O tym, jak Herakles walczył z hydrą, czyli o potędze i słabościach matematyki

(1)

O tym, jak Herakles walczył z hydrą, czyli

o potędze i słabościach matematyki

Roman Murawski

Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Wydział Matematyki i Informatyki

Zakład Logiki Matematycznej

(2)

Platon

(3)

Euklides

(4)

Starożytny papirus z Elementami Euklidesa

(5)

(6)

Baruch de Spinoza (1632-1677)

Etyka (1677)

(7)

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)

Wzorzec dowodów politycznych (1659)

(8)

Isaak Newton (1643-1727)

Optyka (1704)

(9)

Giuseppe Peano (1858-1932)

Arithmetices principia nova methodo exposita (1889)

(10)

David Hilbert (1862-1943)

Grundlagen der Geometrie (1899)

(11)

Arytmetyka Peana PA

Pojęcia pierwotne: 0, S, +, · Aksjomaty pozalogiczne:

(A1) S (x) = S(y ) → x = y , (A2) ¬(0 = S(x)),

(A3) x + 0 = x,

(A4) x + S (y ) = S (x + y ), (A5) x · 0 = 0,

(A6) x · S (y ) = x · y + x,

(A7) ϕ(0) ∧ ∀x [ϕ(x ) → ϕ(S (x ))] −→ ∀x ϕ(x ).

(12)

Arytmetyka Peana PA

Pojęcia pierwotne: 0, S, +, ·

Aksjomaty pozalogiczne:

(A1) S (x) = S(y ) → x = y , (A2) ¬(0 = S(x)),

(A3) x + 0 = x,

(A4) x + S (y ) = S (x + y ), (A5) x · 0 = 0,

(A6) x · S (y ) = x · y + x,

(A7) ϕ(0) ∧ ∀x [ϕ(x ) → ϕ(S (x ))] −→ ∀x ϕ(x ).

(13)

Arytmetyka Peana PA

(A1) S (x) = S(y ) → x = y , (A2) ¬(0 = S(x)),

(A3) x + 0 = x,

(A4) x + S (y ) = S (x + y ), (A5) x · 0 = 0,

(A6) x · S (y ) = x · y + x,

(A7) ϕ(0) ∧ ∀x [ϕ(x ) → ϕ(S (x ))] −→ ∀x ϕ(x ).

(14)

Arytmetyka Peana PA

(A1) S (x) = S(y ) → x = y ,

(A2) ¬(0 = S(x)), (A3) x + 0 = x,

(A4) x + S (y ) = S (x + y ), (A5) x · 0 = 0,

(A6) x · S (y ) = x · y + x,

(A7) ϕ(0) ∧ ∀x [ϕ(x ) → ϕ(S (x ))] −→ ∀x ϕ(x ).

(15)

Arytmetyka Peana PA

(A1) S (x) = S(y ) → x = y , (A2) ¬(0 = S(x)),

(A3) x + 0 = x,

(A4) x + S (y ) = S (x + y ), (A5) x · 0 = 0,

(A6) x · S (y ) = x · y + x,

(A7) ϕ(0) ∧ ∀x [ϕ(x ) → ϕ(S (x ))] −→ ∀x ϕ(x ).

(16)

Arytmetyka Peana PA

(A1) S (x) = S(y ) → x = y , (A2) ¬(0 = S(x)),

(A3) x + 0 = x,

(A4) x + S (y ) = S (x + y ), (A5) x · 0 = 0,

(A6) x · S (y ) = x · y + x,

(A7) ϕ(0) ∧ ∀x [ϕ(x ) → ϕ(S (x ))] −→ ∀x ϕ(x ).

(17)

Arytmetyka Peana PA

(A1) S (x) = S(y ) → x = y , (A2) ¬(0 = S(x)),

(A3) x + 0 = x,

(A4) x + S (y ) = S (x + y ),

(A5) x · 0 = 0,

(A6) x · S (y ) = x · y + x,

(A7) ϕ(0) ∧ ∀x [ϕ(x ) → ϕ(S (x ))] −→ ∀x ϕ(x ).

(18)

Arytmetyka Peana PA

(A1) S (x) = S(y ) → x = y , (A2) ¬(0 = S(x)),

(A3) x + 0 = x,

(A4) x + S (y ) = S (x + y ), (A5) x · 0 = 0,

(A6) x · S (y ) = x · y + x,

(A7) ϕ(0) ∧ ∀x [ϕ(x ) → ϕ(S (x ))] −→ ∀x ϕ(x ).

(19)

Arytmetyka Peana PA

(A1) S (x) = S(y ) → x = y , (A2) ¬(0 = S(x)),

(A3) x + 0 = x,

(A4) x + S (y ) = S (x + y ), (A5) x · 0 = 0,

(A6) x · S (y ) = x · y + x,

(A7) ϕ(0) ∧ ∀x [ϕ(x ) → ϕ(S (x ))] −→ ∀x ϕ(x ).

(20)

Arytmetyka Peana PA

(A1) S (x) = S(y ) → x = y , (A2) ¬(0 = S(x)),

(A3) x + 0 = x,

(A4) x + S (y ) = S (x + y ), (A5) x · 0 = 0,

(A6) x · S (y ) = x · y + x,

(A7) ϕ(0) ∧ ∀x [ϕ(x ) → ϕ(S (x ))] −→ ∀x ϕ(x ).

(21)

Arytmetyka Peana PA

Model standardowy:

N₀= hN, 0, S, +, ·i

(22)

Logika matematyczna XIX/XX wiek

George Boole

Augustus De Morgan Gottlob Frege

Ernst Schröder Charles S. Peirce Bertrand Russell

(23)

Logika matematyczna XIX/XX wiek

George Boole

(24)

Logika matematyczna XIX/XX wiek

George Boole

Augustus De Morgan

Gottlob Frege Ernst Schröder Charles S. Peirce Bertrand Russell

(25)

Logika matematyczna XIX/XX wiek

George Boole

(26)

Logika matematyczna XIX/XX wiek

George Boole

Ernst Schröder

Charles S. Peirce Bertrand Russell

(27)

Logika matematyczna XIX/XX wiek

George Boole

Ernst Schröder Charles S. Peirce

Bertrand Russell

(28)

Logika matematyczna XIX/XX wiek

George Boole

(29)

Zakładano milcząco, że:

• wszelka wiedza matematyczna może być oparta na adekwatnym zbiorze aksjomatów,

• można dobrać dla każdej dziedziny matematyki adekwatny zestaw aksjomatów, w oparciu o który można rozwiązać każdy dotyczący jej problem (zupełny układ aksjomatów).

(30)

(31)

(32)

Wiek XIX – wyniki jakościowo nowe

trzy problemy starożytne:

• podwojenie sześcianu

• trysekcja kąta

• kwadratura koła

NIEROZWIĄZALNE

(33)

Wiek XIX – wyniki jakościowo nowe

• trysekcja kąta

NIEROZWIĄZALNE

(34)

Wiek XIX – wyniki jakościowo nowe

• trysekcja kąta

NIEROZWIĄZALNE

(35)

Wiek XIX – wyniki jakościowo nowe

• trysekcja kąta

NIEROZWIĄZALNE

(36)

Wiek XIX – wyniki jakościowo nowe

• trysekcja kąta

NIEROZWIĄZALNE

(37)

Wiek XIX – wyniki jakościowo nowe

• trysekcja kąta

NIEROZWIĄZALNE

(38)

Wiek XIX – wyniki jakościowo nowe

geometrie nieeuklidesowe(około 1830)

Mikołaj I. Łobaczewski Janos Bolyai

Karl Friedrich Gauss

(39)

Wiek XIX – wyniki jakościowo nowe

geometrie nieeuklidesowe(około 1830) Mikołaj I. Łobaczewski

Janos Bolyai

(40)

Wiek XIX – wyniki jakościowo nowe

Janos Bolyai

(41)

Wiek XIX – wyniki jakościowo nowe

Janos Bolyai

(42)

Istota matematyki czystej polega na wyprowadzaniu twierdzeń z postulowanych założeń (aksjomatów) a nie na rozstrzyganiu prawdziwości tych założeń.

"Matematyka czysta jest dziedziną, w której nie wiadomo, o czym się mówi, nie wiadomo też, czy to, co się mówi, jest prawdziwe." (Russell, 1949)

(43)

Istota matematyki czystej polega na wyprowadzaniu twierdzeń z postulowanych założeń (aksjomatów) a nie na rozstrzyganiu prawdziwości tych założeń.

"Matematyka czysta jest dziedziną, w której nie wiadomo, o czym się mówi, nie wiadomo też, czy to, co się mówi, jest prawdziwe."

(Russell, 1949)

(44)

Kurt Gödel (1906-1978)

(45)

Kurt Gödel i Albert Einstein

(46)

Kurt Gödel

Über formal unentscheidbare Sätze der ’Principia Mathematica’ und verwandter Systeme. I, Monatshefte für Mathematik und Physik 38 (1931), 173–198.

(47)

PIERWSZE TWIERDZENIE GÖDLA

Jeżeli arytmetyka Peana PA jest niesprzeczna, to istnieje zdanie ϕ_G języka PA nierozstrzygalne w PA, tzn. takie, że PA 0 ϕG oraz PA 0 ¬ϕG.

Zatem arytmetyka Peana PA jest teorią niezupełną.

To samo zachodzi dla każdego niesprzecznego rozszerzenia PA opartego na rekurencyjnym (efektywnie danym) układzie aksjomatów.

(48)

PIERWSZE TWIERDZENIE GÖDLA

(49)

PIERWSZE TWIERDZENIE GÖDLA

(50)

DRUGIE TWIERDZENIE GÖDLA

Jeżeli arytmetyka Peana PA jest niesprzeczna, to zdanie „PA jest niesprzeczna” nie jest twierdzeniem PA, tzn. arytmetyka PA nie dowodzi swojej własnej niesprzeczności. Podobnie dla każdej teorii rozszerzającej arytmetykę PA.

(51)

arytmetyzacja (gödlizacja) składni

ϕ 7→ pϕq (= liczba naturalna, numer Gödla formuły ϕ).

Paradoks kłamcy(paradoks Eubulidesa):

„ ja zawsze kłamię”

(52)

(53)

(54)

(55)

zdanie Gödla ϕ_G: „ ja nie jestem twierdzeniem”

ϕG prawdziwe, ale niedowodliwe w PA

zatem: ϕ_G nierozstrzygalne w PA

(56)

(57)

(58)

zdanie ϕ_G ma treść metamatematyczną (a nie wprost matematyczną)

lata 70-te i 80-te XX wieku – przykłady zdań nierozstrzygalnych o treści wprost matematycznej

J. Paris L. Harrington L. Kirby

(59)

(60)

(61)

Zdanie Goodsteina-Kirby’ego–Parisa

Reprezentacja liczby m przy zasadzie n:

przedstawić liczbę m jako sumę potęg liczby n, to samo zrobić z wszystkimi wykładnikami

itd.

m = 266, n = 2 266 = 2⁸+ 2³+ 2¹ 266 = 2²²⁺¹+ 2²⁺¹+ 2¹

(62)

Zdanie Goodsteina-Kirby’ego–Parisa

itd.

m = 266, n = 2 266 = 2⁸+ 2³+ 2¹ 266 = 2²²⁺¹+ 2²⁺¹+ 2¹

(63)

Zdanie Goodsteina-Kirby’ego–Parisa

itd.

m = 266, n = 2 266 = 2⁸+ 2³+ 2¹ 266 = 2²²⁺¹+ 2²⁺¹+ 2¹

(64)

Zdanie Goodsteina-Kirby’ego–Parisa

itd.

m = 266, n = 2

266 = 2⁸+ 2³+ 2¹ 266 = 2²²⁺¹+ 2²⁺¹+ 2¹

(65)

Zdanie Goodsteina-Kirby’ego–Parisa

itd.

m = 266, n = 2 266 = 2⁸+ 2³+ 2¹

266 = 2²²⁺¹+ 2²⁺¹+ 2¹

(66)

Zdanie Goodsteina-Kirby’ego–Parisa

itd.

m = 266, n = 2 266 = 2⁸+ 2³+ 2¹ 266 = 2²²⁺¹+ 2²⁺¹+ 2¹

(67)

Liczba G_n(m):

jeżeli m = 0, to G_n(m) = 0

jeżeli m 6= 0, to G_n(m) jest liczbą otrzymaną przez zastąpienie w reprezentacji liczby m przy zasadzie n liczby n przez n + 1 i odjęcie 1

G₂(266) = 3³³⁺¹+ 3³⁺¹+ 3¹− 1 =

= 3³³⁺¹+ 3³⁺¹+ 2

(68)

Liczba G_n(m):

jeżeli m 6= 0, to G_n(m) jest liczbą otrzymaną przez zastąpienie w reprezentacji liczby m przy zasadzie n liczby n przez n + 1 i odjęcie 1

G₂(266) = 3³³⁺¹+ 3³⁺¹+ 3¹− 1 =

= 3³³⁺¹+ 3³⁺¹+ 2

(69)

Liczba G_n(m):

jeżeli m 6= 0, to Gn(m) jest liczbą otrzymaną przez zastąpienie w reprezentacji liczby m przy zasadzie n liczby n przez n + 1 i odjęcie 1

G₂(266) = 3³³⁺¹+ 3³⁺¹+ 3¹− 1 =

= 3³³⁺¹+ 3³⁺¹+ 2

(70)

Liczba G_n(m):

jeżeli m 6= 0, to Gn(m) jest liczbą otrzymaną przez zastąpienie w reprezentacji liczby m przy zasadzie n liczby n przez n + 1 i odjęcie 1

G2(266) = 3³³⁺¹+ 3³⁺¹+ 3¹− 1 =

= 3³³⁺¹+ 3³⁺¹+ 2

(71)

Ciąg Goodsteina dla liczby m:

m₀ = m, m1= G2(m0), m2 = G3(m1), . . . m₀ = m, mk+1= Gk+2(mk)

m₀ = 266 = 2²²⁺¹ + 2²⁺¹+ 2¹

m₁ = G₂(m₀) = 3³³⁺¹+ 3³⁺¹+ 2 ≈ 10³⁸ m₂ = G₃(m₁) = 4⁴⁴⁺¹+ 4⁴⁺¹+ 1 ≈ 10⁶¹⁶ m3 = G4(m2) = 5⁵⁵⁺¹+ 5⁵⁺¹≈ 10¹⁰⁰⁰⁰ itd.

(72)

m₀ = m, m1= G2(m0), m2 = G3(m1), . . .

m₀ = m, mk+1= Gk+2(mk)

m₀ = 266 = 2²²⁺¹ + 2²⁺¹+ 2¹

m₁ = G₂(m₀) = 3³³⁺¹+ 3³⁺¹+ 2 ≈ 10³⁸ m₂ = G₃(m₁) = 4⁴⁴⁺¹+ 4⁴⁺¹+ 1 ≈ 10⁶¹⁶ m3 = G4(m2) = 5⁵⁵⁺¹+ 5⁵⁺¹≈ 10¹⁰⁰⁰⁰ itd.

(73)

m₀ = 266 = 2²²⁺¹ + 2²⁺¹+ 2¹

m₁ = G₂(m₀) = 3³³⁺¹+ 3³⁺¹+ 2 ≈ 10³⁸ m₂ = G₃(m₁) = 4⁴⁴⁺¹+ 4⁴⁺¹+ 1 ≈ 10⁶¹⁶ m3 = G4(m2) = 5⁵⁵⁺¹+ 5⁵⁺¹≈ 10¹⁰⁰⁰⁰ itd.

(74)

m₀ = 266 = 2²²⁺¹+ 2²⁺¹+ 2¹

m₁ = G₂(m₀) = 3³³⁺¹+ 3³⁺¹+ 2 ≈ 10³⁸ m₂ = G₃(m₁) = 4⁴⁴⁺¹+ 4⁴⁺¹+ 1 ≈ 10⁶¹⁶ m3 = G4(m2) = 5⁵⁵⁺¹+ 5⁵⁺¹≈ 10¹⁰⁰⁰⁰ itd.

(75)

m₀ = 266 = 2²²⁺¹+ 2²⁺¹+ 2¹ m₁ = G₂(m₀) = 3³³⁺¹+ 3³⁺¹+ 2

≈ 10³⁸ m₂ = G₃(m₁) = 4⁴⁴⁺¹+ 4⁴⁺¹+ 1 ≈ 10⁶¹⁶ m3 = G4(m2) = 5⁵⁵⁺¹+ 5⁵⁺¹≈ 10¹⁰⁰⁰⁰ itd.

(76)

m₀ = 266 = 2²²⁺¹+ 2²⁺¹+ 2¹

m₁ = G₂(m₀) = 3³³⁺¹+ 3³⁺¹+ 2 ≈ 10³⁸

m₂ = G₃(m₁) = 4⁴⁴⁺¹+ 4⁴⁺¹+ 1 ≈ 10⁶¹⁶ m3 = G4(m2) = 5⁵⁵⁺¹+ 5⁵⁺¹≈ 10¹⁰⁰⁰⁰ itd.

(77)

m₀ = 266 = 2²²⁺¹+ 2²⁺¹+ 2¹

m₁ = G₂(m₀) = 3³³⁺¹+ 3³⁺¹+ 2 ≈ 10³⁸ m₂ = G₃(m₁) = 4⁴⁴⁺¹+ 4⁴⁺¹+ 1

≈ 10⁶¹⁶ m3 = G4(m2) = 5⁵⁵⁺¹+ 5⁵⁺¹≈ 10¹⁰⁰⁰⁰ itd.

(78)

m₀ = 266 = 2²²⁺¹+ 2²⁺¹+ 2¹

m₁ = G₂(m₀) = 3³³⁺¹+ 3³⁺¹+ 2 ≈ 10³⁸ m₂ = G₃(m₁) = 4⁴⁴⁺¹+ 4⁴⁺¹+ 1≈ 10⁶¹⁶

m3 = G4(m2) = 5⁵⁵⁺¹+ 5⁵⁺¹≈ 10¹⁰⁰⁰⁰ itd.

(79)

m₀ = 266 = 2²²⁺¹+ 2²⁺¹+ 2¹

m₁ = G₂(m₀) = 3³³⁺¹+ 3³⁺¹+ 2 ≈ 10³⁸ m₂ = G₃(m₁) = 4⁴⁴⁺¹+ 4⁴⁺¹+ 1≈ 10⁶¹⁶ m3 = G4(m2) = 5⁵⁵⁺¹+ 5⁵⁺¹

≈ 10¹⁰⁰⁰⁰ itd.

(80)

m₀ = 266 = 2²²⁺¹+ 2²⁺¹+ 2¹

m₁ = G₂(m₀) = 3³³⁺¹+ 3³⁺¹+ 2 ≈ 10³⁸ m₂ = G₃(m₁) = 4⁴⁴⁺¹+ 4⁴⁺¹+ 1≈ 10⁶¹⁶ m3 = G4(m2) = 5⁵⁵⁺¹+ 5⁵⁺¹≈ 10¹⁰⁰⁰⁰

itd.

(81)

m₀ = 266 = 2²²⁺¹+ 2²⁺¹+ 2¹

m₁ = G₂(m₀) = 3³³⁺¹+ 3³⁺¹+ 2 ≈ 10³⁸ m₂ = G₃(m₁) = 4⁴⁴⁺¹+ 4⁴⁺¹+ 1≈ 10⁶¹⁶ m3 = G4(m2) = 5⁵⁵⁺¹+ 5⁵⁺¹≈ 10¹⁰⁰⁰⁰ itd.

(82)

ϕ1 : ∀m∃k(m_k = 0)

zdanie ϕ₁ jest prawdziwe, ale niedowodliwe w arytmetyce PA zatem: ϕ₁ jest nierozstrzygalne w PA

dla m = 4 mamy m_k = 0 dla k ≥ 3 · 2^402653211− 3 ≈ 10^121000000 liczba atomów we Wszechświecie ≈ 10⁸⁰.

(83)

ϕ1 : ∀m∃k(m_k = 0)

zdanie ϕ₁ jest prawdziwe, ale niedowodliwe w arytmetyce PA

zatem: ϕ₁ jest nierozstrzygalne w PA

(84)

ϕ1 : ∀m∃k(m_k = 0)

(85)

ϕ1 : ∀m∃k(m_k = 0)

dla m = 4 mamy m_k = 0 dla k ≥ 3 · 2^402653211− 3 ≈ 10^121000000

liczba atomów we Wszechświecie ≈ 10⁸⁰.

(86)

ϕ1 : ∀m∃k(m_k = 0)

(87)

(88)

Herakles walczy z Hydrą grecka waza z 525 p.n.e.

(kolekcja J. Paul Getty Museum, Malibu, California)

(89)

Walka Heraklesa z hydrą lernejską grafika Antonio Pollaiuolo z końca XV wieku

(Galeria Uffizi we Florencji)

(90)

q tułów

@

q q

segment szyi

węzeł A

A A A A A

A A A A A A

q q q q

H HH HH

L L L L

q q q

A A A A

głowa

q q

(91)

W każdym kroku Herakles odcina jedną głowę.

Na miejscu odciętej głowy wyrasta nowa według następującej zasady:

jeśli w kroku n-tym (czyli n-tym cięciem miecza) Herakles odciął jakąś głowę, to z węzła odległego o 1 segment od głowy uciętej wyrasta n kopii tej części hydry, która po odcięciu głowy znajduje się powyżej węzła osiągniętego przez cofnięcie się o 1 segment jeśli ucięta głowa ma tułów jako jeden ze swoich węzłów, to nie wyrasta żadna nowa głowa

Herakles zwycięża, jeśli odetnie wszystkie głowy

(92)

(93)

jeśli w kroku n-tym (czyli n-tym cięciem miecza) Herakles odciął jakąś głowę, to z węzła odległego o 1 segment od głowy uciętej wyrasta n kopii tej części hydry, która po odcięciu głowy znajduje się powyżej węzła osiągniętego przez cofnięcie się o 1 segment

jeśli ucięta głowa ma tułów jako jeden ze swoich węzłów, to nie wyrasta żadna nowa głowa

(94)

(95)

(96)

Posąg Heraklesa zabijającego Hydrę rzymska kopia greckiego oryginału z IV w.p.n.e.

(Palazzo Nuovo, Rzym)

(97)

@q

@

q q

A A A A A A

q q q q

H HH HH

L L L L

q q q

A A A A

)

q q

(98)

@q

@

q q

A A A A A A

q q

q q q

H HH HH

L L L L

q q q

(99)

@q

@

q q

A A A A A A

q q

q q q

H HH HH

L L L L

q q q

(100)

@q

@

q q

B B B B B B B

q q q

D D D DD

q q q q q q

q

A A A A A A

q q

q

(101)

@q

@

q q

B B B B B B B

q q q

D D D DD

q q q q q q

q

A A A A A A

q q

q

(102)

@q

@

q q

q q A

AA

(((

q q

q q q

B B B B B B B

q q q

D D D DD

q q q q q q

q

(103)

strategia = funkcja określająca, którą głowę należy odciąć na danym etapie walki

strategia zwycięska = strategia, która gwarantuje zwycięstwo

(104)

strategia = funkcja określająca, którą głowę należy odciąć na danym etapie walki

strategia zwycięska = strategia, która gwarantuje zwycięstwo

(105)

TWIERDZENIEKażda strategia jest dla Heraklesa zwycięska.

zdanie ψ: każda strategia efektywna (rekurencyjna) jest dla Heraklesa zwycięska

zdanie ψ jest prawdziwe

TWIERDZENIEZdanie ψ jest prawdziwe, ale niedowodliwe w arytmetyce PA.

Zatem: zdanie ψ jest nierozstrzygalne w PA

(106)

(107)

(108)

(109)

(110)

Wnioski

• aksjomatyzacja – wygodne narzędzie ścisłego porządkowania i przekazywania wiedzy (matematycznej), najlepsze narzędzie, jakie ludzie wymyślili

• metoda aksjomatyczna nie daje pełnej wiedzy (nawet o liczbach naturalnych)

• nie można całej matematyki zawrzeć w niesprzecznym systemie aksjomatycznym, w żadnym takim systemie nie można zawrzeć całości prawdy nawet o liczbach naturalnych

• niewyczerpywalność zasobu prawd matematycznych, nawet prawd arytmetycznych dotyczących liczb naturalnych

(111)

Wnioski

(112)

Wnioski

(113)

Wnioski

(114)

Wnioski

(115)

Wnioski

• konieczność stosowania metod nieskończonych nawet przy dowodzeniu twierdzeń o obiektach skończonych, jak liczby naturalne

• dowodliwość 6= prawdziwość

ϕ dowodliwe −→ ϕ prawdziwe

ale nieprawda, że: ϕ prawdziwe −→ ϕ dowodliwe

• nie można a priori ograniczać metod stosowanych w matematyce, nie można ograniczać twórczej inwencji matematyków

• nie ma (i nie będzie) absolutnych dowodów niesprzeczności w matematyce

(116)

Wnioski

(117)

Wnioski

(118)

Wnioski

(119)

Wnioski

(120)

Wnioski

(121)

Twierdzenia Gödla a sztuczna inteligencja

Czy umysł ludzki działa tak, jak maszyna (komputer)?

Czy pracę matematyka można zmechanizować i zautomatyzować? NIE

Nie można twórczej pracy umysłu matematyka zastąpić w pełni pracą maszyny (komputera).

(122)

Twierdzenia Gödla a sztuczna inteligencja

Czy pracę matematyka można zmechanizować i zautomatyzować? NIE

(123)

Twierdzenia Gödla a sztuczna inteligencja

Czy pracę matematyka można zmechanizować i zautomatyzować?

NIE

(124)

Twierdzenia Gödla a sztuczna inteligencja

NIE

(125)

Twierdzenia Gödla a sztuczna inteligencja

NIE

(126)

Twierdzenia Gödla a sztuczna inteligencja

Twierdzenia Gödla pokazują pewne granice możliwości poznawczych metody aksjomatycznej i granice możliwości maszyn (komputerów).

Czy pokazują też granice możliwości poznawczych człowieka? Umiemy rozstrzygać (przynajmniej niektóre) zdania nierozstrzygalne w danym systemie aksjomatycznym.

Wydaje się więc, że odpowiedź jestnegatywna.

Ale czy jesteśmy w stanie odpowiedzieć na każde pytanie?

(127)

Twierdzenia Gödla a sztuczna inteligencja

Czy pokazują też granice możliwości poznawczych człowieka?

Umiemy rozstrzygać (przynajmniej niektóre) zdania nierozstrzygalne w danym systemie aksjomatycznym.

(128)

Twierdzenia Gödla a sztuczna inteligencja

(129)

Twierdzenia Gödla a sztuczna inteligencja

(130)