Matura – Matematyka – Zbiór zadań 2023 – Odpowiedzi

Rodzaj dokumentu:

Materiał dodatkowy

Zagadnienie:

Zbiór zadań z matematyki

Egzamin:

Egzamin maturalny

Przedmiot:

Matematyka

Poziom egzaminu:

Podstawowy

Adresaci dokumentu:

Nauczyciele matematyki

Uczniowie szkół ponadpodstawowych

Data publikacji

dokumentu:

7 października 2022 r.

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Zespół redakcyjny:

Hubert Rauch (CKE) Sebastian Felski (CKE) Mariusz Mroczek (CKE) Monika Nowak (CKE)

Ewa Ludwikowska (OKE Gdańsk) dr Michał Krych (UW)

Recenzenci:

dr Tomasz Karpowicz (recenzja językowa) dr hab. Jan Jakóbowski (UWM)

Marian Pacholak (OKE Warszawa) dr Wioletta Kozak (CKE)

Alicja Kwiecień (CKE)

Materiał został opracowany przez Centralną Komisję Egzaminacyjną we współpracy z okręgowymi komisjami egzaminacyjnymi.

Centralna Komisja Egzaminacyjna

ul. Józefa Lewartowskiego 6, 00-190 Warszawa tel. 22 536 65 00

sekretariat@cke.gov.pl

Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Gdańsku

ul. Na Stoku 49, 80-874 Gdańsk tel. 58 320 55 90

komisja@oke.gda.pl

Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Jaworznie

ul. Adama Mickiewicza 4, 43-600 Jaworzno tel. 32 616 33 99

oke@oke.jaworzno.pl

Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Krakowie

os. Szkolne 37, 31-978 Kraków tel. 12 683 21 99

oke@oke.krakow.pl

Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Łomży

al. Legionów 9, 18-400 Łomża tel. 86 473 71 20

sekretariat@oke.lomza.pl

Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Łodzi

ul. Ksawerego Praussa 4, 94-203 Łódź tel. 42 634 91 33

sekretariat@lodz.oke.gov.pl

Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu

ul. Gronowa 22, 61-655 Poznań tel. 61 854 01 60

sekretariat@oke.poznan.pl

Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Warszawie

pl. Europejski 3, 00-844 Warszawa tel. 22 457 03 35

info@oke.waw.pl

Okręgowa Komisja Egzaminacyjna we Wrocławiu

ul. Tadeusza Zielińskiego 57, 53-533 Wrocław tel. 71 785 18 94

sekretariat@oke.wroc.pl

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Spis treści

Wprowadzenie... 4

Zadania sprawdzające wymagania z podstawy programowej – poziom podstawowy ... 7

I. Liczby rzeczywiste ... 7

II. Wyrażenia algebraiczne ...13

III. Równania i nierówności ...19

IV. Układy równań ...27

V. Funkcje ...33

VI. Ciągi...43

VII. Trygonometria ...51

VIII. Planimetria ...57

IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej ...65

X. Stereometria ...73

XI. Kombinatoryka ...79

XII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka ...83

XIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy ...87

Zasady oceniania ...91

I. Liczby rzeczywiste ...92

II. Wyrażenia algebraiczne ...97

III. Równania i nierówności ... 100

IV. Układy równań ... 106

V. Funkcje ... 112

VI. Ciągi... 118

VII. Trygonometria ... 126

VIII. Planimetria ... 130

IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej ... 139

X. Stereometria ... 151

XI. Kombinatoryka ... 154

XII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka ... 156

XIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy ... 158

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Wprowadzenie

Matematyka jest nauką, która stanowi istotne wsparcie dla innych dziedzin, zwłaszcza dla nauk przyrodniczych i informatycznych. Nauczanie matematyki w szkole opiera się na czterech fundamentach: nauce rozumowania matematycznego, analizie i interpretacji informacji, kształceniu sprawności rachunkowej oraz przekazywaniu wiedzy o własnościach obiektów matematycznych.

Sprawność rachunkowa

Sprawność rachunkowa jest niezwykle ważnym elementem nauczania matematyki nawet obecnie, kiedy wiele rachunków wykonuje się za pomocą sprzętu elektronicznego. Ważnym celem ćwiczenia sprawności rachunkowej jest kształtowanie wyobrażenia o wielkościach liczb, a w konsekwencji

doskonalenie umiejętności precyzyjnego szacowania wyników.

Takie wyobrażenie ułatwia codzienne życie, na przykład planowanie budżetu domowego. Na wyższym poziomie, przy działaniach na wyrażeniach algebraicznych, sprawność rachunkowa pozwala doskonalić umiejętność operowania obiektami matematycznymi.

Wykorzystanie

i tworzenie informacji

Istotnym elementem edukacji matematycznej jest umiejętność analizy i interpretacji tekstu matematycznego przedstawionego w różnej formie, np. relacji, wykresów, tabel, diagramów oraz interpretacji uzyskanego wyniku, sensowności otrzymanego rozwiązania.

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji

Wiedza o właściwościach obiektów matematycznych pozwala na swobodne operowanie nimi i stosowanie obiektów

matematycznych do opisu bądź modelowania zjawisk

obserwowanych w rzeczywistości. Właściwości matematyczne modeli przekładają się często na konkretne własności obiektów rzeczywistych.

Rozumowanie matematyczne

Rozumowanie matematyczne to umiejętność poszukiwania rozwiązania danego zagadnienia. Dobrze kształcona rozwija zdolność myślenia konstruktywnego, premiuje postępowanie nieschematyczne i twórcze. Ponadto rozumowanie

matematyczne narzuca pewien rygor ścisłości: dowód matematyczny musi być poprawny. Dobre opanowanie umiejętności rozumowania matematycznego ułatwia w życiu codziennym odróżnianie prawdy od fałszu.

Powyższe umiejętności zostały ujęte w podstawie programowej jako cele kształcenia – wymagania ogólne.

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Cele kształcenia – wymagania ogólne

I. Sprawność rachunkowa.

Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora,

stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych.

II. Wykorzystanie i trworzenie informacji.

1. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.

2. Używanie języka matematycznego do tworzenia tekstów matematycznych, w tym do opisu prowadzonych rozumowań i uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych.

III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.

1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.

2. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych.

3. Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.

4. Wskazywanie konieczności lub możliwości modyfikacji modelu matematycznego w przypadkach wymagających specjalnych zastrzeżeń, dodatkowych założeń, rozważenia szczególnych uwarunkowań.

IV. Rozumowanie i argumentacja.

1. Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.

2. Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności.

3. Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów, tworzenie ciągu argumentów, gwarantujących poprawność rozwiązania i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia.

4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych.

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Zadania sprawdzające wymagania z podstawy programowej – poziom podstawowy

I. Liczby rzeczywiste

Wymagania szczegółowe z zakresu obszaru I

Uczeń:

1) wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych;

2) przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia nie trudniejsze niż:

a) dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych,

b) dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3, to jej trzecia potęga przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2;

3) stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych;

4) stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach;

5) stosuje własności monotoniczności potęgowania, w szczególności własności: jeśli

𝑥 < 𝑦

oraz

𝑎 > 1

, to

𝑎

^𝑥

< 𝑎

^𝑦, zaś gdy

𝑥 < 𝑦

i

0 < 𝑎 < 1

, to

𝑎

^𝑥

> 𝑎

^𝑦;

6) posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej;

7) stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania i nierówności typu:

|𝑥 + 4| = 5

,

|𝑥 − 2| < 3

,

|𝑥 + 3| ≥ 4

;

8) wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów;

9) stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

Komentarz

W tym dziale sprawdzana jest sprawność wykonywania działań na liczbach

z uwzględnieniem ich własności i związków między nimi (potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie). Sprawdzana jest również umiejętność posługiwania się przedziałami liczbowymi. Wybrane zadania weryfikują sprawność przeprowadzenia rozumowania matematycznego, polegającego na wykazaniu podzielności liczb.

Pojęcia

• działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie)

• proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia

• własności pierwiastków

• związek pierwiastkowania z potęgowaniem

• własności monotoniczności potęgowania

• przedziały liczbowe

• interpretacja geometryczna i algebraiczna wartości bezwzględnej

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Zadania sprawdzające wymagania z obszaru I

Zadanie 1. (0–2)

Wykaż, że suma trzech kolejnych liczb całkowitych jest podzielna przez

𝟑

.

Zadanie 2. (0–1)

Liczbę

𝑎 = (√2 + √7)

² można zapisać w postaci

𝑎 = 𝑥 + 𝑦√14

, gdzie 𝑥 ∈ ℤ oraz 𝑦 ∈ ℤ.

Uzupełnij poniższe równości. Wpisz właściwe liczby w wykropkowanych miejscach.

𝑥 = ...

𝑦 = ...

Brudnopis

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Zadanie 3. (0–3)

Rozważmy takie liczby rzeczywiste

𝑎

i

𝑏

, które spełniają warunki:

𝑎 ≠ 0

oraz

𝑏 ≠ 0

oraz

𝑎√2 + 𝑏√3 = 0

Oblicz wartość liczbową wyrażenia ^𝒂

𝒃

+

^𝒃

𝒂 dla dowolnych liczb rzeczywistych

𝒂

i

𝒃

, spełniających powyższe warunki. Wynik podaj w postaci ułamka bez niewymierności w mianowniku.

Zapisz obliczenia.

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Zadanie 4. (0–2) Dana jest liczba

𝑎 = 1

1 + √2+ 1

√2 + √3+ 1

√3 + √4 Wykaż, że

𝒂

jest liczbą całkowitą. Zapisz obliczenia.

Wskazówka: Usuń niewymierności z mianowników.

Zadanie 5. (0–1)

Która z podanych równości (A–D) jest prawdziwa? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

A.

(√7 + √5)

³

= √7

³

+ √5

³ B.

√√144 + √16 = 2

⁴²

C.

(√2

¹

4

)

3

= 2

³²

+ (

¹

2

)

³ D.

( √64

³

)

1 8

= 8

³

Brudnopis

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Zadanie 6. (0–2)

Okres 𝑇 drgań wahadła w pewnym zegarze dany jest wzorem:

𝑇 = 2𝜋√ 𝑙

𝑔

gdzie

𝑙

oznacza długość wahadła, a

𝑔

oznacza przyśpieszenie grawitacyjne. Przyjmij do obliczeń, że przyśpieszenie grawitacyjne na Ziemi wynosi

𝑔

_𝑍

= 9,81 m/s

²,

a przyśpieszenie grawitacyjne na Księżycu wynosi

𝑔

_𝐾

= 1,62 m/s

².

Oblicz ^𝑻𝑲

𝑻_𝒁 – stosunek okresu drgań tego wahadła, gdyby znajdowało się ono na Księżycu, do okresu drgań tego samego wahadła znajdującego się na Ziemi.

Wynik podaj z dokładnością do

𝟎, 𝟎𝟏

. Zapisz obliczenia.

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Zadanie 7. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia

log 𝑘 + log

₁₀₀¹

𝑘

²

− log

₁₀¹

𝑘

³, gdzie

𝑘 > 0

, jest równa

A.

0

B.

1

C.

(−1)

D.

𝑘

Brudnopis

Zadanie 8. (0–2)

Liczby rzeczywiste

𝑥

,

𝑦

,

𝑧

spełniają następujące warunki:

𝑥, 𝑦, 𝑧 > 0

oraz

𝑥, 𝑦, 𝑧 ≠ 1

oraz

𝑦

^𝑧

= 𝑥

Dokończ zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych.

Z podanych warunków wynika, że prawdziwe są równości

A.

log

_𝑥

𝑦 = 𝑧

B.

𝑦

^{− log𝑦𝑥}

=

¹

𝑥

C.

log

_𝑥

𝑧 = 𝑦

D.

𝑦

^log𝑥𝑦

= 𝑥

E.

log

_𝑦

𝑥 = 𝑧

F.

𝑧

^{− log𝑥𝑧}

=

¹

𝑦 Brudnopis

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

II. Wyrażenia algebraiczne

Wymagania szczegółowe z zakresu obszaru II

Uczeń:

1) stosuje wzory skróconego mnożenia na:

(𝑎 + 𝑏)

²,

(𝑎 − 𝑏)

²,

𝑎

²

− 𝑏

²,

(𝑎 + 𝑏)

³,

(𝑎 − 𝑏)

³,

𝑎

³

− 𝑏

³,

𝑎

^𝑛

− 𝑏

^𝑛;

2) dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych;

3) wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej;

4) rozkłada wielomiany na czynniki metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias oraz metodą grupowania wyrazów, w przypadkach nie trudniejszych niż rozkład

wielomianu

𝑊(𝑥) = 2𝑥

³

− √3𝑥

²

+ 4𝑥 − 2√3

^;

5) znajduje pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych;

6) dzieli wielomian jednej zmiennej

𝑊(𝑥)

przez dwumian postaci

𝑥 − 𝑎

; 7) mnoży i dzieli wyrażenia wymierne;

8) dodaje i odejmuje wyrażenia wymierne, w przypadkach nie trudniejszych niż:

1 𝑥 + 1 − 1

𝑥

^,

1

𝑥 + 1

𝑥

²

+ 1

𝑥

^3,

𝑥 + 1

𝑥 + 2 + 𝑥 − 1 𝑥 + 1 .

Komentarz

W dziale tym sprawdzana jest głównie umiejętność posługiwania się wyrażeniami reprezentującymi liczby przy użyciu zmiennych. Zadania sprawdzają m. in. sprawność

posługiwania się wzorami skróconego mnożenia, jak również działania na wielomianach oraz wyrażeniach wymiernych.

Pojęcia

• wzory skróconego mnożenia

• wielomian

• suma algebraiczna

• rozkład wielomianu na czynniki

• pierwiastki całkowite wielomianu

• dzielenie wielomianu przez dwumian

𝑥 − 𝑎

• wyrażenia wymierne

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Zadania sprawdzające wymagania z obszaru II Zadanie 9. (0–1)

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Wyrażenie

2𝑥

²

− 1

można przekształcić równoważnie do wyrażenia

(1 − 𝑥√2)(𝑥√2 − 1).

^{P F}

Dla każdej liczby rzeczywistej

𝑥

wartość wyrażenia

(2 + 𝑥)

³

− 𝑥

²

(𝑥 + 6) − 12𝑥

jest równa

8.

^{P F}

Brudnopis

Zadanie 10. (0–1)¹ Dany jest wielomian

𝑊(𝑥) = 𝑥

³

− 9𝑥

²

+ 26𝑥 − 24

który ma trzy pierwiastki całkowite.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Jednym z pierwiastków tego wielomianu jest liczba

A.

13

B.

12

C.

7

D.

2

Brudnopis

Zadanie 9. sprawdza wymaganie II.1, zadanie 10. sprawdza wymaganie II.5 podstawy programowej z matematyki. Wymagania te nie będą obowiązywały w pełnym zakresie na egzaminie maturalnym w roku 2023 i 2024.

PP

PP PP

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Zadanie 11. (0–3) Dane jest wyrażenie

( 𝑎

𝑎 + 𝑏 − 𝑎

²

𝑎

²

− 𝑏

²

) : ( 𝑎 − 𝑏 𝑎

²

− 𝑏

²

)

gdzie

𝑎 ∈ ℝ

,

𝑏 ∈ ℝ

,

𝑎 ≠ 𝑏

,

𝑎 ≠ −𝑏

.

Przekształć dane wyrażenie do najprostszej postaci i oblicz jego wartość dla

𝒂 =

^𝟐

√𝟑 ^oraz

𝒃 = −

^𝟏

√𝟑. Zapisz obliczenia.

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Zadanie 12. (0–2) Wyrażenie wymierne

2

𝑥 − 3 + 5

można przekształcić równoważnie do wyrażenia

𝑎𝑥 + 𝑏 𝑐𝑥 + 𝑑

^, gdzie

𝑎

,

𝑏

,

𝑐

,

𝑑

są pewnymi współczynnikami rzeczywistymi.

Wyznacz wartości liczbowe współczynników

𝒂

,

𝒃

,

𝒄

,

𝒅

. Zapisz obliczenia.

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Zadanie 13. (0–1)² Dany jest wielomian

𝑊(𝑥) = 𝑥

³

− 4𝑥

²

+ 𝑥 + 6

gdzie

𝑥 ∈ ℝ

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie spośród 1., 2. albo 3.

Wskazówka: Skorzystaj z definicji podzielności wielomianu

𝑊(𝑥)

przez dwumian

(𝑥 − 𝑎)

. Wielomian

𝑊(𝑥)

jest podzielny przez

dwumian

(𝑥 − 3)

,

ponieważ

1. liczba

𝑥 = 3

jest pierwiastkiem wielomianu.

A.

2. wyraz wolny wielomianu jest równy

6

. dwumian

(𝑥 − 6),

B. 3. liczba

𝑥 = 6

jest pierwiastkiem

wielomianu.

Brudnopis

Zadanie sprawdza wymaganie II.5 podstawy programowej z matematyki, które nie będzie obowiązywało na egzaminie maturalnym w roku 2023 i 2024.

PP

PP

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

III. Równania i nierówności

Wymagania szczegółowe z zakresu obszaru III

Uczeń:

1) przekształca równania i nierówności w sposób równoważny;

2) interpretuje równania i nierówności sprzeczne oraz tożsamościowe;

3) rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą;

4) rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe;

5) rozwiązuje równania wielomianowe, które dają się doprowadzić do równania kwadratowego, w szczególności równania dwukwadratowe;

6) rozwiązuje równania wielomianowe postaci

𝑊(𝑥) = 0

dla wielomianów

doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania;

7) rozwiązuje równania wymierne postaci 𝑉⁽𝑥⁾

𝑊(𝑥)

= 0

, gdzie wielomiany

𝑉(𝑥)

i

𝑊(𝑥)

są zapisane w postaci iloczynowej.

Komentarz

Dział ten skupia zadania weryfikujące sprawność przekształcania równań i nierówności w sposób równoważny, jak również interpretowania równań i nierówności sprzecznych oraz tożsamościowych. Sprawdzana jest między innymi umiejętność rozwiązywania równań i nierówności kwadratowych oraz równań wielomianowych i wymiernych.

Pojęcia

• równania i nierówności liniowe

• równania i nierówności kwadratowe

• równania wielomianowe

• równania wymierne

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Zadania sprawdzające wymagania z obszaru III

Zadanie 14. (0–2)

Rozwiąż nierówność. Podaj największą liczbę całkowitą spełniającą tę nierówność.

𝟐𝒙 ≥ √𝟓 ∙ 𝒙 + 𝟑√𝟓 − 𝟔

Zapisz obliczenia.

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Zadanie 15. (0–2) Rozwiąż równanie

−𝟐𝒙

^𝟑

+ 𝒙

^𝟐

+ 𝟏𝟖𝒙 − 𝟗 = 𝟎

Zapisz obliczenia.

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Zadanie 16. (0–3) Rozwiąż równanie

−𝒙

^𝟑

+ 𝟏𝟑𝒙 − 𝟏𝟐 = 𝟎

Zapisz obliczenia.

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Zadanie 17. (0–4)

Szymon przygotowuje się do egzaminu na prawo jazdy. Opanował już

97

spośród

3697

zadań. Postanowił, że każdego kolejnego dnia będzie rozwiązywał

𝑛

zadań. Zauważył, że gdyby dzienną liczbę rozwiązanych zadań zwiększył o

5

, czas potrzebny na rozwiązanie wszystkich zadań skróciłby się o

10

dni.

Oblicz, ile dni zajmie Szymonowi przygotowanie do egzaminu, jeśli nie będzie zwiększał dziennej liczby rozwiązanych zadań.

Zapisz obliczenia.

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Zadanie 18. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie

(3𝑥

²

− 6𝑥)(𝑥

²

− 9) (𝑥 − 2)(𝑥 − 3)

²

= 0

w zbiorze liczb rzeczywistych

A. nie ma rozwiązań.

B. ma dokładnie jedno rozwiązanie:

𝑥 = 0

.

C. ma dokładnie dwa rozwiązania:

𝑥 = 0

,

𝑥 = −3

.

D. ma dokładnie cztery rozwiązania:

𝑥 = 0

,

𝑥 = 2

,

𝑥 = 3

,

𝑥 = −3

. Brudnopis

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Zadanie 19. (0–2) Niech 𝑚

𝑛 będzie ułamkiem nieskracalnym. Jeśli do licznika dodamy

6,

a do mianownika dodamy

15

, jego wartość nie zmieni się.

Oblicz liczby

𝒎

i

𝒏

. Zapisz obliczenia.

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

IV. Układy równań

Wymagania szczegółowe z zakresu obszaru IV

Uczeń:

1) rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych;

2) stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych;

3) rozwiązuje metodą podstawiania układy równań, z których jedno jest liniowe, a drugie kwadratowe, postaci

{ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒

𝑥

²

+ 𝑦

²

+ 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑓

lub

{ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒 𝑦 = 𝑐𝑥

²

+ 𝑑𝑥 + 𝑓

Komentarz

Podstawową umiejętnością sprawdzaną w tym dziale jest rozwiązywanie układów równań z dwiema niewiadomymi z uwzględnieniem interpretacji geometrycznej układów

oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych. Weryfikowana jest umiejętność samodzielnego budowania układów równań przy rozwiązywaniu zadań tekstowych.

Pojęcia

• układy równań z dwiema niewiadomymi

• interpretacja geometryczna

• zadania tekstowe

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Zadania sprawdzające wymagania z obszaru IV

Zadanie 20. (0–2)

Dana jest liczba dwucyfrowa

𝑎

, w której suma cyfr jest równa

14

. Jeżeli zamienimy miejscami jej cyfry, otrzymamy liczbę o

18

mniejszą od liczby sprzed tej zamiany cyfr.

Oblicz liczbę

𝒂

. Zapisz obliczenia.

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Zadanie 21. (0–3)

Pies goni lisa. Początkowa odległość między zwierzętami równa była

30

m. Długość każdego skoku psa jest równa

2

m, długość każdego skoku lisa jest równa

1

m.

W czasie, w którym lis wykonuje trzy skoki, pies skacze dwa razy.

Oblicz dystans, po przebiegnięciu którego pies dogoni lisa. Zapisz obliczenia.

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Zadanie 22. (0–2)

Suma liczb rzeczywistych

𝑎

i

𝑏

równa jest

527

. Wiemy, że

8%

liczby

𝑎

jest równe

7,5%

liczby

𝑏

.

Oblicz liczby

𝒂

i

𝒃

. Zapisz obliczenia.

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Zadanie 23. (0–4)³

Rozwiąż układ równań

{ 𝒙

^𝟐

+ 𝒚

^𝟐

− 𝟒𝒙 + 𝟒𝒚 − 𝟏𝟕 = 𝟎 𝟐𝒙 − 𝒚 − 𝟏 = 𝟎

Zapisz obliczenia.

Zadanie sprawdza wymaganie IV.3 podstawy programowej z matematyki, które nie będzie obowiązywało na egzaminie maturalnym w roku 2023 i 2024.

PP

PP

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

V. Funkcje

Wymagania szczegółowe z zakresu obszaru V

Uczeń:

1) określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach);

2) oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym;

3) odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie;

4) odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie

mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane;

5) interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej;

6) wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach;

7) szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem;

8) interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje);

9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie;

10) wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym;

11) wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym;

12) na podstawie wykresu funkcji

𝑦 = 𝑓(𝑥)

szkicuje wykresy funkcji

𝑦 = 𝑓(𝑥 − 𝑎)

,

𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑏

,

𝑦 = −𝑓(𝑥)

,

𝑦 = 𝑓(−𝑥)

13) posługuje się funkcją

𝑓(𝑥) =

^𝑎_𝑥, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych;

14) posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

Komentarz

Funkcje to dział, w którym weryfikowana jest sprawność odczytywania i interpretowania danych przedstawionych w różnych postaciach: wzoru, wykresu, tabeli, opisu słownego.

Sprawdzana jest umiejętność wyznaczania wzoru funkcji liniowej i kwadratowej na podstawie zebranych danych, wskazywania wartości najmniejszej i największej oraz szkicowanie

wykresów. Wybrane zadania testują biegłość posługiwania się funkcją wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Pojęcia

• przyporządkowanie

• dziedzina funkcji

• zbiór wartości funkcji

• miejsca zerowe

• przedziały monotoniczności

• wartości najmniejsze i największe

• funkcja liniowa

• funkcja kwadratowa

• funkcja

𝑓(𝑥) =

^𝑎

𝑥

• funkcja wykładnicza

• funkcja logarytmiczna

• przekształcenia wykresów funkcji

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Zadania sprawdzające wymagania z obszaru V

Zadanie 24. (0–2)

Dana jest funkcja kwadratowa

𝑓

określona wzorem

𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥

²

+ 5𝑥 + 6

gdzie

𝑥 ∈ ℝ

Dokończ zdania. Zaznacz odpowiedź spośród A–D oraz odpowiedź spośród E–H.

1. Postać kanoniczna funkcji

𝑓

wyraża się wzorem A. 𝑦 = (𝑥 −⁵

2)²+¹

4

B. 𝑦 = (𝑥 +⁵

2)²−¹

4

C. 𝑦 = (𝑥 −¹

4)²+⁵

2

D. 𝑦 = (𝑥 +¹

4)²−⁵

2

2. Postać iloczynowa funkcji

𝑓

wyraża się wzorem E. 𝑦 = (𝑥 − 2)(𝑥 − 3)

F. 𝑦 = (𝑥 − 2)(𝑥 + 3) G. 𝑦 = (𝑥 + 2)(𝑥 − 3) H. 𝑦 = (𝑥 + 2)(𝑥 + 3)

Brudnopis

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Zadanie 25.

W kartezjańskim układzie w współrzędnych

(𝑥, 𝑦)

przedstawiono fragmenty wykresów czterech funkcji:

𝑓

,

𝑔

,

ℎ

, 𝑠.

Zadanie 25.1. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Największą wartość dla argumentu

𝑥 = 2

przyjmuje funkcja

A.

𝑓

B.

𝑔

C.

ℎ

D.

𝑠

Brudnopis

-1

0 1 2 3 4 5 6 7

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 𝑥

𝑦

𝑓

𝑠

𝑔 ℎ

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Zadanie 25.2. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla argumentu

𝑥 = 3

tę samą wartość przyjmują funkcje

A.

𝑓 i 𝑠

B.

𝑠 i ℎ

C.

𝑓

i

𝑔

D.

𝑔

i

𝑠

Brudnopis

Zadanie 25.3. (0–1)

Zapisz maksymalny przedział, w którym prawdziwa jest nierówność

𝒈(𝒙) > 𝒉(𝒙)

. ...

Brudnopis

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Zadanie 26.

Temperatura powietrza obniża się wraz ze wzrostem wysokości n.p.m. Na podstawie danych empirycznych stwierdzono, że temperatura maleje o

0,6 ℃

, gdy wysokość wzrasta

o

100

m, a gdy wysokość maleje o

100

m – temperatura rośnie o

0,6 ℃

.

W Zakopanem, które znajduje się na wysokości

1000

metrów n.p.m., temperatura powietrza zmierzona w punkcie pomiarowym była równa

13 ℃

.W tym samym czasie dokonano pomiarów temperatury powietrza w Białce Tatrzańskiej i na Rysach.

Zadanie 26.1. (0–1)

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Na Rysach, na wysokości 2499 metrów n.p.m., zmierzona temperatura

powietrza nie przekraczała 5 ℃. ^{P F}

W Białce Tatrzańskiej (650 metrów n.p.m.) zmierzona temperatura powietrza

była równa 16,5 ℃. ^{P F}

Brudnopis

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Zadanie 26.2. (0–2)

Niech

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏

będzie funkcją opisującą zależność temperatury powietrza od wysokości

𝑥

n.p.m. w dowolnym punkcie nad Zakopanem.

Oblicz wartość współczynnika

𝒂

i wartość współczynnika

𝒃

. Zapisz obliczenia.

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Zadanie 27. (0–1)

Funkcja kwadratowa

𝑓

jest określona wzorem

𝑓(𝑥) = −2𝑥

²

+ 𝑏𝑥 + 𝑐

i przyjmuje wartości dodatnie tylko dla

𝑥 ∈ (−4, 2)

.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Osią symetrii paraboli będącej wykresem tej funkcji jest prosta

𝑥 = 1

. P F Postać iloczynowa funkcji

𝑓

wyraża się wzorem

𝑓(𝑥) = −2(𝑥 + 4)(𝑥 − 2)

. P F

Zadanie 28. (0–2)

Dana jest funkcja kwadratowa

𝑓

. Do wykresu tej funkcji należy punkt o współrzędnych

(0, 8),

a osią symetrii jej wykresu jest prosta o równaniu

𝑥 = 4

. Jednym z miejsc zerowych funkcji

𝑓

jest

𝑥

₁

= 2

.

Wyznacz i zapisz wzór funkcji

𝒚 = 𝒇(𝒙)

w postaci iloczynowej.

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Zadanie 29. (0–1)⁴

Aby zaorać pole o powierzchni

𝑃

w ciągu

8

godzin, potrzeba trzech ciągników. Przyjmijmy, że każdy ciągnik w ustalonej jednostce czasu może zaorać tę samą powierzchnię pola.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Brudnopis

Zadanie sprawdza wymaganie V.13 podstawy programowej z matematyki, które nie będzie obowiązywało na egzaminie maturalnym w roku 2023 i 2024.

PP

Zaoranie pola o powierzchni

𝑃

przy pomocy dwóch ciągników zajęłoby

12

godzin. P F

Cztery ciągniki, które pracują o połowę szybciej, zaorałyby to pole w ciągu

4

godzin. P F

PP

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

VI. Ciągi

Wymagania szczegółowe z zakresu obszaru VI

Uczeń:

1) oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym;

2) oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie, jak w przykładach:

a)

{

𝑎

₁

= 0,001

𝑎

_𝑛+1

= 𝑎

_𝑛

+

¹₂

𝑎

_𝑛

(1 − 𝑎

_𝑛

)

^b)

{

𝑎

₁

= 1 𝑎

₂

= 1

𝑎

_𝑛+2

= 𝑎

_𝑛+1

+ 𝑎

_𝑛

3) w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący;

4) sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny;

5) stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego;

6) stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego;

7) wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.

Komentarz

Wybrane zadania z tego działu testują umiejętność sprawdzania, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny, czy ciąg jest rosnący czy malejący. Sprawdzana jest znajomość następujących zagadnień związanych z ciągiem arytmetycznym oraz ciągiem geometrycznym:

𝑛

-ty wyraz ciągu, suma

𝑛

początkowych wyrazów ciągu. Weryfikowana jest umiejętność wykorzystywania własności ciągów do rozwiązywania zadań osadzonych w kontekście praktycznym.

Pojęcia

• wyraz ogólny

• ciąg rosnący, ciąg malejący

• ciąg arytmetyczny

• ciąg geometryczny

•

𝑛

-ty wyraz ciągu

• suma

𝑛

początkowych wyrazów ciągu

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Zadania sprawdzające wymagania z obszaru VI

Zadanie 30. (0–1)

Dane są liczby:

𝑎 = 2√2

,

𝑏 = 4

,

𝑐 = 4√2

.

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie spośród 1., 2. albo 3.

Liczby

𝑎

,

𝑏

oraz

𝑐

tworzą w podanej kolejności

ciąg arytmetyczny,

ponieważ

1.

𝑏 = 𝑎 + 𝑐 2

A.

2.

𝑏 = (𝑐 − 𝑎)

²

2

ciąg geometryczny,

B. 3.

𝑏

²

= 𝑎 ⋅ 𝑐

Brudnopis

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Zadanie 31. (0–2)

Dany jest ciąg arytmetyczny

(𝑎

_𝑛

)

określony dla każdej liczby naturalnej

𝑛 ≥ 1

. Jego różnica jest równa

4

, a suma jego pierwszych pięciu wyrazów jest trzy razy mniejsza od sumy następnych pięciu wyrazów.

Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu. Zapisz obliczenia.

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Zadanie 32. (0–3)

Iloraz skończonego ciągu geometrycznego jest równy ¹

3, trzeci wyraz tego ciągu jest równy ¹ 9, a suma wszystkich wyrazów to ³⁶⁴

243.

Oblicz, z ilu wyrazów składa się ten ciąg. Zapisz obliczenia.

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Zadanie 33. (0–4)

Liczby

𝑥

,

𝑦

,

𝑧

, których suma jest równa

114

, tworzą w podanej kolejności ciąg

geometryczny. Liczby te są również wyrazami pewnego ciągu arytmetycznego (

𝑎

_𝑛), gdzie

𝑛 ≥ 1

, w którym

𝑥 = 𝑎

₁,

𝑦 = 𝑎

₄ i

𝑧 = 𝑎

₂₅.

Oblicz liczby

𝒙

,

𝒚

,

𝒛

. Zapisz obliczenia.

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Zadanie 34. (0–4)

Trzy liczby, których suma jest równa

24

, tworzą ciąg arytmetyczny. Po zwiększeniu ich odpowiednio o

4

,

10

i

40

będą w tej samej kolejności tworzyły ciąg geometryczny.

Oblicz te trzy liczby tworzące ciąg arytmetyczny. Zapisz obliczenia.

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Zadanie 35.

Pani Joanna postanowiła systematycznie oszczędzać i co miesiąc na swoje subkonto odkładać pewną sumę pieniędzy. Pierwszego czerwca 2020 roku wpłaciła

300

złotych.

Pierwszego dnia każdego kolejnego miesiąca wpłacała o

25

zł więcej niż w miesiącu poprzednim.

Zadanie 35.1. (0–1)

Oblicz kwotę, jaką pani Joanna wpłaciła na subkonto pierwszego czerwca 2022 roku.

Zapisz obliczenia.

Zadanie 35.2. (0–2)

Oblicz, o ile większą kwotę niż w miesiącu poprzednim pani Joanna powinna odkładać, aby pierwszego czerwca 2025 roku (uwzględniając również wpłatę w tym dniu) na subkoncie była kwota

𝟕𝟔 𝟖𝟔𝟎

złotych.

Zapisz obliczenia.

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

VII. Trygonometria

Wymagania szczegółowe z zakresu obszaru VII

Uczeń:

1) wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od

0°

do

180°

, w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów

30°

,

45°

,

60°

; 2) znajduje przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych, korzystając z tablic lub

kalkulatora;

3) znajduje za pomocą tablic lub kalkulatora przybliżoną wartość kąta, jeśli dana jest wartość funkcji trygonometrycznej;

4) korzysta z wzorów sin²𝛼 + cos²𝛼 = 1,

tg 𝛼 =

_{cos α}^{sin α}

;

5) stosuje twierdzenia sinusów i cosinusów oraz wzór na pole trójkąta;

6) oblicza kąty trójkąta i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty).

Komentarz

W zadaniach tego działu sprawdzana jest znajomość definicji funkcji sinus, cosinus oraz tangens dla kątów o mierze od

0°

do

180°

. Testowana jest umiejętność wykorzystania dokładnych wartości funkcji trygonometrycznych kątów

30°

,

45°

,

60°

oraz przybliżonych wartości innych kątów odczytanych z tablic lub obliczonych na kalkulatorze. Kolejną umiejętnością weryfikowaną przez zadania z tego działu jest sprawność posługiwania się wzorami trygonometrycznymi oraz umiejętność wykorzystania twierdzenia sinusów

i twierdzenia cosinusów. Funkcje trygonometryczne wykorzystywane są między innymi do obliczania kątów trójkąta i długości jego boków.

Pojęcia

• sinus, cosinus, tangens dla kątów od

0°

do

180°

• dokładne wartości funkcji trygonometrycznych kątów

30°

,

45°

,

60°

• przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych z tablic lub kalkulatora

• twierdzenie sinusów

• twierdzenie cosinusów

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Zadania sprawdzające wymagania z obszaru VII

Zadanie 36. (0–3)⁵

Z okna wieży kontroli lotów widać startujący samolot

𝑆

pod kątem

38°

do poziomu.

Kontroler

𝐾

znajduje się na wysokości

136

m od płyty lotniska (zobacz rysunek).

Oblicz odległość

𝒙

samolotu

𝑺

od podstawy

𝑾

tej wieży.

Wynik podaj w zaokrągleniu do pełnych metrów. Zapisz obliczenia.

Zadanie sprawdza wymaganie VII.2 podstawy programowej z matematyki, które nie będzie obowiązywało na egzaminie maturalnym w roku 2023 i 2024.

PP

𝑆 38°

𝐾

136 m

𝑊

𝑥

PP

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Zadanie 37.

Dane są dwa trójkąty

𝐴𝐵𝐶

i

𝐴𝐷𝐸

o wspólnym kącie ostrym przy wierzchołku

𝐴

. Ponadto

|𝐴𝐵| = 24

,

|𝐴𝐶| = 10

(zobacz rysunek).

Pole trójkąta

𝐴𝐷𝐸

jest dwukrotnie większe od pola trójkąta

𝐴𝐵𝐶

.

Zadanie 37.1. (0–2)

Dwusieczna kąta

𝐵𝐴𝐶

przecina odcinek

𝐷𝐸

w punkcie

𝑃

, takim że ^|𝐷𝑃|

|𝑃𝐸|

=

³

4. Oblicz długości boków

𝑨𝑫

i

𝑨𝑬

trójkąta

𝑨𝑫𝑬

. Zapisz obliczenia.

𝑃

𝐷 𝐸

𝐶

𝐵 𝐴

10

24

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Zadanie 37.2. (0–3)

Pole trójkąta

𝐴𝐵𝐶

jest równe

72

.

Oblicz długość boku

𝑩𝑪

trójkąta

𝑨𝑩𝑪

. Zapisz obliczenia.

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

VIII. Planimetria

Wymagania szczegółowe z zakresu obszaru VIII

Uczeń:

1) wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa;

2) rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok;

3) rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności;

4) korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach;

5) stosuje własności kątów wpisanych i środkowych;

6) stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu;

7) stosuje twierdzenia: Talesa, odwrotne do twierdzenia Talesa, o dwusiecznej kąta oraz o kącie między styczną a cięciwą;

8) korzysta z cech podobieństwa trójkątów;

9) wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych;

10) wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności;

11) stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur;

12) przeprowadza dowody geometryczne.

Komentarz

Zadania w tym dziale sprawdzają sprawność wyznaczania odcinków i kątów w okręgu, rozpoznawania rodzajów trójkątów i wielokątów oraz korzystania z ich własności, korzystania z twierdzenia Talesa, twierdzenia o dwusiecznej kąta oraz twierdzenia o kącie między

styczną a cięciwą. Sprawdzana jest również umiejętność przeprowadzania dowodów geometrycznych.

Pojęcia

• odcinki i proste w okręgu

• kąt wpisany i kąt środkowy

• trójkąty, czworokąty

• wielokąty foremne

• twierdzenie Talesa

• twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa

• twierdzenie o dwusiecznej kąta

• twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą;

• cechy podobieństwa trójkątów

• figury podobne

• dowody geometryczne

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Zadania sprawdzające wymagania z obszaru VIII

Zadanie 38. (0–2)

Dany jest trójkąt równoramienny, który nie jest równoboczny. Punkt

𝑂

jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie, a punkt

𝐻

jest jego ortocentrum.

Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych.

A. Punkt

𝑂

jest równo oddalony tylko od dwóch wierzchołków tego trójkąta.

B. Punkt

𝑂

jest równo oddalony od trzech wierzchołków tego trójkąta.

C. Punkt

𝑂

jest równo oddalony od trzech boków tego trójkąta.

D. Punkt

𝐻

jest równo oddalony tylko od dwóch wierzchołków tego trójkąta.

E. Punkt

𝐻

jest równo oddalony od trzech wierzchołków tego trójkąta.

F. Punkt

𝐻

jest równo oddalony od trzech boków tego trójkąta.

Brudnopis

Zadanie 39. (0–1)

Dany jest ośmiokąt foremny wpisany w okrąg

𝐾

. Punkty

𝐴

oraz

𝐵

są sąsiednimi wierzchołkami tego ośmiokąta oraz

𝛼

jest kątem między styczną do okręgu

𝐾

w punkcie

𝐴

i bokiem

𝐴𝐵

wielokąta (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta

𝛼

jest równa

A.

45°

B.

30°

C.

22,5°

D.

15°

Brudnopis

𝐵

𝐴 𝛼

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Zadanie 40. (0–1)

Dane są trójkąt równoramienny

𝐴𝐵𝐶

, w którym

| 𝐴𝐶 | = |𝐵𝐶|

i

|∡𝐴𝐶𝐵| = 45°

, oraz kwadrat

𝐷𝐸𝐹𝐺

o polu równym

1

. Wierzchołki

𝐸

i

𝐹

kwadratu leżą na ramieniu

𝐵𝐶

danego trójkąta, wierzchołek

𝐺

leży na ramieniu

𝐴𝐶

, a wierzchołek

𝐷

leży na podstawie

𝐴𝐵

trójkąta (zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość poniższych relacji. Wybierz P, jeśli relacja jest prawdziwa, albo F – jeśli jest fałszywa.

|∡𝐴𝐺𝐷| = 45°

^{P F}

|𝐴𝐺| − |𝐵𝐸| = 2 − √2

^{P F}

Brudnopis

𝐸 𝐹 𝐶

𝐷 𝐵 𝐺

𝐴

45°

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Zadanie 41. (0–2) Dane są:

• okrąg o środku

𝑆

i promieniu

𝑟 = 1

• prosta

𝑘

przechodząca przez

𝑆

i przecinająca okrąg w punktach

𝑃

i

𝑄

• prosta

𝑙

styczna do danego okręgu w punkcie

𝑇

.

Prosta

𝑘

przecina prostą

𝑙

w punkcie

𝑅

. Prosta przechodząca przez punkt

𝑄

i równoległa do odcinka

𝑆𝑇

przecina styczną

𝑙

w punkcie

𝑈

(zobacz rysunek).

Oblicz długość odcinka 𝑻𝑼 wiedząc, że spełniony jest warunek ^|𝑷𝑸|

|𝑸𝑹|

=

^𝟐_𝟑. Zapisz obliczenia.

𝑘 𝑙

𝑆

𝑃 𝑄 𝑅

𝑇

𝑈

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Zadanie 42. (0–3)

W wycinek koła wyznaczony przez kąt środkowy

𝐾𝑆𝐿

o mierze

45°

wpisano kwadrat

𝐴𝐵𝐶𝐷

w taki sposób, że wierzchołki

𝐴

oraz

𝐵

leżą na promieniu

𝑆𝐾

, wierzchołek

𝐷

leży na promieniu

𝑆𝐿

, a wierzchołek 𝐶 leży na łuku

𝐾𝐿 ̂

(zobacz rysunek).

Oblicz stosunek pola kwadratu

𝑨𝑩𝑪𝑫

do pola wycinka kołowego

𝑲𝑺𝑳

. Zapisz obliczenia.

𝐴

𝐶 𝐷

𝑆

𝐿

45°

𝐵 𝐾

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Zadanie 43. (0–4)

Dany jest trapez równoramienny

𝐴𝐵𝐶𝐷

o podstawach

𝐴𝐵

i

𝐶𝐷

, gdzie

|𝐴𝐵| > |𝐶𝐷|

. Kąt ostry tego trapezu ma miarę

60°

, a przekątna jest prostopadła do ramienia, którego długość jest równa

6

. Oba ramiona tego trapezu przedłużono, otrzymując trapez

𝐷𝐶𝐹𝐺

podobny do trapezu

𝐴𝐵𝐶𝐷

(zobacz rysunek).

Oblicz pole trapezu

𝑫𝑪𝑭𝑮

. Zapisz obliczenia.

𝐴 𝐵

𝐶 𝐷

𝐹 𝐺

60°

6

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Zadanie 44. (0–2)⁶

W trójkącie równobocznym o boku długości

𝑎

poprowadzono dwa odcinki równoległe do jednego z jego boków. Długości tych odcinków są równe

𝑏

i

𝑐

, przy czym

𝑐 < 𝑏 < 𝑎

(zobacz rysunek). Odcinki podzieliły trójkąt równoboczny na trzy figury: dwa trapezy i trójkąt.

Wykaż, że stosunek pola trapezu o podstawach

𝒃

i

𝒄

do pola trapezu o podstawach

𝒂

i

𝒃

jest równy 𝒃^𝟐−𝒄^𝟐

𝒂^𝟐−𝒃^𝟐.

Zadanie sprawdza wymaganie VIII.12 podstawy programowej z matematyki, które nie będzie obowiązywało na egzaminie maturalnym w roku 2023 i 2024.

PP

𝑏 𝑎

𝑐

PP

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Wymagania szczegółowe z zakresu obszaru IX

Uczeń:

1) rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje;

2) posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich jak na przykład przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość lub prostopadłość do innej prostej, styczność do okręgu);

3) oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych;

4) posługuje się równaniem okręgu

(𝑥 − 𝑎)

²

+ (𝑦 − 𝑏)

²

= 𝑟

²; 5) oblicza odległość punktu od prostej;

6) znajduje punkty wspólne prostej i okręgu oraz prostej i paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej;

7) wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).

Komentarz

Podstawową kompetencją sprawdzaną w tym dziale jest sprawność poruszania się

w kartezjańskim układzie współrzędnych oraz operowanie obiektami matematycznymi w nim osadzonymi: punktami, prostymi, okręgami. Zadania sprawdzają m.in. umiejętność badania równoległości oraz prostopadłości prostych; szukania punktów wspólnych dwóch prostych, prostej i okręgu, prostej i paraboli; wyznaczania obrazu figur w symetrii osiowej lub

środkowej.

Pojęcia

• proste prostopadłe

• proste równoległe

• postać ogólna prostej

• postać kierunkowa prostej

• długość odcinka

• odległość punktu od prostej

• punkty wspólne dwóch prostych, prostej i okręgu, prostej i paraboli

• równanie okręgu

• symetria osiowa

• symetria środkowa

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Zadania sprawdzające wymagania z obszaru IX

Zadanie 45. (0–1)

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych

(𝑥, 𝑦)

, rozważamy dwie proste o równaniach

𝑦 = 𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑥

oraz

𝑦 = −

¹_𝑎

−

²₃

𝑏

²

⋅ 𝑥

, gdzie

𝑎 ≠ 0

,

𝑏 ≠ 0

.

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie spośród 1., 2. albo 3.

Dla

𝑎 = 2

i

𝑏 = −

³₂ rozważane proste są

A. prostopadłe,

ponieważ

1.

𝑎 ⋅ (− 1

𝑎 ) = −1

2.

(𝑎 + 𝑏) (− 1

𝑎 − 2

3 𝑏

²

) = −1

B. równoległe,

3.

𝑏 = − 2

3 𝑏

²

Zadanie 46.

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych

(𝑥, 𝑦)

, dany jest trójkąt

𝐴𝐵𝐶

. Wierzchołki tego trójkąta mają współrzędne:

𝐴 = (−15, −8)

,

𝐵 = (−6, 4)

,

𝐶 = (−19, −5)

.

Zadanie 46.1. (0–2)

Wykaż, że trójkąt

𝑨𝑩𝑪

jest prostokątny. Zapisz obliczenia.

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Zadanie 46.2. (0–3)

Wierzchołki trójkąta

𝐴𝐵𝐶

są trzema wierzchołkami równoległoboku

𝐴𝐵𝐶𝐷

. Odcinek

𝐴𝐶

jest przekątną tego równoległoboku.

Oblicz współrzędne wierzchołka

𝑫

. Zapisz obliczenia.

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Zadanie 46.3. (0–1)

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednie liczby w wyznaczonych miejscach, aby zdanie było prawdziwe.

Punkt

𝑆

przecięcia środkowych trójkąta

𝐴𝐵𝐶

ma współrzędne:

𝑆 =

(……… , ……..).

Zadanie 47. (0–1)

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(𝑥, 𝑦)

dany jest okrąg

𝒪

o równaniu

𝑥

²

+ 𝑦

²

= 2

oraz prosta

𝑘

o równaniu

𝑦 = 𝑚

, gdzie

𝑚 ∈ ℝ

.

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiedni przedział w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Okrąg

𝒪

i prosta

𝑘

mają dwa punkty wspólne tylko wtedy, gdy

𝑚 ∈

... .

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Zadanie 48. (0–4)

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych

(𝑥, 𝑦)

, dany jest trójkąt

𝐴𝐵𝐶

. Podstawa

𝐴𝐵

tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu

𝑦 = −3𝑥 + 6

. Wierzchołki

𝐴

i

𝐵

leżą – odpowiednio – na osi

𝑂𝑦

oraz

𝑂𝑥

. Wierzchołek

𝐶

ma współrzędne

(3, 7)

. Oblicz pole trójkąta

𝑨𝑩𝑪

. Zapisz obliczenia.

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Zadanie 49. (0–4)

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(𝑥, 𝑦)

punkty

𝐴 = (−8, 12)

i

𝐵 = (−2, 4)

są końcami cięciwy okręgu

𝒪

. Środek tego okręgu leży na prostej

𝑘

o równaniu

𝑦 = 4𝑥 + 2

. Wyznacz współrzędne środka okręgu

𝓞

i promień tego okręgu. Zapisz obliczenia.

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/

Ten arkusz możesz zrobić online na stronie: SzaloneLiczby.pl/matura/