Pobrano ze strony www.sqlmedia.pl Pobrano ze strony www.sqlmedia.pl
Egzamin maturalny z matematyki – Arkusz II – Poziom rozszerzony – styczeĔ 2003 r.
SCHEMAT PUNKTOWANIA ZADA ē ARKUSZ II – POZIOM ROZSZERZONY
Nr
zadania Etapy rozwi ązania zadania
Maksymalna liczba punktów za
dany etap 1. Wyznaczenie wspóárzĊdnych wierzchoáka paraboli: W(3,4). 1p.
2. Obliczenie wartoĞci f(0) 5. 1p.
3. Obliczenie wartoĞci f(7) 12. 1p.
11.
(4 pkt)
4. Zapisanie odpowiedzi: Funkcja f w przedziale 0;7 osiąga najwiĊkszą
wartoĞü równą , zaĞ najmniejszą równą (4 12). 1p.
5. Przeksztaácenie danego równania do postaci np.
równania:x(a1)(a1) a1 1p.
6. Zapisanie, Īe dla a 1 dane równanie nie ma Īadnego rozwiązania. 1p.
7. Zapisanie, Īe dla a dane równanie ma nieskoĔczenie wiele
rozwiązaĔ. 1 1p.
12.
(4 pkt)
8. Zapisanie, Īe dla a i dane równanie ma dokáadnie jedno rozwiązanie. z1 az1
1p.
9. Zapisanie, Īe warunkiem koniecznym ciągáoĞci danej funkcji w punkcie jest istnienie skoĔczonej granicy w tym punkcie. Uzasadnienie, Īe dwumian jest podzielnikiem dwumianu , zatem parametr przyjmuje wartoĞü: . (1punkt przyznajemy za podanie odpowiedzi
bez uzasadnienia) 2
x
4 a
) 2
(x (x2 a) a
4 a
2p.
10. Obliczenie granicy danej funkcji w punkcie x 2: 4 2
2 4
2
o x
x
x
lim . 1p.
13.
(4 pkt)
11. Porównanie obliczonej granicy z wartoĞcią funkcji w punkcie : oraz zapisanie odpowiedzi: Funkcja jest ciągáa w punkcie gdy a oraz .
g x 2
b g x
g
xo ( ) 4 (2) lim
2
2 x
g
4 b 4
1p.
12. Zapisanie, Īe an1 Sn1 Sn 2n 4 2p.
13. Obliczenie n - tego wyrazu ciągu: an n2 2. 1p.
14. Zapisanie róĪnicy dwóch dowolnych, kolejnych wyrazów tego ciągu:
1
n n
r a a 1p.
14.
(5 pkt)
15. Obliczenie róĪnicy ciągu i stwierdzenie, Īe jest to ciąg arytmetyczny. 1p.
16. Oznaczenie pierwszego wyrazu tego ciągu, np. przez oraz ilorazu, np.
przez q i zapisanie, Īe .
a1 9 10
1 q
a 1p.
17. Doprowadzenie iloczynu dziewiĊtnastu początkowych, kolejnych
wyrazów danego ciągu do postaci a119 q12...18. 1p.
18. Przeksztaácenie iloczynu dziewiĊtnastu początkowych, kolejnych
wyrazów danego ciągu do postaci a119 q199. 1p.
19. Przeksztaácenie iloczynu dziewiĊtnastu początkowych, kolejnych
wyrazów danego ciągu do postaci (a1q9)19 1p.
15.
(5 pkt)
20. Zapisanie odpowiedzi: Iloczyn dziewiĊtnastu początkowych, kolejnych
wyrazów tego ciągu jest równy 10 . 19 1p.
Strona 1 z 3 Pobrano ze strony www.sqlmedia.pl
Egzamin maturalny z matematyki – Arkusz II – Poziom rozszerzony – styczeĔ 2003 r.
21. ZauwaĪenie i zapisanie, Īe dane doĞwiadczenie losowe moĪna opisaü schematem Bernoullego, w którym prawdopodobieĔstwo sukcesu
6 p 1,
prawdopodobieĔstwo poraĪki 6
q 5, liczba prób , liczba sukcesów .
5 N t4
k
1p.
22. Zapisanie prawdopodobieĔstwa szukanego zdarzenia w postaci:
. ) 5 ( ) 4 ( ) 4
( 5 5
5 k t P k P k
P 1p.
23. Wykorzystanie wzorów i zapisanie prawdopodobieĔstwa szukanego zdarzenia w postaci:
0 5 4
5 6
5 6 1 5 5 6
5 6 1 4 ) 5 4
( ¸
¹
¨ ·
©
§
¸¹
¨ ·
©
§
¸¸¹·
¨¨©§
¸
¹
¨ ·
©
§
¸¹
¨ ·
©
§
¸¸¹·
¨¨©§ t k
P . 1p.
16.
(4 pkt)
24. Poprawne obliczenie prawdopodobieĔstwa szukanego zdarzenia:
00334 , 3888 0
13 7776
26 7776
1 7776 ) 25 4
5(k t |
P . 1p.
25. Zapisanie warunku (1) 0, gdzie .
o o
CB
CAD C(0,y) 1p.
26. Obliczenie wspóárzĊdnych wektora CAo
>
9, 2y@
. 1p.27. Obliczenie wspóárzĊdnych wektora CBo
>
4, 2y@
. 1p.28. Obliczenie iloczynu skalarnego wektorów CAJJJG JJJG i : CB 36 (2 y) (2 y)
1p.
17.
(5 pkt)
29. Rozwiązanie równania (1) i zapisanie odpowiedzi: Istnieją dwa takie
punkty: C(0,2 10) lub C(0,2 10). 1p.
30. Sporządzenie rysunku i zaznaczenie na nim szukanego kąta. 1p.
31. Wykorzystanie twierdzenia cosinusów i zapisanie równania np.
D 4 cos
2 3 4 3 4
3 2 2 2
2 a a a
a D
, gdzie a - dáugoĞü krawĊdzi szeĞcianu, zaĞ - miara kąta ostrego miĊdzy przekątnymi szeĞcianu
18.
2p.(4 pkt)
32. Obliczenie wartoĞci cosinusa kąta ostrego:
3 D 1
cos . (Albo:
3 cosE 1
gdzie E jest katem rozwartym). 1p.
33. Wykorzystanie faktu istnienia okrĊgu wpisanego w dany trapez i
zapisanie, Īe suma dáugoĞci podstaw i trapezu jest równa 10a b cm. 2p.
34. ZauwaĪenie i zapisanie, Īe wysokoĞü trapezu, opuszczona z wierzchoáka kąta rozwartego, dzieli dáuĪszą podstawĊ na odcinki o dáugoĞciach:
2
a b oraz 2
b a .
1p.
) 35. Obliczenie dáugoĞci wysokoĞci trapezu: h 4 cm. 1p.
19.
(5 pkt)
36. Obliczenie pola danego trapezu: P 20cm2. 1p.
37. Wyznaczenie warunków okreĞlających dziedzinĊ równania
: i .
0 log )
(x 2k
h x!5 k !0 2p.
38. Przeksztaácenie równania h(x)log2k 0 do postaci: k x
x
5
2 4
1p.
20.
(10 pkt)
39. Przeksztaácenie równania do postaci: x2 kx5k4 0. 1p.
Strona 2 z 3 Pobrano ze strony www.sqlmedia.pl
Egzamin maturalny z matematyki – Arkusz II – Poziom rozszerzony – styczeĔ 2003 r.
40. Zapisanie ukáadu warunków °® , gdzie oznacza odciĊtą wierzchoáka paraboli, bĊdącej wykresem funkcji , przy pewnej wartoĞci .
°¯
!
!
! '
0 ) 5 (
5 0
f
xw xw
f 4x2 kx 5k k
1p.
41. Obliczenie wyróĪnika trójmianu: ' k2 20k16. 1p.
42. Rozwiązanie nierównoĞci '!0:
f
f
!
' 0 k ;10 2 21 102 21; . 1p.
43. Rozwiązanie nierównoĞci xw !5: k ;
10 f
. 1p.
44. Sprawdzenie, Īe warunek zachodzi dla kaĪdej rzeczywistej wartoĞci parametru .
0 ) 5 ( ! f
k 1p.
44. Zapisanie odpowiedzi, uwzglĊdniającej zbiór rozwiązaĔ ukáadu
nierównoĞci z p.40 oraz warunku k!0: Dla wszystkich k
102 21;f
równanie h(x)log2k 0ma dwa róĪne pierwiastki.
1p.
45. Zapisanie zaleĪnoĞci miĊdzy zmiennymi:
2
2 r
H r R
H R
. 1p.
46. Wyznaczenie jednej zmiennej z powyĪszej zaleĪnoĞci, np.
8
2 16
H
r H . 1p.
47. Wyznaczenie objĊtoĞci stoĪka, jako funkcji jednej zmiennej:
8 16 ) 3
(
2
H H H
V S . 1p.
48. Wyznaczenie dziedziny funkcji V(H): DV ;
8 f . 1p.
49. Obliczenie pochodnej funkcji objĊtoĞci:
( 816
2)
3 ) 16 (
'
H
H H S H
V ,
V .
V D
D '
1p.
50. Wyznaczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji objĊtoĞci: H 16. 1p.
51. Zbadanie znaku pochodnej funkcji objĊtoĞci: V
oraz V .
)
; 16 ( 0
) (
' H ! H f
) 16
; 8 ( 0
) (
' H H 1p.
52. Stwierdzenie i zapisanie, Īe dla funkcja V osiąga lokalne minimum równe
16 H 3
) 512 16
( S
V . 1p.
53. Uzasadnienie, Īe minimum lokalne funkcji objĊtoĞci stoĪka jest
wartoĞcią najmniejszą tej funkcji, np. poprzez powoáanie siĊ na dwa fakty:
oraz .
f
o ( )
lim
8
H V
H limofV(H) f
H
1p.
21.
(10 pkt)
54. Podanie wymiarów stoĪka o najmniejszej objĊtoĞci opisanego na kuli o promieniu : wysokoĞü stoĪka, , promieĔ podstawy stoĪka
cm
R 4 H =16cm
cm 2 4
= .
r
1p.
Uwaga:
Za prawid áowe rozwiązanie kaĪdego z zadaĔ inną metodą (zgodną z poleceniem) od przedstawionej w schemacie przyznajemy maksymaln ą liczbĊ punktów.
Strona 3 z 3 Pobrano ze strony www.sqlmedia.pl
