MACIERZE LOSOWE LISTA 10
Wartości własne, wartości szczególne, norma Frobeniusa 1. Uzasadnić, że jeżeli A ∈ Mn(R), to kAkop ≤ kAkF.
2. Niech A, B ∈ Mn(C) będą macierzami normalnymi i niech α1, . . . , αnoraz β1, . . . , βn będą wartościami własnymi A i B, odpowiednio. Pokazać, że
kA − Bk2F =
n
X
i,j=1
Pi,j|αi− βj|2
gdzie Pi,j = |Wi,j|2 dla pewnej macierzy unitarnej W .
3. Uzasadnić, że macierz P = (Pi,j) z poprzedniego zadania jest macierzą podwójnie stochastyczną, tzn. składa się z nieujemnych liczb, takich, że
n
X
i=1
Pi,j =
n
X
j=1
Pi,j = 1
4. Uzasadnić, że zbiór P macierzy podwójnie stochastycznych wymiaru n × n jest zwartym i wypukłym podzbiorem w przestrzeni Mn(R).
5. Macierz P ∈ P nazywa się macierzą permutacji jeżeli w każdym wierszu i w każdej kolumnie zawiera dokladnie jedna liczbę równą jeden (a pozostałe są zerami).
Podać przykłady macierzy permutacji wymiaru 3 × 3 oraz 4 × 4. Zauważyć, że macierz permutacji można zapisać w postaci Pi,j = δi,σ(i), gdzie σ ∈ Sn.
6. Niech będzie dana funkcja Φ : P → R postaci Φ(Q) =
n
X
i,j=1
Qi,j|αi − βj|2
gdzie notacja jest taka jak w zadaniu 2. Korzystając z zadania 4 oraz twierdzenia Birkhoffa-von Neumanna, które mówi, że punkty ekstremalne zbioru P są macie- rzami permutacji, uzasadnić, że
kA − Bk2F ≥ min
σ∈Sn
n
X
i=1
|αi− βσ(i)|2
!
gdzie Sn jest grupą permutacji zbioru n-elementowego.
7. Pokazać, że jeżeli A, B ∈ Mn(C) są hermitowskie, to
σ∈Sminn
n
X
i=1
|αi− βσ(i)|2 =
n
X
i=1
|λi(A) − λi(B)|2
gdzie λ1(A) ≤ . . . ≤ λn(A) oraz λ1(B) ≤ . . . ≤ λn(B) są (uporządkowanymi) wartościami własnymi macierzy A i B, odpowiednio.
1
8. Przy założeniach z poprzedniego zadania, wywnioskować wzór
kA − Bk2F ≥
n
X
i=1
|λi(A) − λi(B)|2
9. Wartościami szczególnymi zespolonej macierzy prostokątnej A (singular values) nazywamy liczby s1 = p|σ1|, . . . , sn = p|σn|, gdzie σ1, . . . , σn są wartościami własnymi macierzy AA∗. Pokazać, źe jeżeli A ∈ Mn(C) jest normalna, to
s1 = |λ1|, . . . , sn = |λn| gdzie λ1, . . . , λn są wartościami własnymi macierzy A.
Romuald Lenczewski
2
