ZE SZ YT Y NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Seria: A U TO MA TY KA z.97
________ 1989 Nr kol. 975
Andrzej ORDYS, Konrad WOOCIE CH OW SK I
ME TO DY WY ZN A C Z A N I A POLA PRĘDKOŚCI NA PODSTAWIE SEKWENCOI OBRAZÓW*^
S t r e s z c z e n i e . W pracy przedstawione sę me tody określenie pole prędkości na podstawie obserwacji sekwencji obrazów. Me to dy te m o ż
na podzielić na dwie grupy: pierwsza, w której wymagana Jest zn a j o mość wektora prędkości w pewnych punktech obrazu i drugo, która zawiera m e to dy przybliżone, lecz nie wymagajęce znajomości wektora prędkości w żadnym punkcie obrazu.
Podaje się wzory, które umożliwiaję łatwg implementację metod na maszynie cyfrowej.
1. Wstęp
Idea wykorz ys ta ni a pola prędkości dla de te kc ji parametrów ruchu obse r
watora na podstawie widzia ny ch przez niego ob razów Jest szeroko rozwijana w ostatnich latach. W y m i en ić tu możns prace: Cli. CsJ , L & 1 . L ? 1 . 0 0 . C93 Cl2l , B 31 , B 4 . B C . B i • N u me ry cz ne wy zn ac za ni e pola prędkości możl i
we Jeat dzięki postępowi w dziedzinie informatyki, więżę się ze wzrostem szybkości działanls i pojemności pamięci maszyn cyfrowych, 8 także z wi ększę ich dostępnościę.
Przez pole prędkości rozumieć będz ie my pr zy po rzędkowanle każdemu p u n k towi obrazu wketora prędkości tego punktu. Realizuje się to przez za p a m i ę tanie dwóch (lub więcej) obrazów tej samej scen y przesuniętych w czasie.
Ponieważ obserwator porusza się. więc ob ie kt y znajudjęce się na scenie będę na kolejnych obrazach przemieszczone. Pomiar tego przemieszczenie oraz znajomość czasu mi ęd zy kolejnymi ob se rwacjami sceny służę do w y z n a czenia pola prędkości. N a le ży zauważyć, że we kt or prędkości może być okre śl on y w ten sposób tylko dla bardzo małych przemieszczeń. W przypadku dużych przemi es zc ze ń metoda w p r o w a d z a ł a b y zn ac zn y błęd. Ilustruje to rys. 1.
Preca finansowana z Centralnego Programu Badań Podstawowoych CPBP 02.13
"Układy ze sztucznę inteligencję do maszyn roboczych 1 pojazdów".
X )
154 A. O r d y s , K. Wo jc ie ch ow sk i
Niech kąt A B C obraca się ze stałę prędko śc i? kątową co i o d po wi ad aj ęc ę Jej prędkości? liniową i? w z g l ę d e m punktu A oraz niech dwoma kole jn ym i
obrazami będę A B C, A 8 ’ C'.
Ogólnie wida ć różnicę kierunku m i ę d z y w e k torem p r ęd ko śc i v i w e k t o r e m p r z e m i e s z czenia p , Za te m dla d o w o l n e g o przedz ia łu czasu A t , w kt ór ym w y ko na ne s? kolejne obserwacje, można mówić od po w i e d n i o o p o - ’ lach pręd ko śc i i polach p r z e m i es zc ze ń i ogólnie s? one różne. Oeżali A t — *-0, to ki erunki w e k t o r ó w od po wi e d n i c h pól dęź? do siebie i zn aj o m o ś ć pola pr ze m i e s z c z e ń może być podstaw?- do o k re śl en ia pola prędkości.
W praktyce nie Jest mo żliwe ok re śl en ie pola p r ęd ko śc i dla w s z y s t k i c h pu nk tó w o b r a zu. A b y pr ze mi es zc ze ni e pu nk tu na k o l e j nych ob razach było w i do cz ne , musi on od
różniać się od pu nktów sę si ed ni ch , musi być j a śn ie js zy lub ciemniejszy. Wy st ę p u j e to tylko dla pu n k t ó w le żęcych na konturze ob se r w o w a n e g o obiektu lub w mi e j s c a c h z m i a ny faktury powierzchni. W praktyce pole pr ęd ko śc i okre śl an e Jest dla tych wł aśnie punktów.
Rys. 1. Ilustracja różnicy mi ęd zy kierunkiem wektora prędkości, a kierunkiem wektora przemieszczenia Fig. 1. Illu st ra ti on of the difference be tween the d i rection of the ve lo ci ty and di sp lacement vectors
2. N i e j ed no zn ac zn oś ć określenia pola pręd ko śc i na podstawie obserwacji ciągu ob razów
Rysunek 2 Jest ilustrację trudności, na Jakie na potyka się pr zy o k r e ś laniu pola prędkości na oo ds ta wi e o b s e r w a c j i pr ze mi es zc ze ni a. Linia na rysunku pr ze mieszcza się do położenia za z n a c z o n e g o linię przerywaną. Można zauważyć, że rysunek nie do st ar cz a i n fo rm ac ji o przesu ni ęc iu , a w k o n s e k wencji prędkości w kierunku równ ol eg ły m do linii w danym punkcie. I n f o r m a cję tak? możne by uzyskać, gdyby linia posiadała c h a r a k t e r y s t y c z n e w k l ę s ł o ś
ci lub w y pu kł oś ci możliwe do z i de nt yf ik ow an ia , tak Jak przy kł ad ow e kontury na rysunkach 3 i 4. Na rysunku 3 zbadanie p r z e m i e s z c z e ń w i e r z c h o ł k ó w t r ó j kąta Dozwala określić wa rt oś ć i ki erunek we k t o r a pr ę d k o ś c i w k a żd ym p u n k cie konturu. Wymaga to je dn ak podania o d p o w i e d n i o ś c i w i e r z c h o ł k ó w na ob ra
zie po cz ątkowym i obrazie pr ze suniętym. Dla bardziej s k o m p l i k o w a n y c h figur może to być niewykonalne. Poza tym w pr aktyce rzadko sp otyka się ob ra zy o tak ostro za zn aczonych wi er zc ho łk ac h. Bardziej realna Jest sy tu ac ja taka jak na rysunku 4. W tym przypadku p o ds ta wo wą rzeczą Jest o d sz uk an ie c h a r a k te ry stycznych punktów (wypukłości) krzywej. Mo że to być z w i ą za ne z trudnoś- -iarai oblicz en io wy mi i ob ar cz on e błędami.
Metody wy zn ac za ni a pola p r ędkości na. 155
Rys. 5. Określania kierunku wektora prędkości w do wolnym punkcie obrazu Fig. 5. Definition of the direction of the v e l o c i t y vector in a point of
the image Rys. 2. Obserwacja pr ze
mieszczenia konturu nie dostarcza informacji o składowej ruchu wz dł uż
konturu
Fig. 2. Displacement ob
servation along the c o n
tour gives no information about the motion co mp o
nent along the contour
Rys. 3. Przypadek, gdy możliwe Jest odtworzenie pełnego wektora prędkości
Fig. 3. The case when reconstruction of the entire v e l o city vector is pos
sible
Rys. 4. Deśli krzywa p o siada ch ar ak te ry st yc zn e punkty, które mogę zostać odszukane na obrazie prze
suniętym, to we kt or pręd
kości w tych punktach mo
że zostać odtworzony Fig. 4. If the curve has ch ar acteristic points whic h may be found in the moved image than the v e locity ve ctor in these points may be r e co ns tr uc
ted
Deśli da się określić kierunek we ktore prędkości w co najmniej dwóch punktach obrazu, wówczas kierunek wektora prędkości w do wo ln ym punkcie może zostać określony poprzez wykonanie następujęcej ko ns trukcji (patrz rys. 5).
Prowadzimy prostopadłe do znanych kierunków wekt or ów prędkości Wj, w^.
Sę to linie pj^ i p2> Punkt przecięcia się p Ł i p2 określa środek ob ro
tu obrazu. Łęczęc do wolny punkt konturu z punktem A i prowadzęc prosto- padłę w punkcie przecięcia się z konturem uz ys ku je my kierunek wektora prędkości w tym punkcie. Długość wektora prędkości wynika z wielkości przemieszczenia danego punktu (dla małych przemieszczeń).
A. O r d y s . K. Wojciechowski
Za sa dn ic zy m problemem Jest tutaj określenie pełnego we ktora prędkości w wybranych punktach konturu. Może to się udać jedynie dla bardzo szczegól
nych przypadków (linie łamane). Dla ob razów takich Jak na rysunkach 4 1 5 poszukiwanie lokalnych ekstremów krzywizny może być obarczone duży m błędem.
Można dodać, że metoda zilustrowana na rysunkach 3, 4, 5 nie nadaje się do przypadku, g d y scona ma charakter t r ó j w y m i a r o w y , natomiast obserwowany jest jej dwuw ym ia ro wy obraz. Następuje wówczas deformacja kształtów obser-
3. M e to dy określania pola r.rędkości dla różnych ro dzajów ruchów
W celu bardziej poględowego prze ds ta
wienia podanych dalej wy ni kó w zostanę wp ro wa dz on e na obrazie dwa uk ła dy w s p ó ł
rzędnych. Jeden z nich z w i ę za ny będzie z ramkę obrazu i określony przez wersory w osiach x i y. Drugi z w i ę za ny będzie z bieżęcym punktem konturu s i określo
ny przez wersory: pr os to pa dł y do konturu w punkcie s - ozna cz an y przez n(s) oraz równoległy do konturu w punkcie s - ozna
czan y przez Fis). Od po wi ed ni o składowe wektora prędkości w kierunku prostopadłym i równoległym do konturu oz na
czać będziemy przez vn (s) oraz v r (s). Każda z nich posiada składowe w kierunkach oei x i y, np. v n (s) v n (s). Oznaczenia te zi lu strowanox y na rysunku 7.
Układ odniesienia zw ięzany z ramkę obrazu Jest stały. Układ od ni es ie
nia zwięzany z punktem konturu zmienia się przy obiegu konturu.
3.1. Określenie pola prędkości dla ruchu pr os to li ni ow eg o
Jeśli ruch obiektu Jest Jednostajny, prostoliniowy, to we kt or prędkoś
ci tego ruchu, a w konsekwencji pole prędkości dla każdego punktu obrazu może zostać wy zn ac zo ne w na st ęp uj ęc y sposób:
Określamy składowe prostopadłe wektora prędkości dla każdej z linii konturu obiektu na podstawie obserwacji przesuniętych obrazów. We ktory te zaczep ia my w poczętku układu ws pó łr zę dn yc h x, y. Prowadzimy prostopadłę do k8żdego z w e k t or ów pr ze chodzęcę przez Jego koniec. Nietrudno zauważyć, że te prostopadłe przetnę się w jednym punkcie. Punkt ten wyzn ac za wektor prędkości obiektu. Idee me tody została przedstawiona na rysunku 8. Wyniki ona z prostych zależności geometrycznych.
wowanych obiektów (rys. 6).
Rys. 6, Deformacja kształtu uniemożliwia określenie od- powiedniości punktów na na
przesuniętych obrazach Fig. 6. Deformation of the shape unenables a d e f i n i tion of the points in m o
ved image
M e to dy wy zn ac za ni a pola prędkości na... 157
X
Rys. 7. Rozkład wektora prędkości na akładowę prostopadło do konturu obiek
tu v n (s) oraz składowę równoległę do konturu obiektu v r (s)
Fig. 7. Di st ribution of the ve lo ci ty vector into a component perpendicul- lar to the co ntour vn (s) and component parallel to the contour v r (s)
Dla ob iektów rzeczywistych, dla których kontur składa się z krzywych, konstrukcja opisana na rys. 8 nie daje Jednego ounktu przecięcia (rys. 9l.
Wynika to z na st ępujących faktów:
- nie jest dokładnie znana dł ugość składowej prostopadłej we ktora pr ęd ko ś
ci ,
- mogę wystęo ow oć błędy przy liczeniu kierunku prostopadłego do konturu.
Rys. Ilustracja sposotiu określania prędkości ob iektu po ru szającego się ruchem o r o s t o l m i o w y m
Fic. 8. Illustration of the way of the assignment of the plant velocity in the cuss of the straight line motion
158 A. Ordys. K. Wo jciechowski
Dla sy tuacji opisanej na rysunku 9 wartość wektora prędkości może być oceniona w następujęcy sposób:
- Pisze się równania prostych za zn ac zo ny ch na rys. 9b (sę to proste pr os to
padłe do w e k t or ów prędkości danych na rysunku).
- Do prawej strony każdego z równań dodaje się błęd o charakterze losowym.
Otrzymuje się w ten sposób układ równań następujęcej postaci:
[a bj Ly.
» c ♦ e , (1)
g d z i e :
a, b - we ktory ws pó łc z y n n i k ó w przy x i y, c - w e kt or w y r a z ó w wolnych,
e - we kt or błędów.
- Dokonuje się oceny we ktora (x, y) « v metodę najmni ej sz yc h kwadratów:
7 . ([a b]T [a b ] ) " 1 [a b]T c (2)
Różne metody obliczania pola prędkości dle ruchu pros to li ni ow eg o op i
sane sę w pracach: C8], [17] . [ 1] . [16].
Rys. 9. Ni ej ed no zn ac zn oś ć określania wektora prędkości dla konturu skła- da jęcego się z krzywych
Fig. 9. Nonuniqueness of the ve lo ci ty ve ct or de fi ni ti on for the contour composed of curves
Me to dy wyznaczania pola prędkości na. 159
3.2. Określenie pole prędkości dla złożenia ruchów:
pr ostoliniowego 1 o b ro to we go
Rozważmy sytuację, gdy obiekt podlega ruchowi obrotowemu wo kó ł poczęt- ku układu ws półrzędnych oraz ruchowi postępowemu. Prędkość w ruchu ob ro
towym oznaczmy przez cj , natomiast pręd
kość ruchu postępowego posiada składowe- f i f . x y Ryeunek 10 przedstawia sposób liczenia prędkości pewnego wybranego punk
tu s konturu przy założeniu, że prędkość ruchu postępowego Jest równa zeru.
Długość wektora prędkości wynosi:
w Rya. 10. We xt or pr^dko^ci w
ruchu obrotowyn
Fig. 10. Velo ci ty ve ct or in the rotation motion
Długości składowych sę równe:
v x » v ainoC
sin cC • y
v » v coscC y
Vy « co • r • cosec o oj-x
Wynika stęd, ż e :
v v = - w . y • n”
V ■ ŁO • X
y X *
gdzie: n , n x y w e re or y w osiach x i y odpowiednio.
Składowa prędkości pochodzęca od ruchu obrotowego dana Jest wzorem (dla punktu s konturu):
v(s) « co
-y(s)
x(s)
Po dodaniu składowej pochodzęcej od ruchu prostoliniowego otrzymujemy:
(3)
v(a) mu>
- y(a)" ■f
V
x(a) f
y
(4)
160 A. O r d y a . K. Wojciechowski
Na rysunku 5 pokazano metodę określania kierunku we kt or a orędkości w dowolnym punkcie konturu w przypadku, gdy kierunek tan Jest znany w dwóch punktach konturu. Równanie (4) pozwala na obliczenia parametrów ru
chu - cj , f , f , a w konsekwencji wektora prędkości w do wolnym punkciex y konturu. Jeśli wektor prędkości zn an y Jest w co najmniej dwóch punktach.
Ro zważmy przypadek, gdy znam y wa rt oś ć we ktora prędkości w m punktach konturu. Podobnie Jak było to robione dla ruchu pros to li ni ow eg o w p r o w a dz im y do równań błęd zwięzany z ni edokładności? wy zn ac ze ni a we ktora pr ęd
kości, Otrzymamy układ równań:
31 + v ( s 1 ) = w
e + v( s ) = oj
m m
- y i s j ) +
X to
:
_
- y < • „ ) i r
• i
1 X <0 3 LW'
;
L(5)
Równania ta można przekształcić do następujęcej postaci:
\ (ai) ■ - yfsj) i 0 e l
x
v y (sl ) ^ ( S j ) 0 1 e i y
vx (s2 ) - y ( s 2 ) i 0 6 2 x
v y (s2 ) m
x( s2 ) 0 1
' w
_
e2 V
l ;
V x rn(s ) - y ( s j 1 0
! fy
emx
V y m(s ) x( sm } 0 1 amy
lub w skróconym zapisie:
V - A • fx j - E
_ fvJ
(6)
(7)
Ocena parame tr ów ruchu metodę na jmniejszych kwadratów daje wynik:
M e to dy wyzn ac ze ni a pola prędkości na. 161
Po rozpisaniu otrzymujemy:
±
[»i.,)2 . y C , ) 2]m
. - y t e j
i-1
m
S x(s.)l
i-1
1
ffl
2 1 y(»,)
i-i 1
m 0
m
x(e.)
1-1 1
! o m
-1
(9) 2 2 v (s.) x(s ) - V (s ) y(s )
i»l V 1 1 * 1 1
Ciekawa w ł a s no ść pola prędkości dla tego przypadku polega na tym, źe zbiór w e k t o r ó w prędkości za cz ep io ny ch w poczętku uk ła du ws pó łr zę dn yc h utworzy krzywę o kształcie id en ty cz ny m Jak kontur obiektu, obróconę w z g l ęd em kon
turu obiektu o 90° i zm ni ej sz on ę tu razy. W ł as no ść ta wynika natychmiast z równania (4).
3,3. Ok re śl en ie pola przemi es zc ze ń dla złożenia ruchów obrotowego i pr ostoliniowego
^ ( s ) Niech :
y ^ s )
x2 (s)
y »
oznacza kontur obiektu przed przemieszczeniem.
niech oznacza kontur obiektu przemieszczonego.
Zmienna s przebiega ws zy st ki e punkty konturu.
Załóżmy, że kontur obraca się o kęt <p oraz przesuwa o w e kt or (lx , ly ).
Zach od zi wówczas:
162 A. Ordy«, K. Wo jc ie ch ow sk i
X2 ( s ) n
cos <p - s i n y X j i s ) +
V
y2 ( s > s i n y c o s y y j ( e )
V
(10)
Przemieszczenie konturu Jest dane wzorem:
d(e)
dx (f
dy (e)
x2 (s)
y2 (»)
x Ł (s) c o s y -»i. - sin Xjis)
y ^ e ) s i n y . c o s y - 1 y ± (B)
y.
(1 1 ) Możne pokazać, że kontur d(e) wynika z obrotu i przeskalowania konturu
x 1 (s) yi(o)
Ws pó łczynnik skalowania wynosi:
k « \j 2 (l - cos <jP )
Kęt obrotu ot dany Jest wzorem:
(12)
tgot
sin tf
C O S (f - 1 ctg iZ 2
(13)
Best to wł asność analogiczna do własności pola prędkości przedstawionej wyżej. Metody określenia pola prędkości dla ruchu będęcego złożeniem ruchu obrotowego i postępowego można z n al eź ć w pracach: [ój, [13J , [Y] , [Y} ,[js].
M . M -
3.4. Założenie o gładkości pola prędkości
Metody określania pola prędkości omówione dotychczas w y m a g a ł y znaj om oś
ci wektora prędkości w pewnych punktach konturu. Oeśli znana Jest s k ła do
wa prostopadła wektora prędkości, to można określić w e k t o r prędkości tak Jak zostało to pokazane na rysunku 11. Cieśli za łożymy niewielkie p r ze su
nięcie między obrazami i odstęp czasu m i ęd zy odczyt yw an ie m ob razów przy j
miemy za Jednostkowy, to z łatwości? zauważymy, że w e k t o r prędkości musi kończyć się w Jednym z miejsc, w których linia prostopadła do v n prze
cina przesunięty kontur obiektu. Rysunek 11 sugeruje także, że składowa prostopadła wektora prędkości nie wynika z wy dz ielenia odległości między konturami na kierunku prostopadłym przez At.
Błęd Jaki można popełnić w taki sposób Jest pokazany, w pr zejaskrawiony sposób, na rys. 12.
Me t o d y w y z n a c z a n i a pola p r ę d k o ś c i na.. 163
Rys. U . Z n a j o m o ś ć składowej p r o s t o padłej we k t o r a p r ęd ko śc i pozwala
z n al eź ć w e k t o r pręd ko śc i
Fig. 11. Kn ow l e d g e of the pe rp en di - c u l l a r co m p o n e n t of the v e lo ci ty v e c t o r en ables to find the v e l o c i t y
v e ct or
Rys. 12. Dł ugość składowej p r o s t o padłej we kt or a pr ęd ko śc i nie może być w y zn ac zo na przez pomiar d ł u g o ś
ci we kt or a v_
P
Fig. 12. The lenght of the perpendi- c u ll ar component of the ve ctor v e l o c i t y cannot be a s s i gn ed by the m e a surement of the v e c t o r lenqht v
a - o
I s tn ie ję pewne inne m e t o d y ok re śl an ia składowej prostopadłej we kt or a p r ę d kości, np. op is an a w pr ac y C11!* W s z y s t k i e one Jednak sę me to da mi p r z y bl i ż o n y m i i o b ow ię zu ję Je dynie dla ni ew i e l k i c h przesunięć. Poza tym, nawet z a k ł ad aj ęc , że v n Jest w y z n a c z o n e do st at e c z n i e dokładnie, nie możemy o k r e ś l i ć składowej równoległej V*" w e kt or s pr ęd k o ś c i ze wz gl ęd u na n i e j e d n o z n a c z n o ś ć poka za nę na rys. 2. J e d n o z n a c z n o ś ć pola pręd ko śc i można uz ys ka ć po w p r o w a d z e n i u d o d a t k o w e g o żędanie. Zęda ni em takim Jest, a b y w a r i a n c j a p r ęd ko śc i w z d ł u ż ko nturu była minimalna. Oznacza to m i n i m a l i zację n a s t ę p u j ę c e g o ws k a ź n i k a Jakości:
A a f 2 d R m V r ° Vx 2 ♦f
0 Vy 2,
J da 8 J 0 8 0 8 -
Za k ł a d a się więc zn aj o m o ś ć składowej pr os topadłej we kt or a prędkości v n i dobiera się sk ładowę ró wn ol eg łę v r w ten spos ób ,b y zm in im al iz ow ać w s k a ź n i k (15). Nie Jest to me toda d o kł ad na . J e d n a k wy ni ki uzyskiwane za jej p o mo cę mogę być w y s t a r c z a j ę c e dla w i e l u zastosowań. P o n i ew aż godzimy się na pr zy bl i ż e n i a w y n i k a j ę c e z tej metody, mniej istotnę sprawę staje się d o k ł a d n o ś ć o k re śl en ia składowej p r os to pa dł ej we kt or a prędkości. Jeśli tylko o s t a t e c z n y rezultat Jest zadowalajęcy.
Pr oblem o k re śl en ia pola pr ęd k o ś c i o minimalnej wa r i a n c j i można łatwo r o zw ię za ć po Jego prze form uł ow an iu do po st ac i dyskretnej.
Niec h i bę dz ie nu me re m punktu konturu. Za łóżmy, że ko nt ur Jest z a m
kn i ę t y i sk łada się z n punktów. Przyjmijmy, że 1 « 0 oraz i « n oz n a c z a j ę ten sam punkt. W s k a ź n i k ja ko śc i p r z y jm ie postać:
164 A. 0 r d y 8 , K. W o j c i e ch ow sk i
1 - ¿ L |^[V x (l) - v x (l_l)] + [v y (i) - V y (l- 1 Ü | 5 7 ^ 7 (15)
d A j oznacza odległość punktów i,J konturu.
□ eśli kontur Jest otwarty, to sumowanie we wz or ze (16) na le ży za cz ęć od i=2.
Znajomość składowej prostopadłej wektora prędkości zostanie uwzględniona w na 3t ęp uj ęc y sposób:
(v(i) . n ( l ) ) - v n (i) » 0
(17) v (i) n (i) + v (i) n (i) - v n (i) . 0
7 7
Ze wz or u (17) można w y zn ac zy ć v x lub v :y
V n (i) - V (i) n (i)
v (i) » --- 7.--- (18)
nx )
v n (i) - v (i) n (i)
v ( i ) --- i--- 2--- (19)
V ny ( D
Wz ór (18) będzie używany dla pu nk tó w konturu, w których nx / O, natomiast dla punktów, w których n x * O, zostanie z a s t os ow an y wz ór (19), O d p o w i e d nio (18) lub (19) zostanie podstawione do (16). Załóżmy, że nx / O dla każdego i. Podstawiamy więc (18) do (16).
I »
■s^-1 I" V n (i) - v y (i) n y (i) vn (i-l) - v y (i-l) ny (i-l)-| 2
¿ í l L "x <*> " nx (i_l) J
2 1 ' (20)
. [v,w - V-)]] ^
Mi nimum zo stanie oalęgnięte w punkcie zerowania się pochodnej :
31
--- - O 0 v y (l)
M e to dy wyzn ac za ni a pola prędkości na.. 165
ny (i) r v n (iłl) - v y (iłl) n y ( i ł 1) v n (l) - v y (i) PyC*)-]
n (i) n (i+1) n (i) -I
d i,i+l
• [vy (i> - v y (l-l)]— !— - [» (1 . 1 ) - v (1 )] _ i _ - O
i-l,i a i,i+l
Dest to liniowa zależność mi ęd zy v y (i-l), v (i) oraz v y (i+l). Dla i z m i o n i aj ęc eg o się od 1 do n ot rz ym uj em y układ n równań o n ni ew ia do
mych.
W punktach, w których n x ■ 0, należy podstawić do (16) wzór (19).
Prowadzi to do an al og ic zn yc h wzorów: np. dla nx (j) “ 0 • n x (j- 1 ) / °<
nx (j+l) / 0 :
1 p V
— [»,(1) -
v „ ( j - l) - v y ( j - D ny (j-l)
d i-l,i L (2 2)
1 r v n (j+ l) - v (j + 1) n (j+l) -i
— L- --- ?—n " (J + 1 )+ :— * v x (J M x J “ °
Wy at ęp uj ęc e we wz or ac h (21), (22) wart oś ci n n (l) eę z założenia znane, n (i)
Ilorazy — 1 posiadaję bardzo prostą interpretację.
nx (i)
Dest to tangene kęta nachylenia normalnej do konturu. Ilustruje to rysu
nek 13. Wr es zc ie d^ i+1 - odległość sąsiednich punktów konturu, przy założeniu równom ie rn eg o rozkładu pixeli na obrazie, może wy no si ć 1 lub ']2'.
Problem o p t y m a li za cj i można rozwiązać także w inny sposób. Rozp ls zm y w tym celu wz ór na pochodną we ktora prędkości:
ą v ( 8 ) . 3 v ^ s l F(t) + _ ę r U l - (ł) + y r (e) _ ą £ ( s l + y n (s) ą n i s i (23)
Qs 98 0 8 3 e 0 8
Ws kaźnik Ja kości <3 Jest całką z iloczynu sk al ar ne go ■ av^ 9 ) przez s i e
bie. Po ds ta wi aj ąc (23) do w y ra że ni a pod całk ą otrzymamy:
2 2 2
| _ ą £ | . ( 2 2 . S V ) . ( 2 v l ) + ( Ą + (v r )2 ( _ 0 £ . _ 9 £ ) +
' 0 8 ' 08 ¿>8 0 8 0 8 d s 0 8
♦ ( v n ) 2 ( a n . 2 n V + 2 _ a v 2 V r ( r . — ) +
0 8 0 8 0 8 Os
166 A. Ordya. K. W o j c i e c h o w s k i
+ 2 ą v : v - ' ( r . ^ n ) t 2 i ^ v r ( n ; i i )
0 8 08 0 8 08
+ 2 v " < n . J L O )
0 8 0 8
(24)
Zauważmy, że ( F . -^2.) • - ( F . -Q~) (25)
0 8 0 8
Dowód Jest na ty ch mi as to wy :
(F . n) » 0 —- — (F . n) « ( - ^ . F) + (r . - 5 i!) = o
08 0 8 0 8
Stęd otrzymuje się ( 2 5 ) p
W podobny sp os ób wy ka zu je się, ż e :
(n . - M ) = ( F . -2£) . O (26)
0 8 0 8
Wyrażenie (24) up ro śc i się do postaci:
!-£f|2 .
( * £ )
+ ( ♦ 2 [vr - v" - ^ 1 (n .31 ) *
1 0S * 0 8 0 8 L 0 8 0 8 4. £>a
+ (v")2 . ^ J l ) + (v --)2 . a l )
0 8 0 8 0 8 0 8
Tera z można do konać d y e k r e ty za cj i w s k a ź n i k a Jakości, co p r o w a d z i do w z o r u
n
I - '^2 [ e Ł v r (i) + v r (i-l) v r (i) + c ± v r (i-1) i-1
(27)
♦ d Ł v r (i) ♦ v r (i-l) ♦ f j
2 +
Ws pó ł c z y n n i k i a^, b i , c^, d i( e i , f sę fu nk cj am i n u me ru punktu i oraz znanych w i e l k o ś c i v n (i) , (n(i) . (• ? r ^i ?) , ( 3 n ^- ),). (■ S n 0-).)
0 8 0 8 0 8
( 3r(l) 0 F ( i) ^
08 08
Zr óż ni cz ko wa ni e X podług v r (i) dla i « 1 ...n i p r z y r ó w n a n i e po
chodnej do zera daje układ n równań liniowych, które stan ow ię w a r u n e k konieczny minimum.
M e t o d y w y z n a c z a n i a pola p r ę d k o ś c i na. 167
W obu o m ów io ny ch m e t o da ch za kł ad a się, ża znana jest składowa p r o s t o padła we kt or a prędkości. Możn a założyć, że składowa ta nie Jast znana do kł a d n i e (wskutek bł ęd ów pomiaru) i narzuc an ie Jej w a r t oś ci nie Jest c e lowe. Wó wc za s do ws ka ź n i k a Ja ko śc i w p r o w a d z a m y funkcję kary za n i e s p e ł n i e nie równania na składowę p r o s to pa dł ą we kt or a prędkości. Równanie przyjmie p o s t a ć :
kości i która Jest znana, g jest w s p ó ł c z y n n i k i e m kary. Oblicz en ie w e k t o ra p r ę d k o ś c i polega, tak Jak po pr ze dn io , na:
- z d y s k r e t y z o w a n i u w s ka źn ik a jakości,
- z r ó ż n i c z k o w a n i u ot rz y m a n e g o w y ra że ni a podług niezna ny ch w a r t o ś c i p r ę d kości ,
- pr zy ró w n a n i u po ch od ny ch do zera,
- r o z w ią za ni u ot rz y m a n e g o u k ła du równań liniowych.
Za uw aż my , że o ile w m e t o da ch om aw i a n y c h wyżej rozwiązywało się układ n ró wn ań o n ni ew ia do my ch , to ta me to da prow ad zi do układu 2 n równań, gd yż niez na ne są z a ró wn o sk ła do wa równoległa. Jak i prostopadła wektora prędkości.
Idea bu dowy pola pręd ko śc i o minimalnej w a r i a n c j i pochodzi z pracy Horna i S c h u n c k a (1981) 1 była dalej rozwijana przez Hl ldreth (1983).
4. Za ko ń c z e n i e
W pr ac y po dano m e to dy w y z n a c z a n i a pola prędkości dla różnych rodzajów ruchu ob iektu w z g l ę d e m płaskiej sceny. Pole pręd ko śc i dla całego konturu ob iektu może być obli cz on e w łatwy sposób. Jeśli znane są w e k t o r y pręd
ko śc i w co nBjmnieJ dwóch pu nk ta ch obrazu. In fo rm ac ję taką można uzyskać przez p o ró wn an ie na obrazie p i er wo tn ym i obrazie p r ze su ni ęt ym położenia pe wn yc h c h a r a k t e r y s t y c z n y c h p u nk tó w konturu. Jeśli obraz takie pu nk ty posiada. Punk ta mi c h a r a k t e r y s t y c z n y m i mogą być p u nk ty za łamań konturu lub punkty, w kt órych kr zy wi zn a osiąga maksimum.
Me to da p o le ga ją ca na p o s z u k i w a n i u pola prędkości o minimalnej wa ri a n c j i (największej gładkości) nie w y ma ga w c ze śn ie js ze j z n aj om oś ci we kt or a pręd
kości w ża dn ym pu nkcie konturu. Oest ona z z a ło że ni a metodą przybliżoną.
M e to da ta może być st os ow an a do p r zy pa dk u ruchu w z g l ę d e m trójwymiarowej s c e n y obse rw ow an ej na pł as ki m obrazie.
Pole pr ę d k o ś c i może z o s t a ć w y k o r z y s t a n e Ja ko informacja w e jś ci ow a dla al go r y t m u s t er ow an ia po ru sz a j ą c y m się obiektem. Zn aj o m o ś ć pola prędkości po zw al a od tw o r z y ć pa ra m e t r y ruchu, a więc stan obiektu. S z c z e g ó ł y opisane są w [20J. Z n a j o m o ś ć stanu ob ie kt u Jest p o d s ta wą do zast os ow an ia kl a s y c z ny ch a l g o r y t m ó w teorii starowania.
ds
■y0 oznacza wart oś ć, która apro ks ym uj a składową pr os topadłą wektora pręd-
160 A. O r d y s , K. W o jc ie ch ow sk i
Możliwe Jest także inne podejście do problemu, polegające na budowie algory tm ów sterowania obiektem na podstawie całego pola prędkości, bez przechodzenia przez pośredni etap stanu. Będzie to przedmiotem dalszych badań.
Podziękowania
A u t o r z y pragnę podziękować dr o w i lnż. A. świe rn ia ko wi za rzeczowe dyskusje.
LITERATURA
[lj Adeleon E . H . , Movshon O.A. : The Perception of Coherent Motion in Tw o- di me ns io na l Patterns, Proc. of the AC M In te rd is ci pl in ar y W o r k sh op on Motion: Repres en ta ti on and Perception, Toronto (1983) C 2 J Agg arwal 3 . K., Duda R.O. : Computer An al ys is of Mo vi ng Polygonal
Images. IEEE Tr an sa ct io n on Computers c - 2 4 , (1975)
[3 ] Barnard S . T . , Thompson W . B . : Di sp a r i t y An alysis of Images. IEEE Transaction on Pattern Anal ys is and Ma ch in e Intelligence, 2 (1980) [4] Chow W . K . , Agg8 rw al O.K.: Computer An alysis of Planar Curvilinear
Moving Images. IEEE Tr an sactions on Computers, c 26.
[jf] Clatworthy O.L. , Frisby O.P. : Real and Ap parent Movement: Evidence for Unitary Mechanism. Perception 2. (1973)
Cs] Davis L . , Wu Z . , Sun H . : Co nt our-based M o ti on Estimation. Proc. of the A R P A Image Understanding Workshop, Arlington, VA. (1982)
[7Ü Van D o o m S.O., Koenderlnk 0.0. : Vi si b i l i t y of Movement Gradients.
Biological Cybernetics 44. (1982)
Cßl Fennema C.I., Thompson W . B . : Velo ci ty Determ in at io n in Scenes C o n taining Se veral Moving Objects. Computer Graphics and Image P r oc es
sing 9. (1979)
[9 j Hildreth E . C .: The Integration of Mo ti on Information Alon g Contours.
Proc. of the IEEE Wo rk sh op on Computer Vision, Rindge NH. (1982) [10] Hildreth E.C. : The Measurement of Vi su al Motion. Ph. D, Thesis.
Mas8Bchu8tts Institute of Technology. (1982)
[ill Horn B. K. P. , Sc hu nc k B.G. : Determining Optical Flow. A r ti fl ca l Inte l
ligence, 17. (1981)
[12] Lo nguent-Higgins H.C. , Pr az dn y K. : The In te rp re ta ti on of Moving Retinal images. Proc. of the Royal So ci et y of London B.208. (l981) [13] Nagel H.H.: On Change Detection and Displacement Vector Estimation
in Image Sequences. Pattern Re co gnition Letters 1. (l982)
[14]] Prazdny K.: On the Information in Op tical Flows. Computer Vision, Graphics and Image Processing 22. (l983)
[l5j Reichardt W. , Poggio T. : Fi gure-ground D i s c ri mi na ti on by Relative movement in the Visual Sy stem of the Fly. Biological Cybernetics 35.
(1979)
[16] Schunck B.G. : Mo ti on S e gm en ta ti on and Estimation. Ph.D thesis M a s s a chusetts Institute of Technology. (1983)
[17] Thompson W.B. , Barnard S.T. : Lower-level Estimation and I n te rp re ta
tion of Visual Motion. IEEE Computer. (1981).
Ms to dy wy zn aczania pola prędkości na. 169
[18] Ullman S. : The Interpretation of Visual Motion MIT. Press Combridge and London (1979).
[19] Ulman S.: Analysis of Visual Motion by Biological and computer S y s tems. IEEC Computer. (1981)
¡20] Polański A.: A l g o ry tm wyzn ac za ni a parametrów ruchu na podstawie pola przemieszczeń. Praca przygotowana do druku.
Recenzent: Doc.dr lnż. Bogdan Wołczak
Wp ły nę ło do Re dakcji 2.01 .1 98 7 r.
« S T Ca O IIP E iS JiS H H H IKXIH C AOPCCTli HA OCHOBE ilOCJISJIOBATEJIbHOCTH
P e 3 j o w e
B c T a T b e n p e A C i a B J i e H U ¡/.eT O A bi o n p e , n e . j i e m i f l n o j i a c K o p o c T H H a o c H O B e H a 6 « E ) A e H M a p a . u a o 6 p a 3 0 B . I i I e T o f l u s t u n o s p a s ^ e j i a i o T n a £ B e r p y n n h i : n e p B t i i i Ł t e i o f l H y x n a e T c a b 3 h ć l h h h B e K t o p a C K o p o c i H b H e K o T o p u x l o ' t x a x o f i p a 3 a a B T o p o i ł B H H i-iaioiiiiH n p u d J iH K e K H b ie M e i o f l U , h o H e T p e S y i o q n i t 3 H a k m B e K t o p a C K o p o c T H b H H K a ł to ti t o H K e o d p a a a .
METHODS OF A S S I G N M E N T OF THE VELOCITY FIELD BASING ON THE SE QUENCE OF IMAGES
S u m m a r y
Methods of ve locity field assignment on the base of the observation of the sequence of Images are presented. Two groups of methods are consi- d e r e d : in the first one the konowledge of the velo ci ty ve ct or in some points of the image is needed, in the second one the methods are a p p r o x i mate but the ve locity vector should not be known in any point of the image. Formulae which enable numerical implementations of the methods on the computer are presented.
