O pewnym problemie związanym z wartościami własnymi macierzy

ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria I : PRACE MATEMATYCZNE X I I (1968)

ANNALES SOCIETATIS MATHEMATICAE POLONAE Series I : COMMENTATIONES MATHEMATICAE X I I (1968)

J . A

(Ciechanowiec)

O pewnym problemie związanym z wartościami własnymi macierzy

W artykule [1] A. Fadiniego rozwiązany jest następujący problem.

Dana jest macierz w-tego stopnia G = (дц). Szuka się macierzy tego samego stopnia F — (fu), dla której macierz GF miałaby zadany ciąg wartości własnych

( 1 ) « 1 , ® 2 , '

Zakłada się przy tym, że macierz G jest nieosobliwa i rzeczywista, a w ciągu ( 1 ) wszystkie liczby są rzeczywiste, różne między sobą i różne od zera.

Celem tej pracy jest rozwiązanie następującego zagadnienia. Mech będzie dana macierz A i ciąg liczb

( 2 ) , Я 2 , . .. , .

Szukamy takiej macierzy В przemiennej z A, aby macierz A B miała wartości własne ( 2 ).

Zagadnienie to można rozwiązać korzystając z twierdzenia Hamil- tona-Cayleya. Jeżeli mamy wartości własne macierzy A B , to można znaleźć wielomian charakterystyczny tej macierzy. *Mech to będzie wie­

lomian /(A) = Aft-|-a 1 An- 1 -b... + a„_1A + On. Stosując twierdzenie Hamil- tona-Cayleya otrzymujemy równanie macierzowe

( A B f + a ^ AB T' -' A . .. + an_ a (AB) + anE .= 0.

Eównanie to jest równoważne układowi n % równań algebraicznych o n 2

niewiadomych by dla i , j — ± , 2 , . . . , n , będących elementami szuka­

nej macierzy B. Ta metoda jest bardzo uciążliwa już dla n = 2.

W tym artykule pokażę inną metodę rozwiązania tego zagadnienia.

Metoda ta pozwala ominąć rozwiązywanie układu równań algebraicz­

nych wyższych stopni. Sprowadza ona zagadnienie do rozwiązywania

układu równań, z których każde jest równaniem liniowym.

64 J . A mb r o s i e wi c z

M e c h

х<г)

xs~\-H, ftl) = fixle + fi12TI

fiuĘ1 \

as, gdzie (i) oznacza stopień kwadratowych macierzy и(г), fi^\ а(г),

‘0 A 0 '

я = o -'-i •

0

L

1 . Jeżeli zachodzi równość ^и(г)/5(г) = а(г), to filp = ( — l)p~1ax~p dla p = 1 , 2 , . . . , i .

Dowód. Po przeprowadzeniu prostych rachunków dostajemy

(3) = =

= / ? H « e + ( ^ i 2 ^ + ^ i i ) - £ f + * - - + ( / 5 1i _ i ^ + / ? i i - 2 ) ^ 2 + + f i l i - l ) ^ \

Uwzględniając przyjęte oznaczenia i założenie lematu 1 dostajemy rów-

^ ności

( 4 )

и х = а,

fiu — 0 ,

= 0 .

Z (4) natychmiast otrzymujemy tezę lematu.

Mech

an a i 2 •. . alk

0 • al 2

au

0 0 . . . 0

0 0 . . . 0

będzie macierzą o rozmiarach l

&, l > Tc oraz o . . . 0 bxk+l blk+2 . . . blk + i I ,

o rozmiarach lxlc~\-l.

L

2 . Jeżeli

0

blk+l-

( б )

к{1)М г

x{l)M 2

to odpowiednio axl = a12 = ... = alk — 0 i blk+1 = blk+2 = . = b1 k+l-

Problem związany z wartościami własnymi macierzy 5 5

Dowód. Jeżeli wykonamy mnożenie macierzy po lewych stronach równań macierzowych (5), to otrzymamy odpowiednio dwa nkłady rów­

ności

M i n

— 0 ,

— 0 , . . . ,

— b,

xblk-}-l ~ 0) ^^lk+2 &ik+l — Oj •••? ^lk+l ~Ь blk+l— 1 — Oj z których bezpośrednio wynika teza lematu.

Dla macierzy A stopnia n istnieje taka nieosobliwa macierz T, że ( 6 ) T~*AT = J = d ia g (4 4 4 y , . . . . 4 P>),

gdzie = щ е + Н dla i — ¹ , ² , p. h oznacza stopień klatki y p i li A

A l^A- • • A — n.

Jeżeli macierz В jest przemienna z macierzą A, to T~lB T = = {psv), s, v = I , 2 , ...j p, gdzie pu = ай 8 + а йЯ + ... + ай.Я^-1, i = 1 , 2 , ...,p , i jeśli

Pi+i,i+

, • • •, Pi+k,i-\.k mają na głównych przekątnych liczby równe, to

•••?

mają pOStaC il/j lub J^2>

a wszystkie pozostałe

są zerami ([2], str. 178-184).

Iloczynem macierzy J i J j jest macierz

(7) <7^ = (* ? > & ,) , * , v = l , 2

Wyrazy na głównej przekątnej macierzy (7) mają postać (3), a pozostałe postać lewych stron w równaniach (5). Ponieważ T~lA T — J i T~lB T = J 11 to A = TJT~* i В — T JxT ~ l, więc ^.Я = T J J xT~l. Zatem wartości własne macierzy АБ są takie same jak wartości własne macierzy J J x , bo macierze podobne mają te same wartości własne.

Wartościami własnymi macierzy (7) są liczby znajdujące się na przekątnej głównej tej macierzy. Prawdziwość tego zdania wynika z faktu, że w wyznaczniku macierzy (7) wszystkie podwyznaczniki kątowe główne mają wiersz lub kolumnę składającą się z samych zer, z wyjątkiem ele­

mentu leżącego na przekątnej głównej. Zwróćmy uwagę na to, że ma­

cierz (7) ma tyle różnych wartości własnych, ile różnych wartości własnych ma macierz A. Dlatego postawione zagadnienie będzie rozwiązalne, gdy w ciągu ( 2 ) przyjmiemy tyle różnych liczb, ile różnych wartości własnych ma macierz A. Załóżmy więc, że macierz A ma g różnych war­

tości własnych &15 Jc2, . .. , 7cg. Wtedy za ciąg ( 2 ) możemy przyjąć vlf v2, . . . , t?e różnych liczb. Liczby &2, ..., \ są rozmieszczone w p klat­

kach macierzy ( 6 ), p > q. W ten sposób rozmieśćmy też liczby ..., vq w p klatkach macierzy

( 8 ) V = d iag K , . .. , vlf . .. , vp, . .. , vp) = diagrfó, . .. , v$p)).

56 J . A m b r o s i e w i c z

Porównując (7) i (8), dostajemy równanie macierzowe J J 1 = V. W opar­

ciu o lemat 2, równanie to możemy zastąpić układem równań Tcf^Pu — v(ll\

i = 1, 2 , p. Na mocy lematu 1 każde z tych. równań macierzowych ma oddzielne rozwiązanie dane wzorami aix = ( — l)s~1-vik iS dla s = 1, 2 , i = 1 , 2 , p. W ten sposób macierz J x jest jedno­

znacznie wyznaczona dla przyjętego porządku liczb vx, v2, . . . , vq, a tym samym В = T J 1T~1, co oznacza rozwiązanie postawionego zagadnienia.

Z q różnych liczb vx, v2, vq jest ql permutacji, dlatego zagadnie­

nie ma q\ różnych rozwiązań.

L ite ra tu ra cytow ana

[1] A. F a d in i, Beitrag zur Losung eines inversen Eigenwertproblems, Z. angew.

Math, und Mech. 44, Nr 10/11 (1964), str. 506-508.

[2] Ф. P. Г а н т м а х е р , Теория матриц, Москва 1954.

J . A

(Ciechanowiec)

ON A CERTAIN PRO BLEM R ELA TED TO CHARACTERISTIC ROOTS OF MATRICES

S U M M A R Y

The following problem is stated and solved: Given any sequence Ax, Л2, . . . , (with repetitions allowed) of non-zero numbers and a non-singular matrix A , find matrices X and Y , Y non-singular, such that

A X = X A ,

A X = F - 1 J(Ax, A2, . . . , An) Y ,

where J(AX, X2, . . . , AM) is a Jordan matrix with the characteristic roots Ax, Л2, An -

Under some natural conditions on the multiplicity of the characteristic roots,

of A , the author shows that the problem has a solution. Moreover, it is possible to

give the elements of the matrices X and Y in an explicit form.