGM e e r s t een aantal taluds berekend m e t de vereenvoudigde methode Eichop.

Daarna i s met behulp van een e l a s t i s c h e berekening met de e i n d i g e clementenmethode e e r s t voor d i e t a l u d s een h e r v e r d e l i n g voor de

krachten G berekend, waarna niet d i e nieuwe C-verdeling opnictiw

g l l jvlakberekcni.ngen z i j n uitgevoerd. U i t e r a a r d i s e r d a a r b i j voor gezoxgü dat van de afnchuivenüe moot h e t t o t a l e gewicht ge-

l i j k b l e e f . *

D e b i j de h e r v e r d e l i n g berekende waarden voor F bleken a l l e l a g e r te l i g g e n dan die van h e t eerste g e v a l , waarbij afwijkingen voor- komen van enkele procenten t o t meer dan 10%. Hoewel h i e r , s t r i k t

-

genomen, op o n t o e l a a t b a r e w i j z e twee rekenmethoden worden gecombi- , neerd, n.1. e e n e l a s t i s c h e berekening op een grondmassa die i n

grensevenwicht v e r k e e r t , zou d i t een aanwijzing kunnen z i j n d a t

methoden d i e een grotere h e r v e r d e l i n g b e w e r k s t e l l i g e n dan Bisliop

de voorkeur zouden verdienen.

Wanneer op of i n h e t t a l u d p u n t l a s t e n voorkomen dan z u l l e n deze zonüer v e r d e r e maatregelen e l k op één bepaalde lamel a a n g r i j p e n . Gezien h e t voorgaande i s h e t wel d u i d e l i j k d a t i n de g l i j v l a k - berekening een v e e l g e r i n g e r e s p r e i d i n g van de p u n t l a s t wordt b e w e r k s t e l l i g 8 dan i n w e r k e l i j k h e i d z a l optreden.

i

-

12

-

H e t i s dan beter e e n d e r g e l i j k e p u n t l a s t e e r s t z e l f t e spreiden , over een aantal l a m e l l e n , v o o r d a t d e g l i j v l a k b e r e k e n i n g wordt toe-

g e p a s t . Een bevredigende o p l o s s i n g h i e r v o o r i s e c h t e r nog n i e t gevonden.

Ten s l o t t e moet nog een opmerking worcen gemaakt o m t r e n t h e t woord " v e i l i g h e i d " . In de k r i n g e n van ontwerpers en b e h e e r d e r s van Clijken wordt onder v e i l i g h e i d e e n vee2 b r e d e r e s c a l a van f a c t o r e n samengevat: de k b s op o v e r s t r o r i n g van de k r u i n , h e t b e s t a n d z i j n van h e t v o o r t a l u d tegen g o l f a a n v a l , h e t b e s t a n d z i j n van h e t a c h t e r t a l u d t e g e n o v e r s t r o m i n g , h e t gevaar van o n d e r l o o p s h e i d , en d a a r n a a s t ook nog de s t a b i l i t e i t van de t a - l u d s , Om v e r w a r r i n g t e voorkomen s p r e e k t men daarom over F als

de " e v ~ r i ~ ~ i c 1 1 t s E ~ c t o ~ ' ' en n i e t a l s de vcilic$leid.

) A l v o r e n s over t e gaan t o t de b e s p r e k i n g van e e n a a n t a l g l i j v l a k - methoden moet worden opgemerkt d a t wanneer foriuules worden ver-

meld, deze n i e t a l t i j d overeenkomen m e t d i e welke door de be-

t r o k k e n a u t e u r s i n hun g e s c h r i f t e n worden gegeven. D i t i s vaak

h e t g e v o l g van h e t streven van de a u t e u r o m d e c o ë f f i c i g n t F e x p l i c i e t u i t t e drukken i n de gegevens. Daar d i t meestal n i e t

zonder meer mogelijk i s wanneer een n i e t - h y d r o s t a t i s c h e water- d r u k v e r d e l i n g ingevoerd moet kunnen worden, moet e e n k u n s t g r e e p

warden t o e g e p a s t . In b i j n a a l l e l i t e r a t u u r wordt d i t gedaan door de waterspanningen door h e t g e h e l e t e onderzoeken m a s s i e f u i t t e drukken i n e e n vast p e r c e n t a g e van de p l a a t s e l i j k e v e r t i k a l e grondspaniii.ng

.

D i t nu i s een weinig rat5I.e v e r o n d e r s t e l l i n g ; d a a r de waterspan- ningen b l i j k e i i s e r v a r i n g yrot.c i w J . @ e r i hebben op de waarde van F

wordt op het. LGM deze wijze van irivo?ring van de waterspanningen

n i e t yebxuilct. M i l was d e wens om F e x p l i c i e t u i t t e drukken i n - gegeven door h e t f e i t dat d i e rekcnmc?thodcn ontwikkeld z i j n i n

een t i j d d a t nog n i e t of n a u w e l i j k s van conputers g e b r u i k werd

-

13

-

Voor een handbarckening i s een ù e r y e l i j k e oplossing voor F u i t e r - a a r d handzaam.

B i j gebruik van een computer i s een i t e r a t i e p r o c e s geen probleem. B i j d e programma's d i e op h e t LGM z i j n ontwikkeld worden daarom

aanvankelijk de schuifweerstandsgrootheden c' en

4 '

voor de v o l l e

waarde ingevoerd. D e daarmee berekende waarde voor F i s dan

n i e t j u i s t daar immers geen v o l l e d i g evenwicht gemaakt k a n worden. Dan worden de c ' - e n t g +'-waarden door F

nieuwe F wordt berekend. D i t i t e r a t i e p r o c e s wordt herhaald t o t een vooraE v a s t g e s t e l d e waarde voor h e t v e r s c h i l t u s s e n F

wordt b e r e i k t van b i j v o o r b e e l d minder dan 0,001. D e w e r k e l i j k e waarde voor F i s dan E'

x

F x

...

x F

.

Hot a a n t a l i t e r a t i e s t a p p e n b l i j k t i n h e t algemeen g e r i n g t e z i j n , i n de b u u r t van 3 . D i t b e t e k e n t d a t ook voor handberekeningen deze rekenwì j z e noq toepasbaar i s .

1

gedeeld waarmee een

1

2

en F

n- 1 n

1 2 n

De bespreking van de v e r s c h i l l e n d e rekenmethoden kan h e t best

worden begonnen met d i e van Hoogenboom, n i e t a l l e e n omdat deze geheel afwijkend i s i n o p z e t van a l l e andere doch ook omdat deze methode een beter i n z i c h t geeft i n de spanningsverdeling i n de

omgeving van h e t s c h u i f v l a k . D e v e r s c h i l l e n d e methoden s t a a n h i e r

d u s n i e t i n chronologische volgorde.

-

1. Methode Hoogenboom

Deze methode, d i e door Ir. Hoogenboom t i j d e n s z i j n werkzaamheid

b i j h e t LGM werd ontwikkeld i n 1954-55, g a a t u i t van d e spanningc- leer. Overwegende d a t ' het. s c h u i f v l a k bij grensevenwicht een v l a k

is m e t maximale verhouding T / U , welk v l a k hoeken maakt van 45O-

--

4 '

en 45

0

+

- m e t

4

de r i c h t i n g e n van de hoofdspanningen t e r p l a a t s e , 2

2

kunnep v i a het; d i a g r a n van Mohr d e spanningen i n ieder w i l l e - k e u r i g vlak worden v a s t g e s t e l d , daar de r i c h t i n g e n van d e hoofd-

-

14

-

B i j d e vlakspanningctoestand (de d c r d r hoofdspanning b l i j f t immers

I b i j de g l i j v l a k b e r e k e n i n g e n b u i t e n b e s c h o u w i n g ) kunnen de spannings-

verhoudingen i n een p u n t worden v o o r g e s t e l d door één c i r k e l van Mohr ( f i g u u r 3b). Voor d i t p u n t wordt gekozen h e t midden van de

o n d e r z i j d e van de lamel.

O p een e l e m e n t a i r rechthoekig driehoek j e m e t h e t schuine vlak even- w i j d i g met de o n d e r z i j d e van de lamel werken normaal- en s c h u i f - spanningen zoals i n f i g u u r 3c. Door middel van de c o n s t r u c t i e va?

Mohr kulinen de grootteverhoudingen worden v a s t g e s t e l d . Wanneer één der spanningen ook i n g r o o t t e bekend i s , kan van a l l e andere span- ningen evenecns de g r o o t t e worden berekend.

Door Hoogenboom i s a l s bekende spanning gekozen 0 en wel g e l i j k

aan h e t n a t t e gewicht van de lamel gedeeld door de b r e e d t e A x ,

minus de w n t c r d r u k i n clat punt van h e t g l i j v l a k . Dan is de ge- vraagde f eenvoudig i n u u i t t e drukken a l s :

V I

S V

-

'(6

-

DOOL deze berekening toe t e p a s s e n op cirkelvormige g l i j v l a k k e n kan

1

h e t tegenwerkend moment worden. berekend a l s R . 1 'I .Ax.- waarin

R i s de s t r a a l van de g l i j c i r k e l .

H e t aandrijvende moment i s g e l i j k aan de som van n a t gewicht lamel

C c o s a

I

.

maal h o r i z o n t a l e hefboomsarm t . 0 . v - middelpunt c i r k e l , plus een e v e n t u e e l moment door v r i j water.

Door eerst voor e l k e lamel de p l a a t s e l i j k e c ' e n

9 '

i n t e v u l l e n

wordt F berekend a l s tegenwerkend moment/aandrijvend moment. Dan

worden c' en t g

4 '

gedeeld door F en daarmede een F berekend,

enz z o a l s h i e r v o o r i s aangegeven.

1

1' 2

E r werd a l s n e l e r v a r e n d a t deze methode geen betrouwbare u i t -

komsten o p l e v e r t . Hoewel de c o n s t r u c t i e g e h e e l j u i s t i s voor h e t e l e m e n t a i r e d r i e h o e k j e i s h e t n i e t j u i s t d i t toe t e passen voor de gehele lamel. S t i l z w i j g e n d woxdt namelijk v e r o n d e r s t e l d d a t de

Spanningen T T eri u i n een bepaalde verhouding overeenkomen

met de k r a c h t e n E F, T en T, op de g r o t e r e schaal van do lamel,

1 2 1 L

en d i t is eenvoudig niet waar.

I

-

15

-

H e t gevolg i s d a t noch per lamel, nog u i t w e n d i g over de g e h e l e afschuivende moot h e t h o r i z o n t a a l - e n v e r t i k a a l evenwicht gewaar-

borgd is. Fouten tot ca 10% i n de waarde van F worden a l d u s ge- i n t r o d u c e e r d , waarmede deze methode voor nauwkeuriger berekeningen verworpen moest worden.

E r i s g e t r a c h t , u i t g a a n d e van de Hoogenboombehandeling, w e l aan v e r t i k a a l - en h o r i z o n t a a l evenwicht t e voldoen door de i n v o e r i n g van twee correctiekrommen. D e uitkomsten z i j n z e e r betrouwbaar gebleken, nu aan de d r i e b e l a n g r i j k s t e evenwichtsvoorwaarden

werd voldaan. Deze methode i s op h e t LGM v e l e j a r e n g e b r u i k t onder

de naam Gecorrigeerde Hoogenboom.

Toch b l e e k op den duur d a t ' o n d e r bepaalde omstandigheden de cor-

r e c t i e s g i n p n overheersen o v e r de c i g e n l i - j k e Hocgenboombehmde- l i n g z o d a t e r g o n w a a r s c h i j n l i j k e s p a n n i n g s v e r d e l i n g e n l a n g s n e t schui.fv1alt worden berekend. H o o f d z a k e l i j k om deze reden wordt ook

de G e c o r r i g e e r d e Hoogenboommethode s i n d s k o r t n i e t meer gebruik t.

T e g e l i j k e r t i j d is op andere w i j z e g e t r a c h t a l t h a n s h e t v a r t i k a a l evenwicht p e r ' l a r n e l i n orde t e maken. Deze r e k e n w i j z e );leek a c h t e r -

a f overeen t e komen met die van B i s h o p , e n z a l onder d i e naam

besproken worden. .

I

D o o r I r . K o p p e j a n van h e t LGM werd d e s t i j d s opgemerkt, d a t wanneer i n d e s p a n n i n g s c i r k e l van f i g u u r 3b de twee spanningen f e n

u

worden samengesteld t o t d e spanning P , d a t dan de r i c h t i n g van P

e e n aanwijzin% g e e f t voor de r i c h t i n g e n van de l a m e l s c h e i d i n g s - h V

k r a c h t e n P e n P L a a t men i n de s p a n n i n g c c i r k e l a v e r l o p e n van

-

90' over O n a a r c 90 dan kan de b i j b e h o r e n d e r i c h t i n g van P worden berekend. Wordt deze h e l l i n g van P v a s t g e l e g d aan de aan- g r i jp i n g s p u n t e n van deze k r a c h t e n i n de l a m e l s c h e i d i n y e n dan v e r k r i j g t men de zogenaamde d r u k l i j n door de a f s c h u i v e n d e moot

(Engels: t h r u c t l i n e ) z i e f i g u u r 4.

Deze a a n w i j z i n g i.s n u t t i g i n verband m e ' t e n i g e andere rekenme- thoden.

-

16

-

De l-iiervoor vermelde formule van Hoogenboom kan gecchxeven worden a ï s T = A

(G+

aóctg $1 waarin

S

s i n

4

cos

4

1

-

s i n @ s i n ( $

+

2 a)

A = -

De waarde van A , d i e de b e t r e k k i n g w e e r g e e f t t u s s e n de gevraagde s c h u i f w e e r s t a n d langs h e t g l i j v l a k , e n de gegevens c en

4 ,

en ov. kan a l s f u n c t i e van Q i n g r a f i e k worden g e b r a c h t voor e e n b e p a a l d e

waarde van

4.

Voor

9

= 30 i s d i t weergegeven i n f i g u u r 5 als

kromme A , d i e een r e g e l m a t i g v l o e i e n d v e r l o o p b l i j k t ' t e hebben. E r kan van worden u i t g e g a a n d a t deze kromme gemiddeld i e t s t e

l a a g l i g t .

D e kromme c b e h o o r t b i j een formule d i e door Ir. Kop2ejan i s op-

g e s t e l d w a a r b i j k r a c h t e n P 1 en P2 werden ingevoerd d i e a f g e l e i d waren uit: de f i g u u r 3b. Door de v e e l hogere l i g g i n g boven kromme A werd vermoed d a t deze methode t e hoge waarden voox F zou o p l e v e r e n .

O

Mc?cìe om deze r e d e n i s deze berelceningswijze n i e t v e r d e r ontwik-

k e l d .

Samenvattend kan van üe methode Hoogenboom worden gezegd-:

1. A l l e e n g e s c h i k t voor c i r k e l v o r m i g e g l i jvlakkcn.

2. Maakt u i t s l u i t e n d uitwendig mornentenevenwi c h t

.

3. G e e f t t e lage evenwichtcf a c t o r e n .

2. U i t g e b r e i d e methode B i s h z

I n z i j n e e r s t e p u b l i c a t i e cl] h e e f t Bishop b i j e e n i n d e l i n g van de afschuivende moot i n v e r t i k a l e l a m e l l e n a l l e k r a c h t e n aangegeven d i e op een lamel werken. Zoals ook i n onze i n l e i d i n g i s aangegeven merkt h i j op d a t h e t een veelvoudig s t a t i s c h onbepaald probleem i s , d a t a l l e e n Òf p r o b e r e n d e r w i j s kan worden o p g e l o s t Of door b e p a a l d e vereenvoudigingen aan t e nemen. H i j g e e f t dan aan l a n g s welke weg . men h e t probleem p r o b e r e n d e r w i j s kan aanpakken voor een c i r k e l - vormig g l i j v l a k . Voor r o u t i n e t o e p a s s i n g e n i s d i t e c h t e r een on- d o e n l i j k e zaak.

-

I ?

-

Bovendien i s door Janbu een b e t e r e o p l o s s i n g uitgewerkt, ook voor n i e t c i r k e lv o m i g e g l i j v l a k k e n .

In z i j n a r t i k e l E23 g e e f t h i j aan hoe door een bepaalde veronder- s t e l l i n g t e doen w e l een d i r e c t e oplossing kan worden b e r e i k t .

Deze methode s t a a t bekend onder de naam:

3 . Vereenvoudigde methode Bishop ( " S i m p l i f i e d method")

lt?.

2e.

In f i g u u r 6 i s nogmaals een lamel getekend m e t de k r a c h t e n d i e daarop werken. Bishop d o e t nu twee v e r o n d e r s t e l l i n g e n :

op de lamel werken a l l e e n de aangegeven krachten. Wordt nu h e t momentenevenwicht bepaald o m h e t punt M , dan g a a t , omdat de

krachten G , N. en W door M gaan, ook de r e s u l t a n t e van de twee k r a c h t e n P I en P 2 door h e t punt M.

omtrent deze r e s u l t a n t e van P I e n P wordt v e r o n d e r s t e l d d a t

deze h o r i z o n t a a l w e x k t . L e t w e l : de krôchten P zelf behoeven dus n i e t h o r i z o n t a a l t e z i j n .

54 C

2

--

Boor nu h e t v e r t i k a a l evenwicht van de krachten op de Iamel t e be-

palen kan W eenvoudig in G worden u i t g e d r u k t . D i t r e s u l t e e r t in de

E ormule :

C

Door ds zo gevonden 'I t e vermenigvuldigen met de l e n g t e van h e t

s t u k j e g l i j v l a k

(E)

van d i e lamel, a l

lamellen t e sommeren, en de som t e vermenigvuldigen niet de s t r a a l van de g l i j c i r k e l wordt h e t tegenwerkend moment gevonden. V u l t men e e r s t de v o l l e d i g e c ' en $'-waarden i n , en d e e l t men h e t z o

gevonden tegenwerkende moment door h e t aandrijvende moment dan

wordt een eerste waarde E' voor de evenwichtsfactor gevonden.

Dan worden de c ' - en $'-waarden gedeeld door F1, waarna een F2

w o r d t b e r e k e n d , enz. Deze i t e r a t i e i s dus g e l i j k aan die b i j de methode Boogenboom.

C

deze krachten over alle

-

18

-

Ook h i e r bestaat: e r e e n eenvoudige b e t r e k k i n g

t u s s e n

T _{en de gegevens} c, Cp en

a

.

S V s i n Q, cos a c o s

(0

+

a ) B = de gevraagde

D i t verhoudingsgetal. B kan eveneens a l s een kromme worden getekend a l s f u n c t i e van CI voor een b e p a a l d e waarde van

4 .

Voor

4

= 3O0 i s d i t i n g e t e k e n d i n f i g u u r

5 .

Men z i e t d a t de l i j n B voor een g r o o t

deel min of meer samenvalt m e r d e l i j n A v a i Hoogenboom; v o o r a l

de twee waarden van a w a a r b i j Q,

+

2 01 = 90

z i j n van b e l a n g . Op deze twee p u n t e n ' h e e f t h e t g l i j v l a k n a m e l i j k e e n r i c h t i n g g e l i j k aan d e p a s s i e v e hoek, r e s p e c t i e v e l i j k de ac-

t i e v e hoek. '

Buiten deze twee waarden g a a t de g r a f i e k van Eishop s t e r k a f w i j k e n : voor s t e i . l e r e i n t r e e h o e k e n dm de a c t i e v e hoel: g a a t de waarde voor B

( d u s ook d i e v o x T ) n a a n u l . E r g e r i s de afwijkii..iy aan de pac-

s i e v e k a n t v o o r b i j de p a s s i e v e hoek. Daar g a a t de waarde voor B n a a r o n c i i i d i g , er1 d u s ook d i e voor T , R i j z e e r s t e i l u i t t r e d e n d e c i r k e l s kan zelfs p l a a t s e l i j k e e n n e g a t i e v e waarde voor

T

worden gevonden. Voor d e r g e l i j k e c i r k e l s worden m e t deze methode dan ook zowel a b s u r d hoge waarden voor F gevonden, a l s n e g a t i e v e

waarden.

Nu z i j n d e r g e l i j k e c i r k e l s a l s r e g e l van w e i n i g b e l a n g omdat z i j

n i e t meer i n het g e b i e d van de c i r k e l s m e t minimum waarden voor

F l i g g e n . Wel. wordt h i e r d o o r soms h e t b e p a l e n van ,de m i n i m u m c i r -

k e l u i t een doorgerekend s t r a m i e n b e m o e i l i j k t . Daarom i s i n h e t computerprogramma van h e t LGM e e n c o r r e c t i e a a n g e b r a c h t :

Wanneer e e n lamel wordt berekend waarvan de hoek 01 g r o t e r i s dan 45

-

A

,

wordt a g e f i x e e r d op d e z e waarde. I n de l i j n B i n f i - guur 5 b e t e k e n t d i t e e n a f s n u i t h g v o o r g e s t e l d d o o r l i j n B

.

Die l i j n B1 i s welbewust ù a a r gekozen o m twee redenen:

le. wordt vrmaf h e t p a s s i e v e p u n t e e n s c h u i f w e e r s t a n d berekend alsof h e t s c h u i f v l a k e i n d i g t i n een p a s s i e v e w i g , h e t g e e n geen on-

rede li j k e v e r o n d e r s t e l l i n g i s . O e n @

+

2 a =

-

90° C S S 2 1

:

m

-

19

-

2e. wordt een waarde berekend d i e g e l i j k i s aan de topwaarde van Hoogenboom. Daar Hoogenboom gebaseerd i s op de spanningsleer wordt op h e t LGM v e e l waarde gehecht aan de l i g g i n g van de Hoogenboomkrome a l s v e r g e l i j k i n g met andere methoden.

Resumerend kan van de vereenvoudigde methode Bishop worden gezegd:

1. Alleen geschikt voor cirkelvormige glijvlakken.

2. Maakt a l l e e n uitwendig momentevenwicht, uitwendig v e r t i k a a l evenwicht, lamel v e r t i k a a l evenwicht.

3. Berekent geen h o r i z o n t a a l evenwicht, noch uitwendig, noch p e r lamel. B i j narekenen b l i j k t d i t dan.ook n i e t i n orde t e

z i j n .

4 . D o e t een o n j u i s t e , doch n i e t e r g b e l a n g r i j k e v e r o n d e r s t e l l i n g

o m t r e n t de 1 m e 1s che i d i n g sk rachten

.

5 . Kan i n bepaalde omstandigheden e r n s t i g ontsporen, hetgeen e c h t e r door een eenvoueige c o r r e c t i e kan worden voorkomen.

6.

Is s t r i k t opgenomen n i e t c o r r e c t voor h o r i z o n t a l e externe krachten op of i n h e t talud.

7. Geeft i e t s t e lage waarde voor de evenwichtsfactor.

Een oudere methode d i e op deze p l a a t s k+ worden vermeld i s die

Van:

. .

4. U . S . Bureau of Reclamation

F e i t e l i j k i s d i t e e n methode d i e gepubliceerd i s door Daehn en H i l f

[a]

e n d i e lange t i j d a l s standaardberekening werd g e b r u i k t voor de beoordeling van stuwdamontwerpen i r i de V . S . Bishop g e e f t i n [1) eveneens een u i t l e g van deze methode.

De berekening l o o p t aanvanke#lijk ongeveer g e l i j k m e t d i e van de vereenvoudigde Bishop,zie f i g u u r 6 . DOOK nu h e t evenwicht van a l l e krachten op een lamel t e bezien langs 'de s t r a a l van de g l i j c i r k e l , dus loodrecht op h e t schuifvlak, kan de k r a c h t N s u i t g e d r u k t wor-. den i n a l l e andere krachten, waarbij dan de moeilijke k r a c h t Ws,

waarin de onbekende F immers voorkomt, wordt uitgeschakeld.

-

29

-

Deze u i t d r u k k i n g voor N wordt nu g e s u b s t i t u e e r d i n de uitwendige momentenvergeli j k i n g waardoor een e x p l i c i e t e u i t d r u k k i n g voor F

wordt gevonden. D i t l a a t s t e w a s n a m e l i j k de b e d o e l i n g van deze methode, waardoor op s n e l l e w i j z e e e n ' b e t r e k k e l i j k g r o o t a a n t a l

c i r k e l s kan worden doorgerekend t e n e i n d e h e t meest k r i t i e k e s c h u i f v l a k op t e s p o r e n .

Een m o e i l i j k h e i d i s nog d a t i n deze u i t d r u k k i n g voor F de nog onbekende k r a c h t e n T en E voorkomen. Oveixogen wordt dan d a t , wanneer e r geen uitwendige k r a c h t e n op of i n h e t t a l u d werken, de som van a l l e k r a c h t e n (E2

-

E 1 e n d e som van ( T

-

T1) beide = O

z i j n . I n de momentenvergelijking komen deze k r a c h t e n voor a l s een t e r m :

1 2

C

tg

4 '

{ ( T 2

-

T1) cos ct

-

(E2

-

E ) s i n a }

1

Deze taxi is a l l e e n = O i n d i e n

9'

en CI voor a l l e lamell.en g e l i j k i s ,

dus vor3r e e n r e c h t g l i j v l a k en homogene grond.

Wordt nu t o c h deze tem =

O

gesteld, hetGeen d e r h a l v e een v e r - eenvoudiging i s , dan wordt een i n d e r d a a d ' eenvoudige vorm voor F

gevonden.

I n de p r a k t i j k b l i j k t deze methode waarden voor F op t e l e v e r e n d i e aan üe l a g e k a n t l i g g e n .

Wanneer, e v e n a l s b i j de b e s p r e k i n g van Hoogenboom e n van Bichos, een b e t r e k k i n g wordt o p g e s t e l d t u s s e n T~ en 0 _{dan l u i d t deze h i e r}

V

T g y o s 2 CI t g

4

.

+

c.

S t r i k t genomen is d i t n i e t g e h e e l j u i s t , d a a r h i e r b i j nog e e n e x t r a vereenvoudiging i s a a n g e b r a c h t , doch de b e d o e l i n g i s n a t e gaan hoe deze kromme l i g t t . o . v . van d i e van Iloogenboom e n Bishop.

op f i -

guur 5 i s deze b e t r e k k i n g voor I$ = 30 weergegeven a l s kromme D. Deze l i g t i n d e r d a a d gemiddeld l a g e r dan de andere, z o d a t de er- v a r i n g d a t deze methode speciaal voor 'diepe g l i j v l a k k e n , waarin h e t d e e l van de kromme t u s s e n cx = O en a =

-

60 b e l a n g r i j k i s ,

lage e v e n w i c h t c f a c t o r e n o p l e v e r t , b e g r i j p e l i j k is.

o

-

2 1

-

4

.Resumerend kan worden g e s t e l d : i. 2. 3. 4. 5. 6 , 5. D e

Alleen g e s c h i k t voor cirkelvormige g l i j v l a k k e n .

A l l e e n g e l d i g voor r e c h t e g l i j v l a k k e n e n homogene grond. Maakt a l l e e n uitwendig 'momentevenwicht.

Maakt een nogal i n g r i j p e n d e v e r o n d e r s t e l l i n g omtrent de lamel-

scheidingskrachten

.

Is s t r i k t genomen n i e t c o r r e c t b i j uitwendige k r a c h t e n i n o f . op h e t t a l u d .

Geeft v e e l t e l a g e F-waarden.

Methode Spencer I

aanname van Bishop d a t de r e s u l t a n t e van de lamelscheidings- krachten per lamel h o r i z o n t a a l l i g t , i s i n h e t algemeen zeker n i e t j u i s t . Daarom h e e f t Spencer v e r o n d e r s t e l d d a t de r e s u l t a n t e

wel

een

bepaalde h e l l i n g h e e f t , die dan u i t de evenwichtsvoor- waarden moet volgen. I n z i j n e e r s t gepubliceerde methode neemt. h i j aan d a t d i e h e l l i n g voor a l l e lamelccheidingskrachten c o n s t a n t i s E4].

Hiermede hebben ook de r e s u l t a n t e n van die k r a c h t e n i n a l l e lamellen d e z e l f d e c o n s t a n t e h e l l i n g .

De gedachtengang van deze methode i s aanvankelijk g e l i j k aan d i e van Bishop. Ook h i e r wordt u i t toepassing van de momentenvergelij- k i n g per lamel a f g e l e i d d a t de r e s u l t a n t e van de twee lamelschei- dingskrachten P i en P

lamel loopt; nu a l l e e n n i e t meer h o r i z o n t a a l doch onder een hoek 8 m e t de h o r i z o n t a a l , welke hoek voor a l l e lamellen g e l i j k i s , z i e f i g u u r 7.

B i j h e t o p s t e l l e n van de momentenvergelijking per lamel wordt ook h i e r v e r o n d e r s t e l d dat e r geen h o r i z o n t a l e k r a c h t e n Qh op de lamel werken. Is d a t w e l h e t geval dan g a a t de r e s u l t a n t e P van P i en Ps n i e t

meer door h e t midden van de lamelonderkant.

Door nu p e r lamel twee evenwichtcvergelijkingen op t e s t e l l e n even- w i j d i g met de b a s i s van de lamel, en l o o d r e c h t daarop, kan de k r a c h t P worden u i t g e d r u k t i n de andere k r a c h t e n , i n F , en de hoek 8

door h e t midden van de onderkant van de

-

2 2

-

Daar de k.rachten P inwendige k r a c h t e n z i j n g e l d t :

c

(P cos 9 ) =

o

C ( P s i n 0 ) = O

Bovendien moet, d a a r i n g e v a l van evenwicht, a l l e u i t w e n d i g e krach- t e n een moment = O hebben t . o . v . h e t middelpunt van de c i r k e l , d i t ook h e t g e v a l z i j n voor de inwendige k r a c h t e n P. B i j een c i r k e l - vormig g l i jv l d c g e l d t dan:

r:

P cos (CL

-

0 ) ' =

o.

E r moeten nu d r i e v e r g e l i j k i n g e n i n P. worden o p g e l o s t , w a a r u i t F

en 0 volgen. D i t i s nog een algemeen g e v a l v o o r een e i g e n 8 voor e l k e lamel.

.

D e zaak kan nu s t e r k vereenvoudigd worden door 8 c o n s t a n t t e houden voor a l l e lamellen. De eerste twee v e r g e l i j k i n g e n worden dan aan e l k a a r g e l i j k , overgaand i n C P =

O.

S t e l t men E = O dan gaan deze v e r g e l i j l c i n g e n o v e r i n d i e van de

vereenvoudigde methode Bishop. Deze i s d e r h a l v e een b i j z o n d e r ge-

val. van de uiethode Spencer.

Spencer l o s t de twee v e r g e l i j k i n g e n op door een aantal berekeningen

te maken voor waarden van 0 van n u l t o t 30 o f zonodig h o g e r .

D e waarden voor F die u i t de e e r s t e v e r g e l i j k i n g volgen noemt h i j Ff, en d i e welke u i t de tweede volgen Fm. Door beide F's i n gra- f i e k t e brengen als f u n c t i e van 0 , z a l h e t s n i j p u n t de F aangeven d i e aan a l l e voorwaarden v o l d o e t .

Het b l i j k t d a t de. waarde van F n i e t s t e r k v a r i e e r t m e t 8 ; m e t andere woorden de o p l o s s i n g van Bishop l i g t d i c h t b i j d i e van

O

In

I Spencer. Wel v i n d t Spencer a l s r e g e l e e n i e t s hogere waarde voor F ,

i n de orde van 1 t o t 3 % .

Verder b l i j k t 8 i n h e t algemeen i e t s g e r i n g e r t e z i j n dan de h e l - l i n g van h e t t a l u d .

-

23

-

In d i t geval i s h e t n i e t mogelijk een betrekking op t e s t e l l e n

tussen

av

en T i n de z i n van f i g u u r 5. S

I n enige volgende p u b l i c a t i e s [IS], [l6] l a a t Spencer z i e n d a t z i j n

.

methode zeer p l a u s i b e l e liggingen g e e f t voor de d r u k l i j n ; i n som-

mige gevallen l e i d t de l i g g i n g daarvan t o t een trekscheur aan de bovenzijde van h e t t a l u d t o t een bepaalde d i e p t e , d i e goed over-

eenkomt m e t andere oplossingen, z o a l s de eindige elementenmethode,

en met de p r a k t i j k . H i j toont bovendien aan d a t de aanwezigheid van zo'n trekscheur de s t a b i l i t e i t nauwelijks beïnvloedt.

Voortbouwende op de drie eerstgenoemde vergelijkingen i n d i t over-

z i c h t , waarbij nog i e d e r e lamel z i j n eigen 8 meekreeg, h e e f t Spencer l a t e r

[lE]

een tweede methode ontwikkeld met. meer v r i j h e i d voor de g r o o t t e van 8 .

6. Methode Spencer I1

B i j deze oplossing wordt n i e t 13 constant verondersteld, doch v a r i a b e l volgens de vorm

tg 8

=

k.tg 6

waarin nu 9 de hellingshoek

van

de lamelscheidingskrachten is.

Voor i e d e r e lamelscheidingkanmennunaarbelieveneenbepaaldewaardiovoor

k invoeren. Voor k =: 1 g a a t deze methode over i n Spencer I.

D e waarde t g 6 i s g e l i j k voor a l l e lamellen. De oplossing g a a t nu a l s . v o l g t :

1. Men k i e s t voor elke lamelscheiding een waarde voor k .

2. Voor een reeks waarden voor 6

,

en d a a r u i t voor t g 8 = k . t g !L

wordt met de e e r s t e twee vergelijkingen van Spencer I een s e r i e waarden voor Ff berekend ( z i e b l z . 2 2 ) .

3 . Voor dezelfde reeks waarden van t g .8 wordt met de derde ver- g e l i j k i n g van Spencer I een s e r i e waarden F

_m

gevonden.

4. Ff e n F worden weer u i t g e z e t a l s f u n c t i e van 6; h e t s n i j p u n t

m

:

~

-

24

-

.Spencer g e e f t aan d a t deze methode nogal bewexkelijk

is

e n eigen- l i j k a l l e e n z i n h e e f t als de o p l o s s i n g d i e men v i n d t voor k = 1

(= Spencer I ) e e n d r u k l i j n o p l e v e r t d i e geen bevredigende vorm h e e f t . Hij s t a a t derhalve e e n volledige analyse van h e t t o t a l e k r a c h t e n s p e l voor.

H i j g e e f t e c h t e r als aanbeveling, volgens z i j n e r v a r i n g :

N e e m k = 1, behalve voor h e t boveneind,. waar de h e l l i n g minder genomen moet worden (k < 1). D i t komt n i e t onaardig overeen m e t de gedachtengang van f i g u u r 4.

Gezien h e t f e i t d a t zowel Bishop a l s Spencer als testcases v e e l

met ondiepe c i r k e l s werken d i e aan d e p a s s i e v e k a n t e r g v l a k b l i j v e n , komt h e t l i n k e r e i n d van de g r a f i e k e n van f i g u u r 4 n i e t i n h e t s p e l . W i j zouden e r b i j diepere c i r k e l s dus nog aan kun- nen toevoegen d a t ook aan h e t l a g e einde k < 1 moet worden ge-

nomen.

Door e e n i e t s wdere o p s t e l l i n g van de uitwendige momentenver- g e l i j k i n g i s äeze methode ook g e s c h i k t voor niet-cirkelvormige g l i j v l a k k e n .

Samenvattend kan worden g e s t e l d van Spencer 11:

1. Geschikt voor w i l l e k e u r i g e glijvlakvormen.

2. voldoet aan a l l e zes evenwichtcvergelijkingen, dus zowel u i t - wendig a l s inwendig.

3. D e d r u k l i j n kan w i l l e k e u r i g worden aangenomen i n

z i j n

gedaante.

4. Geeft een v o l l e d i g o v e r z i c h t van a l l e inwendige en uitwendige krachten.

5 . Is s t r i k t genomen n i e t opgetet voor gevallen met h o r i z o n t a l e u i t - wendige krachten op bf i n h e t t a l u d , doch kan w e l worden aangepast.

Methode Spencer I1 i s voor cirkelvormige g l i j v l a k k e n op h e t LGM a l s een computerprogramma aanwezig.

-

25

-

.7. Methode Moryenstem en P r i c e

Deze o p l o s s i n g d i s i e t s ouder i s dan d i e van Spencer 11 l i j k t daar

v e e l op [13]. H e t i s t y p i s c h de o p l o s s i n g van wiskundigen. Hun be-

handeling van de materie i s dan ook b e v r i j d e n d s t r e n g . Een u i t - zondering h i e r o p , d i e e i g e n l i j k o n b e g r i j p e l i j k is, i s weer d a t de waterspanning a l s f u n c t i e van de grondspanning wordt opgenomen.

D i t i s echter eenvoudig t e c o r r i g e r e n .

D e twee s i g n i f i c a n t e v e r s c h i l l e n m e t Spencer I1 z i j n :

\

. le.

2e.

er kunnen uitwendige k r a c h t e n op of i n h e t t a l u d worden aan- gebracht.

voor de h e l l i n g van de r e s u l t a n t e van de lamelscheidingc- krachten w o r d t i n p l a a t s van t g 0 = k t,g 6 een f u n c t i e voor k

g e b r u i k t :

t g 8 = flx) t g 6

t g 6 i s weer c o n s t a n t voor a l l e lamellen.

I n p l a a t s van een w i l l e k e u r i g aan te.nemen k voor elke lamelscheiding moet f ( x ) worden opgegeven a l s een f u n c t i e van de p l a a t s van de

lamel. D i t l a a t s t e zou voor een computerprogramma i n t e bouwen z i j n a l s een a a n t a l standaaräkrommen, waarbij f i g u u r 4 als r i c h t l i j n zou kunnen dienen.

D e gevonden v e i l i g h e i d s f a c t o r b i j deze methoüe (dus f ( x )

#

1 e n t g

6

#

O)

l i g g e n e n k e l e p r o c e n t e n hoger diin b i j Bishop. D i t v o l g t a l t h a n s u i t e n k e l e door de a u t e u r s doorgerekende g e v a l l e n . Volgens hen zou e c h t e r Spencer I ( f ( x ) = 1) l a g e r l i g g e n dan Bishop, h e t -

geen i n tegenspraak is m e t de e r v a r i n g e n van Spencer z e l f .

Samenvattend kan van deze methode worden gezegd:

i . 2. 3. 4.

5 .

Geschikt voor wi1.lekeurige vormen van h e t g l i j v l a k . Uitwendige k r a c h t e n op of i n h e t t a l u d mogen voorkopen. Maakt v o l l e d i g evenwicht

D e d r u k l i j n moet a l s f ( x ) worden ingevoerd i n z i j n gedaante.

c

-

26,

-

Door de a u t e u r s i s i n F 3 ] ook nog e e n v e r g e l i j k i n g gemaakt t u s s e n c i r k e l v o r m i g e e n n i e t cirkelvorniige g l i j v l a k k e n i n een homogeen g e v a l . Zoals v e l e andere o n d e r z o e k e r s ook a l hebben e r v a r e n z i j n de v e r s c h i l l e n i n F n i e t g r o t e r dan e n k e l e p r o c e n t e n . Z i j b e v e l e n dan

ook aan i n g e v a l l e n d i e n i e t d u i d e l i j k a a n l e i d i n g geven t o t ' e e n afwijkende vozm van h e t g l i j v l a k , u i t t e gaan van c i r k e l s .

8. Janbu _{___.}

Deze a u t e u r i s t o t z i j n methode, d i e ouder i s dan d i e van Spencer e n van Morgenstern en P r i c e , gekomen door de noodzaak v e r o n t -

r u s t e n d e " l a n d s l i d e s " i n Zweden n a t e rekenen [7]. I n [8] g e e f t h i j een v o l l e d i g o v e r z i c h t van de mogelijkheden van z i j n methode, waar- u i t b l i j k t oat d i e min of meer u n i v e r s e e l t o e p a s b a a r i s , zoals

voor d e b e r e k e n i n g van h e t draagvermogen van de grond onder Eunda- menten, e n de b e r e k e n i n g van grondùrukken op keermuren, dariiwanden enz.

D e inetfiode l i j k t weer v e e l op d e voorgaande. Janbu neemt de druk- l i j n aan voor' i e d e r e lamel i n p l a a t s en r i c h t i n g . Dan s t e l t h i j een v o l l e d i g s t e l e v e n w i c h t c v e r g e l i j k i n g e n op d i e volgeris een

s e r i e i t e r a t i e s opgelost moeten worden. H i j g e e f t ai% langs welke

weg e en H e t € l i j

d i t h e t beste kan worden gedaan, en g e e f t voor handberekeningen bundel g r a f i e k e n voor een bepaald o n d e r d e e l .

.is d e r h a l v e de meest algemene methode

,

en de meest, b e w e r k e l i j k e . h e e f t z e l f een computerprogramma voor de o p l o s s i n g samenge-

s t e l d . D i t programma, d a t ook op h e t LGM aanwezig i s , v r a a g t e c h t e r

een u i t g e b r e i d e i n v o e r . A l l e l a m e l l e n moeten i n d i v i d u e e l worden opgegeven m e t de p l a a t s e n r i c h t i n g van de k r a c h t e n P

Verder moet h e t gewicht van e l k e lamel opgegeven worden, d u s eerst z e l f u i t g e r e k e n d worden.

Janbu g e e f t de waarschuwing d a t b i j t o e p a s s i n g van v e e l l a m e l l e n h e t kan voorkomen d a t sommige i t e r a t i e s n i e t convergeren

,

z o d a t geen o p l o s s i n g mrdt gevonden.

of P2. 1