################################################################################
Astrofizyka cząstek elementarnych
H. V. Klapdor-Kleingrothaus, K. Zuber
Tytuł oryginału : niemiecki „Teilchenastrophysik” , angielski „Particle Astrophysics”
Wydanie niemieckie B. G. Teubner GmbH, Stuttgart 1997 Wydanie angielskie IOP 1997, 2000
Tłumaczenie rosyjskie Moskwa 2000
********************************************************************************
Tłumaczenie z przekładu angielskiego (wspomagane tłumaczeniem rosyjskim ) R. Waligóra Ostatnia modyfikacja : 2012-10-20
Tłumaczenie całości książki.
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
Wstęp własny.
Zobacz teksty : Podstawy kosmologii, Podstawy Ogólnej Teorii Względności (OTW), Model Standardowy - wprowadzenie
Skróty i oznaczenia zastosowane w tłumaczeniu (własne lub autorów).
CP – czasoprzestrzeń.
CD – czarna dziura HZ – horyzont zdarzeń MQ – mechanika kwantowa MK – mechanika klasyczna
EM – elektromagnetyczna, elektromagnetyzm, SMK – standardowy model kosmologiczny
CMB – mikrofalowe promieniowanie tła ( ang. Cosmic Microwave Background radiation ) BB - wielki wybuch ( ang. Big Bang )
UO – układ odniesienia
IUO – inercjalny układ odniesienia
NIUO – nieinercjanly układ odniesienia STW – szczególna teoria względności
OTW – ogólna teoria względności TEP – tensor energii-pędu
STT – teoria(e) skalarno-tensorowa(e)
RD – robacza dziura ( ang. wormhole, krecia nora ) AdS – anty de Sittera ( przestrzeń, rozwiązanie ) WPUO – współporuszający się układ odniesienia
Wielkości wektorowe zapisywane będą czcionką pogrubioną F, a , ...
Dopiski własne oznaczono symbolami (* ... *)
************************************************************************************************
************************************************************************************************
Rozdział 1
Model standardowy fizyki cząstek.
1.1 Bloki budulcowe materii.
Odkrycie elektronu na początku zeszłego wieku sygnalizowało sobą zakończenie długiego etapu ewolucji wyobrażeń dotyczących natury atomu, według takich wyobrażeń atom stanowił najmniejszy element materii. Nils Bohr przedstawił swój znany model atomu opierając się na analizie eksperymentów dotyczących rozpraszania cząstek, podobnych do tych, jaki prowadził Lenard z elektronami oraz Geiger, Marsden i Rutherford z cząstkami α. W skład atomu wchodzi jądro atomowe, które jest dziesięć tysięcy razy mniejsze od samego atomu. Jądro, jak to ustalono później, składa się z neutronów i protonów. Elektrony, okrążające jądro, tworzą chmurę atomową i zapewniają elektryczną neutralność atomu. Neutronu i protony, nazywane są nukleonami i zachowują się one tak samo pod wpływem siły jądrowej, siła ta odpowiada oddziaływaniu silnemu.
Wynikiem doświadczeń z wykorzystaniem promieni kosmicznych i akceleratorów było odkrycie dużej liczby nowych, wydawaćby się mogło, elementarnych cząstek. Taka sytuacja doprowadziła w latach 50-tych do wniosku, że protony i neutrony składają się z jakiś „mniejszych” cząstek. ( rys. 1.1 )
W chwili obecnej znane są one jako kwarki, mamy ich sześć równych typów (aromatów ) – kwark górny (u ) (* up kwark ), kwark dolny (d ) (* down kwark ), kwark dziwny (s ) ( strange kwark *), kwark powabny (c ) (* charm kwark ), kwark spodni (b ) ( bottom kwark *), kwark szczytowy (t ) (* top kwark *)
Wszystkie cząstki, uczestniczące w oddziaływaniu silnym, nazywane są hadronami, hadrony mogą być zbudowane albo z trzech kwarków ( bariony ), albo z pary kwark-antykwark (mezony ). Przykładowo proton jest kombinacją kwarków uud, a neutron – jest kombinacją kwarków udd.
Znane jest sześć cząstek, nie oddziałujących silnie – nazywa się je leptonami. Oprócz elektronu, jest to mion i taon, jak również związane z nimi elektrycznie neutralne bezmasowe neutrina – elektronowe, tau, mionowe. W miarę wzrostu mas cząstki grupują się w pokolenia. Odpowiednie cząstki różnych pokoleń ( rys. 1.2 ) różnią się tylko swoim
oddziaływaniem grawitacyjnym, powodowanym przez ich różne masy. Względem innych oddziaływań zachowują się one jednakowo. W tabeli 1.1 podano cząstki elementarne i ich liczby kwantowe. Dla zbudowania zwykłej materii konieczne jest tylko pierwsze pokolenia. Wszystkie cząstki, z których składa się materia są fermionami. To oznacza, że posiadają one spin ½ i spełniają zasadę wykluczania Pauliego (* Pauli exclusion principle *) i dlatego nie mogą mieć jednakowych liczb kwantowych.
Już na tym etapie pojawia się szereg zagadnień. Czy wyżej wskazane cząstki są najbardziej elementarnymi blokami budującymi materię, czy też istnieje jakaś podstruktura np. preony ?
Czy istnieją więcej niż trzy pokolenia cząstek ?
W rozdziale 2 dokładnie zastanowimy się na tych problemach.
Rys. 1.1 Struktura materii. Atomy i jądra mogą być „rozłożone” na mniejsze składowe. Pokazano typowe rzędy wielkości i dominujące siły [Loh81]
Rys. 1.1a (* dodatek własny – ilustracje faktów eksperymentalnych : fakt złożoności atomu i fakt złożoności protonu *)
Rys 1.2 Spektrum mas znanych elementarnych fermionów. Linie przerywane łączą odpowiednie cząstki z różnych pokoleń. Póki co nie ma zadowalającego wyjaśnienia teoretycznego wielkości mas oraz przyczyn ich różnicy [ Gro89, Gro90 ]
Tabela 1.1 Własności kwarków i leptonów ( I – izospin , S – dziwność (* strangeness, C – powab , B – liczba barionowa , Q – ładunek, B* - piękno ( beauty or bottom ), T – prawda (truth ot top ) Li – liczba leptonowa L = ΣΣΣΣi = e, µ, τ Li )
1.2 Oddziaływania fundamentalne.
We współczesnej fizyce znane są cztery oddziaływania fundamentalne – silne (kolorowe), elektromagnetyczne, słabe i grawitacyjne.
Najsilniejsze oddziaływanie – kolorowe – istnieje między kwarkami. Jego daleko działająca składowa generuje dobrze znaną siłę jądrową. Siłę tą należy rozpatrywać jako swojego rodzaju ostateczne oddziaływanie, analogiczne do sił między molekularnych Van der Waalsa. Stała sprzężenia oddziaływania jądrowego co do rzędu wielkości jest równa jedności ( rozdział 2). Dalej następuje oddziaływanie elektromagnetyczne, którego intensywność może być wyrażona z użyciem stałej struktury subtelnej Sommerfelda α = e2/4π ≈ 1/137. Przy niskich energiach oddziaływanie słabe charakteryzuje się stałą Fermiego GF, która określona jest w jednostkach masy protonu : GF ∝ mp-2
Najsłabszym (póki co ) jest oddziaływanie grawitacyjne, charakteryzowane przez newtonowską stałą grawitacyjną GN ( tablica 1.2 )
Tablica 1.2 Własności czterech oddziaływań fundamentalnych i hipotetycznego oddziaływania teorii wielkiej unifikacji GUT
W fakcie, że stałe różnych oddziaływań zależą od energii, zawiera się możliwość ich połączenia (rys. 1.3 )
Rys. 1.3 Fenomenologiczne fundamentalne siły i próby ich połączenia. Model Weinberga–Salama–Glashowa (WSG), łączący oddziaływania elektromagnetyczne i słabe wraz z chromodynamiką kwantową (QED) znany jest jako model standardowy fizyki cząstek. Teorie wielkiej unifikacji (GUT), zawierające grawitacje, znane są jako teorie supergrawitacji (SUGRA ) [ Wes87, Gro90 ].
Obszar działania oddziaływań podstawowych jest różny, różna jest też i ich intensywność. Podczas gdy grawitacja i elektromagnetyzm mają 1/r-potencjały i dlatego posiadają nieskończony promień działania, wpływ oddziaływań silnych ograniczony jest do rozmiarów jądra. Oddziaływanie słabe istotne jest tylko przy dużych energiach. Na koniec, obszar działania siły GUT tj. zunifikowanej siły wielkiej unifikacji, jest o kilka rzędów mniejszy.
W ramach teorio-polowego podejścia różnice w działaniu sił może być zrozumiałe jako odzwierciedlenie różnicy w masach cząstek pośredniczących ( tabela 1.3 )
Tabela 1.3 Własności bozonów pośredniczących.
W podejściu kwantowo-polowym każde oddziaływanie przenoszone jest za pomocą cząstki pośredniczącej ( rys. 1.4 )
Rys. 1.4 Elementarne kwantowo-polowe wierzchołki dla a) oddziaływania EM, b) silnego (kolorowego ), c) słabego.
Zgodnie z zasadą nieokreśloności Heisenberga, im cięższe cząstki (nośniki ) tym mniejszy jest czas ich istnienia i na mniejsza odległość mogą one się oddalać.
Ponieważ elektromagnetyzm i grawitacja mają nieskończony zasięg działania, foton i grawiton ( póki co jeszcze cząstka hipotetyczna – nośnik oddziaływania grawitacyjnego ) są cząstkami bezmasowymi. Bezmasowe gluony przenoszą oddziaływanie silne, a masowe bozony W, Z są cząstkami pośredniczącymi oddziaływania słabego. Ograniczony zasięg
działania oddziaływania silnego, mimo, że gluony są cząstkami bezmasowymi, jest następstwem przenoszenia przez gluony ładunku kolorowego ( zobacz podrozdział 1.5.1 )
Krytyczna skala długości, nazywana długością Plancka osiąga wartość ~ 10-33 [cm]. Na takich odległościach musimy posługiwać się już opisem kwantowej grawitacji. Opis taki jest konieczny, kiedy dwie skale charakterystyczne – comptonowska długość fali i promień Schwarzschilda ( rozdział 2 ) stają się porównywalne co do wartości.
Wszystkie cząstki, przenoszące oddziaływanie są nazywane bozonami, posiadają one spin równy 1, oprócz grawitonu, który ma spin 2. Zatem, cząstki te nie spełniają zasady Pauliego.
Dowolne oddziaływanie może być przedstawione za pomocą odpowiedniego wierzchołku na diagramie CP, który nazywa się diagramem Feynmana.
W każdym przypadku dla opisu oddziaływania konieczne są dwa wierzchołki ( rys. 1.5 ). Bozony pośredniczące, które nie są obserwowalne bezpośrednio nazywają się cząstkami wirtualnymi.
Rys. 1.5 Diagramy Feynmana dla czterech oddziaływań fundamentalnych. Oddziaływanie realizuje się na drodze wymiany kwantów odpowiedniego pola –pola charakteryzującego dane oddziaływanie.
1.3 Liczby kwantowe i symetrie.
W MQ wielkość zachowana odpowiada operatorowi O, komutującemu z operatorem Hamiltona H, tj. komutator operatorów H i O jest równy zero :
[ H, O ] = HO – OH = 0 (1.1)
Stąd wynika, ze stan własny ψ operatora H jest jednocześnie stanem własnym operatora O :
O | ψ > = q | ψ > (1.2)
Gdzie q – jest stanem ( eigenvalue ) własnym, odpowiadającym odpowiedniemu stanowi własnemu ( eigenstate ) ψ obu operatorów H i O. Obecność wielkości zachowanej związane jest z inwariantności równań ruchu względem określonych przekształceń symetrii (1.4).
Istnieją dwa różne postaci symetrii. Pierwsza z nich to symetrie czaso-przestrzenne, takie jak np. symetria translacyjna lub rotacyjna. ( translacje i obroty czasoprzestrzenne ). Symetrie takie nazywają się zewnętrzne ( external symetries ) Przykładowo, inwariantność translacyjna prowadzi do zachowania pędu. Druga postać symetrii dotyczy wewnętrznych stopni swobody funkcji falowej. Przykładem może być inwariantność względem przekształceń fazowych ( tj.
pomnożenie funkcji falowej ψ przez wielkość eiα ). Takie symetrie nazywają się wewnętrznymi ( internal symetiries ) ( pod rozdział 1.4 ). Symetrie charakteryzują się również ciągłymi ( np. translacje ) i dyskretnymi ( np. odbicie przestrzenne względem początku współrzędnych ) przekształceniami. Symetrie ciągłe opisywane są liczbami
rzeczywistymi i prowadza do addytywnych liczb kwantowych, symetrie dyskretne opisywane są liczbami całkowitymi i generują multiplikatywne liczby kwantowe. Rozpatrzymy teraz pewne wielkości zachowane dokładniej.
1.3.1 Ładunek elektryczny Q.
Następstwem QED jest zachowanie ładunku elektrycznego q = e. Fakt ten prowadzi do stabilności elektronu, który w przeciwnym wypadku mógłby się rozpaść w następujący sposób :
e- → νe + γ (1.3)
e- →νe + νe + ν-
e (1.4)
Poszukiwania takich rozpadów można prowadzić np. na podstawie eksperymentów ukierunkowanych na ujawnienie podwójnego rozpadu β (* double beta decay experiments *) z pomocą detektorów germanowych ( podrozdział 2.5.2 ) Rozpad (1.3) charakteryzowałby się monoenergetycznym fotonem o energii 255 [keV], podczas gdy rozpad (1.4) w przypadku germanu sygnalizowany byłby sygnałem o energii 11 [keV].
Sygnał ten powodowany byłby przez kwanty rentgenowskie, emitowane przy zapełnieniu dziury, która tworzy się przy rozpadzie elektronu z powłoki K jądra atomowego (* K-shell ) Współczesne eksperymentalne ograniczenie na czas życia elektronu, określone z procesu (1.3) na poziomie wiarygodności (* confidence level C. L *), jest równy [ Bal93, Aha95 ]
τe > 3,7 • 1025 lat ( 68 % C. L. ) (1.5)
dla czysto neutronowego rozpadu (1.4) czas ten jest równy [ Reu91, Aha95 ] :
τe > 4,3 • 1023 lat ( 68 % C. L. ) (1.6)
Innym sposobem niezachowania ładunku może przejawiać się w jądrach. Zwykły rozpad β jest zabroniony dla dwóch jąder, których różnica mas jest mniejsza od masy elektronu, jednakże przejścia nie zachowujące ładunku, nie są wzbronione [Kuz66]. Przykładem może być układ 71Ga - 71Ge Rozpady takiego typu mają postać :
71Ga → 71Ge + X , gdzie X = γ, νν- + egzotyczne rozpady (1.7)
Jeśli interpretować wyniki otrzymywane z detektorów galowych neutrin słonecznych ( rozdział 12 ) pod kątem niezachowania ładunku, to dla tej pary izotopów można otrzymać następujący okres rozpadu połowicznego [ Bar80, Bal93 ] :
T½ = (71Ga → 71Ge ) > 2,4 • 1026 lat (1.8)
W zasadzie możliwość niezachowania ładunku elektrycznego może być ujawniona z pomocą pomiaru naładowania elektrostatycznego obiektów makroskopowych. Przykładowo, nieobserwowanie nadmiarowego ( w wyniku obecności protonów ) dodatniego ładunku Ziemi, powodowanego przez rozpady elektronów, nakładają ograniczenie na czas życie elektronu, niezależnie od kanału rozpadu [ Dol81] :
τe > 3 • 1021 lat (1.9)
Astronomiczne rozważania również dają ograniczenia na czas życia elektronu (τe > 1035 lat ), które o wiele rzędów wielkości przekraczają wartości, otrzymywane w eksperymentach laboratoryjnych. Jednakże i tutaj istnieje szereg charakterystycznych nieokreśloności [Ori85]. Istnieją poważne argumenty teoretyczne przeciwko niezachowaniu ładunku elektrycznego [Oku78]. Rozpad promieniotwórczy (1.3) musiałby być związany z katastroficznym promieniowaniem hamowania w postaci wiązki 1014 – 1021 fotonów.
(* Of course strong theoretical arguments exist against the non-conservation of electric charge [Oku78]. Radiative decay would be connected to catastrophic bremsstrahlung in the form of the emission of
1014 – 1021 photons *)
1.3.2 Parzystość P i sprzężenie ładunkowe C. (* Parity P and charge conjugation C *)
Parzystość P jest przykładem przekształcenia wewnętrznej symetrii dyskretnej. Przekształcenie parzystości P odpowiada odbiciu przestrzennemu współrzędnych stanu fizycznego względem początku współrzędnych. Dla skalarnej funkcji falowej, np. dla rozwiązania równania Schrödingera, mamy :
P ψ(x, t ) = ψ( -x , t ) (1.10)
Ponieważ P2ψ = ψ, wartościami własnymi ψ są albo π = + 1 ( parzystość dodatnia ), albo π = - 1 ( parzystość ujemna ).
Zatem, operator parzystości komutuje z operatorem kątowego momentu pędu (* angular momentum operator *) π = (-1)k , gdzie k – wartości własne kątowego operatora momentu pędu.
Z danych eksperymentalnych wynika, że parzystość jest zachowana w oddziaływaniach silnych i EM, przy tym cząstki posiadają również parzystość wewnętrzną ( zobacz np. [Qui83, Per87] ).
Przeprowadzone w 1956 roku badania rozpadu β dla kobaltu pokazały, że oddziaływanie słabe jest jedynym oddziaływaniem nie zachowującym parzystości. W celu uporządkowania w jednym kierunku spinów jąder tarczy kobaltowej 60Co, tarcza ta została umieszczona w polu magnetycznym przy temperaturze ok. 0,01 [K].
Badano rozkład kątowy elektronów, emitowanych przy rozpadzie danego izotopu [Wu57]. Obserwowana intensywność miała rozkład kątowy w postaci :
I(θ) = 1 + δ( σσσσ p /E ) = 1 + δ(v/c ) cos(θ ) (1.11)
Gdzie : θ - kąt między skierowaniem spinu jądra i kierunkiem emisji elektronu.
Badając ten rozkład dla obu możliwych kierunków spinu jądra 60Co, względem pola magnetycznego można się przekonać, że elektrony emitowane są częściej w kierunku przeciwnym do kierunku spinu jądra, skąd wynika, ze dla elektronów δ = - 1. Otrzymany wynik stanowi proste wskazanie na niezachowanie przestrzennej parzystości, ponieważ wartość średnia wielkości pseudoskalarnej jest różna od zera. W tym bowiem przypadku szukana wielkość ma postać:
∆(θ ) = λ(θ) – λ( 180° – θ ) (1.12)
gdzie : λ(θ ) – prawdopodobieństwo tego, ze pęd elektronu skierowany jest pod kątem θ względem spinu jądra z którego był wyemitowany elektron.
Operator parzystości zmienia kierunek pędu, pozostawiając spin jądra niezmieniony. Przy tym kąt :
θ → 180° – θ (1.13)
tak, że :
∆(θ ) → λ(180° – θ ) – λ[ 180° – ( 180° – θ )] = −∆(θ ) (1.14) Ponieważ elektrony emitowane są częściej w kierunku przeciwnym do kierunku spinu, można wnioskować, ze wartość średnia wielkości pseudoskalarnej ∆(θ ) jest różna od zera.
Ponieważ pęd zmienia swój kierunek przy przekształceniu parzystości, a spin nie, lewo spolaryzowane cząstki zmieniają się na prawo spolaryzowane i odwrotnie :
P | eL > = | eR > (1.15)
P | eR > = | eL > (1.16)
Lewa i prawa polaryzacja określone są tutaj poprzez kierunek spinu względem kierunku pędu. Wartość średnia spinu w kierunku pędu określana jest mianem skrętności h o operatorze skrętności :
h = σσσσ p / | p | (1.17)
Dla elektronów skrętność jest równoważna ich polaryzacji podłużnej, tj. h = - v/c. Operator skrętności h nie jest relatywistycznie inwariantny dla cząstek masywnych. Jednakże skrętność jest zachowana dla bezmasowego neutrina i antyneutrina. W tym przypadku operator skrętności h ma wartości własne h = - 1 i h = + 1.
Zatem, dzięki oddziaływaniu słabemu w przyrodzie istnieje fundamentalna asymetria między prawym i lewym.
W istocie parzystość jest maksymalnie naruszona ponieważ istnieje tylko lewe neutrino, a prawego się nie obserwuje.
Operacja sprzężenia ładunkowego C, zastosowana do funkcji falowej ψ, zmienia wszystkie związane z nią ładunki, tj.
wszystkie addytywne liczby kwantowe, jednakże pozostawia niezmienione takie wielkości jak pęd i spin.
Dlatego też sprzężenie ładunkowe przeprowadza cząstkę w odpowiadającą jej antycząstkę i odwrotnie :
C | eL− > = | eL− >C = | eL+ > (1.18)
Oddziaływania słabe nie są inwariantne względem sprzężenia ładunkowego. Dlatego przy rozpadzie β emitowane są częściej lewo spolaryzowane elektrony i prawo spolaryzowane pozytony. Osobną rolę odgrywa tutaj neutrino.
Eksperymentalnie obserwuje się tylko lewe neutrino tj. neutrino o spinie skierowanym przeciwnie do kierunku ruchu.
Neutrino to oznacza się jako νL. Prawe neutrino ( jego spin pokrywa się z kierunkiem ruchu ) jak dotąd nie zostało zaobserwowane. W przypadku antyneutrina sytuacja jest dokładnie odwrotna. Zaobserwowane były tylko prawe antyneutrina νR−. Ściśle mówiąc, prawe antyneutrino νR− nie jest cząstką ładunkowo sprzężoną do lewego neutrina.
Cząstka ładunkowo sprzężona powinna pozostawać lewą :
( νL )C ≠ νR− (1.19)
ponieważ zarówno spin jak i pęd nie zmieniają się przy sprzężeniu ładunkowym.
W istocie cząstka i antycząstka związane są ze sobą operacją CP-sprzężenia :
( νL )CP = νR− (1.20)
Można to interpretować na dwa różne sposoby :
1. Neutrino pokrywa się ze swoją ładunkowo-sprzeżoną cząstką :
( νL )C = νL , ( νR− )C = νR− (1.21)
Wtedy dwa stany νL i νR− tworzą neutrino Majorany. Przykładami innych cząstek tożsamych ze swoimi stanami ładunkowo-sprzężonymi są foton i mezon π0.
2. Wszystkie cztery stany są niezależne od siebie , zarówno ( νL )C jak i ( νR− )C są nowymi, jeszcze nie zaobserwowanymi cząstkami, dlatego :
( νL )C ≠ νL , ( νR− )C ≠ νR− (1.22)
W tym przypadku mówimy o neutrinie Diraca. Opis Majorany jest możliwy tylko dla neutrin, ponieważ wszystkie inne fermiony podstawowe mogą być łatwo rozróżnione jako cząstki lub antycząstki dzięki swoim ładunkom elektrycznym ( rys. 1.6 ). Na pytanie o to jaka z tych dwóch możliwości może być zastosowana w rzeczywistości, odpowiedź może zostać udzielona tylko na podstawie danych eksperymentalnych z użyciem bez neutrinowego podwójnego rozpadu β, ponieważ proces ten jest możliwy tylko dla neutrina Majorany [Gro89, gro90, Kay89, Boe92, Kla95].
(*The question as to which of the two possibilities actually applies to the neutrino could be solved from experimental data on neutrinoless double beta-decay, since this process is only possible for Majorana neutrinos
(see for example [Gro89, Gro90, Kay89, Kla95]). *)
Rys. 16. Rozróżnienie miedzy neutrinem Diraca a neutrinem Majorany. Precesja w polach E, B wraz z
CPT-twierdzeniem dla lewych neutrin prowadzi do czterech różnych stanów w przypadku neutrin Diraca a), podczas gdy dla neutrin Majorany mamy tylko dwa stany b). W granicy neutrin bezmasowych oraz bez uwzględnienia prawych słabych prądów nie można odróżnić neutrina Diraca od neutrina Majorany [Boe92].
1.3.3 CP-sprzężenie.
1.3.3.1 CP-inwariantność.
Podczas gdy P- i C- operacje nie są zawsze zachowane oddzielnie, ich kombinacja ( jak się wydaje ) jest zachowana.
Rozpatrzmy reakcje :
π+ → e+ νeL (1.23)
Sprzężenie ładunkowe daje :
π- → e− ( νeL )C (1.24)
przy tym przyjmujemy obecność lewego antyneutrina.
Rozpad (1.24) do tej pory nie został zaobserwowany. Obserwowalny kanał rozpadu można otrzymać tylko po zastosowaniu do (1.24) przekształcenia parzystości :
π- → e− νeR− (1.25)
Wszystkie oddziaływania zachowują CP-inwariantność ściśle, za wyjątkiem oddziaływania słabego, dla którego ( do chwili obecnej ) ujawniono niezachowanie CP tylko w układzie neutralnych K-mezonów.
1.3.3.2 CP-naruszenie.
Układ neutralnych K-mezonów składa się z K0-mezonu ( skład kwarkowy ds− ) oraz jego antycząstki K0− ( sd− ).
Mezony K0 i K0− mogą być kreowane przez oddziaływanie silne jako dwa absolutnie różne stany z zachowaniem S ( zapachu, związanego z kwarkiem s ; zobacz podrozdział 1.3.5 )
Mezon K0 kreowany jest przez proces :
π− + p → Λ + K0 , S = 0 + 0 → − 1 + 1 (1.26) Podczas, gdy mezon K0− kreowany jest przez proces :
π− + p → K0− + Λ− + 2n , S = 0 + 0 → − 1 + 1 + 0 (1.27) Zatem, istnieją dwa różne kaony neutralne o dziwności + 1, - 1.
Kaony, swobodnie propagują się w przestrzeni i mogą się rozpadać w wyniku oddziaływania słabego z ∆S = 1 na dwa typy pionów. Jednocześnie mogą one przekształcać się w siebie za pośrednictwem wirtualnych stanów pionowych, tak , że :
(*There are therefore two clearly distinguishable neutral kaons with strangeness +1 and -1. Kaons propagating freely in space can decay via the weak interaction with ∆S = 1 into 2 or 3 pions. At the same time however they can also convert into one another through virtual pion states so that: *)
W tym procesie dziwność zmienia się o dwie jednostki. Takie oscylacje dziwności dopuszczalne są w drugim rzędzie teorii zaburzeń względem oddziaływania słabego. Mezony K0 i K0− nie są stanami własnymi przy
CP-przekształceniach, ale są one związane przez :
czynnikami fazowymi η, η’. Jednakże z pomocą kombinacji liniowych tych stanów można utworzyć dwa CP-stany własne ( K1 i K2 ) z dobrze określonymi własnościami własnymi CP :
Stan CP = +1 związany z rozpadem na dwa piony, ponieważ mają one również CP = +1, podczas gdy stan trój pionowy ma zwykle CP = -1 ( trój stanowy stan z CP = -1 jest kinematycznie bardzo wygodny ).
W wyniku większej objętości przestrzeni fazowej 2π-rozpadu, stan K1 ma czas życia, równy 0,9 • 10-10 [s], a stan K2 0,5 • 10-7 [s]. W 1964 roku zostało doświadczalnie sprawdzone, że stan K2 może rozpadać się również na dwa piony, co jest możliwe tylko przy naruszeniu symetrii CP (* CP violation *) [Chr64 ].
Obserwowane cząstki tylko w przybliżeniu pokrywają się ze stanami CP-własnymi, dlatego obserwowane stany KS ( ≈ K1 ) i KL ( ≈ K2 ) musza być określone w następujący sposób :
CP-naruszenie wywoływane przez takie pomieszanie, parametryzowane jest za pomocą wielkości ε. W charakterze miary CP-naruszenia można wykorzystać stosunek amplitudy rozpadu kaonów na naładowane piony [Per87, PDG96 ]:
Analogiczna zależność otrzymywana jest dla K0-rozpadu na dwa neutralne piony i jest charakteryzowana przez wielkość η00. Użytecznie będzie zapisać zespolone amplitudy w postaci :
η+- = | η+- | eiΦ+- oraz η00 = | η00 | eiΦ00
Pomiary eksperymentalne zespołu E731 Fermilab [ Woo88a] oraz zespołu NA31 CERN [ Car90, Bar93b ] pokazały [Woo88, Bur 88 ], że :
Parametr ε w równaniach (1.33) i (1.34) wraz z parametrem ε’, zdefiniowanym poniżej, może być związany z η za pośrednictwem zależności :
η+- = ε + ε’ , η00 = ε - 2ε’ (1.38) Skąd możemy wnioskować, że ( zobacz np. [Com83] ) :
Wszystkie dane eksperymentalne są zgodne z :
| ε | = ( 2,26 ± 0,02 ) • 10-3
podczas, gdy wartość ε’ jest nieco bardziej nieokreślona [ Bar93b, Gib93] :
Różna od zera wartość ε’ oznaczałaby, ze CP-symetria naruszana jest bezpośrednio w rozpadzie tj. w procesach ∆S = 1, niezależnie od obecności mieszania [Com83].
Dalsze eksperymenty, takie jak KLOE w ϕ-fabryce (* ϕ-facotry *), NA48 CERN lub E832 Fermilab, powinny o rząd wielkości zmniejszyć czułość pomiaru [ For95].
Czy możliwe są oscylacje w innych układach mezonowych, zawierających ciężkie kwarki, takie jak np. układ D0 – D-0 ? Można pokazać, że oczekiwany wynik w takim układzie jest dużo mniejszy niż w K0- układzie [ Oku82, For95 ].
Jednakże w układzie B0 – B-0 ( B-mezony zawierają b-kwark ) zostały odkryte złożone efekty oscylacyjne [Alb87], odpowiadające oscylacji liczby kwantowej b o dwie jednostki. Istnieją dwa różne neutralne mezony :
B0d (bd- ) i B0
s (bs- )
Rozpatrując na początku B0d oraz stosunek amplitudy :
gdzie l i X oznaczają odpowiednio leptonowy i hadronowy stan końcowy, dla stosunku : r = χd / 1 – χd
następujące eksperymentalne wyniki [ Bar93c, Alb94 ]:
r = 0,16 ± 0,08 (ARGUS ) , r = 0,149 ± 0,045 (CLEO) (1.43)
Dane wzięte są przy energii ¥(4S)-rezonansu ( stan związany bb- układu przy 10,6[GeV] ).
W rzeczywistości wielkość r otrzymuje się dowolnie dużą [Sch89]. Na rysunku 1.7 pokazano całkowicie zrekonstruowane zdarzenie, w którym dwa B0-mezony rejestrowane są częściej, niż para B0-B-0.
Z doświadczeń na LEP [For95], gdzie mierzono dwa neutralne B-mezony ( B0d i B0
s ) otrzymano nowa informacje o modelu standardowym i elementach macierzy Cabbibo-Kobayaschi-Maskawy ( CKM matrix )
( zobacz podrozdział 1.5.2 )
Rys. 1.7 Widok w pełni zrekonstruowanego zdarzenia z rozpadu bb- –układu ¥(4S) → B0B0 zarejestrowanego w DESY na detektorze ARGUS. Zdarzenie to wynika z oscylacji stanu końcowego B0B-0
[ Alb87].
Teoretyczne wyjaśnienie CP-naruszenia związane jest z pewnymi trudnościami. Jednym z możliwych źródeł CP-naruszenia w modelu standardowym jest obecność zespolonej fazy macierzy CKM ( zobacz podrozdział 1.5.2 i [Jar89] ). Unitarność tej macierzy prowadzi do zależności między jej elementami postaci L
V*ub Vud + V*cb Vcd + V*tb Vtd = 0 (1.44)
Jako geometryczna ilustracja zależności (1.44) na płaszczyźnie zespolonej służy trójkąt unitarności ( rys. 1.8 ) (* unitarity triangle *) Badanie różnych B-rozpadów pozwala określić poszczególne elementy CKM macierzy i wnioskować o możliwości wyjścia poza model standardowy ( zobacz podrozdział 1.5.2 i rozdział 2 )
W modelu standardowym przewidywania dla CP-naruszenia w rozpadzie B-mezonu neutralnego są jednoznacznie określone przez trzy kąty : α, β , γ
W eksperymencie HERA-B ( Hamburg ) [ Her94] w pe-pierścieniu akumulującym HERA (* ep-storage ring HERA *) Przewiduje się badanie reakcji B → J/Ψ + KS i jako tego następstwo pomiar kąta β.
W najbliższej przyszłości istnieje nadzieja, ze dzięki zbudowaniu B-fabryki w SLAC ( Stanford, California ; doświadczenie BaBar [ Bab95] ) i w KEK ( Japonia , doświadczenie Belle [ Bel95b] ), które to będą produkowały ogromne ilości B-mezonów, badanie B-układów da nam dużo cennych informacji zarówno o oscylacjach zapachów kwarków, jak i możliwości CP-naruszenia ( zobacz np. [ Nir92] )
Rys. 1.8 Trójkąt unitarności przedstawia elementy macierzy CKM na płaszczyźnie zespolonej. Pokazano dwa słabo określone elementy Vub i Vtd (* porly determined elements *). Kąt β jest pierwszym kątem, który powinien być określony z doświadczenia [ Nir92].
1.3.4 Odwrócenie czasu T i twierdzenie CPT.
Jeszcze jedną operacją symetrii jest odwrócenie czasu. Wynik działania operacji T na funkcje falową zawiera się w następującej relacji :
Tψ(x , t ) = ψ( x ,-t ) (1.45)
Operacje tą można porównać z pokazem filmu od tyłu, co przejawia się np. w odwróceniu wszystkich pędów. Jednym z następstw odwrócenia czasu jest „zasada szczegółowej równowagi” (* principle of detailed balance *), która mówi, że przy określonych, nadzwyczaj ogólnych warunkach elementy macierzowe pewnej reakcji są całkowicie tożsame z elementami macierzowymi reakcji, odwróconej w czasie do danej ( zobacz np. [Mui65, Heu76] ).
Jednym z najważniejszych i ogólnych twierdzeń współczesnej teorii kwantowej jest twierdzenie CPT mówiące o inwariantności względem kombinacji trzech operacji symetrii dyskretnych : C, P, T [ Lud54, Lud57, Str64, Fon70, Lan75, Itz85 ]. Warunki leżące u podstaw dowodu twierdzenia CPT, są na tyle uniwersalne, ze do tej pory nie istnieje teoria, która by nie spełniała tego twierdzenia. Wyniki CPT-inwariantności przejawiają się m.in. w równości mas i czasów życia cząstek i antycząstek, jak również w ich równym co do modułu, ale przeciwnego znaku momentów magnetycznych ( tabela 1.4 )
Tabela 1.4 Zachowanie niektórych ważnych wielkości fizycznych pod działaniem P-, C- i T-przekształceń.
Do chwili obecnej ścisłe sprawdzenie CPT-inwariantnosci wynika z ograniczeń na różnicę mas K0 i K-0-mezonów [ PDG96]. Niedawno w LEAR potwierdzono, że stosunek mas protonu i antyprotonu jest równy z dokładnością do 10-9 [Gab95]. W tabeli 1.5 pokazano liczby kwantowe, które są zachowane w konkretnych oddziaływaniach.
Tablica 1.5 Krótkie zestawienie praw zachowania
Póki co nie istnieją proste dowody T-naruszenia, pośrednio można o tym sądzić tylko z CP-naruszenia w K-rozpadzie.
Prostym następstwem zarówno T- jak i P-naruszenia może być ujawnienie różnego od zera elektrycznego momentu neutronu, który generowany byłby asymetrycznym rozkładem dodatniego i ujemnego ładunku w neutronie.
Naturalnie wyróżniony kierunek izolowanego spoczywającego neutronu pokrywa się z kierunkiem jego spinu s, który Mógłby służyć jako oś dla możliwego momentu dipolowego dN.
Energia oddziaływania dipolu z polem zewnętrznym Hin ma postać :
Hin = dN E ∝ sE (1.46)
P-przekształcenie prowadzi do zamiany ( s ,E ) → ( s , -E ), T-przekształcenie do zamiany ( s ,E ) → ( -s , E ) i jako następstwo, do zmiany energii oddziaływania. Jednakże póki co, taki moment dipolowy nie został ujawniony.
Eksperymentalna wartość jego górnej granicy * zobacz rozdział 11 ), to :
dN < 1,2 • 10-25 [ e cm ] (1.47) CP-naruszenie, ustanowione w K0-układach i jego realizacja w modelu standardowym również dopuszcza istnienie momentu dipolowego. Jednakże jego wartość [Wol86, He89] zawiera się w przedziale :
dN ≈ 10-31 – 10-33 [ e cm ] (1.48)
1.3.5 Liczba barionowa B.
Addytywna liczba kwantowa B do tej pory nie jest związana z żadną fundamentalna symetrią i dlatego jest całkowicie możliwe, że w istocie nie jest ona zachowana. Każdemu barionowi przypisuje się liczbę barionową +1, a każdemu antybarionowi liczbę – 1; leptony i mezony mają liczbę barionową równą 0. Liczba barionowa kwarków jest równa 1/3.
Dla każdego aromatu kwarkowego istnieje oddzielna liczba kwantowa ( tablica 1.1 ) , tj. dziwność S ( S = -1 dla s-kwarka, S = +1 dla s- i S = 0 dla wszystkich pozostałych kwarków ), powab C ( C = + 1 dla c-kwarka , C = -1 dla c- ), powab B ( B = - 1 dla b-kwarka , B = +1 dla b- ), piękno T ( T = +1, dla t-kwarka, T = -1 dla t- ).
Eksperymenty związane z poszukiwaniem oscylacji neutron-antyneutron ( ∆B = 2 ) oraz rozpadem protonu ( ∆B = 1 ) są ukierunkowane właśnie na ujawnienie niezachowania liczby barionowej. Do tej pory nie otrzymano żadnej wskazówki dotyczącej niezachowania liczby barionowej ani w eksperymentach oscylacyjnych z granicą na okres oscylacji τnn- > 108 [s ] [ Bal94a], ani w eksperymentach związanych z poszukiwaniem rozpadu protonu z granicą na czas życia protonu : τp > 2,9 • 1033 lat [ Vir99] ( zobacz również rozdział 2).
1.3.6 Liczba leptonowa L.
Liczba leptonowa jest również addytywną liczbą kwantową i póki co nie może być związana z jakąś fundamentalną symetrią. Każdy zapach posiada własną liczbę leptonową : Le , Lµ , Lτ
Istnieje również całkowita liczba leptonowa L = Le+ Lµ + Lτ .
Każdemu leptonowi przypisuje się liczbę kwantową +1 ,a każdemu antyleptonowi liczbę – 1. Do tej pory nie istnieje dowód naruszenia zarówno całkowitej, jak i każdej z osobna liczba leptonowych.
Klasycznym testem na zachowanie oddzielnych liczba leptonowych jest reakcja wychwytu (* capture reaction *) :
W tym procesie nie zachowane są liczby kwantowe Le i Lµ , ale niezmienna pozostaje całkowita liczba leptonowa.
Drugim testem naruszenia każdej liczby leptonowej oddzielnie jest poszukiwanie oscylacji neutrina tj. przejść wzajemnych różnych zapachów neutrinowych. Obecnie takie eksperymenty odgrywają ważną rolę w fizyce neutrin, ponieważ podobne oscylacje przedstawiają sobą możliwe rozwiązanie tzw. problemu neutrin słonecznych ( rozdział 12 ) Jak już wspominaliśmy wcześniej, następującymi procesami zachodzącymi z naruszeniem liczby leptonowej L, są rozpady protonu :
p → π0 + e+ ⇒ ∆L = - 1 (1.49)
oraz bezneutrinowy podwójny rozpad B (* neutrinoless double beta-decay *) :
AZ X → AZ+2 X + 2e- ⇒ ∆L = 2 (1.50)
Procesy te póki co nie zostały potwierdzone doświadczalnie ( rozdział 2). Jednakże w niektórych teoriach wielkiej unifikacji ( rozdział 2) liczby kwantowe L i B nie powinny być zachowane w oddzielności, a tylko jako różnica B – L [Moh88]. W takim przypadku rozpad protonu jest możliwy, podczas gdy bezneutrinowy podwójny rozpad βna mocy niezachowania różnicy B- L jest wzbroniony. Inne teorie przewidują zachowanie nie oddzielnych liczb leptonowych, a ich różnych kombinacji np. Le – Lτ [Lan88]. W celu sprawdzenia takich przewidywań konieczne jest przeprowadzenie doświadczeń oscylacyjnych.
1.4 Teorie z cechowaniem.
Wszystkie współczesne teorie cząstek elementarnych są teoriami z cechowaniem. Wymienimy tylko podstawowe charakterystyki takich teorii bez ich dokładnego omawiania. Teoretyczne aspekty, taki jak np. renormalizacja parametrów, otrzymywanie diagramów Feynmana, anomalie trójkątne itp. Nie będą omawiane. Zainteresowanego czytelnika odsyłamy do literatury [Qui83, Hal84, Ait89, Don92].
Tym niemniej ważne jest zrozumienie, ze aspekty te tworzą pewna część fundamentu na jakim zbudowano teorie z cechowaniem. Absolutnym wymogiem dla takich teorii jest ich renormalizowalność. Renormalizowalność
podstawowych parametrów teorii jest konieczne dla otrzymania związku między obliczeniami a wielkościami
mierzonymi eksperymentalnie. Teorie nierenormalizowalne, które po wszystkich próbach ich renormalizacji zawierają człony rozbieżne, nie są użyteczne.
Nadzwyczaj ważnym wydaje się fakt, że teorie z cechowaniem są zawsze renormalizowalne, jeśli tylko bozony cechowania są bezmasowe [ t’Ho72, Lee72]. Tylko po dowodzie tego faktu teorie te mogły stać się kandydatami do opisu oddziaływań. Jak dobrze wiadomo, OTW jest teorią nierenormalizowalną, co sprawia iż budowa kwantowej teorii grawitacji jest zadaniem bardzo trudnym; rozwiązanie tego problemu może zostać znalezione w ramach teorii superstrun (rozdział 2). Następnym problemem tej teorii jest nie występowanie w niej anomalii. Sens anomalii w tym kontekście polega na tym, że klasycznej inwariantność równań ruchu lub, co równoważne lagranżjan w kwantowej teorii zaburzeń nie istnieje. Przyczyna tego wiąże się z niemożliwością w danym przypadku wprowadzenia odpowiedniej procedury renormalizacyjnej.
(*
All modern theories of elementary particles are gauge theories. We will therefore attempt to indicate the fundamental characteristics of such theories without going into the details of a complete presentation. Theoretical aspects such as renormalization, the derivation of Feynman graphs or the triangle anomalies will not be discussed here and we refer to standard textbooks such as [Qui83, Hal84, Ait89, Don92]. However, it is important to realise that such topics do form part of the fundamentals of any such theory. One absolutely necessary requirement for such a theory is its
renormalizability. Renormalization of the fundamental parameters is necessary to produce a relation between calculable and experimentally measurable quantities. Non-renormalizable theories which after all attempts of renormalization still contain divergent terms are not useful. The fact that it can be shown that gauge theories are always renormalizable, as long as the gauge bosons are massless, is of fundamental importance [t'Ho72, Lee72]. Only after this proof did gauge theories become candidates to model interactions. One well known non- renormalizable theory is the general theory of relativity. This behaviour makes he construction of a quantum theory of gravity very difficult; a solution to this
may be beginning to emerge in terms of superstring theories (see chapter 2). A further aspect of the theory is Ms freedom from anomalies. The meaning of anomaly in this context is that a classical invariance of the equations of motion, or equivalently the Lagrangian, no longer exists in quantum field theoretical perturbation theory. The reason for this arises from the fact that in such a case a consistent renormalization procedure cannot be found.
*)
1.4.1 Zasada cechowania.
Zasada cechowania może być wyjaśniona na przykładzie elektrodynamiki klasycznej. U jej podstaw leżą równania Maxwella, a wielkościami mierzalnymi są pola – elektryczne i magnetyczne, które można przedstawić jako składowe tensora natężenia pola Fµν = ∂µ Aν – ∂ν Aµ Czteropotencjał A ma postać A = ( ϕ, A) skąd natężenia pola możemy obliczyć następująco :
E = -∇ϕ – ∂tA , B = ∇ × A
Wszystkie wielkości mierzalne pozostają inwariantne względem przekształcenia potencjału :
ϕ’( t, x ) = ϕ(t, x ) + ∂tρ(t, x ) (1.51)
A’(t, x ) = A(t, x ) + ∇ρ(t, x ) (1.52)
Jeśli funkcja ρ(t, x ) jest różniczkowalna i rzeczywista. Ustalenie konkretnych wartości ϕ i A w celu, np. uproszczenia równań ruchu nazywa się ustaleniem cechowania.
W teoriach z cechowaniem swoboda w wyborze cechowania pewnych wielkości staje się częścią zasady cechowania.
Obecność i charakter oddziaływań określone są poprzez wymóg ustalenia pewnego cechowania dla fizycznie nieobserwowalnych wielkości. Wewnętrzna struktura przekształcenia cechowania zadana jest przez grupę symetrii.
Do tej pory znaczny sukces teorii z cechowaniem stanowi o ich ogromnym uprawomocnieniu, chociaż to oczywiście nie wyklucza zamiany zasady cechowania na jakąś bardziej fundamentalną zasadę. Przykładowo w teoriach Kaluzy-Kleina próbuje się sprowadzać wszystkie oddziaływania do zasad geometrii różniczkowej [Kal21, Kle26, Appp87], będącej do tego podstawą OTW. Jednakże w tym celu wymagane jest rozpatrywanie przestrzeni geometrycznych o większych wymiarach ( zobacz również [Col89, Kla95] ).
1.4.2 Globalne symetrie wewnętrzne.
Symetrie wewnętrzne dzielimy na dyskretne i ciągłe. Teraz omówimy symetrie ciągłe. W MQ stan fizyczny opisywany jest przez funkcje falową ψ(x, t). Jednakże wielkość mierzalna określona jest przez kwadrat modułu funkcji falowej. To oznacza, ze zarówno funkcja ψ(x, t) jak i funkcja :
ψ’(x, t) = exp(-iα ) ψ(x, t) (1.53)
są rozwiązaniami równania Schrödingera. ( α - liczba rzeczywista ).
Taka symetria nazywa się symetrią globalną, ponieważ α nie zależy ani od współrzędnej czasowej , ani przestrzennej.
Rozpatrzmy funkcje falową cząstki naładowanej, np. elektronu. Relatywistycznym równaniem ruchu dla elektronu jest równanie Diraca :
iγµ ∂µψe(x, t ) – m ψe(x, t) = 0 (1.54)
Inwariantność równania (1.54) względem przekształcenia globalnego :
ψ’e(x, t ) = exp(ieα ) ψe(x, t ) (1.55)
jest oczywista :
W miejsce symetrii równań ruchu dogodniej jest jednak rozpatrywać symetrię gęstości lagranżjanu £. Równania ruchu teorii otrzymywane są z gęstości lagranżjanu £( ϕ, ∂µϕ ) na podstawie zasady najmniejszego działania [Fey65].
Dla przykładu rozpatrzymy rzeczywiste pole skalarne ϕ(x). Gęstość lagranżjanu dla tego pola ma postać :
£( ϕ, ∂µϕ ) = ½ ( ∂µϕ ∂µϕ – m2ϕ2 ) (1.56)
Z wymogu stacjonarności działania S :
δS[x] = 0 , S[x] = ∫ £( ϕ, ∂µϕ ) dx (1.57)
otrzymujemy równania ruchu :
∂α [ ∂£/∂(∂αϕ ) ] – ∂£/∂ϕ = 0 (1.58)
Gęstość lagranżjanu jest względnie prosta i pozwala zobaczyć określoną symetrię danej teorii. W przypadku ogólnym można pokazać, ze inwariantność pola ϕ(x) względem pewnych przekształceń symetrii prowadzi do zachowania 4-prądu
∂α [ ( ∂£/∂(∂αϕ ) ) δϕ ] = 0 (1.59)
Stwierdzenie to znane jest jako twierdzenie Noether [Noe18]. Z twierdzenia tego wynika, że zachowanie energii, pędu i momentu pędu jest następstwem odpowiednio inwariantności – translacyjnej (* w czasie i przestrzeni *), rotacyjnej.
Dalej rozpatrzymy symetrie lokalne, które różnią się tym, że α w równaniu (1.53) nie jest wielkością stałą, a zależy od współrzędnych przestrzennych i czasowej.
1.4.3 Symetrie lokalne ( lub cechowania )
Symetria jest lokalną, jeśli wprowadzamy zależność przestrzenną i czasową α. Oczywiście, że przy przekształceniach funkcji falowej :
ψ’e (x ) = exp(-ieα(x) ) ψe(x ) (1.60)
równanie Diraca (1.54) nie pozostaje inwariantne :
iγµ ( ∂µ – m ) ψ’e(x ) = exp( ieα(x) ) [ ( iγµ ∂µ – m ) ψe(x ) + e( ∂µ α(x )) γµ ψe(x )] =
= e( ∂µ α(x)) γµ ψ’e(x ) ≠ 0
Zatem, pole ψ’e (x ) nie jest rozwiązaniem swobodnego równania Diraca. Pierwotna symetria może być przywrócona, jeśli skompensujemy dodatkową składową. Osiągamy to poprzez wprowadzenie pola cechowania Aµ, które przekształca się w taki sposób, aby skracać dodatkowe składowe.
Inwariantność może być przywrócona jeśli pochodne cząstkowe ∂µ zamienimy na pochodną kowariantną Dµ :
Dµ = ∂µ – ieAµ (1.61)
Wtedy równanie Diraca możemy zapisać następująco :
iγµ Dµψe(x ) = iγµ ( ∂µ – ieAµ ) ψe(x ) = m ψe(x ) (1.62)
Wykorzystując przekształcone pole ψ’e(x ), łatwo zauważyć, że inwariantność równania Diraca jest przywrócona, jeśli pole cechowania przekształca się następująco :
Aµ → Aµ + ∂µ α(x ) (1.63)
Równania (1.60) I (1.63) zadają przekształcenia funkcji falowej i pola cechowania i dlatego nazywają się przekształceniami cechowania. Cała elektrodynamika opisywana jest w podobny sposób tj. jako inwariantność lagranżjanu £ lub, co równoważne – jako inwariantność równań ruchu względem przekształceń fazowych.
Ładunek elektryczny e pojawia się tutaj w charakterze wielkości zachowanej. Odpowiednia teoria nazywa się Elektrodynamiką kwantową (QED), dzięki swojemu postępowi stała się ona jaskrawym przykładem teorii z
cechowaniem. W fizyce klasycznej Aµ przedstawia sobą klasyczny potencjał wektorowy. Pole cechowania wiążemy z fotonem, odgrywającym rolę cząstki pośredniczącej. Oprócz tego ujawniono, że we wszystkich teoriach z cechowaniem pola cechowania powinny być bezmasowe. Dowolna masa pojawia się w wyniku mechanizmu zwanego jako
spontaniczne naruszenie symetrii. Omawiany tutaj przykład odpowiada elektrodynamice jako teorii z cechowaniem. Z punktu widzenia teorii grup pomnożenie przez czynnik fazowy opisuje przekształcenie unitarne, w omawianym
przypadku jest to przekształcenie należące do grupy U(1). Grupa ta posiada jeden generator. Zasadę cechowania możemy łatwo uogólnić na przypadek abelowych grup cechowania, których generatory komutują ze sobą. Przypadek grup nieabelowych oraz opartych na nich nieabelowych teorii cechowania ( teorii Yanga-Millsa ) [Yan54] jest bardziej złożony.
1.4.4 Nieabelowe teorie cechowania ( teorie Yanga-Millsa ) (* teorie YM *)
Nieabelowość danej grupy oznacza, że jej generatory nie komutują ze sobą, ale spełniają określone zależności komutacyjne. Przykładem mogą być zależności komutacyjne spinowych macierzy Pauliego σi :
[ σi , σj ] = iħ σk (1.64)
( są to generatory grupy SU(2) )
W przypadku ogólnym grupa SU(N) posiada N2 – 1 generatorów. Reprezentacją grupy SU(2) są wszystkie macierze unitarne 2 × 2 o wyznaczniku równym 1.
W charakterze przykładu rozpatrzymy elektron i neutrino. Za wyjątkiem ładunków elektrycznych i mas te dwie cząstki zachowują się jednakowo względem oddziaływania słabego i możemy zapisać następujące przekształcenia :
( ψe(x ) )’ = U(x) ( ψe(x ) ) (1.65)
( ψν(x ) )’ ( ψν(x ) ) gdzie macierz U ma postać :
U( a1, a2 , a3 ) = exp[ ½i ( a1σ1 + a2σ2 + a3σ3 )] = exp( ½i aσσσσ ) (1.66) Standardowo cząstki grupuje się w multiplety, w danym przypadku elektron i neutrino tworzą dublet. Prosta zamiana w równaniu Diraca pochodnej cząstkowej na pochodną kowariantną poprzez wprowadzenie pola cechowania Wµ(x) i liczby kwantowej g :
Dµ = ∂µ + ½ ig Wµ(x ) σσσσ (1.67)
Nie prowadzi do inwariantności względem cechowania !
Oprócz tego w wyniku niekomutowania generatorów pojawiają się dodatkowe składowe, co nie jest charakterystyczne dla oddziaływania EM.
Inwariantność osiągana jest tylko w wyniku następujących przekształceń pól cechowania ( zauważmy różnicę od (1.63) )
W’µ = Wµ + (1/g) ∂µ a(x ) – Wµ × a(x ) (1.68)
Niekomutowanie generatorów grupy prowadzi do tego, że cząstki pośredniczące, dzięki obecności dodatkowej składowej, posiadają własny „ładunek” ( w przeciwieństwie do elektrycznie neutralnego fotonu ). Oprócz innych
następstw prowadzi to do samodziałnia pól. W dalszej kolejności omówimy dokładniej nieabelowe teorie z cechowaniem oddziaływań elektrosłabego i silnego, które łączą się w ramach standardowego modelu fizyki cząstek elementarnych.
1.5 Model standardowy fizyki cząstek elementarnych.
Rozpatrzymy teraz pojęcie oddziaływania w ramach teorii z cechowaniem. Grawitacji nie będziemy omawiali, ponieważ do tej pory nie istnieje teoria z cechowaniem, która byłaby w stanie ją opisać. Nasze omówienie ma oczywiście
ograniczony charakter, w celu głębszej analizy tego zagadnienia należy sięgnąć po literaturę. [ Bec83, Hal84, Oku82, Ati89, Don92, Mar92].
Jak pokazano dalej, grupą leżącą u podstaw modelu standardowego jest grupa SU(3)⊗SU(2)⊗U(1).
1.5.1 Chromodynamika kwantowa.
1.5.1.1 Własności oddziaływania silnego.
Na początku omówimy oddziaływanie silne. Wcześniej siłę jądrową opisywano jako wymianę mezonów między protonem i neutronem. Obecnie przyjęto rozpatrywać oddziaływanie silne jako wymianę gluonów między kwarkami, a siły między jądrowe, pojawiają się w takim podejściu jako oddziaływanie typu sił van der Waalsa. W latach 50-tych w związku ze stale rosnącą liczbą odkrywanych „elementarnych” cząstek Gall-Mann i Zweig przedstawili nowy model [ Gel64, Zwe64].Założyli oni mianowicie, ze wszystkie cząstki uczestniczące w oddziaływani silnym, zbudowane są z elementarnych składowych – kwarków. W ramach tego modelu bariony składają się z trzech kwarków, a mezony z pary kwark – antykwark. Model ten z powodzeniem wytrzymał próbę czasu.
Ponieważ proton składa się z trzech tzw. kwarków walencyjnych (* valence qarks *), każdy kwark ma ładunek elektryczny będący krotnością 1/3. Kwarki u, c, t mają ładunek q = (2/3)e, a kwarki d, s, b – ładunek q = (-1/3)e.
Jednakże dla pełnego opisu Ω- -cząstki należało wprowadzić nową liczbę kwantową [Bar64]. W modelu kwarkowym Ω- -cząstka składa się z trzech kwarków s o spinach równoległych. To prowadzi do naruszenia zasady Pauliego, ponieważ kwarki są fermionami i mają jednakowe liczby kwantowe. Wprowadzanie nowej liczby kwantowej – koloru – w celach rozróżnienia kwarków pozwoliło rozwiązać ujawniony problem. Dalszy dowód istnienia koloru został uzyskany w eksperymentach na e+e- -kolajderach, (* zderzaczach *) gdzie została określona liczba różnych kolorów. Zakładając, ze wirtualny foton, pojawiający się przy anihilacji e+ i e- przekształca się w parę fermion –antyfermion, stosunek R przekroju reakcji e+e- → µ+µ- i e+e- → q-q- [ Per87, Pic95] można zapisać w postaci :
R = σ( e+e- → q-q- → hadrony )/ σ( e+e- → µ+µ- ) = ΣΣΣΣQq2 (1.69)
Qq oznacza ładunek kwarku w jednostkach ładunku elementarnego e.
Jeśli kwarki u, d, s, c, b dają wkład do stosunku R ( co jest możliwe przy energii wyższej od 10 [GeV] ), to dla kwarków niekolorowych należy oczekiwać :
R = (1/3 )2 + (1/3 )2 + (1/3 )2 + (2/3 )2 + (2/3 )2 = 11/9 (1.70) Jednakże jeśli dopuścić istnienie kilku kolorów, to wartość ta powinna być pomnożona przez ich liczbę ( dzięki
zwiększeniu liczby kanałów rozpadu w pary qq- ). Dla trzech kolorów otrzymujemy :
R = 3 • 11/9 = 11/3 (1.71)
Sytuacje eksperymentalną pokazuje rysunek 1.9.
Rys. 1.9 Stosunek R = σ( e+e- → q-q- → hadrony )/ σ( e+e- → µ+µ- ) jako funkcja energii środka masy E. Liczba aktywnych aromatów (zapachów ) kwarkowych określana jest z wysokości plato. Pokazano oczekiwaną wartość R dla trzech kolorów. Stopniowe zwiększanie R przy E = 4 [GeV] odpowiada przejściu przez próg kreacji kwarka c. Punkty odpowiadające mezonom wektorowym ρ, ω, φ, J/Ψ, Ψ , ¥ , ¥’ ,¥’’ wskazują na energie ich kreacji [Loh83].
Dla energii wyższych niż 10 [GeV] stosunek R ≈ 4, co dobrze zgadza się z hipotezą o istnieniu trzech kolorów. Kolory te znane są jako czerwony, zielony, niebieski.
„Swobodny” ładunek kolorowy nigdy nie został zaobserwowany ( wszystkie cząstki są bezbarwne ), podobnie jak i nie obserwowano kwarków swobodnych ( konfajment – uwięzienie kwarków ). Eksperymentalne poszukiwanie kwarków swobodnych nakierowane jest w pierwszej kolejności na detekcji ułamkowych (1/3) ładunków elektrycznych.
Badanie pod tym kątem meteorytów, osadów morskich oraz szeregu innych próbek dało ograniczenie na rozkład kwarków swobodnych nie przekraczające 5 • 10-27 kwarków na jądro [Smi89, Hom92].
Bariony składające się z trzech kwarków o różnych kolorach. Suma wszystkich trzech kolorów prowadzi do cząstki
„bezbarwnej” ( analogicznie do kolorów spektrum widma światła – suma poszczególnych składowych daje światło białe ). Mezony składają się z pary kwark –antykwark ( kolor i antykolor dają cząstki bezbarwne ). Z tego powodu cząstki pośredniczące (* exchange particles *) – gluony niosą dwa ładunki kolorowe ( kolor i anty kolor ). Z pomocą sześciu kwarków i trzech kolorów można opisać wszystkie chadrony. Kwarki przyjmuje się jako cząstki elementarne, ponieważ oddziałują one jak obiekty punktowe nawet przy najwyższych dostępnych na akceleratorach energiach.
Głęboko elastyczne rozpraszanie (* deep inelastic scattering *) leptonów na protonach i neutronach stanowi źródło informacji o rozkładzie kwarków i strukturze wewnętrznej protonu i neutronu ( zobacz np. [Hal84] ).
Na rysunku 1.10 pokazano zachowanie całkowitego przekroju głęboko nieealstycznego rozpraszania neutrinowo- nukleonowego, które to potwierdza hipotezę o punktowych kwarkach, ponieważ tylko w tym przypadku całkowity przekrój zależy liniowo od energii {prer87].
(* Figure 1.10 shows the behaviour of the total cross section for deep inelastic neutrino-nucleon scattering, which clearly supports the assumption of point-like quarks, as only in this case does the total cross section depend linearly on the energy *)
Struktura nukleonu, opisywana jest przez tzw. funkcje strukturalne i w chwili obecnej jest intensywnie badana na ep-pierścieniu akumulującym (* ep-storage ring *) akceleratora HERA [Aid96, Der95].
Jeden z detektorów uczestniczący w takich badaniach pokazano na rysunku 1.11.
Rys. 1.10 Całkowity przekrój rozpraszania neutrin i antyneutrin na nukleonach jako funkcja energii neutrin.
Stała wartość σ/Eν na odcinku więcej niż dwóch rzędów na skali energii jest prostą demonstracją obecności składowych punktowych wewnątrz nukleonu [per87].
Rys. 1.11 Detektor H1 na ep-pierścieniu akumulującym HERA. Detektor taki musi być w stanie rozpoznawać rozpraszany elektron i kwark, przy czym kwark przejawia się w postaci dżetu. Na rysunku pokazano kriostat z ciekłym kalorymetrem argonowym (* liquid argon calorimeter *), mierzący energię kreowanych cząstek. Kalorymetr otacza wewnętrzne komory śledzące (* inner tracking chambers *), konieczne dla pomiaru pędów cząstek.
Teoria z cechowaniem oddziaływań silnych nazywa się chromodynamiką kwantową (QCD ). Opiera się ona na inwariantności względem obrotów w przestrzeni kolorów, opisywanych przez grupę SU(3). W tym przypadku kwarki zestawiają tryplety i przekształcają się zgodnie z następującą zależnością :
( ψ1(x ) )’ = ( ψ1(x ) ) (1.72)
( ψ2(x ) )’ = U(x) ( ψ2(x ) ) ( ψ3(x ) )’ ( ψ3(x ) )
Macierz U(x) określona jest następująco :
U(x) = exp( - i ΣΣΣΣαł λł / 2 ) (1.73)
ł
gdzie wybór generatorów λł w reprezentacji macierzowej realizuje się poprzez tzw. macierze Gell-Manna :
