La géométrie de Nicolas Copernic

Dr. EDWARD STAMM

LA GÉOMÉTRIE DE M U A S EÛPE8HIÎ

Odbitka z dziela zbiorowego: „La Pologne au VH-e Congrès International des Sciences Historiques*

V A R S O V I E

S O C I É T É P O L O N A I S E D’H I S T O I R E 1 9 3 3

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Dr. EDWARD STAMM

La géom étrie de Nicolas Copernic

Copernic a été un astronome et non un mathématicien: c’est le premier fait dont il faut nous rendre com pte. Les m athém atiques lui servirent de science auxiliaire dans ses études astronom iques.

C’est pourquoi ses travaux m athém atiques se bornent à la trigo­

nométrie. C’est aussi pour cette cause qu’il traite la trigonom étrie de science secondaire, auxiliaire. Si j’appuie sur ces faits, c ’est que je me propose, dans la suite, de comparer Copernic à Regio- montanus, m athém aticien de profession.

La trigonom étrie de Copernic fut publiée pour la première fois en 1542, sous le titre: „De lateribus et angulis triangulorum".

Elle contient trois chapitres: Le premier est identique au ch. 13 du I-er livre de „De revolutionibus", le^ eu xièm e au ch. 14 du I-er livre, pendant que la table formant le troisièm e chapitre diffère de celle des sem i-cordes, publiée par Copernic dans „De revolutionibus", au ch. 12 du I-er livre. La trigonom étrie de Copernic eut une édi­

tion unique.

La principale oeuvre de Copernic, „De revolutionibus orbium coelestium ", publiée pour la première fois en 1543, renferm e les deux chapitres trigonom étriques m entionnés plus haut, chapitres 13 et 14 du I-er livre. On sait que Copernic a remanié à plusieurs reprises la rédaction de son ouvrage. Dans la rédaction primitive, la trigonom étrie et l’introduction, renfermant les théorèm es indis­

pensables pour le calcul des tables des sinus, se trouvaient, toutes les deux, dans les ch. 1—3 du Ii-e livre. Plus tard, Copernic réunit ces chapitres au I-er livre, comm e ch. 12—14.

Nous rencontrons encore, par ci, par là, une discussion des problèmes mathém atiques dans le s livres suivants de „De revolu­

tionibus".

Ce sont enfin les notes de C opernic, faites sur des exem ­ plaires de ses livres, qui méritent ici notre attention.

Nous nous occuperons tout d’abord des tables trigonomé- triques.

La table de „De revolutionibus44 ne donne que les sem i- cordes des angles de 0°—90°, à distance de 10', La table de 1542, donne les sem i-cordes des angles de 0° — 90°, à distance de 1' et les valeurs des semi-cordes com plém entaires à 90°, c ’e st-à -d ir e c elles des cosinus, Comme dans les tables actuelles, on lit les sinus de haut en bas, les cosinus de bas en haut; les angles sont donc m arqués en haut et en bas, les m inutes à gauche et à droite.

C’est là une m éthode apliquée pour la première fois. Nous ne la rencontrons pas dans les tables de Regiom ontanus. Quant au dia­

mètre du cercle, il e st reparti dans le „De revolutionibus" en 200 000, tandis qu’il com pte 2 0 0 00 0 0 0 dans la table de 1542.

Copernic ne s ’est pas servi de la fonction cosinus et il ne l’introduisit pas dans sa trigonométrie. 11 se sert exclusivem ent des „sem i-cordes“. Copernic n ’a certes pas ignoré les cosinus, mais il trouvait probablement qu’il peut fort bien s ’en passer dans ses étu­

des astronom iques. Il en résulte que la table des sinus et cosi­

nus dans la trigonom étrie de 1542 a été faite par Rheticus, l’édi­

teur du livre, et non par Copernic lui-même.

C’est toutefois à Copernic que nous devons les tables des semi-cordes, renferm ées dans le„ De revolutionibus11. Copernic avait, probablement connu le s anciennes tables des cordes ou des semi- cordes, accessibles au début du XVI-e s., mais dans ces tables, le rayon du cercle n’équivalait pas à la puissance du 10. Copernic suppose cependant r = 105, R heticus dans sa table 107. Des tables contem poraines, Copernic connaissait pour sûr celles de Regiom on- tanus:„ Tabulae directionum profectionum que“(1490), renfermant une

«Tabula feçunda* où Regiom ontanus supposa pour la première fois r = 105 (pour les tangentes), pendant qu’il supposait jusqu’ici 60 000. C’est donc probablem ent de Regiom ontanus que Copernic i ntercepta le principe r = 10s.

Copernic con n aissait aussi l’„Instrumentum primi mobilis"

d’Apian, renfermant les tables des sin de 0° — 90° à distance de 1', pour r = 105. Il possédait un exemplaire d’Apian, édité en 1534.

Toutefois, étant donné qu’il a reçu probablement l’ouvrage sus­

m entionné de Regiom ontanus, de même que celui d ’Apian, en 1539, par l ’entrem ise de Rheticus arrivé à Frauenburg, et que les tab les des sem i-cordes ont dû être déjà prêtes à cette époque, il e s t difficile de supposer que les tables d’Apian aient pu exercer une influence d écisiv e sur l’élaboration de celles de Copernic. II

est probable cependant que Copernic compara ses tables à celles d’Apian, puisque je constate que presque toutes le s im précisions de calcul d’Apian sont ég a les chez les deux écrivains (il y en a 51 sur 540 chez Copernic: il s’agit des dernières positions).

A côté des tables des sem i-cordes des angles doubles, nous trouvons encore une table écrite de la main de Copernic sur l'exemplaire susm entionné de Regiomontanus. C’est une table antérieure à celle qui fut publiée dans. „De revolutionibus". Ce fait résulte en premier lieu de ce que r = 60 dans la table en question, pendant que dans celle de „De revolutionibus", figure r = 10s. Les valeurs des sem i-cordes sont données ici en nombres entiers, en 1/60 et 1/3600. Copernic ne s'est pas servi de cette table dans s e s études astronomiques publiées. La table en question n’accuse ni l ’influence de celles de Ptolém ée, ni de celles de Peuerbach.

Au point de vue de l’histoire des m athém atiques, ce sont les tables de secantes qui ont le plus de portée. Copernic les calcula égalem ent sur l’exem plaire de Regiomontanus: „Tabulae directio- num profectionumque", à savoir à côté des valeurs tg, que R egio­

m ontanus donne dans sa „Tabula fecunda". Copernic intitula les valeurs de sec: „Trai'mvoix5a“. Il supposa r = 104 pour les calculer.

Le calcule est exécuté pour des angles à distance 1', de 0° — 90°.

C’est là en général la première table des secantes parce qu’elle à été calculée en 1520 environ :). A insi Copernic introduisit-il la notion sec, dans la science. Bien que Copernic lui-même ne se soit pas servi de cette fonction dans son ouvrage principal et qu’ainsi il n’ait pas pu contribuer imm édiatement à sa popularisa­

tion, toujours est-il que déjà Rheticus (Canon doctrinae triangu- lorum, 1551) donne, d’après Copernic, une table de sec, calculée d’une m anière très sem blable à la sienn e. Il dit lui-même dans l’introduction de l’ouvrage respectif qu’il a pris ses idées „ex am oenissim o horto Copernici".

Les tables de l’interpolation ne se trouvent que dans celles des sem i-cordes de „De revolutionibus". Ce sont seulem ent les premières différences. Dans une des tables astronom iques2), nous trouvons par contre les secondes différences, ce qui accuse l’e x is­

tence de l’interpolation de second ordre chez Copernic.

') C u r t z e , Rel, Cop. p. 54.

2) Tabula aequationum mtisi inscrite dans, lès Tables de Regiomontanus ( C u r t z e , Rel. Cop., p. 41 s.).

JLa géom étrie de Nicolas Copernic 3

Copernic donne la méthode du calcul des tables des sem i- cordes dans le 12 ch. du I-er livre de „De revolutionibus". Ce cha­

pitre, renferm ant le s relations goniom étriques essen tielles, répète assez fidèlem ent le 9 ch. du I-er livre de l ’A lm agest de Ptolém ée.

Dans le prem ier théorèm e, citant comme source Euclide et s ’appuyant sur les relations concernant le côte bn du polygone régulier, inscrit dans un cercle à rayon r, Copernic obtient pour r = 105:

b6 = 100 000, b3 = 173 205, b4 = 141422, é10=61 803, ô6=117 557.

Dans sa conclusion Copernic calcule les cordes des angles au centre à 144° èt 108°. Si nous em ployons le sym bole sub a pour la corde appuyée sur l ’angle a, (Copernic n’em ploie aucun sym ­ bole), le théorème, sur leq u el Copernic s ’appuie pour calculer les cordes des angles complém entaires, aurait la form e suivante:

sub3 a + süb2 (2R - a) = (2 R ) 2.

Cette équation répond à l’équation bien connue:

sin 2 a + cos2 a = 1,

ce dont il est facile de se convaincre, en substituant à sub a — 2 r sin —. a

2 On obtient de la sorte

sub 144° = 190 211, sub 108° = 161 803.

Le deuxièm e théorèm e, c ’e st celui de Ptolém ée sur les dia­

gonales et les côtés du quadrilatère, inscrit dans un cercle. En s ’appuyant sur la sim ilitude des triangles et les qualités des pro­

portions, Copernic prouve d’une m anière connue ce théorème, ser­

vant de base aux conclusions suivantes.

C’est ainsi que ce théorèm e permet, dans le 1. 111-me, de cal­

culer la corde appartenant à la différence de deux arcs connus, à l’aide des cordes de ces derniers. Copernic ne formule pas de théorèm e y relatif, de même qu’il ne le fait pas dans la suite pour d’autres théorèm es. On pourrait l ’écrire dans la forme que voici:

La géométrie de Nicolas Copernic 5 C’est évidemment le théorème que nous connaissons aujourd’­

hui comme:

sin (a — P) = sin a cos p — cos a sin p.

La preuve en est toute sem blable à celle de Ptolém ée 3). En se basant sur le théorème dit troisièm e, Copernic calcule dans la suite:

sub 12° = sub (72° - 60°) = 20 905.

Puisqu’il s'agit de calculer les cordes d’angles suffisam m ent petits, il faut connaître le m oyen de calculer la corde de la moitié de l’arc donné. Copernic résout ce problème dans son quatrième théorèm e, mais d’une façon différente de celle de P tolém ée4), no­

tamment plus sim ple. On pourrait écrire le théorème respectif dans la forme que voici:

sub — = / / sub (2 R — a)

2 y i 2

En substituant sub a = 2 r sin — nous obtenons le théorème 2

sin * / / 1 “ « o s a 2

Etant donné que sub 12° = 20 905 Copernic calcule dans le Ill-m e théorème, en se basant sur le théorèm e en question

sub 6° = 10 467, sub 3° = 5 235, sub 1° 30' = 2 618, sub 45' = 1 309.

Le V-ème théorème ne nous donne pas les cordes des angles plus grandes d’après les plus petites déjà données. Copernic y ré­

sout le problème suivant: calculer la corde appartenant à la somm e de deux arcs, d’après leurs cordes. La solution e st iden­

tique à celle de Ptolém ée 3). Le théorème y relatif répond au théo­

rème actuel

3) A l m a g e s t, éd. H a 1 m a, p. 30—31.

4) 1. c., p. 31—32.

5) 1. c., p. 33.

x,

sin (a -f- P) = ^ 1 — (cos a cos P — sin a sin P)2.

En s ’appuyant sur le s problèm es résolus plus haut, il est possible, comme l’affirme Copernic, de com poser des tables des cordes à distance de 8°, de 1° 30' et de 45'. Il est préférable tou tefois de prendre la distance de 1°, ou bien de ses parties.

Nous ne saurions exécuter la chose en nous appuyant sur les théories précédentes. Il y a cependant une autre v oie, indiquée par Ptolém ée 6). Il s ’agit ici d’un théorème très beau: le rapport de l’arc plus petit à l’arc plus grand dans un cercle, est plus grand que le rapport des cordes relatives (Vl-me théor.). Prenons p. ex. les angles de 3° et de 1° 30' : le rapport des arcs est 2, celui d es cordes d ’après le calcul précédent, 5 2 3 5 : 2 618, étant donné que 5 235 : 2 618 < 2. Prenons maintenant le s angles de 1° 30' et de 45'. Le rapport des arcs sera encore 2, et celui des cordes, d’après le calcul précédent, 2 618 : 1 309, c’est à dire aussi 2. A cette précision de calcul que nous avons atteinte, les cordes ne diffèrent donc plus des arcs. Nous pouvons ainsi ajouter à la corde encore sa troisième partie, c ’e s t - à - d ir e 436, et nous obtiendrons comme longueur de la corde relative à 1°

i sub 1° = 1 745.

et en su ite (

sub 30' - 872.5, sbu 20' = 582.

Copernic remarque enfin qu'il ne place dans ses tables que les m oitiés des cordes, et encore celles des angles doubles, puis­

que les cordes entières se rencontrent rarement dans les calculs.

Les tables jusqu’à 90° seront ainsi suffisantes.

Etant donné que Copernic suppose r = 105, il résulte du rap-

C . a

port connu — = r sin ? ou a est un angle double, c ’est à dire de

2 2

C . a

— : r = s i n — , que nous obtiendrons directem ent les sinus à 5 dé-

2 2

cim ales, après avoir divisé les valeurs des sem i-cordes dans les tables de Copernic par 105.

Le 12-e chapitre du I-er livre de „Derevolutionibus" présente donc, comme nous l ’avons vu, la goniom étrie; le 13-e chapitre

6) I. c., p. 34-36.

y

La géom étrie de Nicolas Copernic 7 contient la trigonom étrie plane. Il possède quelques p oints com­

muns avec les parties resp ectives des livres I et II de „De trian- gulis omnimodis libri quinque“ (1533) de Regiom ontanus.

Berti ‘) tâche de prouver que Copernic a connu la trigono­

métrie de Regiom ontanus avant que c e lle - c i ait été imprimée (1533).

Etant donné toutefois que la trigonométrie de Regiomontanus fut terminée, (quoique pas tout à fait prête à imprimer), au début de 1464, et que, d’autre part, Regiom ontanus laissa son manuscrit à W alther à Nuremberg vers la fin de 1475, partant lui-même pour Rome, il e st im possible que Copernic ait pu connaître le m anuscrit entre 1464—1475, n’ayant à l’époque que deux ans tout au plus, et ne s ’étant rendu en Italje qu’à peine en 1496. La suite de la fortune du manuscrit de Regiom ontanus exclut, elle aussi, la possibilité d’une inspection de Copernic. De 1475 à 1504, le m a­

nuscrit se trouve entre le s mains de W alther qui le garde très soigneusem ent caché. Copernic a été à Nuremberg en 1496, mais il est difficile de supposer qu’il ait pu s’initier au m anuscrit pen­

dant son bref séjour. W alther mort en 1504, c'est Pirckheimer qui acheta le manuscrit. Celui-ci devint alors plus facilem ent accessible. C’est probablement alors que Jean Werner en prit connaissance, m ais Copernic était à ce moment à Padoue et il rentra ensuite en Pologne. La Trigonométrie de Regiom ontanus ne fut imprimée qu’en 1533, du temps du séjour de Copernic à Frauenburg.

Copernic obtint un exem plaire imprimé de l’ouvrage de Re­

giom ontanus probablement en 1539, et c’est alors qu’il a dû intro­

duire quelques changem ents dans sa trigonométrie.

Dans sa préface à l’oeuvre de Copernic, publiée en 1542, Rheticus parle très distinctem ent de ce que le travail de Copernic, sauf quelques théorèm es, e st com plètem ent indépendant: „Nunc recens prodiit lucubratio Regiomontani; sed multum ante quam hanc videre potuit, vir clarissim us et doctissim us D. Nicolaus Co- pernicus, dum in Ptolem aeo illustrando et in doctrina motuum elaborat, de triangulis eruditissim e scripsit“.

11 sera profitable aussi d ’attirer l’attention sur la term inologie géométrique de Copernic et celle de Regiom ontanus. Copernic se

7) Copernico e le viçende del systema eopernicano in Italia, 1876, p. 46—48

sert constam m ent du terme „triangulum sphaericum" 8) ou „con- vexum", où Regiom ontanus dit „triangulus sphaeralis". Pour définir la corde, Copernic em ploie le term e „subtensa“ (linea), Regiom on­

tanus „corda“; pour les triangles, Copernic dit „triangulum rectan- gulum" ou „ortliogonium “, Regiomontanus, constamment „triangu- lus rectangulus"; Copernic: „triangulum isoscele", Regiom ontanus

„triangulus aequicrurius“, Copernic „triangulum isopleurum “, R e­

giom ontanus „triangulus aequilaterus".

Le moment décisif, c’est ici la grande différence entre la conception—même de la géom étrie — chez Copernic et chez R egio­

montanus, et entre leurs m éthodes de preuve. Nous en reparlerons dans la suite.

âniadecki 9), en discutant les cas (a, b, c) et (a, p, y) de la trigonom étrie sphérique, dit: «Regiom ontanus... donne des m étho­

des différentes de celles de Copernic, pour résoudre les deux problèmes". De même, Battaglini 10): „Sarebbe im portante di parago- nare il modo tenuto dal Copernico ,nel risolvere i sudetti problemi (che è molto sem plice) con quelle adoperato dal Regiomontano...

il modo di dimostrarle, tenuto da Copernico è perô in generale diverso". Prowe et Birkenmajer sont d’une opinion semblable.

Le 13-me chapitre de „De revolutionibus" contient les problèmes élém entaires de la trigonom étrie plane. Il se compose de cept parties, num érotées dans l’édition de Torun par les chiffres I—'VII.

1. „Trianguli datorum angulorum dantur latera". Copernic ne donne jamais de formules pour résoudre un problème; il ne fait que décrire la manière de la solution. Des angles donnés du triangle, comme des angles de la circonférence du cercle, où le triangle est inscrit, nous calculons les angles relatifs au centre, et des tables —les cordes ou les côtés, bien entendu dans leur rapport mutuel, et non dans leur longueur absolue. Le rayon du cercle est toujours donné, puisque Copernic suppose constam m ent r = 105.

C’est une m éthode actuellem ent connue et em p loyée comme mé­

thode ^(/", a, P, y) . Dans le langage d’aujourd’hui, nous aurons les formules suivantes:

a . b c

— = sin a, — = sin P, ^ = sin 7,

2 r 2 r 2 r

8) C’est aussi J. W e m e r qui emploie le terme .trian g u lu s sphaericus“

à l’époque, dans sou ouvrage „De triangulis sphaericis', oeuvre inachevée, parue à peine en 1907.

<J) Discours sur N. Copernic, 1803, p. 83.*

u ) De triangulis omnimodis, 1533, II, 1.

La géométrie de Nicolas Copernic 9 c’e s t - à - d ir e le théorème de sinus

sin a sin P sin y

Copernic se sert dans le 2 ch. du Ill-e livre du théorème des sinus, que l’on pourrait écrire dans la forme que voici:

sub 2 a , , ,

a : c = --- : r, c est - a - dire a: c = sin a : 1.

2

Regiom ontanus u) formule autrement le théorème des sinus, à savoir dans les sym boles modernes:

a _ sin a b sin P

Dans le Il-e et le III-e ch. Copernic étudie le triangle équ­

ilatéral et rectangle.

Dans les §§ suivants, Copernic s ’occupe de résoudre des triangles à données arbitraires (a, b, y), (a, b, a), (a, b, c). 11 omet le cas (a, p, y) facile à résoudre d’après la prop, 1, tous les angles et un côté étant donnés.

Aux lY-e et V-e par. nous avons à faire au cas (a, b, y) o ù

l’angle y est aigu ou obtus. On résout ce cas, en divisant le triangle en deux rectangles. Regiom ontanus procède de manière analogue (I, 49).

Au Vl-e, Copernic résout succinctem ent le cas (a, b, a). Nous calculons tout d’abord, a étant donné, la longueur de a par rapport au diamètre du cercle, valant 200000. Nous calculons b, égalem ent par rapport au diamètre, b étant donné aussi. C’est alors que les tables nous donnent l’angle [5, le calcul y, et les tables encore c, par rapport au diamètre, donc aussi c, dans sa longueur réelle. Co­

pernic ne m entionne pas le cas im possible ou ambigu, où l’angle a se trouve vis-a-vis du côté plus court. Ce fait ne nous étonne pas: de nombreux m athém aticiens de l’époque ne voyaien t pas cette ambiguïté. Regiomontanus distingue toutefois les cas, où ce sont un angle obtus ou un angle aigu qui sont donnés (I, 51, 50). J’y

10) B e r t i , 1. c., p, 240.

vois un détail important qui prouve l’indépendance de Copernic par rapport à Regiom ontanus.

Le VH-epar. du 13-e ch., relativem ent plus long, comprend le cas (a, b, c). Copernic donne deux solutions pour le cas d’un triangle arbitraire. La première s ’appuie sur la division du triangle en deux triangles rectangles, de même que Regiom ontanus (I, 43 —47), l’autre, sur le théorème d’Euclide (livre III) de la puissance du cercle. Cette deuxièm e solution est tout originale. Nous ne ren­

controns pas chez Regiomontanus l’autre solution de Copernic, bien que Regiom ontanus se soit servi du théorèm e susm entionné d’Euclide sur la puissance du cercle dans son calcul des projections des deux côtés d’un triangle sur le troisièm e.

C’est par là que Copernic achève sa trigonom étrie plane.

Donnons encore un coup d’oeil à l’ensem ble. Ce qui se m anifeste en premier lieu, c’est la dépendance de Copernic par rapport à Ptolém ée, à savoir dans le calcul des cordes répondant à des angles donnés. Copernic calcule les cordes en tières des angles particuliers, mais il donne dans ses tables de même que R egio­

montanus le s sem i-cordes des angles doubles. Il n ’introduit toute­

fois pas le terme „sinus“, bien que ce dernier fût connu à partir du X ll-e s., il se contente de celui de „semisses subtensarum dupla- rum“. Je ne crois tout de même pas, comme le veut J. Tropfke n ), que Copernic se soit servi tout d’abord des cordes entières, puisque c’est déjà l’ancienne table, inscrite par Copernic sur celles de Regiom ontanus, et probablement antérieure à 1520 (dont nous nous som m es occupés plus haut), qui donne les semi-cordes des angles doubles. Copernic n’a donc pas pu, comme l’avance Tropfke, mo­

difier son opinion seulem ent après avoir reçu l’ouvrage de Regio­

m ontanus „De triangulis", ce qui eut lieu en 1539 environ.

S’il e x iste chez Copernic, une dépendance par rapport à Re­

giom ontanus dans le domaine de la trigonom étrie, elle est minime.

La même chose concerne Djabir ibn Aflah, dont l ’astronomie, renfermant au début un traité de trigonométrie, se trouvait parmi le s livres de Copernic 1S). Il suffit de signaler ici que Djabir ibn Aflah parle du cas ambigu (a, b, x), complètement ignoré par Copernic.

Il résulte de ce qui précède, que Copernic a connu des thé­

orèm es trigonom étriques et goniométriques importants, entre au-

12) Gesch. d. Elementarmathem., V, 1923, p. 75.

u ) P r o w e , N. Cop., 1/2, p. 409.

La géom étrie de Nicolas Copernic 11 très: celui du sinus de la somme, bien que dans la form e du radical; celui du sinus de la différence, du sinus de la m oitié de l'angle; c’est de Ptolém ée qu’il a intercepté ces théorèm es. Il con­

naissait égalem ent le théorèm e des sinus dans la trigonom étrie plane, mais dans une forme différente de celle de Regiomontanus.

Sa conception de ce théorème répond plutôt à celle de Levi ben G ersonu). Par contre, de même que Regiom ontanus, Copernic ignorait le théorèm e des sinus complém entaires dans la forme trigonom étrique, donnée pour la première fois par Viète (1593).

Dans le 14-e chapitre de ,,De revolutionibus”, Copernic traite en 15 §§ les problèm es élém entaires de la trigonom étrie sphéri­

que. Ce chapitre, comme le prouvent des notes, des barres et une triple num érotation du manuscrit, fut le plus m odifié par Copernic. Il comprenait tout d’abord 12 §§. Un théorèm e barré, rem placé plus tard par le XlII-e, succédait au XH-e. Ce théorème, de même que le XlV-e et le XV-e, sont écrits sur des feuilles unies plus tard au manuscrit, d’un caractère changé, d’une encre et sur papier différents 15).

L’ordre des §§ particuliers se présente dans les projets des rédactions différentes probablement de la manière que voici:

La rédaction primitive. Douze §§ dans l’ordre I — V, XI, XII, avec le s XIII barré, et VI — X. La description du cas (a, (3,, y) et le XIV théorème manquent.

La deuxièm e rédaction est marquée a en marge du manuscrit de Prague, en chiffres romains, toutefois sans les §§ XIV et XV, et avec un § nouveau: le § XIII. L ’ordre en est de I — XIII.

Le projet de la rédaction est marqué à la m arge par les let­

tres a-g. L’ordre en est I — VI, XV, VII-— XIII. Le XlV-e para­

graphe y précéderait probablement le XV-e.

La rédaction définitive. L’ordre est ici I — XV. En voici la teneur: Introduction (I, II), théorème des sinus pour les triang­

les rectangles (III), solution des triangles rectangles (IV, V), thé­

orie de la congruence (VI — X), solution des triangles arbitraires (XI — XV).

Copernic traite aux I-er et Il-e par. les notions élém entaires de la sphérique, en s ’y bornant aux triangles de Euler, c’est - à - dire aux

14) De sinibus chordis et arcubus, 1321, II, 5, éd. C u r t z e, Bibl.

Math. 13, 1910.

16) Cf. les notes dans i’introduction et dans les §§ particuliers de nDe revolutionibus" dans l’édition de Torun.

triangles dont les côtés se renferm ent entre 0° — 180°. Nous re­

levons encore le fait que Copernic nomme „circulus m axim us”, suivant les m athématiciens grecs, le grand cercle, nommé „circu- lus m agnus” par Regiom ontanus d’après le s Arabes.

Dans le Ill-e par., Copernic prouve le théorèm e suivant: Dans un triangle sphérique, rectangle, le rapport entre la corde du côté double opposé à l’angle droit, et la corde du côté double contigu à cet angle, égale le rapport du diamètre d’une sphère à l’angle double renfermé entre le premier et le troisièm e côté.

Nous aurons dans le langage mathématique moderne:

2 r sin c 2r --- -- --- --- 5 2 r sin a 2 r sin a c’e s t - à - d ir e

sin a = sin c. sin s.

La m éthode de la preuve est entièrem ent nouvelle et origi­

nale pour l’epoque. Elle consiste à transposer les élém ents d ’un triangle sphérique dans certaines figures planes, à savoir dans des triangles plans, obtenus par l’intersection de l ’angle trièdre y relatif, et dans le plan équatorien de l’un des som m ets du triangle sphérique donné, comme pôle. Cette m éthode réduit ainsi le s re­

lations de la trigonométrie sphérique à celles de la trigonométrie plane.

Elle exerça une influence sur R h eticu s16) et plus tard tout particulièrement su Viète. Aujourd’hui encore, nous l ’employons souvent dans les manuels de trigonom étrie sphérique.

Voici la conception du théorème des sinus de Regiomontanus sin a _ sin b _ sin c

sin a sin J3 sin 90°

si nous em ployons le langage mathématique moderne. Le preuve est égalem ent différente, puisqu’elle ne s ’appuie ni sur un angle trièdre, ni sur des triangles planes. Regiom ontanus opère immé­

diatement avec les arcs des grands cercles (IV ,— 16).

Le Ill-e théorème, prouvé par Copernic, fut connu déjà de

16) K. H u l i n r a t h , Des Rheticus Canon, Zs. Math. Phys., Suppl. 1899, p. 213; T r o p f k e , Gesch. ci. Elementarmath., V, 1923, p. 109.

La géom étrie de Nicolas Copernic 13 Ptolém ée 17), comme résultant de la règle de six quantités (régula sex quantitatum), basée sur le théorème de Ménélaus. Il fut aussi connu aux Arabes (Albattani, Djabir ibn Aflah, Nasir Eddin).

Chez Djabir ibn Aflah, ce théorème résulte de la règle de quatre quantités (régula quatuor quantitatum), connue d’ailleurs déjà à Alnairizi ( f 922) 18).

La méthode de la preuve du IV-e théorème est différente. Elle est à proprement parler une application de la règle de quatre quantités, connue pour sûr à Copernic, bien qu’il ne la m entionne pas distinctem ent. Djabir ibn Aflah en déduit des conclusions qu’on pourrait écrire dans la forme m oderne de la manière sui­

vante: sin a = sin c. sin a, cos c = cos a. cos b, cos a = cos a.

sin p, où c est l ’h y p o té n u se 19). Ce sont précisém ent les relations que l ’on trouve chez Copernic dans le IV-e et le V-e théorème.

Copernic se sert dans ces deux théorèmes im m édiatem ent des arcs, complétant le s côtés du triangle donné aux quarts des grands cercles.

Le IV-e théorème calcule les côtés et les angles d’un triangle rectangle, étant donné un côté et un angle outre l’angle droit.

Dans le V-e théorème. Copernic résout un triangle rectangle, les angles étant donnés.

Les preuves des deux derniers théorèm es ressem blent chez R egiom ontanus à celles de Copernic. La toute dernière relation fut connue aussi de P to lém ée20) tandis qu’il ignorait l'avant-der- nière. Toutes les trois furent connues à Djabir ibn Aflah, à Nasir Eddin, à Regiom ontanus 21), et comme nous le sa v o n s—à Copernic.

Les §§ VI, VII, VIII et X contiennent les théories concernant la congruence des triangles sphériques. Il y en a, nous le sa­

v o n s—six cas, à savoir:

1) (a, b, \), 2) (a, p, c), 3) (a, 6, c), 4) (a, p, l), 5) (c, a, X), 6) (k, a, c).

Le 5-e et 6-e cas possèdent quelques restrictions connues quant à la mesure des côtés et des angles. Copernic ne présente que

ir) Almagest, I, 14.

18) Cf. C. S c h o y, Ü. d. Richtung der Qibla, Stzber. Bayr. Ak. d. Wiss., 1922, p. 58; Ü. d. Gnomonschatten d. arab. Astr. 1923, p. 20.

1!>) Gebri filii Affla Hispalensis libri IX de astronomia, éd. Girardus Cremonensis, 1534, I, 13—15.

20) Almagest, II, 2.

21) IV, 16, 18, 19, 27.

le s 1, 2, 3, 5 car il omet le quatrième; pour le sixièm e, il le men­

tionne dans une phrase à îa fin du VTI-e théorèm e. Il a biffé d'ail­

leurs lui-même cette phrase 22).

Ce problème n’ayant été éclairci qu’aux XVIII-e et XlX-e ss. par A. v. Segner, Legendre et d’autres, il n’est pas étonnant que la théorie de la congruence des triangles accuse chez Coper­

nic quelques défauts. En premier lieu, il admet en silen ce cer­

taines restrictions dans le Vl-e théorème. Ensuite, dans le cas (c, a, X), Copernic ne se rend pas compte de l’ambiguïté qui ré­

sulte, si nous n’établissons pas les restrictions nécessaires. C’est probablem ent pour cela qu’il ne s ’occupe pas du cas (X, a, c). Il om et enfin le cas (a, p, X). Il en résulte que Copernic ignorait la loi de la congruence de M énélaus. La théorie de Copernic ne m anifeste aucun progrès par rapport à celle de Ménélaus, par contre, elle est m oins correcte et moins complète.

La théorie de la congruence des triangles sphériques de Regio­

m ontanus est plus précise que celle de Copernic, elle reflète minu­

tieusem ent celle de Ménélaus. C’est encore de là que résulte l ’indépendance de Copernic par rapport à Regiomontanus.

Dans le IX-e § Copernic prouve le théorèm e des angles de la base et de la hauteur du triangle équilatéral, connu déjà de Mé­

nélaus. Il en aura besoin dans la suite pour la solution des triangles. Je souligne ce fait, Regiomontanus ne s ’en occupe pas.

Le X l-e § contient la solution des cas (a, b, X), (c, a, X), le XH-e, celle des cas (a, p, c), (X, a, c). A la fin du XH-e, Copernic traite le cas (a, b, c). Ce traité fut changé dans la suite, en prenant le nombre XIII. Le Xl-e § se com pose de trois parties. Dans la première, Copernic étudie les cas (a, b, X) et (c, a, X), pour des triangles équilatéraux. Regiom ontanus ne le fait pas. Copernic s’y appuie sur son IX-e théorèm e, se servant d’abord de la solu­

tion des triangles rectangles auxiliaires. Dans la deuxième partie, il s ’agit du cas (a , b, X) pour des triangles arbitraires. Copernic com plète le triangle donné par deux triangles rectangles auxiliai­

res, dont la solution nous amène à celle du triangle donné. Dans la troisièm e partie, Copernic parle succinctem ent du cas (c, a, X) pour des triangles arbitraires. La preuve en est tout analogue à celle du cas (a , b, X).

Copernic n’em ploie donc pas le théorèm e des sinus pour des triangles arbitraires, mais il se sert du cas particulier de ce théo­

22) De revolutionibus, éd. de Torun, p. 63 note.

La géométrie de Nicolas Copernic 15 rème pour les triangles rectangles. Regiom ontanus résout ces deux cas (IV, 29 — 30) par la division du triangle en deux trian­

g les rectangles, il le fait donc d’une manière différente de celle de Copernic. Regiom ontanus ne s ’y sert pas non plus du thé­

orème des sinus qu’il connaît bien (IV, 17). Il se rend co m p te23) de l’am biguïté p ossib le au cas (c, a, X), contrairement à Copernic.

Nous mentionnerons encore, que Regiom ontanus n’em ploie pas dans son IV-e livre le théorème des sinus complém entaires, ce qu’il va faire à peine au V-e livre.

La m éthode de la solution des cas (a, p, c) et (X, a, c) est ana­

logue au Xll-e §. Copernic s ’y sert même de la figure du § pré­

cédent. Nous ne rencontrons pas ici l’am biguïté m entionnée dans le cas (X, a, c ) 24), et qui n’existe pas non plus chez Regiom onta­

n u s 25), bien qu’il s’en rende compte à propos de la congruence des tria n g les3S), Les preuves de Regiom ontanus diffèrent de celles de C opernic27).

Les X lII-e et X lV -e §§ de Copernic, concernant les cas (a, b, c) et (a, p, X), sont les plus importants et les plus intéressants au point de vue historique. Copernic avait traité le cas (a, b, c) d’abord après le X ll-e théorèm e (c ’est à dire après le VH-e de la rédac­

tion primitive). II le biffa ensuite, pour le remplacer par le X llI-e

§ a c tu e l2S). Entre ce dernier, et le § barré, il n ’existe pas de dif­

férence essentielle. Le cours de la preuve appartient par consé­

quent à la rédaction primitive, exem pte de l’influence de R egio­

montanus.

La m éthode de la preuve est la même dans la rédaction barrée et dans la nouvelle. De même que dans le Ill-e §, Co­

pernic réduit le s relations d es élém ents d ’un triangle sphérique à celles des élém ents relatifs d’un triagle plane, qu’il obtient par l’intersection de l’angle trièdre. Le cours de la pensée est le même dans la deuxièm e partie du § de la rédaction nouvelle et ancienne;

la figure même y est identique. Copernic précéda toutefois cette partie d ’une autre, toute nouvelle, à savoir du cas b = c. L’ana­

2S) IV, 29, 30.

24) Cf. toutefois la phrase barrée du m anuscrit, dans l’édition de To- run, p. 63, note, à, fin du VlI-e §.

25) IV, 32.

26) III, 53.

2r) iy , 31, 32.

2S) Éd. de Torufi, p. 67 s., note.

lyse de ce cas est indispensable, puisque la figure primitive ne répond autrement pas aux rapports réels. C'est pourquoi Coper­

nic ajoute une autre figure pour le cas b = c dans la nouvelle rédaction.

Regiom ontanus traite le cas en question (IV, 34) en distin­

guant 4 cas p o ssib les, entre autres en premier lieu celu i de b=c.

Nous ne trouvons que 2 cas chez Copernic, ce qui ne préjudicie d’ailleurs pas l ’ensem ble. Etant donné que la rédaction définitive du XlII-e §, comm e nous l’avons dit plus haut, est écrite sur une feuille ajoutée, d’une encre différente et d’une écriture changée, elle provient probablem ent du temps de la lecture de Regiom on­

tanus par lequel elle est influencée, étant ainsi postérieure à 1539.

En outre, le procédé de la preuve diffère com plètem ent de celui de Regiom ontanus. Celui-ci construit pour certains cas égalem ent un triangle plane, m ais ce triangle se trouve chez lui sur un plan équatorien et il ne résulte pas de l’intersection de l’angle trièdre.

Dans d ’autres cas, Regiom ontanus opère directem ent avec des triangles sphériques. Je note que l’unique lieu, où Regiomonta­

nus applique une telle m éthode, c’est le ch. 34 du IV-e livre de

„De triangulis”.

Nous constatons ainsi, que le cas (a, b, c) a été résolu par Copernic indépendam ment de Regiomontanus; ce n ’est qu’un petit complém ent (la précision d’un cas spécial), d’ailleurs entièrement adapté à sa méthode personnelle de preuve, que Copernic intro­

duit sous l’influence de ,,De triangulis’’.

Regiom ontanus résout le cas (a, b, c) une fois encore (V, 3, 4), à m oyen du théorèm e des sinus com plém entaires (V, 2), que nous ne rencontrons pas chez Copernic. C’est probablement d’Albat- tani ( f 9 2 9 )29) que R egiom ontanus intercepta ce théorème gau­

chem ent rédigé.

Dans le manuscrit de Prague, vers la fin du XlII-e § de la nouvelle rédaction de „De revolutionibus’’, le s paroles qui suivent furent barrées: „Haec obiter de triangulis attigisse nobis suffi- ciunt ad propositum nostrum, unde digressi sumus, festin antibus”.

II en résulte que c’est ici que Copernic a voulu achever la partie

29) T r o p f k e , Gesch. d. Elementarmath.. V, 1923, p. 139. C a n t o r Gesch. d. Math. II, 1900, p. 271 s., avance que A l b a t t a n i n ’a exercé aucune influence sur R e g i o m o n t a n u s , bien qu’il sache (1. c. p. 262) que R e g i o ­ m o n t a n u s m entionne la traduction d ’A l b a t t a n i par P l a t o n d e T i v o l i dans l’introduction à ses cours sur A l f r a g a n u s à Padoue.

La géom étrie de Nicolas Copernic 17 mathématique de son oeuvre. Les XlV-e et XV-e §§ furent ajou­

tés ensuite à la rédaction définitive. Le XIV- théorème appar­

tient au fond à la trigonom étrie plane. Copernic le plaça ici, puisqu’il en avait besoin pour la solution du cas (a, p, X). C’est ici qu’apparaît l’influence de Ragiomontanus: il place égalem ent ce théorèm e parmi ceux de la trigonom étrie sphérique (IV, 21,23).

Copernic connaissait d’ailleurs un théorèm e analogue de P tolém ée30).

Ce théorème est repris deux fois dans le manuscrit: il possédait d’abord une rédaction plus succincte, ensuite une autre, plus longue, à ratures.

C’est le XV-e § qui achève la partie mathém atique de „De revolutionibus’’. Il concerne le cas (a, p, X), ou a, p, X diffèrent de 90°. Ce § est égalem ent refait. Dans les parties biffées, Coper­

nic traite encore un cas spécial, en y ajoutant une figure, repro­

duite dans l’édition de 1542 de la trigonométrie. La preuve de Regiom ontanus (IV, 33) est analogue.

Copernic achève la partie m athém atique de son oeuvre, qui en est en même tem ps le premier livre, par les paroles suivan­

tes: „Haec obiter de triangulis, prout instituto nostro fuerint necessaria, modo sufficiant. Quae si latius tractari debuissent, singulari opus erat volum ine”. Cette phrase excuse l ’auteur d’avoir omis plusieurs restrictions: la précision y perdit, mais la lucidité gagna beaucoup.

Dans le domaine de la trigonom étrie sphérique, Copernic m anifeste très peu d’influences de Ptolém ée (XIV et d’autres pas- sim). C’est Djabir ibn A flah (IV, V) qui exerça probablement une influence plus considérable sur cette partie de l’ouvrage de Co­

pernic, Quant à Regiomontanus, son influence nê se m anifeste dans la trigonom étrie sphérique de Copernic que dans les deux, tout au plus dans les trois (et encore en partie) derniers §§.

Pour le contenu, ce n ’est que le cas (a, p, X), que Copernic doit à Regiom ontanus. Le cas {a, b, c) fut élaboré par Copernic pro­

bablement en indépendance complète par rapport à R egiom onta­

nus (rédaction prim itive). Même dans les cas, où l’influence de Regiom ontanus ou des autres m athém aticiens, est manifeste, on peut observer chez Copernic une originalité individuelle, une sim ­ plicité et une lucidité dont Regiom ontanus est privé.

Comparativenent à Regiom ontanus, l’étendue des principaux

30) Almagest, I, p. 52. s. (H a 1 m).

theorèm es de la trigonom étrie sphérique chez Copernic est assez m odeste. Ce qui la rend m odeste en effet, c’est le fait que Co­

pernic ne se sert pas de la fonction cos, ni d’autres fonctions goniométriques, en se bornant à la notion de la semi - corde des angles doubles. Copernic n’opère au fond qu’avec le théorèm e des sinus et seu lem en t avec celui pour le s triangles rectangles.

Il faut admirer, malgré cette indigence, les résultats si beaux et si lucides qu’il a su atteindre avec se s m odestes m oyens.

Peu d ’endroits m éritent une analyse particulière dans les parties suivantes de „De revolutionibus". Il est clair que Copernic s ’appuie presque partout sur ses théorèm es trigonom étriques. Il s ’agit le plus souvent de calculer le s triangles sphériques ou plans.

Il y en a 100 cas environ.

Pour ce qui concerne les mathématiques, Copernic cite sou­

vent Euclide, une fois Posidonius 31) (définition des parallèles), P tolém ée32) (supposant la valeur 3 + 8/60 + 30/3600 = 1416 pour rc), A p ollo n iu s33) (théorème du rapport des segm ents des côtés d’un triangle et des angles contigus), et enfin Proclus.

Il se sert p a r fo is34) dans son calcul de la conception de la puissance du cercle dans le point P à l’extérieur et à l’intérieur du cercle.

CS’pernic remarque brièvem ent le rapport entre la trigono­

m étrie plane et sphérique au ch. 26 du IV-e livre (p. 295, v. 21 s), en parlant d’un certain triangle sphérique bef: „Sed quoniam be, ef , f b in m odico et in sensibili differunt a lineis rectis ob eorum brevitatem , non errabimus, si ipso triagulo tamquam rectilineo utamur, fietque propterea ratio facilis“.

Ce sont deux points de „De revolutionib us41 (III, 4 et III, 15»

p. 207, v. 27) qui sont le s plus intéressants.

A propos de la libration 35), Copernic prouve le théorème sui­

vant. „Sit recta linea ab, quae quadrifariam secetur in c, d, e signis, et in d describantur circuli homocentri ac in eodem piano adb et cde et in ipso / centro, intervallo vero f d circulus describatur gdh, qui secet ab rectam lineam in h signo, et agatur dim etiens dfg.

Ostendendum est, quod gem inis m otibus circulorum g d h et cfe con- 31) II, 7, éd. de Torun p. 90, v. 15 a.

32) IV, 32, p. 305, v. 16 s.

33) V, 35, p. 404, v. 16.

3‘) IV, 5, p. 249, v. 6 et 21; V, 6 et 11, p. 334, v. 24 et 347, v. 13.

35) De même: „Nar ratio Prima“ de Rheticus éd. de Torun. .De rev..

p. 471 a.

currentibus invicem h m obile per eam dem rectain lineam ab hincinde reciprocando repat“. On sait que toute hypocycioïde peut être générée par le m ouvement de deux cercles différents, roulant à l’intérieur d’un troisième cercle permanent. 11 s ’agit ici d’une hypocycioïde dans un cas particulier. Les deux cercles rou­

lant ayant des rayons égaux, ce cas particulier sera, comme le prouve Copernic, le diamètre. D eux phrases qui suivent sont bar­

rées dans le m anuscrit de Prague au cours du paragraphe; nous en citons la deuxième: „Estque hic obiter animadvertendum, quod, si circuli hg et c f fuerint inaequales manentibus caeteris condicio- nibus, non rectam lineam sed conicam sive cylindricam describent, quam ellypsim vocant m athem atici...“. C’est ce qui arrive réelle­

ment. Copernic ignorait la hypocycioïde générale; mais il considérait très justem ent le diamètre et l ’elipse comme ses deux cas parti­

culiers, générés au m oyen de la même méthode que toute autre hypocycioïde S6).

En présentant l’irrégularité du m ouvement apparent du soleil (111, 15), Copernic prouve un théorème intéressant qui concerne le maximum des angles variables de la circonférence. On pourrait le formuler ainsi: Si nous avons un cercle à diametre A C et à centre E, dont il nous est donné le point F posé sur AC et différent de /:, il en résultera que l’angle de la circonférence EBF, appuyé sur le segm ent EF, et dont le bras BF est vertical k AC, cet angle est le plus grand de tous les angles de la circonférence, appuyés sur EF. Copernic prouve ce théorème sans avoir recours à des fonc­

tions goniom étriques, bien que leur application en eu sse donné la manière de solution la plus simple.

N ous ne parlerons pas ici des autres problèmes m athém ati­

ques. Nous nous bornons à m entionner la note de Copernic sur un exem plaire d’Euclide de 1482, concernant la trisection d ’un angle et la conchoïde de N icom ed es3Ï), et la note sur un ex em ­ plaire de la „Perspective“ de V itellio n 3S).

L’influence de la trigonom étrie de Copernic fut considérable, quoique les m athém atiques n ’aient pas été le but principal de ses études. Copernic influa en premier lieu sur la direction du travail

La géom étrie de Nicolas Copernic 19

30) Le théorèm e en question lu t probablem ent déjà connu de N a s i r E d d i n.

?r) Cf. C u r t z e, Rel. Cop., p. 6.

38) P r o w e , 1V. Cop., 1/2, p. 411, note.

de son élève Rheticus, et indirectem ent aussi sur celle de W. Othon, l ’élève du précédent. Ce travail fut couronné par la publication de l ’„Opus Palatinum de Triangulis" (1596). Une grande influence de la trigonom étrie de Copernic se fait observer encore dans le tra­

vail de Ch. Rothmann, „Doctrina triangulorum “, écrit entre 1580 et 1590. Les recherches trigonom étriques de Neper m anifestent aussi les traces d’une étude assidue des ouvrages de Copernic 39).

Nous avons m entionné plus haut Viète; celui-ci s ’est servi plus encore que Rheticus, dans les preuves de la trigonom étrie sphéri­

que, de la m éthode de Copernic, consistant à reduire les rapports des côtés et des angles dans un triangle sphérique aux m êm es rapports dans un triangle plane, ce que nous avons exposé plus haut. Conservée jusqu’ à ce jour cette méthode devint presque universelle.

;!<J) J. N e p e r, Descriptio, 1614, str. 34.

D R U K M . G A R A S IS S K I, W A R S Z À W A , B R A O K A 20.