Continuité modulaire des fonctions d’un sous-espace d’Orlicz (I)

ANNALES SOCIETATIS MATHEMATICAE POLONAE Series I: COMMENTATIONES MATHEMATICAE XXVIII (1989) ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO

Séria I: PR ACE MATEMATYCZNE XXVIII (1989)

M a m a d o u b a T o u r e (Conakry, Guinee)

Continuité modulaire des fonctions d’un sous-espace d’Orlicz (I)

Résumé. Dans le présent exposé, nous nous proposons de généraliser certaines conclusions obtenues par A. Kamiriska dans [2].

1. Introduction. Soit E un espace euclidien de dimension finie et de norme |-|. Nous supposerons que E est muni de la mesure de Lebesgue.

Soit T une partie Lebesgue-mesurable de E. Désignons par I la a- algèbre des parties Lebesgue-mesurables de T.

Soit (us( ))ses une famille de fonctions définies sur T, à valeurs dans [0, + 00 ), Lebesgue-intégrables sur T et dont les indices s décrivent un en­

semble abstrait.

Pour toute partie Г -mesurable A de T, posons fi (A) = sup fis{A)

seS

où, pour tout s e S,

l * s { A ) = { a s ( 0 d t . A

De toute évidence, fi sera une sous-mesure non négative, complète et non atomique sur Г.

Désignons par N l’ensemble des entiers positifs.

Supposons qu’il existe une suite (7J) de parties Г-mesurables de T telles 00

que, pour tout ie N , ц(%,) < +oo, Tt <=^Ti+1 et que T = [j Tt.

i = 1

Supposons, par ailleurs, que pour tout ie N , pour toute suite (A„) de

00

parties Г-mesurables de Th telles que A„ zd A„+1 pour tout n e N et П An n — 1

= 0 , nous avons

lim fi(A„) = 0.

И -► 00

Soient X un espace réel séparable de Banach, de vecteur nul в et J 1 la <r-

algèbre des parties boréliennes de X.

362 M a m a d o u b a T ou re

1.1. ^D

. Une fonction q>\ X x T -+[0, ^{+ o o )} sera appelée une q>- fonction, s’il existe une partie Г-mesurable T0 de T, de mesure ц{Т) = 0 et

telle que:

(i) (p(9, t) = 0, pour tout t e T — T0;

(ii) (p{ — x, t) = (p(x, t) pour tous x e X et t e T —T0;

(iii) q>(ux + üx, t) ^ u<p(x, t) + ü(p(x, t), pour tous x, x e X , u , û ^ 0 , м + м = 1 et t e T — T0;

(iv) la fonction x^>(p(x, t) est continue sur X, pour tout t e T —T0;

(v) la fonction (x, t) -><p(x, t) est x ^-mesurable.

Seront d’importance les conditions suivantes:

( + ) Pour toute partie Г -mesurable A de T, de mesure (x{A) < +oo et tout x e X

v(/l) = sup I”as(t) cp(x, t)dt < + oo.

seS A

(+ + ) Pour tous x eX, e > 0, il existe S > 0 tel que, pour toute partie Г- mesurable A de 7^ de mesure ц(А) <ô, v(A) < e.

Désignons par M(T, Z) l’espace vectoriel de toutes les fonctions t ->x(t), définies sur T, à valeurs dans X et Г-mesurables.

Pour toute ^-fonction q>, la relation

( 1 ) (*(•)) = sup J'as(0<p(*(f)> t)dt

se S T

introduit un pseudomodulaire convexe sur M ( T ,X ) (cf. [3]).

Notons

I?0(T, X) = {x(-)eM(T, X): ^ (x (-)) < +ooj,

LT {T, X )= (x(')eM (T, X): 3 a > 0 , ^{ax(-)) < + oo}.

LT (T, X) est l’espace modulaire correspondant au pseudomodulaire con­

vexe (1): c’est un espace généralisé d’Orlicz (cf. [3]).

Remarquons que la relation

(2) ||x(-)IU = inf \u > 0: &Д*(-)/м) < *}

introduit une norme sur IT {T, X).

Pour toute partie A de T et pour toute h e T, posons A ± h = {t±h: t e À \

et pour toute fonction x( )eM (T , X)

+ si t e T n ( T - h ) ,

h (0, ailleurs.

Continuité modulaire des fonctions d'un sous-espace d'Orlicz (/) ³⁶³

Pour toute fonction x ( ) e M ( T , X ), pour tous heT, <5 > 0, posons (3) £(„,*)И*)) = 6*(**(')) = SUP .f as(t)(p(x(t + h), t)dt

seS Т Ы Т - И )

et

(4) "b (*(•)) = sup e(<M) (*(•)) •

\h\^ô

Les relations (3) et (4) définissent des pseudomodulaires convexes sur M(T, X ) et les relations

1И-)Н(*,л) = inf lu > 0: Qi<p,h ) ( x ( - ) / u ) < 1 j,

||x(-)lb = inf lu > 0: ms(x (‘)/u) < 1 î, des semi-normes sur les espaces modulaires correspondants.

Pour toute fonction x (-)e M (T ,X ), pour tous h e T et S > 0, nous devons avoir

||x(-)lb = sup ||x(-)||(V,w.

\h\^ô Sera d’importance la définition suivante:

1.2. ^D

. Une fonction x ( ) eIf{T, X) sera dite g^-continue si, pour tous a > 0, e > 0, il existe <5 > 0 tel que, pour tout h e T, \h\ < <5, nous avons

IM *)-x(-)ll* <«•

Désignons par EV(T, X) la fermeture dans I f (T, 2Q, au sens de la norme (2), de l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires des fonctions de la forme x x a ( ‘),

x e X et X a ( ) e s t l a fonction caractéristique d’une partie X- mesurable A de 7^ de mesure p(A) < + 00 .

2. Résultats.

2.1. L

. Si une (p-fonction q> satisfait à la condition ( + ), alors, il existe une suite (x„(-)) de fonctions simples, telles que x n( ) e L 0(T, X) pour tout n e N et que, pour tout t e T, l'ensemble des valeurs x„(t), neN, soit partout dense dans X.

D é m o n s tra tio n . Soit (Xj) une suite partout dense dans X; Pour tous i , j e N , t e T, posons

Xij(t) = XjXrft)

où ( f ) est la suite des parties de T, introduite plus haut.

En vertu de la condition ( + ), pour tous i , j e N , nous avons бЛхи(')) = SUP I' as{t)(p{xj, t)dt < +oo

se S n

—

Commentationes Math. 28.2

3 6 4 M a m a d o u b a T ou re

i.e. хи {‘) £l?0(T, X). Par ailleurs, pour tout teT, il existe i0 e N tel que te T iQ: alors xt j{t) = Xj, pour tout j eN, il suffit de poser x„{t) = xinj n{t) où ((in, j n)) est la suite de tous les couples d’entiers positifs, pour avoir la conclusion du lemme.

2.2. ^L

^. Soit (pSt„)snlsN une famille de mesures non négatives, définies sur I telle que, pour tout n e N, pn = sup psn représente une sous-mesure non

seS

atomique. Soi (y„(-)) une suite de fonctions non négatives, définies sur T, telles que, pour tous ne N, e > 0, il existe <5 > 0 tel que, pour toute partie X- mesurable A de T, de mesure pn(A) < ô, nous ayons

sup |'y„(t)dpS'„(t) <£,

seS A

et que, pour tout n e N,

sup f y„(t)dps>n(t) ^ 2"-<xn

seS T

où (a„) est une suite de nombres réels non négatifs.

Alors, il existe une suite strictement croissante (nk) d’entiers positifs et une suite (Ak) de parties X-mesurables mutuellement disjointes de T, telles que, pour tout к e N

sup f ynk(t)dpSt„k(t) = <x„k.

seS À k

D é m o n s tr a tio n . Ce lemme s’établit de la même façon que le lemme 1.3 de [1].

2.3. T

. Si une tp-fonction satisfait aux conditions ( + ) et (+ + ) , seront équivalentes les conditions suivantes:

(I) Toute fonction x {•) e E9 (T, X) est g^-continue.

(II) Il existe une partie X-mesurable T0 de T, de mesure p(T0) = 0, des constantes к > 1 et 3 > 0 telles que, pour tout h e T, \h\ < ô et tout s e S, il existe une fonction non négative t ~+fh,s{t), X-mesurable sur T, telle que, pour tous x e X , s eS, h e T, \h\ < ô et t e ( T —T0) n(T+h), nous ayons

(5) as (t — h)(p (x, t - h ) ^ a s (t) q> (kx, t) + f Ks (t) où

sup sup f f h s (t)dt < + o o .

|Л|^<5 seS T r i ( T + h)

(III) Il existe des constantes positives K et ô telles que, pour toute fonction x (-)e E * (T ,l0

(6) ||X(-)IU ^ X||x(-)IU-

Continuité modulaire des fonctions d'un sous-espace d'Or liez ( I ) 365

D é m o n s tra tio n . Nous allons établir les implications consécutives suivantes: (II) => (III) => (I) (II).

(II) => (III). Supposons que la condition (II) ait lieu et que d = sup sup f fh,s(t)dt > 1-

|/i|$<5 seS T n ( T + h)

Alors, pour toute fonction x ( ) g £ </>(T, X ), tout heT, \h\ ^ ô, de l’inégalité (5), nous pouvons avoir

0 (*, a )(OAO*(-)) < в А кх ('■))+1- Par conséquent

mô((l/d)x(-)) ^ e„(foc(-))+l.

Ce qui nous permet d’avoir

||x(-)||a < 2 M ||x (-)||,.

Il suffit, alors, de prendre K = 2kd, pour avoir l’inégalité (6).

Pour d 1, la conclusion est triviale.

(Ill) => (I). Supposons qu’ait lieu la condition (III) i.e. pour toute fonction x(*) eE^iT, X) ait lieu (6).

Prenons une fonction x ( ) e M ( T , X) de la forme

m

0) x(t) = X XiXAiit), t e T,

i = 1

où, pour tout i = 1 ,2 ,..., m, xt eX , ц(А{) < +oo et At n A} = 0 pour i Ф j.

Pour tous heT, t e T n (T + h ), nous aurons

m

xh {t) = X x a Ai-h(t)- i= i

Pour tout a > 0, il vient m

0 * ( e ( * * ( ■ ) - * ( • ) ) ) < Z SUP J as(t)<p(am\Xi\,t)dt i= 1 seS (Ai-h)âAi

où (А( —h) A Ai est la différence symétrique des ensembles A( — h et At. Soit e un nombre positif arbitraire. En vertu de la condition (+ + ), il existe <5 > 0 tel que, pour tout heT, \h\ ^ ô et pour tout i = 1, 2, ..., m, nous avons

sup J as(t)(p(am\Xi\, t) < e/m.

seS (A i~ h ) A A i

Par conséquent, pour tout heT, \h\ ^ <5, nous aurons

• )- * (') )) < e.

366 M a m a d o u b a T ou re

Nous avons ainsi établi que toute fonction x ( ) e M ( T , X ) de la forme (7) est ^-continue.

A présent, prenons une fonction quelconque x ( ) e E ( T , X ) et un nombre positif arbitraire г. En vertu de la définition de ^ ( T , X) il existe une fonction x(-), x ( ) e M ( T , X) de la forme (7), telle que

(8) ||x(-)-3c(-)IU < e/3 m ax (l,K ).

Pour tout h e T, \h\ ^ ô, des inégalités (6) et (8) il résultera que

(9) l|Xfc(')-*fc(*)ll* < £/3-

Par ailleurs, puisque la fonction x ( ) est -continue, il existe <50 > 0 tel que, pour tout heT, \h\ ^ ô0, nous avons

(10) ll*„(-)-*(-)IU <e/3.

Des inégalités (8), (9) et (10), il résultera que, pour tout heT,

\h\ ^ min(<5, S0), nous avons

I M - ) - x (Oil* ^ llxh(-)-Xh(-)ll<p + llxJ-)-x(-)H<p + llx(-)-x(-)llç) < s.

Ce qui établir que la fonction x ( ) est ^-continue.

(I) => (II). Pour tous n e N, s e S, posons J S (t)

C sup {as(t — h)<p(x, t — h) — as(t)(p{n2n x, t)}, si t e T n(T + h),

_ ) x e X

[ 0, ailleurs.

Envisageons la condition suivante:

(IV) II existe n0 e N tel que

sup sup f f ^ so)(t)dt

⁴

^{0 0}

|fc|« 2-n0 se5 T

Remarquons que la condition (IV) implique la condition (II).

A présent, nous allons supposer que la condition (II) n’ait pas lieu mais que toute fonction x ( - ) e F ( r , X) soit -continue. Nous en déduirons que la condition (IV) ne peut être vérifiée: par conséquent, pour tout ne N, il existe hneT, \hn\ ^ 2~”, tel que

(11) sup ifh"ls(t)dt>n.

seS T

Depuis le lemme 1.2 de [1], pour tous n e N , seS, nous avons / $ ( 0

f sup {as( t - h n)(p(xk(t), t - h „ ) - a s(t)(p(n2nxk(t), f)}, si te T n (T + h „ ),

0, ailleurs.

Continuité modulaire des fonctions d'un sous-espace d'Or liez (/) 367

où (xk(-)) est la suite des fonctions simples du lemme 2.1.

Pour m, neN, s e S, posons ( 12 ) FÇ J’W

r max {0, a jr -h jc p (2 ~ " xk(t), t-h „ )-a jl)(p (n x k(t), ()},

= < si t e T n(T+h„), к = 1, 2, ..., m,

L 0, ailleurs.

Remarquons que pour tous ne N , seS, t e T n ( T + h „) et pour m ->oo, nous avons

(13) n : ? ( t ) s f C ( t ) -

Mais, en vertu de (11), il existe s0 eS tel que, pour tout n e N j,f$ s0(t)dt > n.

T

Depuis (13), pour tout ne N , nous pouvons alors choisir mne N tel que (14)

T

Pour tout neN , posons

Bn,k = \ t e T n { T + h n)\ as( t - h n)(p(2~nxk( t ) ,t - h „ ) - a s(t)(p(nxk(t), t)

= F[m nf ( t )1

où к = 1, 2, ..., m„ et seS.

Pour tout neN , notons

*1 (t), si t e B nA, к- 1

xk(t), si t eBnk— (J BnJ, /с = 1 ,2 ,..

7=1 -, m„,

o, ailleurs.

En vertu de la condition ( + ), pour tout neN , nous avons x„(-)еН0{Т, X). Par ailleurs, par construction, nous aurons

(15)

= \as( t~ h n)(p(2~nx n{t), t - h n) - a s(t)(p(nx„(t), t), si t e T n { T + h n),

(0, ailleurs.

Pour tout neN , posons

y„(t) = (p(2 nxn(t), t - h n), 0 ,

si t e T n(T+h„),

ailleurs.

368 M a m a d o u b a T o u re

Depuis (14) et (15), pour tout neN, il vient sup [as(t — h„)yn{t)dt > n.

seS T

En tenant compte de la condition (+ + ), nous pouvons alors appliquer le lemme 2.3 avec, pour tous s e S, n e N

VsAA) = $as( t - h n)dt.

A

Nous en déduisons qu’il existe une suite strictement croissante (nk) d’entiers positifs et une suite (Ak) de parties Z-mesurables, mutuellement disjointes de

T, telles que pour tout k e N , Ak c T n { T + h „ k) et

(16) sup f as(t-h„k)(p(2~nkxnk(t), t-h „ k)dt = 2~4 nk.

seS A k

Considérons la fonction

00

Ш = Z *nk(t)XAk (t)

fc = 1

où ) est la fonction caractéristique de tout ensemble Ak.

Soit a une constante positive arbitraire: nous allons choisir к suffisam­

ment grand tel que nk > a. Par ailleurs, depuis (12), nous avons as{ t-h j( p (2 ~ nx„(t), t - h n) ^ as{t)(p(nxn(t), t) pour tous seS, neN , t eTn(T + h„).

Posons

xm(t) = Z xnk(t)XAk(t), t e T, fe= i

où m est un entier positif quelconque.

Depuis (16), nous pouvons avoir

&Да(*(-)-*т(-))) < Z SUP J 00 as(t)(p(nkx nk{t), t)dt Л = т+ 1 Afr

oo

< £ sup f as ( t - h„k) <p (2~4 x„k (t), t - h„k) dt fc= m+ 1 seS Afç

^ f ^{« J 2 - K}

к = m + 1

Nous en déduisons que х(*)е£*(Г, X).

Mais, nous allons établir qu’une telle fonction ne peut être q 9--continue.

En effet, soient a et S des constantes positives arbitraires: nous allons choisir

deux entiers positifs i et k0 tels que a > 2 ~ \ \h„k\ < <5 et nk — i ^ l pour

Continuité modulaire des fonctions d'un sous-espace d'Orlicz (I) 369

к ^ k0. Par la convexité de (p, depuis (16), nous pouvons avoir (*(')) ^ sup f as( t - h nk)q>(axnk{t), t-h „ k)dt

ses Ak

> 2"fc~'sup f as{t-h„k)(p(2~nkx nk{t), t-h „ k)dt = 2~l nk.

ssS Afc

En définitive, ||x(-)||(5 = + o o : la fonction x ( ) ne peut alors être ^-continue.

Contradiction.

Références

[1] A. K a m in sk a , O n c o m p a r is o n o f O r lic z s p a c e s a n d O r lic z c la ss e s, Functiones et Approx.

11 (1981), 113-125.

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[3] J. M u s ie la k , W. O r lic z , O n m o d u la r s p a c e s , Studia Math. 18 (1959), 49-65.