O dowodach i dowodzeniu w nauczaniu matematykiKilka tez i przykładów

Kl a u sHa r tk j Berlin, N R D

O dowodach i dowodzeniu w nauczaniu matematyki

Z a m i e r z a m o g r a n i c z y ć s i ę do p e w n y c h t y l k o r o z w a ż a ń na t e m a t n a u k i d o w o d z e n i a w r a m a c h n a u c z a n i a m a t e m a t y k i . W y b r a ł e m a r g u m e n t y i p r z y k ł a d y , k t ó r y m , w m o i m p r z e k o n a n i u , n a l e ż y się g ł ę b s z a a n a l i ­ za, a tu i ó w d z i e ta k ż e u w a g a p o l e m i c z n a . Być może, w e r y f i k a c j a n a ­ s z k i c o w a n y c h t u idei m o g ł a b y t r o c h ę p o m ó c p r z y z b i l a n s o w a n i u

n a u c z a n i a m a t e m a t y k i - t a k ż e u mnie, w N R D - o r a z w s k a z a ć p e w ­ ne rezerwy, k t ó r e m o ż n a w y k o r z y s t a ć w d a l s z y m r o z w i j a n i u k o n c e p c j i teg o n a u c z a n i a . W i e l e a s p e k t ó w tej m a t e m a t y k i mus i tu p o z o s t a ć n i e t ­ k n i ę t y c h . Nie bę d ę w c h o d z i ć w powody, d l a c z e g o z a j m o w a n i e s i ę d o w o ­ da m i m a t e m a t y c z n y m i J e s t tak waż n e , n a c z y m p o l e g a ich w a r t o ś ć k s z ­ t a ł c ą c a i w y c h o w a w c z a ani t e ż w o d n o ś n e z a g a d n i e n i e l o g i k i i t e o r i i poz n a n i a .

C h o ć w n i e k t ó r y c h s y t u a c j a c h m o ż n a c a ł k i e m r o z s ą d n i e r o z r ó ż n i ć

„ d o w o d z e n i e " i „ u z a s a d n i a n i e " , w d a l s z y m c i ą g u oba te t e r m i n y b ę d ą u ż y w a n e s y n o n i m i e z n i e .

I J e s z c z e t r z y rzeczy, k t ó r y c h u w z g l ę d n i e n i e J e s t k o n i e c z n e d l a z r o z u m i e n i a m o j e g o s t a n o w i s k a w z a s a d n i c z y c h k w e s t i a c h :

(1) * G d y m ó w i m y o p r z e b i e g u dowodu, o p o s t ę p o w a n i u d o w o d o w y m , to o c z y w i ś c i e z a w s z e t a k ż e o

, tj. o i s t n i e j ą c y c h n i e z a l e ż ­ n i e o d n a u c z y c i e l a i u c z n i a z w i ą z k a c h d o w o d o w y c h . A p r i ori, e l a s ­ t y c z n o ś ć i r ó ż n o r o d n o ś ć w a r i a n t ó w leż y n i e w tym, co robi d o w o d z ą ­ cy, a l e t a k ż e (a n a w e t p r z e d e w s z y s t k i m ) „w o b i e k c i e " .

(2) J e s t w s k a z a n e , a b y

. N i e n a l e ż y o g r a n i c z a ć s i ę t y l k o d o w y p o w i e d z i f o r m u ł o -

w a n y c h w y r a ź n i e j a k o t w i e r d z e n i a , ale w ł ą c z y ć też c a ł ą d e d u k c y j n ą a k t y w n o ś ć myśl i , aż p o r a c h u n k i , tj. r e a l i z a c j ę a l g o r y t m ó w . D o w o ­ d z e n i e w n i e c o w ę ż s z y m s e n s i e w i ą ż e s i ę z u ż y c i e m w b u d o w i e d o w o d u

t j . j ę z y k a r a c h u n k u l o g i c z n e g o .

(3) N a s z t e m a t d o t y c z y , o c z y w i ś c i e , n i e t y l k o k s z t a ł c e n i a ję- z y k o w o - l o g i c z n e g o , a l e r ó w n i e ż

. Zaws z e w ó w c z a s , g d y n a j p i e r w w i d z i m y z w i ą z k i d o w o d o w e , a d o p i e r o p o t e m je f o r m u ł u ­ j e m y - a s p e k t

( d o w o d u i d o w o d z e n i a ) j e s t n a w e t p i e r w o t n y w s t o s u n k u d o p o j ę c i o w e g o .

1.

(1)

)

:

„ J a k t o s i ę d z i e j e

? ” (Czyż p y t a n i e to n i e p o j a w i a s i ę c z ę ś c i e j n a k a ż d y m p l a c u zabaw, w k a ż d e j d y s k u s j i w ś r ó d dz i e c i , niż n a l e k c j i m a t e m a t y k i ? )

Byłoby, n a p r z y k ł a d , b ł ę d e m m e t o d y c z n y m , g d y b y prz y o d k r y c i u l u b o d g a d n i ę c i u t w i e r d z e n i a , ż e s u m a d w u l i c z b n i e p a r z y s t y c h j e s t

„ z a w s z e ” , „z p e w n o ś c i ą ” p a r z y s t a , s t w i e r d z e n i e to t r a k t o w a ć jako, g ł ó w n y cel. W ł a ś c i w a praca, k t ó r e j tu m o ż n a w y m a g a ć o d u c z n i ó w , p o ­ l e g a na z n a l e z i e n i u (lub w p r z y p a d k u n i e p o w o d z e n i a - n a ś l a d o w a n i u )

t e g o z wiązku. W y s t a r c z y w z u p e ł n o ś c i , by d l a d w ó c h d o s t a t e c z n i e d u ż y c h l i c z b

,

n i e w y l i c z a ć s u m y

(czego u c z n i o w i e m o ż e n a w e t j e s z c z e n i e umie j ą ) , a l e p r z e k o n a ć s i ę o p a ­ r z y s t o ś c i

+

„z z i e l o n e g o s t o l i k a ” ; n a j l e p i e j n i e a r y t m e t y c z ­ nie, lec z p r z e z r e p r e z e n t u j ą c e

i

z b i o r y ( k l o c k ó w itp.), a b y ć mo ż e s y m b o l i c z n i e lub „w g ł o w i e ” .

W a r t o w w y m a g a n i a c h n a l e ż y c i e p o d k r e ś l i ć , iż w y m a g a n y m w y n i ­ k i e m p r a c y ( p o c z ą w s z y np. o d II l u b III k l a s y ) b ę d z i e n i e s a m a o d ­ powi e d ź , że np. d a n e r ó w n a n i e c z y n i e r ó w n o ś ć n i e ma r o z w i ą z a n i a l u b że r o z d z i e l n o ś ć z a c h o d z i , i n i e t y l k o s t w i e r d z e n i e , że tak Jest, a l e t akże u z a s a d n i e n i e , d l a c z e g o t a k jest.

Nie c h o d z i o to, b y „ o b u d z i ć p o t r z e b ę d o w o d u ” ; nie m o ż e c h o ­ d z i ć o to, b y „ m o t y w o w a ć ” , d l a c z e g o p y t a m y „ D l a c z e g o ? ” . N a t o m i a s t g d y s i ę z a j m u j e m y m a t e m a t y k ą , c z ę s t o p y t a m y : „Jak to się d z i e j e ? " . C i e k a w i j e s t e ś m y , j a k J e d n o z d r u g i e g o k o n i e c z n i e wynika, j a k f u n k ­ c j o n u j ą k o ł a z ę b a t e t y c h z a l e ż n o ś c i !

( 2 )

giezn<xnt gdyż j e s t to n i e z b ę d n e p r z y g o t o w a n i e do dedukcji. Już w t e ­ dy, g d y j ę z y k p o t o c z n y d o m i n u j e w r o z m o w i e o p r z e d m i o t a c h m a t e m a ­ tycznych, n a u c z y c i e l m u s i p i l n o w a ć po p r a w n o ś c i , a n a w e t o s t r o ś c i p e w n y c h s f o r m u ł o w a ń , n a p r z y k ł a d p r z y p o p r a w n y m u ż y c i u r o d z a j n i k ó w o k r e ś l o n y c h

e i n e Z a h l " o tej i tej w ł a s n o ś c i , n i e k o n i e c z n i e Jest

„ d t e Z a h l " o tej w ł a s n o ś c i ) a l b o p r z y p r z e s t r z e g a n i u r o z r ó ż n i e n i a m i ę d z y „gdy..., w t e d y " i „ d o k ł a d n i e wtedy, g d y " (w ż y w y m p o t o c z n y m s f o r m u ł o w a n i u ) . N i e t r z e b a r o z p r a w i a ć na t e m a t t y c h s p r a w n o ś c i lo ­ g i c z nych, a l e p r z e z ć w i c z e n i e w y r a b i a ć nawyki, tak Jak p r z y z w y c z a ­ ja j ą c d z i e c i d o m y c i a rąk w s t o s o w y c h okazjach, nie r o b i m y im

k ł a d ó w z b a k t e r i o l o g i i .

U c z e ń n i e p o w i n i e n z g a d y w a d , k i e d y n a u c z y c i e l będzie z a d o w o l o ­ ny, t a k ż e w t e d y , g d y z g a d n ą ć j e s t łatwo. G d y n a u c z y c i e l od p o c z ą t k u mówi o „ z a d a n i u 2 x

5 < 22", w ó w c z a s Jest t r o c h ę h i p n o t y z e r e m , a u c z n i o w i e p o w i n n i b y ć t r o c h ę o p o r t u n i s t a m i . Do w y r a b i a n i a n a w y k u ś c i s ł o ś c i m a t e m a t y c z n e j n a l e ż y t a k ż e to, by we w ł a ś c i w y m m o m e n c i e p o w i e d z i e ć , że r o z w i ą z a ć p o w y ż s z ą n i e r ó w n o ś ć z n a c z y z n a l e ź ć w s z y s t ­ k i e l i c z b y x , d l a k t ó r y c h 2 x ♦ 5 j e s t m n i e j s z e od 22.

2 .

W y n i k n auki d o w o d z e n i a

w r a m a c h k u r z u m a t e m a t y k i j a k o oaloi- oi, z a l e i y i s t o t n i e o d e u b e t a n o j i m a t e m a t y c z n e j r o z w a i a n y o h p r z y ­ kładów- Lub i n a c z e j : g ł ó w n ą p r z y c z y n ą t r u d n o ś c i w n a u c e r o z u z i e n i a , o d t w a r z a n i a i o d k r y w a n i a d o w o d ó w J e s t b e z k r w i s t o ś ć , n i e c i e k a w o ś ć m a t e r i a ł u p r z y k ł a d o w e g o . Z p e w n o ś c i ą pióro, c z y kreda, p o w i n n y w z ­ b r a n i a ć s i ę p r z e d n a p i s a n i e m : „Twierdzenie. N i e w s z y s t k i e l i c z b y n a t u r a l n e są l i c z b a m i p i e r w s z y m i . D o w ó d . . . " U c z n i o w i e (a ta k ż e s t u ­ d e n c i ! ) ł a t w i e j w c i ą g a j ą s i ę w w y m a g a j ą c e , ale z a w i e r a j ą c e p i ę k n e k o n s t r u k c j e p r o c e s y d o w o d o w e , niż w c a ł k i e m łatwe, w k t ó r y c h J e d n a k n i e m a n i c z e g o p r ó c z p r z e k s z t a ł c e ń logicznych, i to n i e z a l e ż n i e od tego, J a k o c z y w i s t e w y d a j e im s i ę tw i e r d z e n i e . W g e o m e t r i i w s t y l u e u k l i d e s o w s k i m J e s t d o ś ć s u b s t a n c j i , ale w a r y t m e t y c e i p o c z ą t k a c h a n a l i z y n i e J e s t o n a h o j n i e r o z s y p a n a n a drodze.

Do t e g o f u n d u s z u , k t ó r e g o zasoby, J a k p o w i e d z i a ł e m , są d e c y d u ­

jące, n a l e ż ą n a s z c z ę ś c i e r ó ż n e r z e c z y , k t ó r e z p o w o d z e n i e m m o ż n a

z a l i c z y ć d o n a u k i d o w o d z e n i a :

- O s z a c o w y w a n i e ( 2 ^ ^ > 1 0 ^ ) , a n a w e t r a c h u n e k (16 + 45 =

= 61), m o ż n a w y r a z i ć w p o s t a c i d e d u k o w a n i a , j e ż e l i n i e c h o d z i t u w y ł ą c z n i e o o p r a c o w a n i e l u b w y ć w i c z e n i e p e w n e g o a l g o r y t m u .

- P r z e j ś c i a m y ś l o w e p r z y r o z w i ą z y w a n i u z a d a ń n a s t o s o w a n i e m a ­ t e m a t y k i z a w i e r a j ą ł a ń c u c h y w n i o s k o w a ń l o g i c z n y c h , co g d z i e in-

(■i )

d z i e j ' ' p o k a z a ł e m n a p r z y k ł a d z i e 5 - 2 = 3 z p i e r w s z e j k l a s y . J e ś l i n a w e t a p a r a t d e d u k c y j n y r a c h u n k u r ó ż n i c z k o w e g o j e s t w s z k o l e p o t r a k t o w a n y w s p o s ó b n i e p e ł n y , t o p r z y r o z w i ą z y w a n i u z a d a n i a n a p o j e m n o ś ć p u s z k i ( z n a j d o w a n i e m a k s i m u m ) k o n i e c z n y j e s t c i ą g k r o ­ k ó w l o g i c z n y c h b e z luk.

O c z y w i ś c i e , o b y d w a te ź r ó d ł a m a t e r i a ł u p r z y k ł a d o w e g o s ą c z y n ­ n e t y l k o w ó w c z a s , gdy - j a k już m ó w i ł e m n a w s t ę p i e - h a s ł o „ D o w o ­ d z e n i e " ma b a r d z o l i b e r a l n i e w y z n a c z o n e g r a n i c e . I n aczej j e s t w p r z y p a d k u n a s t ę p n e j k o p a l n i ć w i c z e ń , k t ó r e t y m r a z e m z a w i e r a j ą p r a w d z i ­ we d o w o d y w w ę ż s z y m s e n s i e ; c h o d z i m i a n o w i c i e o p r z y g o t o w a n i e do n i e k t ó r y c h d e f i n i c j i w y m a g a j ą c y c h s p r a w d z e n i a i s t n i e n i a i j e d n o z n a ­ c z n o ś c i :

I s t n i e j e d o k ł a d n i e j e d n a l i c z b a r z e c z y w i s t a x taka, że

■ 5 . D o w ó d : ...

D e f i n i c j a . o z n a c z a t a k ą l i c z b ę r z e c z y w i s t ą , d l a k t ó r e j x ^ » 5.

3.

O g ó l n o ś ć w o a l e n i e j e s t c h a r a k t e r y s t y c z n ą c e c h a dowodów.

O p r a c o w a n i e p r z y p a d k ó w s z c z e g ó l n y c h lub p o j e d y n c z y c h m o ż e być, po p i e r w s z e , b a r d z o w y d a j n e prz y n a u c z a n i u d e d u k o w a n i a , a po d r u gie, gdy p ó ź n i e j m a n a s t ą p i ć u o g ó l n i e n i e , s t a n o w i c z ę s t o g ł ó w n ą c z ę ś ć

prac y , i s t o t n ą ide ę d o w odu. (0 s k o m p l i k o w a n e j i i n t e r e s u j ą c e j d i a l e k t y c e s z c z e g ó ł u i o g ó ł u n a l e ż a ł o b y w ł a ś c i w i e t r o c h ę p o f i l o z o f o w a ć ; a l e b ę d z i e m y t a k i c h t e r m i n ó w J a k „ p r z y p a d e k s z c z e g ó l n y " c z y „ p r z y p a ­ d e k o g ó l n y " u ż y w a ć w s e n s i e c a ł k i e m n a i w n y m ) .

^ ^K. H

r t i g, B e r m e r k u n g e n z u m T h e m a M a t h e m a t i s c h e S t r e n

ge i m U n t e r s t u f e n u n t e r r i o h t» Wiss. Zei t s c h r . H u m b o l d t Uhiv. B e r ­

lin. M a t h . -Not. R. 32 (1983), 2 1 - 2 4 .

Oto t r z y t y p y p r a c y d e d u k c y j n e j d o t y c z ą c e j p r z y p a d k ó w s z c z e ­ g ó l n y c h :

(1) G d y u c z n i o w i e o d k r y l i , j a k s i ę zdarza, że

« • c o ■ c a

to z a u w a ż ą też sz y b k o , że d l a 17 i 3 mo ż n a „ d o k ł a d n i e t a k s a m o "

r o z u m o w a ć j a k d l a 10 i 4 , a l b o z a m i a s t 10 i 4 m o ż n a w z i ą ć 2 3 i 13. J e s t to s f o r m u ł o w a n a p r z e z A.Z. K r y g o w s k ą n i e z m i e r n i e p ł o d n a z a s a d a „ u z m i e n n i e n i a s t a ł y c h " ^ ^ : Z w i ą z e k o g ólny:

( I )

b ę d z i e p o j ę t y j a k o

liczb, n a k t ó r y c h w y k o n u j e się ten r a c h u n e k . W o d p o w i e d n i o w y ż s z e j k l a s i e , j a k p o k a z a ł a A.Z. K r y g o w ­ ska, t o o g ó l n e „ w i e d z i e ć d l a c z e g o " n i e o p i e r a s i ę ani n a a p a r a c i e f o r m a l n y m (jak (I)), ani n a w i e l o k r o t n y m s p r a w d z e n i u r a c h u n k i e m ; z m i e n n e p o z o s t a j ą - p r z e d e w s z y s t k i m -

(2) N i e k i e d y a p r i o r i w o g ó l e n i e c h o d z i o n i c o g ó l n i e j s z e g o , a l e p r z y o k a z j i o p r a c o w y w a n i a s z c z e g ó l n e g o p r z y p a d k u w y s t ę p u j e coś, co m o ż n a t a k ż e z r o b i ć o g ó l n i e j .

M i ę d z y 100 i 110 są d o k ł a d n i e c z t e r y l i c z b y p i e r w s z e . W i s t o c i e : k a n d y d a t a m i m o g ą t u być, o c z y w i ś c i e , t y l k o 101, 103* 107 i 109. P o n i e w a ż 3 * 5 * 7 - 105, w i ę c ż a d n a z t y c h c z t e r e c h l i c z b

( n i e p a r z y s t y c h ) 105 - 2 i 105 - 4 n i e J e s t p o d z i e l n a p r z e z 2, 3, 5, ani 7; i c h c z y n n i k i p i e r w s z e m u s z ą w i ę c być nie m n i e j s z e o d 11. G d y b y k t ó r a ś z nich, a, n i e b y ł a l i c z b ą p i e r w s z ą , t o b y ł o b y

11 * 11 « 121, co nie z a c h o d z i .

Nie c a ł e t o u z a s a d n i e n i e , a l e j e g o o s t a t n i f r a g m e n t ( d o t y c z ą c y 2

11 ) d a j e s i ę u o g ó l n i ć ; ta p u e n t a w a r t a j e s t tego, by do n i e j J e s z ­ c z e w r ó c i ć .

^ ^ A . Z . K r y g o w s k a,

» S y m p o s i u m des C e n t r o In-

t e r - u n i v e r s i t a r i o p e r la R i c e r c a Mat e m a t i c a , T r e n t o 1980. Są t a m

i inne p r z y k ł a d y , tu t a k ż e w y k o r z y s t a n e .

przez 641, albo że w siatce dwunastościanu pięciokątnego istnie­

je okrąg Hamiltona (zob. dalej, ustęp 9), mamy rzeczywiście do czy­

nienia z cźysto jednostkowym przypadkiem. Takie dowody, naturalnie, na ogół nie pełnią funkcji „zawładnięcia za jednym ciosem” wieloma, może nieskończenie wieloma przypadkami szczególnymi.

T r z e b a w i e l e z „ m a t e m a t y c z n e g o k a t a l o g u r e k l a m o w e g o " w i d z i e ć i w y p r ó b o w a ć

by m ó c m a t e m a t y c z n ą

o k o l i c ą

j a k i e g o ś t w i e r d z e n i a

r ó ż ­ ne p o d e j ś c i a d e d u k c y j n e

a n a l o g i e , w n i o s k i , u o g ó l n i e n i a ) ś w i a d o m i e w y k o r z y s t a ć dla e f e k t y w n e j p r a c y z u c z n i a m i. W a r t o t a k ż e p o p r z e b i e ­ r a ć w m o ż l i w i e r ó ż n o r a k i c h w a r i a n t a c h s f o r m u ł o w a n i a i u p o g l ą d o w i e n i a f n i e m ó w i ą c o m a t e r i a l e p r z y k ł a d o w y m . J e s t p o d e j r z a n e , g d y j a k i e ś w a ż n e t w i e r d z e n i e r o z w a ż a s i ę t y l k o w tym u j ę c i u , w tym s f o r m u ł o w a ­ niu, z tym d o w o d e m , w tym J ę z y k u za p i s a n y m . R ó w n i e w ą t p l i w a j e s t z b y t n i a a b s t y n e n c j a o d „d a l s z e g o d o p y t y w a n i a s i ę ” . W e ź m y j a k o w a ż n y p r z y k ł a d p r o c e d u r ę d o w o d o w ą i n d u k c j i z u p ełnej, w n i o s k o w a n i a z n n a n + 1. Czy r z e c z y w i ś c i e j e s t n a j l e p i e j o g r a n i c z y ć s i ę d o j e d n e g o w y r a ż e n i a o b o w i ą z u j ą c e g o d l a d o w o l n e j w ł a s n o ś c i (formy z d a n i o w e j )

P :

(n a t u r a l n i e , n i e w tej f o r m a l n e j postaci) a l b o j e g o o d p o w i e d n i k a w j ę z y k u m n o g o ś c i o w y m (bez m e t a - z m i e n n e j P ), i ć w i c z e ń w s t o s o w a n i u go, z p o m o c n i c z y m o d w o ł y w a n i e m s i ę do d o m i n a i d ł u g i e j d r a b i n y ? N i e ­ w ą t p l i w i e g ł ę b o k a a n a l i z a d y d a k t y c z n o - p s y c h o l o g i c z n a - d i a g n o z a i t e r a p i a ! - p r a c y o p a r t e j w y ł ą c z n i e n a (II) już t a k ż e b y ł a b y p o ż y t e c z na. Ale w r a ż e n i a , ż e (II) j e s t o d o s o b n i o n ą s z t u k ą mag i c z n ą , m o ż n a s i ę p o z b y ć i z a s t ą p i ć je p o c z u c i e m s ł u s z n o ś c i , n a t u r a l n o ś c i , J e ś l i s i ę nie t r z y m a ć s z t y w n o „ w y p r a c o w a n e j ” r z e c z y

a l e j ą z m i e n i a ć . D o ś ­ w i a d c z e n i e p o u c z a , ż e g d y w i ę o e j z r o b i ć - b ę d z i e ł a t w i e j ; A.Z. K r y ­ g o w s k a n a z w a ł a to k i e d y ś „ o d c i ą ż e n i e m p r z e z w z b o g a c e n i e " . W m a t e m a ­ t y c z n y m „ k a t a l o g u r e k l a m o w y m ” m o ż n a z n a l e ź ć w i e l e rzeczy, b y ć m o ż e t a k ż e p ł o d n y c h , d l a n a u c z a n i a s z k o l n e g o :

(II) n

- N a l e ż y p r z y w o ł a ć r ó w n o w a ż n e , a w z a s t o s o w a n i a c h j ę z y k o w o p r o s t s z e t w i e r d z e n i a , J a k z a s a d a n a j m n i e j s z e j l i c z b y ( w ł a sność d o ­ b r e g o u p o r z ą d k o w a n i a ) ; m o ż e t a k ż e z a s a d a s z u f l a d k o w a Dedekinda.

- J a k w y g l ą d a i n d u k c j a z u p e ł n a d l a l i c z b c a ł k o w i t y c h , j a k d l a w y m i e r n y c h , J a k d l a s ł ó w n a d a l f a b e t e m {<* , 8 , y } , j a k d l a s ieci w y ł ą c z n i k ó w ? (dla n a u c z y c i e l a : A J a k d l a p u n k t ó w p ł a s z c z y z n y ? )

- To i t y l k o to, co m o ż e b y ć i n d u k c y j n i e s p ł o d z o n e , moż e być n a s t ę p n i e t a k ż e o b j ę t e d o w o d a m i i n d u k c y j n y m i . D l a t e g o n i e c o t r u d ­ n i e j s z y t e m a t

i n d u k c y j n y c h t y l k o p o z o r n i e da j e s i ę o d d z i e ­ lić od d o w o d ó w i n d u k c y j n y c h .

- T a k ż e J a k i e ś w n i o s k o w a n i e

na

na

i n a 2

♦ 1 (z o d p o w i e d n i m i w a r u n k a m i p o c z ą t k o w y m i ) może s i ę p r z y c z y ­ n i ć do w y r a ź n i e j s z e g o d o s t r z e g a n i a p o g l ą d o w e g o J ą d r a tej rzeczy.

- W a ż n e są t a k ż e d o w o d y s z c z e g ó l n y c h faktów, jak P ( 1 0 0 0 ) , p r z e z w n i o s k o w a n i e

na

♦ 1; n i e w y s t ę p u j e tu z u p e ł n i e „ n i e s k o ń ­ c z o n ość", c z y „ o g ó l n o ś ć " w ś c i s ł y m sensie.

-

a k s j o m a t u i n d u k c j i , m o ż e w p o s t a c i (II), b y ł b y z p e w ­ n o ś c i ą p o t ę ż n y m d o d a t k o w y m ś r o d k i e m p r z e c i w t a k z w a n e m u z ł e m u s ą m o - poc ż u c i u . Z a l e ż n i e o d w y b o r u s t a n o w i ą c e j tu p o d s t a w ę d e f i n i c j ą skora­

c z o n o ścl. S ą r ó ż n e ładne, w c a l e n i e t r u d n e d o w o d y , k t ó r y c h p r z e p r o ­ w a d z e n i e c a ł k o w i c i e j e d n a k b y z d e f o r m o w a ł o r a m y c z a s o w e i t r e ś c i o ­ w e t e g o tematu. Ale t r z e b a r a z o d w a ż y ć s i ę to p o w i e d z i e ć , tu i ó w ­ d z i e b o w i e m d y s k u t u j e s i ę n a d s k r e ś l e n i e m i n d u k c j i z p r o g r a m u n a u ­ czania.

Tyle n a t e m a t te g o n i e c o p r o w o k u j ą c e g o p r z y k ł a d u .

C o do w ł ą c z e n i a

: ileż t r a c i m y p r z e z to, że

d o w o d y ,

s f o r m u ł o w a n i a itd. p r a k ­ t y c z n i e m a j ą z a b r o n i o n y w s t ę p n a l e k c j e ! To j e s t t y l k o p o z o r n a o s z ­ c z ę d n o ś ć w y s i ł k u i czasu.

p r a c y n a d

t e m a t e m tak b a r d z o s i ę l i c z y (także d l a n a s t a w i e n i a uczni a ) , ż e n a w e t z n a c z n i e j ­ s z y w y d a t e k c z a s u n a to j e s t u s p r a w i e d l i w i o n y .

K i l k a p r z y k ł a d ó w r ó ż n y c h w a r i a n t ó w u j ę c i a z n a j d z i e s i ę w u s t ę ­

p i e 5, a k i l k a p r z y k ł a d ó w r ó ż n y c h d o w o d ó w tego s a m e g o t w i e r d z e n i a

- w u s t ę p i e 6.

5.

S o i 8 1 o ś ć

p r z e b i e g u r o z u m o w a ń m a t e m a t y c z n y c h - s z c z e g ó l n i e w d o w o d a c h -

. C h o c i a ż z d o l n o ś ć do p r z e j ś c i a od p o p r a w n e j d e d u k c j i (w j ę z y k u z d e c y d o w a n i e p o t o c z n y m ) do p o p r a w n e j d e d u k c j i w j ę z y k u m a t e m a t y k i n a l e ż y k s z t a ł ­ c i ć p r z y n a j m n i e j n a d o d a t k o w y c h z a j ę c i a c h .

W s p ó ł c z y n n i k i b i n o m i a l n e ( £ ^ (przy n ,

n a t u r a l n y c h ) są w p r o ­ w a d z a n e k o m b i n a t o r y c z n i e .

T W I E R D Z E N I E . D l a 0

(J) - („?*)•

D o w ó d (I u j ę c i e ) . G d y g a j o w y w l e s i e o n d r z e w a c h w y z n a ­ c z a

d r z e w do ścięcia, m o ż e

- k a ż d e d r z e w o d o ś c i ę c i a z a z n a c z y ć k a r b e m w y r ą b a n y m s i e k i e ­ rą: j e s t n a t o (£) m o ż l i w o ś c i ,

a l b o

- n a k a ż d y m z n -

d r z e w n i e p r z e z n a c z o n y c h d o ś c i ę c i a n a k l e ­ ić k a r t k ę z n a p i s e m : „ P roszę n i e ś c i n a ć ” : j e s t n a to (n-k) m o ż l i ­ wości.

D o w ó d (II u j ę c i e ) . Z b i ó r N s k ł a d a s i ę z n e l e m e n t ó w . Z b i ó r k - e l e m e n t o w y c h p o d z b i o r ó w z b i o r u N s k ł a d a s i ę z ( £ ) e l e m e n t ó w . Z b i ó r Y ( n - k ) - e l e m e n t o w y c h p o d z b i o r ó w z b i o r u N s k ł a -

n

da się z (n-k) e l e m e n t ó w . N i e c h d l a f ę l ł b ę d z i e

. F u n k c j a </> o d w z o r o w u j e w s p o s ó b w z a j e m n i e j e d n o z n a c z n y

n a

, w i ę c

7 ^- 7 ^.

Tak s k o n f r o n t o w a n e z o s t a ł y d w a r o d z a j e ś c i s ł o ś c i , k t ó r e c h c ę t akże t u t a j r o z r ó ż n i ć ^

" ś c i s ł o ś ć I" (bez w y m a g a ń d o t y c z ą c y c h s p o s o b u s f o r m u ł o w a n i a ) n i e t y l k o w y p r z e d z a „ Ś c i s ł o ś ć I I " c h r o n o l o g i c z n i e i p s y c h o g e n e t y c z - nie, ale j e s t t a k ż e w a ż n i e j s z a d l a k s z t a ł c e n i a o g ó l n e g o i p r o c e s u w y c h o w a n i a .

J e s z c z e J e d e n e l e m e n t a r n y p r z y k ł a d d l a I. J e ż e l i o b i e l i c z b y n a t u r a l n e

są p a r z y s t e , t o l i c z b a

*

J e s t p o d z i e l n a p r z e z 4. Ł a t w o to w i d z i e ć , g d y s i ę n a r y s u j e na k r a t k o w a n y m p a p i e r z e

(wzdłuż k r a t e k ) p r o s t o k ą t o

k r a t k a c h w j e d n y m k i e r u n k u i

(3) Por. K. H a r t i g, op. cit.

w drugim, a p o t e m d o k o n a j e g o r o z k ł a d u n a 4 p r z y s t a j ą c e p r o s t o k ą ­ ty. To J e s t

(a n i e t y l k o „pewne

” ) . U t w o r z o n y tu ł a ń c u c h w n i o s k o w a ń , w y ż e j z a l e d w i e n a p o m k n i ę t y , j e s t p e ł n y m n i e p o d w a ż a l n y m d o w o d e m . „B a r d z i e j z i e l o n e już n i e b ę d z i e ” p o w i e d z i e l i b y ś m y d o k i e r o w c y s t o j ą c e g o p o d z i e l o n y m ś w i a t ł e m s y g n a ­ l i z a c j i d r o g o w e j . Z r e s z t ą o d p o w i e d n i d o w ó d c z y s t o a r y t m e t y c z n y - b e z u ż y c i a r e p r e z e n t a c j i - b y ł b y tu m o ż l i w y już p r a w i e w s t y l u II.

A o t o k o l e j n y p r z y k ł a d k o m b i n a t o r y c z n y , n a k t ó r y m d o b r z e d a j e s i ę p o k a z a ć to, co w m o j e j t e z i e n a z w a ł e m p r z e j ś c i e m . Na p o c z ą t k u z m i a n y w o d d z i a l e f a b r y c z n y m o

r o b o t n i k a m i n a l e ż y o d k o m e n d e r o ­ w a ć b r y g a d z i s t ę z

r o b o t n i k a m i w c e l u w y k o n a n i a p e w n e j n a p r a w y . Na ile s p o s o b ó w m o ż n a i c h w y b r a ć ? P i e r w s z a d r o g a : d y r e k t o r w y b i e ­ ra

+1 r o b o t n i k ó w - c o m o ż e z r o b i ć n a ) s p o s o b ó w - i p o l e ­ ca im w y z n a c z y ć s p o ś r ó d s i e b i e b r y g a d z i s t ę - c o d a j e im w k a ż d y m p r z y p a d k u

+1 m o ż l i w o ś c i . O t r z y m u j e m y w i ę c * (*+1 ) m o ż l i ­ woś c i . D r u g a d r o g a : d y r e k t o r w y b i e r a n a j p i e r w 'k r o b o t n i k ó w - co m o ż e z r o b i ć na s p o s o b ó w - i s p o ś r ó d r e s z t y zał o g i w y b i e r a b r y ­ g a d z i s t ę - za k a ż d y m r a z e m n a

spo s o b ó w . T y m r a z e m b ę d z i e w i ę c ( k ) ’ ("“ *) m o ż l i w o ś c i . M a m y z a t e m aż d w i e o d p o w i e d z i na n a s z e p y ­ tanie. Nie b y ł o b y d o b r z e te d w a w y n i k i p o z o s t a w i ć bez k o m e n t a r z a i z a j ą ć s i ę c z y m ś innym. P o n i e w a ż obi e l i c z b y m u s z ą się z gadzać, m a m y wi ę c

(*■♦1 ) - ł r M 2 ) •

B y ł o b y s z k o d a - w s e n s i e t e z y 4 - z m a r n o w a ć m o ż l i w o ś ć n a u c z e n i a s i ę c z e g o ś i n t e r e s u j ą c e g o z t e g o w y n i k u (który z s a m y m z a d a n i e m Już w c a ­ le nie j e s t z w i ą z a n y ) , a m i a n o w i c i e p e w n e g o w z o r u r e k u r e n c y j n e g o . P o z w a l a on m i a n o w i c i e o b l i c z y ć np. ^ o ) 2 ⁽ 1 9 ^{) ’} a P o t e m 2 ^(-

⁾

i t d . , p r o w a d z ą c d o r o z k ł a d u ( * ) n a c z y n n i k i . J a k t r u d n e J e s t te ­

r a z p r z e j ś c i e do „ ś cisłości II", tzn. do z w y c z a j n e g o J ę z y k a m a t e m a ­

t y k ó w ? Nie w y m a g a o n o w i e l k i e g o w y s i ł k u . Prz e d e w s z y s t k i m m o ż n a p o ­

c z ą t e k z m iany, d y r e k t o r a , n a p r a w ę , c z ł o n k ó w b r y g a d y itd. s k r e ś l i ć

b e z z a s t ę p o w a n i a c z y m k o l w i e k l u b p o p r o s t u p o z b y ć s i ę ich (mówi s i ę

racz e j „ a b s t r a h o w a ć " o d n i c h ) w t e n sposób, że z a p y t a m y o l i c z b ę m o ż ­

l i w o ś c i w y b o r u ze z b i o r u n - e l e m e n t o w e g o k +1 e l e m e n t ó w , w ś r ó d k t ó ­

r y c h J e d e n J e s t w y r ó ż n i o n y . J e s z c z e J e d e n k r o k (ważny w k s z t a ł c e n i u

n a u c z y c i e l i , m n i e j w s z k o l e ) p o l e g a ł b y n a e l i m i n a c j i s ł ó w „możli-

wość", „wyróżniony”, „wybór", co na ogół można uczynić w kombinato- ryce, ale się to zaniedbuje; wtedy mówimy już tylko o podzbiorach, funkcjach itd.

Na koniec powiedzmy sobie wyraźnie, że p e ł n a f o r m a l i z a c j a do­

wodów matematycznych - poza podstawami matematyki (rachunkiem predy katów, teorią dowodu i t d . ) byłaby całkowicie absurdalna. W dowodach które można by śledzić tylko w zwolnionym tempie, zginęłyby wszyst­

kie akcenty i puenty. Kiedyś próbowałem sformalizować dowód Euklide sa tego, że jest nieskończenie wiele liczb pierwszych...

W toku n a u c z a n i a u c z n i o w i e p o w i n n i b y d s t o p n i o w o w d r a ż a n i do r e f l e k s j i nad p r z e p r o w a d z o n y m d o w o d e m . Do tej r e f l e k s j i n a l e ż y t a k ­ że - p o ż ą d a n y - r o z k ł a d a k c e n t ó w w d o w o d z i e ( w e d ł u g w y k o r z y s t a n i a u p r z e d n i e j w i e d z y , w e d ł u g w a r t o ś c i idei i „ s u b s t a n c j i " d o w o d u ) .

O k a z y j n i e n a l e ż a ł o b y też s t a w i a ć p y t a n i a n a s t ę p u j ą c e g o r o d z a ­ ju :

- G d z i e w d o w o d z i e i n g e r u j ą z a ł o ż e n i a ?

- Na J a k i c h t w i e r d z e n i a c h i d e f i n i c j a c h o p i e r a się t e n d o w ó d ? (Może to b y ć s z c z e g ó l n i e i n s t r u k t y w n e p r z y k o n f r o n t o w a n i u r ó ż n y c h d o w o d ó w t e g o s a m e g o t w i e r d z e n i a ; p a t r z n i ż e j ) .

- D o w ó d t e n s k ł a d a ł s i ę z dwu. c z ę ś c i ; k t ó r a b y ł a ł a t w i e j s z a ? - Czy m o ż n a u d o w o d n i ć t w i e r d z e n i e A b e z p o w o ł a n i a s i ę n a t w i e r d z e n i e B?

- Co w n a p o t k a n y m f r a g m e n c i e m a t e r i a ł u b y ł o w y k o r z y s t a n e bez d o w o d u ?

W d o w o d a c h a d h o c u c z e ń p o w i n i e n t e ż w i d z i e ć dowody. I n a l e ż y też z w r ó c i ć u w a g ę u c z n i ó w n a to, j e ś l i b y u d a ł o s i ę u d o w o d n i ć w i ę c e j n i ż z a m i e r z a n o l u b n i ż b y ł o p o t r z e b n e .

Oto d w a d o w o d y t w i e r d z e n i a : J e ż e l i |x| < 1 , to x n — » O.

P i e r w s z e ń s t w o d a m y d o w o d o w i o p i e r a j ą c e m u s i ę na n i e r ó w n o ś c i B e m o u l l i e g o , k t ó r a d l a x ■ 0 , 9 9 p r o w a d z i do n a s t ę p u j ą c e g o o s z a ­ c o w a n i a :

0

6

0 < 0 , 9 9 -

D o w ó d t e n p r z e b i e g a w l i c z b a c h w y m i e r n y c h ; w i e d z a o l i c z b a c h r z e c z y ­ w i s t y c h i i c h z u p e ł n o ś c i ( oraz k o n s e k w e n c j a c h z u p e ł n o ś c i ) n i e j e s t w o g óle p o t r z e b n a . G d y j e d n a k m a m y to do d y s p o z y c j i , m o ż n a r o z u m o w a ć tak: C i ą g

m a l e j e m o n o t o n i c z n i e

j e s t o g r a n i c z o n y (zerem) o d dołu, w i ę c m a kres d o l n y g

k t ó r y j e s t z a r a z e m je g o g r a n i c ą :

-

. T a k ż e k a ż d y p o d c i ą g j e s t z b i e ż n y d o tej g r a n i c y :

P o n i e w a ż

0 , 9 9 2n - ( 0 , 9 9 n ) 2 ---- >

g Z

w i ę c g 2

, a z a t e m g « 0 , gdyż g ■ 1 n i e w c h o d z i w r a c h u ­ bę. Ten d o w ó d j e s t ^ n a t u r a l n i e j s z y ", a l e g r u b s z e g o kali b r u . C h o d z i tu o to, że n i e t y l k o u c z e ń p r z e j d z i e o b i e d r o g i r o z u m o w a n i a , ale że b ę d z i e on m ó g ł też z a u w a ż y ć i o p i s a ć i s t o t n ą r ó ż n i c ę w ś r o d k a c h dow o d o w y c h .

Za k o l e j n y p r z y k ł a d p o s ł u ż y i d e n t y c z n o ś ć c o s

+ w ) ■ - cos

,

k t ó r ą s z y b k o m o ż n a o t r z y m a ć z t w i e r d z e n i a o c o s i n u s i e sumy. A co robić, g d y t e g o ś r o d k a u ż y ć n i e c h c e m y l u b n i e m o żemy, g d y z a p o m n i e ­ l i ś m y t e g o w z o r u i n i e m o ż e m y go s z y b k o o d t w o r z y ć ?

Gdy n a w i n i e m y w z n a n y s p o s ó b n i t k ę d ł u g o ś c i

na k o ł o J e d n o s t ­ k o w e od p u n k t u (1

do p u n k t u

o w s p ó ł r z ę d n y c h

■ c o s

i

y » s i n

, to k o n i e c p r z e d ł u ż e n i a n i t k i o ir w y p a d n i e n a t y m k o l e d o k ł a d n i e n a p r z e c i w P , tj. w p u n k c i e ( - * ; - # ) . A w i ę c

cos (o + w ) » - c o s o i s i n ( a ♦ w ) ■ - sin o .

Z n owu c h o d z i tu n i e t y l k o o i n t e n s y w n o ś ć p r a c y n a d j a k i m ś z a d a ­ n i e m i n i e t y l k o o c o r a z p e ł n i e j s z ą świa d o m o ś ć , że w i e l e d r ó g p r o ­ w a d z i do Rzymu, a l e p r z e d e w s z y s t k i m o ś w i a d o m ą r e f l e k s j ę : tu m u s z ę zna ć d e f i n i c j e s i n a i c o s a ( u t r w a l e n i e i c h J e s t mil e w i d z i a n e ! ) - t a m n i e ; t a m t w i e r d z e n i e o f u n k c j a c h s u m y - tu nie.

G d y c h o d z i o z a l e c a n y p r z e z e mnie r o z k ł a d a k c e n t ó w - n a l e ż y ś m ielej r o z r ó ż n i a ć :

D O W Ó D D o w ó d (Dowód)

..., b o w i e m ...

p o d o b n i e j a k r a z E d m u n d L a n d a u t y p o g r a f i c z n i e w y n i ó s ł p e w n e T W I E R ­ D Z E N I E p o n a d inne t w i e r d z e n i a .

Przy z w y k ł y m p o d e j ś c i u do t w i e r d z e n i a R o l l e ' a i t w i e r d z e n i a o w a r t o ś c i ś r e d n i e j w r a c h u n k u r ó ż n i c z k o w y m , c a ł y w y s i ł e k p o ś w i ę c a s i ę d o w o d o w i t w i e r d z e n i a R o l l e ' a . G d y z a ś z n i e g o u z y s k u j e s i ę p r z e z p r o s t e p o d s t a w i e n i e t a k p r z e c i e ż w a ż n e t w i e r d z e n i e o w a r t o ś c i ś r e d ­ niej, w z d r a g a m y s i ę p r z e d u ż y c i e m tu g r o m k i e g o s ł o w a „ d o w ó d ” .

Gdy n i e p o w i e m y w y r a ź n i e , ż e j e d n o z n a c z n o ś ć r o z w i ą z a n i a r ó w n a -

TL TL

n i a

5 w y n i k a p o p r o s t u z m o n o t o n i c z n o ś c i

(bez d r o b i a z ­ g o w e j a n a l i z y ) , w ó w c z a s w y k a z a n i e j e g o i s t n i e n i a j e s t b a r d z o p r a c o ­ c h ł o n n e (choć m o ż n a to z r o b i ć w b a r d z o n a t u r a l n y i p o ż y t e c z n y s p o ­ sób). Z a m i a s t w i ę c w y k o n a ć j e d n o i d r u g i e w j e d n a k o w y m

, m o ż e lepiej by b y ł o z o b y d w u d o w o d ó w c a ł k i e m z r e z y g n o w a ć ; b y ł o b y t o J e d n a k złe z i n n y c h p o w o d ó w .

P r z e j d ź m y t e r a z d o t r z e c h d a l s z y c h p r z y k ł a d ó w . Zobaczmy, j a k r ó ż n o r a k i e r z e c z y m o ż n a z a u w a ż y ć i w y k o r z y s t a ć w t o k u p r o w a d z e n i a dowodu, c z e g o -

u p o r a n i e m s i ę z s a m y m d o w o d e m - m o ż n a

n a u c z y ć s i ę l u b c o w y ć w i c z y ć .

r ó w n a ń k w a d r a t o w y c h z a p y t a j m y : „ D l a czego w ł a ś c i w i e k a ż d e r ó w n a n i e k w a d r a t o w e m a c o n a j w y ż e j d w a r o z w i ą z a n i a ? Z d o ś w i a d c z e n i a w i em, że n i e k t ó r z y u c z n i o w i e w s k a z u j ą p o p r o s t u n a w z o r y :

m ó w i ą c : „Pr z e c i e ż to są dwa". T a k i e „ n i e u z a s a d n i e n i e " s u g e r u j e , że t r z e b a p o w t ó r z y ć p y t a n i e z d o d a t k o w y m ż ą d a n i e m p o k a z a n i a t e g o w p r o s t , a w i ę c b e z p o s ł u g i w a n i a s i ę w z o r a m i (1). I n s t r u k t y w n e i p o g l ą d o w e b y ł o b y u z a s a d n i e n i e o d w o ł u j ą c e s i ę do p r z e b i e g u funkcji, b e z u ż y c i a p o c z ą t k o w y c h w i a d o m o ś c i z r a c h u n k u r ó ż n i c z k o w e g o l u b też z u ż y c i e m ich. Tu n a t o m i a s t c h c ę o m ó w i ć n i e to, a l e p e w n e u z a s a d n i e n i e

0 d o w o l n e j f u n k c j i k w a d r a t o w e j / m a m y w y k a z a ć co n a s t ę p u j e : F u n k c j a

n i e m a t r z e c h r ó ż n y c h m i e j s c z e r o w y c h . Innymi s ł o w y : J e ż e l i ja w y m i e n i ę j a k i e ś m i e j s c e z e r o w e i ty w y m i e n i s z J a k i e ś m i e j ­ s c e zerowe, a l e n i e t o s a m o c o ja, i on w y m i e n i j a k i e ś m i e j s c e z ero-

7.

Oto p i e r w s z y d o d a t k o w y p r z y k ł a d . Po p r z e r o b i e n i u z u c z n i a m i

( D

we, t a k ż e n i e t o s a m o c o ja, A to znaczy, ż e d l a

z a k ł a d a m y : ( 2 ⁾

(3) (4) (5)

(6)

i t w i e r d z i m y , że:

D o w ó d .

2 n

a

p a + q m U b

pb

q

to o n w y m i e n i ł to s a m o co ty.

z

2

ą

f(a)

0 }

f ( b )

b

a }

f(o)

o Ł a

b m o

n a p o d s t a w i e (2), n a p o d s t a w i e (3)

a * b * a * o *

P ) * 0

p ■ 0

p - 0

b * o

p r z e z o d j ę c i e (3) o d (2), ze w z g l ę d u n a (4),

a n a l o g i c z n i e , n a p o d s t a w i e (2),(5) i (6)

j a k t w i e r d z i l i ś m y .

Na tablicy, n a t u r a l n i e , n i e n a p i s z e m y : „na p o d s t a w i e ...", ale po p r o s t u k a ż d o r a z o w o z a s t o s o w a n e z a ł o ż e n i e p o d k r e ś l i m y l u b n a nie w s k a ż e m y .

T y p o w e p r z y t a k i m o p r a c o w a n i u o m a w i a n e g o p r z y k ł a d u j e s t m a ł e c o l l e g i u m l o g i c u m, a m i a n o w i c i e a n a l i z a k w a n t y f i k a t o r ó w „Jest co n a j w y ż e j dwa". Z a l e ż n i e o d tego, c z y u c z n i o w i e a n a l i z y tej d o p i e r o d o k o n u j ą c z y J e s t to Już r u t y n o w e p r z e j ś c i e , n i e r u t y n o w a c z ę ś ć p o s ­ t ę p o w a n i a d o w o d o w e g o , a w i ę c to, n a c o t r z e b a u p a ś ć , z r e d u k u j e s i ę d o n i e l i c z n y c h o d e j m o w a ń i d z i e l e ń lub nie.

8 .

A o t o d r u g i d o d a t k o w y p r z y k ł a d . W c i ą g u l i c z b F l b o n a c c i e g o

o k r e ś l o n y m n a s t ę p u j ą c o :

(1) “ o = 0 ’ M 1 = 1 »

+2 = u n +1

(" > 0)

za u w a ż a m y , ż e p o c z y n a j ą c o d

= 0 , = 5 , u 1Q = 55 k a ż d a p i ą ­ ta l i c z b a j e s t p o d z i e l n a p r z e z 5, a i n n e n i e :

(2) 5 |

„ w t e d y i t y l k o w t e d y , g d y 5

N i e m o ż e m y t u w c h o d z i ć w l i c z n e z n a n e i i n t e r e s u j ą c e w p r o w a d z e n i a t e g o ciągu, ani też w m o t y w y z a j m o w a n i a s i ę a k u r a t tą w ł a s n o ś c i ą l i c z b F i b o n a c c i e g o , P r z y p u ś ć m y d l a p r o s t o t y , że p r z y o b l i c z a n i u k o ­ l e j n y c h liczb, g d z i e ś o k o ł o

u c z n i o w i e z a u w a ż ą c o ś b l i s k i e g o (2). Czy d a l e j b ę d z i e p o d o b n i e ? W i e l o k r o t n e z a s t o s o w a n i e w z o r u r e ­ k u r e n c y j n e go (1) da j e

w « + 5 u n + 4 +

* 2 - u n+3 + u n +2

3 - % + 2 ł 2 '“n.1

" 5 ‘“n+1 + 3 * un •

a więc

u c = 3 u m o d 5.

n +5 n

S t ą d z a ś t w i e r d z e n i e (2) o t r z y m a m y za p o m o c ą i n d u k c j i z

na n+5.

Ten k r ó t k i i c a ł k o w i c i e n a t u r a l n y r a c h u n e k w y m a g a p e w n e g o w y ­ r o b i e n i a w o b c h o d z e n i u s i ę ze z m i e n n y m i - tu w p o d s t a w i a n i u w s k a ź ­ n i k ó w . J e ż e l i n i e c h c e m y s t a w i a ć t y c h w s t ę p n y c h w y m a g a ń , to j e s t d o d y s p o z y c j i inny, o w i e l e d ł u ż s z y , ale b a r d z o i n s t r u k t y w n y sp o s ó b , k t ó r y d u ż o s i l n i e j n a w i ą z u j e d o p r ó b , m i a n o w i c i e d o o b l i c z a n i a p i e r w ­ s z y c h w y r a z ó w ciągu.

J e ż e l i c h c e m y s p r a w d z i ć (2) d l a n i e c o w i ę k s z y c h n , to u ł a t ­ w i m y s o b i e ż y c i e o b l i c z a j ą c n i e s a m o u n , a l e t y l k o c y f r ę j e d n o ś ­ ci « n t y c h l i c z b :

n

0

0 1 2 3 4 5 10 15 20 25 30

n 0 1 1 2 3 £ 8 3 1 4 £.9437 07741 £ 6 1 7 8 £.3819 0998'

n

35 4 0 45 50 55

e n

£ 2 7 9 6 £ 1 6 7 3 0 3 3 6 9 £ 4 9 3 2 57

J a k d ł u g o m a m y to k o n t y n u o w a ć ? C z e g o w ł a ś c i w i e o c z e k u j e m y ? C y f r y o d 0 do 9 s ą - j a k s i ę w y d a j e - p o m i e s z a n e j a k g r o c h z k a p u s t ą ! G d y to p o m i e s z a n i e z a c z n i e s i ę p o p e w n y m c z a s i e p o w t a r z a ć - b ę d z i e m y u celu. Ale c z y c i ą g

, j e s t r z e c z y w i ś c i e o k r e s o w y ? B y ł o b y t a k z p e w n o ś c i ą , g d y b y j a k i e ś d w a k o l e j n e w y r a z y z n o w u s i ę g d z i e ś d a l e j p o w t ó r z y ł y o b o k s i e b i e i w tym p o r z ą d k u , np. tak:

(*> ... rlii ... m ...

W t e d y m o ż n a b y te d w i e r a m k i p r z e s u n ą ć r ó w n o l e g l e w lewo ( wówczas k a ż d o r a z o w a z a w a r t o ś ć * z a w s z e b ę d z i e r ó w n a z a w a r t o ś c i **), aż d o opor u :

(5) 0 ... ( H

N i e j e s t m o ż l i w e , by p r z y k a ż d e j ze 101 p o c z ą t k o w y c h p o z y c j i r a m k i jej z a w a r t o ś ć , tj. p a r a k o l e j n y c h l i c z b , aż do *^oi* ^ Y "

ła inna, j e s t i c h b o w i e m t y l k o 100 ( m i a n o w i c i e 0 0 , 0 1 , . . . , 9 9 ) . W o b e c t e g o s y t u a c j a J e s t t a k a j a k w (4), a w i ę c i s y t u a c j a (5) r z e ­ c z y w i ś c i e m u s i s i ę zdar z y ć , a p r z y t y m *« j e s t o d d a l o n e od # o n a j w y ż e j 100 k r o k ó w . M o ż e m y być s p o k o j n i : n a j p ó ź n i e j po 100 k r o k a c h w s z y s t k o z a c z n i e s i ę

. K o n t y n u u j e m y w i ę c c i e r p l i w i e w y ­ p e ł n i a n i e t a b e l k i :

n 55 6 0 61

* n

5 7 - 2 9 1 0 1

M i e l i ś m y s z c z ę ś c i e : - 0,

*61 *

w i ę c n a s z c i ą g ma ok r e s 6 0 i w c a l e n i e t r z e b a 100 kroków. D o brze, że p r z y a wi ę c n i e m a l u celu, p o t y l u t r u d a c h n i e d a l i ś m y za w y g r a n ą ! W ciąż j e s t w i ę c

*m “ *m +60 “ *m+l20 “ *** ' n a p r z y k ł a d

*1 0 3 5 “ * 6 0 * 1 7 + 1 5 “ *15 * 0 •

“ 1035

s i S c y f r ą 0 i J e s t p o d z i e l n a p r z e z 5.

a z a t e m lic z b a

W z w i ą z k u z t y m r o z u m o w a n i e m , a t a k ż e m o i m i t e z a m i , n a s u w a j ą s i ę r ó ż n e u w a g i :

- Nie j e s t r z e c z ą n i e o d z o w n ą d ą ż y ć d o s p r a w d z e n i a (2) d l a d o w o l n e g o n. C a ł ą i s t o t n ą c z ę ś ć p r a c y m u s i m y w y k o n a ć już d l a z b a d a ­ n i a czjT «-|035 k o ń c z y s i ę n a 0 l u b 5.

- Dla w y l i c z e n i a ż ą d a n e g o e n p o t r z e b n e są j e d y n i e u m i e j ę t n o ś ­ ci r a c h u n k o w e n a p o z i o m i e p i e r w s z e j klasy.

- P r z y c z y n i s i ę t o do r o z w i n i ę c i a p r o s t e j , a n i e o c e n i o n e j u m i e ­ j ę t n o ś c i p r z e j r z y s t e g o b u d o w a n i a t a b e l i i c h k o m e n t o w a n i a .

- P r z e j ś c i e o d

do

, a więc d o r e s z t m o d u l o 10, j e s t p a r a d y g m a t y c z n y m p r z y k ł a d e m c z ę s t o s p o t y k a n e g o p o s t ę p o w a n i a m a t e m a ­ t y c z n e g o „nie c h c i e ć w i e d z i e ć aż t a k d o k ł a d n i e ", k t ó r e u c z n i o w i e zna­

ją np. z p o j ę c i a p o d z i e l n o ś c i ( i s t n i e j e i l o r a z c a ł k o w i t y , „kt ó r y j e d ­ n a k t e r a z n i e b ę d z i e n a s i n t e r e s o w a ć " ) .

- I n d u k c j a z u p e ł n a j e s t t u t a j w n i o s k o w a n i e m z n na n +60.

O k r e s o w o ś ć j e s t z a g w a r a n t o w a n a za p o m o c ą z a s a d y s z u f l a d k o w e j . - P o k a z a l i ś m y n i e c o w i ę c e j , n i ż mó w i t w i e r d z e n i e .

- Upór, z k t ó r y m w y t r w a l i ś m y aż do n « 61, z o s t a ł w y n a g r o ­ dzony.

- S z c z e g ó l n i e g o d n e u w a g i j e s t to, ż e „ u s p o k a j a j ą c y k r o k " - w y k a z a n i e o k r e s o w o ś c i - m o ż n a w y k r e ś l i ć z d o w o d u , k t ó r y n i e s t a n i e s i ę p r z e z to b ł ę d n y l u b n i e p e ł n y !

- J e s z c z e n i e c o „ d a l s z e g o d o p y t y w a n i a si ę " :

D l a c z e g o ... , 5 , 0 , . . . n i e p o j a w i a s i ę w c i ą g u en ? D l a c z e g o n i e . . . , 2 ,6,... ? I n i e c o t r u d n i e j s z e p y t a n i e : D l a c z e g o n i e ... , 7 , 6 , . . . ?

9.

O s t a t n i p r z y k ł a d d o t y c z y t w i e r d z e n i a : S i a t k ę k r a w ę d z i d w u n a s ­

to ścianu p i ę c i o k ą t n e g o (szwy n a p i ł c e ) m o ż n a t a k p r z e j ś ć , że k a ż d y

w i e r z c h o ł e k (tj. p u n k t s p o t k a n i a s i ę t r z e c h k r a w ę d z i ) z o s t a n i e p r z e ­

k r o c z o n y d o k ł a d n i e raz, p o c z y m w r ó c i m y do p u n k t u wyjś c i a . (Można

to p r z e f o r m u ł o w a ć np. n a w y p o w i e d ź o s i e c i u l i c i t r a s i e u r z ę d n i k a

p o c z t o w e g o o p r ó ż n i a j ą c e g o s k r z y n k i ) . To b r z m i b a r d z o p r o s t o i n i e z ­

b y t m a t e m a t y c z n i e . Robi s i ę t a k ą siatkę, w r y s o w u j e s i ę ż ą d a n e p r z e j ­

ś c i e ( „ o krąg H a m i l t o n a " ) - i bast a , to już j e s t d o w ó d (albo „dowód",

start i meta

J e ż e l i k t o w o l i ) . Ale J a k z a p a m i ę t a ć r o z w i ą z a n i e ? J a k p r z e k a z a ć r o z w i ą z a n i e t e l e f o n i c z n i e k o m u ś , k t o Już d o ś ć d ł u g o b e z o w o c n i e go p o s z u k i w a ł ? P o n u m e r o w a n i e 2 0 w i e r z c h o ł k ó w b y ł o b y b e z c e l o w e , J a k o w y m a g a j ą c e r o z w l e k ł e g o o p i s u . P r z e j ś c i e m o ż e b y ć o d t w o r z o n e np. na p o d s t a w i e i n s t r u k c j i

(p3 (l p)2 L 3 ) 2

,

c o Jest, n a t u r a l n i e , s k r ó t e m dla

i J e s z c z e r a z to samo", g d z i e P z n a c z y „w p r a w o ! " i

„w lewo!". P r z e c i e ż

w k a ż d y m w i e r z c h o ł k u , do k t ó r e g o d o c h o d z i m y , t r z e b a w i e d z i e ć J e d y ­

nie, c z y d a l e j i ś ć w pra w o , c z y w lewo. Oto J e s t w p r o w a d z e n i e n a j ­

p r o s t s z y c h s u g e s t y w n y c h o z n a c z e ń , p o z w a l a j ą c y c h na t a kie m a ł e k o d o ­

wanie.

Dwa d o d a t k o w e p y t a n i a a p e l u j ą do w y o b r a ź n i p r z e s t r z e n n e j :

g d y z a m i e n i a m y w n a s z y c h i n s t r u k c j a c h

i P , t a k ż e o t r z y m u j e m y p r z e j ś c i e ? ( P o m y ś l m y o s i e c i w r a z z z a z n a c z o n y m p r z e j ś c i e m n a r y s o w a n e j n a s z y b i e , n a k t ó r ą p a t r z y m y z d r u g i e j s t r o ­

ny).

b)

d a n y o p i s d r o g i jes t w a ż n y p r z y

p u n k c i e w y j ś c i o w y m i

k i e r u n k u w y j ś c i o w y m ? ( P o m y ś l m y o s z k i e l e c i e d w u n a s t o ś c i a n u j a k o r e a l n e j s i a t c e w y k o n a n e j z e l a s t y c z n e g o m a t e ­ riału, n a c i ą g n i ę t e j n a k u l ę tak, że p i ę c i o k ą t y są p r z y s t a j ą c e . W t e ­ d y w y s t a r c z y t y l k o tą k u l ą o d p o w i e d n i o o b r a c a ć ) .

N a w e t t u t a j r o z m a i t y u d z i a ł m a j ą : f o r m u ł o w a n i e , w i d z e n i e , a t a k ż e n i e c o p o g l ą d o w y c h p r z e k s z t a ł c e ń t o p o l o g i c z n y c h .

10 .

Co b y ł o b y n a j w i ę k s z y m s u k c e s e m n a u c z y c i e l a , k t ó r e g o u c z n i o w i e z d o b y l i s o l i d n e u m i e j ę t n o ś c i w d o w o d z e n i u i p r z y p r z e p r o w a d z a n i u d o ­ w o d ó w o k a z u j ą t y l e ż f a n t a z j i co d y s c y p l i n y ? B y ł a b y to r a d o ś ć u c z ą ­ c y c h się z p i ę k n a z w i ą z k ó w m a t e m a t y c z n y c h i z tej p o w a ż n e j s a m o d z i e l ­ n e j pracy.

(Z n i e m i e c k i e g o t ł u m a c z y ł S. T u m a u )

On p r o o f s a n d p r o v i n g in the t e a c h i n g o f m a t h e m a t i c s

S u m m a r y

The a u t h o r a p p e a l s tha t the s e n s e o f d e d u c t i o n w e r e n o t d e v e l ­

o p e d t h r o u g h s o l e m n p r o o f s w i t h the r i n g i n g o f bells, but r a t h e r

by u s i n g v a r i o u s t i n y b u t i n t e r e s t i n g o c c a s i o n s ; l o t s of e x a m p l e s

a r e p r o p o s e d .