............. Systemy kolejkowe z priorytetami

(1)

D.

CZERWIŃSKA (Wrocław)

Systemy kolejkowe z priorytetami

(Praca ^przyjętado druku 10.4.1975)

Spis ^treści

1. ^Wstęp . . . . 5

2. Systemy z priorytetem zewnętrznym . . . 7

§ 2.1. System kolejkowy z priorytetem absolutnym 7

§ 2.2. Priorytet ^względny. . . 29

§ 2.3. Priorytet mieszany . . . 41

3. Systemy z priorytetem wewnętrznym 43

§ 3.1. Wymiana priorytetu . . . 43

§ 3.2. Priorytet dynamiczny 50

§ 3.3. Priorytety opóźniające-zależne 54

§ 3.4. Porównanie priorytetów zewnętrznych i wewnętrznych 59 4. Ogólne prawa dla systemów priorytetowych . . . 61

§ 4.1. Prawo zachowania Kleinrocka . . . 61

§ 4.2. Równanie funkcji tworzącej łącznych prawdopodobieństw długości kolejki 63

5. Uogólnienia . . . 64

§ 5.1. Wieloetapowa ^obsługaz priorytetem 64

§ 5.2. Systemy ze skończonymi źródłami 66

§ 5.3. Inne uogólnienia systemów z priorytetami 66

Prace cytowane . . . 67

1.

^Wstęp

Teoria kolejek z priorytetami stanowi obszerny

dział

ogólnej teorii kolejek.

Można myśleć

o

różnych

sposobach wykorzystania tej teorii w praktyce, np. w prze-

myśle,

w transporcie, przy kontroli zapasów, przez

odpowiednią interpretację

za-

łożeń

danego modelu.

Język używany

przy teoretycznych

rozważaniach

jest

^często

wzięty

z praktyki, tzn. z· modelu rzeczywistego. Bardzo wielu autorów od lat bada systemy kolejkowe z priorytetami. Obszerna literatura

dotycząca

tej problematyki

została

opracowana przez N. K. Jaiswala w monografii Priority queues z roku 1968

([25]). W roku 1973

ukazała się

monografia B. W. Gniedenki, E. A. Danieljana,

B. N. Dymitrowa, G. P. Klimowa i W. F. Matwiejewa Priorytetnyje systiemy

(2)

6 D. Cze r w i ń s k a

obsłużiwanija

([15]), która przedstawia problemy systemów kolejkowych z priory- tetami z innego punktu widzenia

niż

poprzednio wymieniona monografia. Obydwie monografie

dotyczą jednokanałowych

systemów kolejkowych z priorytetami.

W niniejszej pracy postaramy

się uwzględnić

wielokierunkowe badania systemów kolejkowych z priorytetami, tzn. systemy nie

^będą

przedstawione w jednolitym

języku

jednej metody, jak to

miało

miejsce np. w [25] i [15], lecz

pokażemy

efek-

tywność

wielu metod badania tych systemów. Na koniec przedstawimy pewne ogólne

związki zachodzące

dla systemów kolejkowych z

różnymi

dyscyplinami prio- rytetu oraz próby

uogólnień

systemów kolejkowych z priorytetami.

Ogólny model systemu kolejkowego z priorytetem

można opisać następująco:

w k .strumieniach

zgłasza się

k klas jednostek, które

mogą być obsługiwane

przez I

kanałów obsługi.

Zadany jest pewien przepis

kolejności obsługi

jednostek z po- szczególnych klas.

Zakłada się, że

jednostki tej samej klasy

^mają

taki sam

^rozkład

długości

czasu

^obsługi.

Można przeprowadzić klasyfikację

systemów kolejkowych z priorytetami ze

względu

na sposób

rozwiązania

dwóch podstawowych

zagadnień występujących

w tych systemach.

Pierwsze z nich pojawia

się

w momencie, gdy

kanał obsługi się

zwalnia: trzeba

zdecydować,

która jednostka

spośród czekających

w kolejce wejdzie jako

^następna

do

obsługi. Jeżeli

decyzja w tej kwestii

^zależy

tylko od tego, do której klasy jednost- ka

należy,

to takie systemy kolejkowe nazywamy systemami z priorytetem

zewnętrz

nym.

^Jeżeli

natomiast decyzja ta

zależy również

od aktualnego stanu systemu, np. od czasu czekania jednostek

będących

w kolejce czy od

długości

kolejki jed- nostek danej klasy, czy

też

od tego, do której klasy

należy

jednostka

kończąca obsługę,

to takie systemy nazywamy systemami z priorytetem

wewnętrznym.

Drugie zagadnienie jest

następujące:

co

należy uczynić, jeżeli

podczas

^obsługi

jednostki z klasy o mniejszym priorytecie

zgłosi się

do systemu jednostka z klasy o

^wyższym

priorytecie, czy

przerwać obsługę

jednostki z

^niższej

klasy priorytetu czy

kontynuować ją

dalej. W pierwszym przypadku mówimy o systemach z prio- rytetem

rugującym,

a w drugim o systemach z priorytetem

nierugującym.

W literaturze

można spotkać klasyfikację

systemów kolejkowych z priorytetami w

zależności

od

liczności źródeł,

z których

przybywają

jednostki. Mianowicie,

jeżeli liczność

wszystkich

źródeł

jest

nieskończona,

to taki system nazywamy systemem z

nieskończonymi źródłami,

w przeciwnym wypadku nazywamy go systemem ze

skończonymi źródłami.

Te ostatnie

^{mogą być}

podzielone na dwie kategorie: priory- tetowe systemy kolejkowe z wielorakimi

skończonymi źródłami (różne

jednostki

przybywają

z

różnych skończonych źródeł)

oraz priorytetowe systemy kolejkowe z pojedynczymi

skończonymi źródłami

(jednostki dwóch lub

więcej

klas

wychodzą

z tego samego

źródła).

Badanie tych ostatnich systemów jest szczególnie trudne,

ponieważ wejście

jednostki z danej klasy

wpływa

na parametr strumienia

zgłoszeń

jednostek z innej klasy. Systemami priorytetowymi ze

skończonymi źródłami wejść zajmował się

N. K. Jaiswal ([25]).

Można

jeszcze

klasyfikować

systemy priorytetowe w

zależności

od tego, czy

kanał obsługowy

jest niezawodny czy nie.

(3)

2. Systemy z priorytetem

zewnętrznym

§ 2.1. System kolejkowy z priorytetem absolutnym.

Kanał obsługowy obsługuje

jednostki k klas. Jednostki i-tej klasy (i-tego priorytetu), gdzie 1

^~

i

~

k,

zgłaszają się

w strumieniu Poissona z parametrem Ai. Czasy

^obsługi

jednostek i-tej klasy

^są

niezależnymi

zmiennymi losowymi si o takiej samej

^gęstości

si(x).

^Będziemy

mówili,

że

jednostki i-tej klasy

^mają

priorytet absolutny przed jednostkami j-tej klasy, gdzie

i

<

j, jeżeli spełnione są

dwa warunki:

1° jednostki i-tej klasy

będą obsługiwane

przed jednostkami j-tej klasy nieza-

leżnie

od tego, czy

zgłosiły się

do systemu przed jednostkami j-tej klasy czy

^też

nie;

2°

^jeżeli

w czasie

^obsługi

jednostki j-tej klasy

zgłosi się

do systemu jednostka i-tej klasy, gdzie i <

j,

to

obsługa

zostaje przerwana i rozpoczyna

się obsługa

nowo

przybyłej

jednostki.

Warunek 1 ° jest charakterystyczny dla wszystkich dyscyplin priorytetu

^zewnętrz

nego. Warunek 2°

^występuje

w systemach z priorytetem

rugującym.

W

zależności

od tego, co

^się

dzieje z

wyrugowaną jednostką, można mówić

o trzech rodzajach priorytetu absolutnego.

^Są

to: priorytet absolutny z doobslugiwaniem, priorytet abso- lutny z

identyczną obsługą

od nowa i priorytet absolutny z

inną obsługą

od nowa.

Zakłada się, że wewnątrz

danej klasy

kolejność obsługi

jest w

kolejności zgłoszeń

(FIFO z angielskiego first input-first output). W systemie kolejkowym z priorytetem absolutnym

^może

nas

interesować

na

^przykład:

liczba jednostek danej klasy w sy- stemie,

przedział zajętości

systemu, liczba

obsłużonych

jednostek, czas czekania na

^obsługę

jednostki danej klasy.

Pierwszą pracą traktującą

o systemach z priorytetem absolutnym opublikowali H. White i L. S. Christie ([50]).

Następnie,

tego typu systemy przy

różnych założe

niach o

rozkładach

czasu

^obsługi

badali F. F. Stephan ([44]), C. R. Heathcote ([16]-[18]), R. G. Miller ([39]), N. K. Jaiswall ([26]), B. Avi-Itzhak ([I]), P. D. Welch ([49]), L. Takacs ([45]), W. Chang ([9]), G. P. Klimow ([35]), E. A. Danieljan ([10]). Metody badania

były'różne: włożone łańcuchy

Markowa, metoda dodatko- wych zmiennych i metoda dodatkowego zdarzenia. W tym paragrafie przedstawimy

metodę

D. P. Gavera ([14]).

^{Metodą tą}

badamy system najpierw podczas cyklu

obsługi

jednostki, potem w przedziale

zajętości

systemu, a

następnie

wykorzystuje- my pewne wyniki z teorii odnowy. N. K. Jaiswal

zastosował tę metodę

w monogra- fii [25].

Niech m(t)

będzie

procesem stochastycznym zdefiniowanym jako liczba jedno-

stek w systemie w chwili t. Proces n1(t)

rozważany

w przedziale

zajętości

systemu

oznaczamy przez m(t).

Jeżeli będzie

nas

interesować

proces m(t) w odniesieniu do

jednostek i-tej klasy, to

będziemy dopisywać

u

^dołu

symbolu procesu indeks

i,

natomiast ten sam proces

^rozważany

podczas cyklu

^obsługi

otrzymuje indeks

c

u góry. W systemie M/G/I proces m(t) nie jest markowski, natomiast dwuwymia-

rowy proces (m(t), z), gdzie z oznacza miniony czas

^obsługi

jednostki

^będącej

w

^obsłudze

w chwili t, jest procesem Markowa. Sprowadzenie procesu niemarkow-

skiego do procesu Markowa w

^powyższy

sposób nazywa

się metodą

dodatkowej

zmiennej. Badamy ten dwuwymiarowy proces podczas cyklu

obsługi

jednostki.

(4)

8

D. C z e r w i ń s k a

Cykl

obsługi

jednostki danej klasy jest to

^przedział

czasu

rozpoczynający się

w momencie

^wejścia

jednostki do

^obsługi

po raz pierwszy i

kończący się

w mo- mencie, gdy

kanał obsługowy

po raz pierwszy jest wolny od niej i jednostek o prio- rytecie

wyższym

od niej, tzn.

może rozpocząć obsługę następnej

jednostki z tej samej klasy. Podczas cyklu

obsługi

jednostki danej klasy

interesują

nas

oczywiście

tylko jednostki z klas o priorytecie

wyższym niż

jednostka

rozpoczynająca

cykl

obsługi.

Załóżmy, że

w

rozważanym

systemie z priorytetem absolutnym mamy dwie klasy jednostek; jednostki z klasy pierwszej

będziemy

nazywali krótko prioryteto- wymi, a jednostki z klasy drugiej nazwiemy

zwykłymi.

N. K. Jaiswal

pokazał,

jak w

^łatwy

sposób

można uogólnić

wyniki otrzymane dla systemu dla k = 2 na przy- padek k > 2 ([25]), o czym opowiemy pod koniec tego paragrafu. Cykl

obsługi

jednostki

zwykłej

rozpoczyna

się

w chwili, powiedzmy, t = O, gdy jednostka

zwykła

wchodzi do

obsługi,

a

kończy się

w momencie, gdy

kanał obsługowy może

roz-

począć obsługę następnej

jednostki

^zwykłej.

Cykl

^obsługi

jednostki priorytetowej jest po prostu czasem

^obsługi

tej jednostki. Podczas cyklu

^obsługi

jednostki

^zwykłej

interesuje nas tylko jedna jednostka

zwykła,

która rozpoczyna ten cykl, dlatego liczba jednostek

zwykłych

w systemie

rozważanych

podczas cyklu

obsługi

jednostki

zwykłej

jest albo O albo 1. Cykl

^obsługi

jednostki

zwykłej można podzielić

na dwie

części:

pierwsza

część I

jest to

przedział

od chwili t

=

O do momentu, gdy jednostka

zwykła opuści

system po

zakończeniu

swojej

obsługi,

a druga

część

L trwa od tego momentu do

zakończenia

cyklu

^obsługi

jednostki

^zwykłej;

w przedziale L

^są

ob-

sługiwane

jednostki priorytetowe. W przypadku systemu z priorytetem absolutnym cykl

obsługi

jednostki

zwykłej składa się

tylko z

przedziału

/. Na rysunku 1

są

przedstawione cykle

obsługi

jednostki

zwykłej

w systemach z priorytetem absolut-

(a) I 2

r

^I ^B

(b) 5

o

^I

·1

^B

(c)

r---- --1--- •

²

·1

() I

Rys. 1. (a) priorytet absolutny z doobsługiwaniem; (b) priorytet absolutny z ^obsługąod nowa

identyczną; (c) priorytet absolutny z obsługą od nowa inną

(5)

nym z

doobsługiwaniem,

z

^obsługą

od nowa

identyczną

oraz z

obsługą

od nowa

inną.

Linie przerywane

oznaczają, że

w

obsłudze są

jednostki priorytetowe.

W punkcie

B

jednostka

^zwykła

opuszcza system i

jednocześnie kończy się

cykl

obsługi

jednostki

zwykłej.

Liczby na rysunku

I oznaczają długość

odpowiednich

przedziałów.

Przejdziemy teraz do analizy systemu podczas cyklu

obsługi

jednostki

zwykłej.

Wprowadźmy

oznaczenie:

(I)

tzn. /1(0,

x 2, t)dx2

jest

prawdopodobieństwem

tego,

^że

w chwili

t

cyklu

^obsługi

jednostki

^zwykłej

w systemie nie ma jednostek priorytetowych, a miniony czas

obsługi

jednostki

zwykłej będącej

w

obsłudze należy

do

przedziału (x2, x 2 +dx2).

Niech

(Il)

g1(m1,X1,X2,t)dx1dX2

=

Pr(m{

(t) = m1' X1

<z{ <

X1 +dx1' X2 <z~

<

X2 +dx2), ml

> O, tzn.

g1(m1, x 1, x^{2 ,}t)dx1dx2

jest

tego,

że

w chwili

t

cyklu

obsługi

jednostki

^zwykłej

w systemie znajduje

^się

m

1

jednostek priorytetowych, z których jedna jest

obsługiwana,

a miniony jej czas

^obsługi

zf jest z

przedziału

(x

1 , x 1 +dx1)

oraz miniony czas

^obsługi

wyrugowanej jednostki

zwykłej z~

jest z

przedziału (x2, x 2 +dx2).

Indeks

I

u góry,

występujący

w

·powyższych

oznacze- niach, mówi,

że dotyczą

one

wielkości rozważanych

podczas pierwszej

^części

cyklu

obsługi

jednostki

^zwykłej.

Ponadto

wprowadźmy

oznaczenia:

(III) oraz

(IV)

pc(m1, m2, t)

=

Pr(mHt)

= m

1 , mHt)

=

^m2),

gdzie

pc(m1, m 2, t)

jest

tego,

^że

w chwili

t

cyklu

obsługi

jednostki

zwykłej

w systemie znajduje

się

m

1

jednostek priorytetowych oraz m

2

jednostek

^zwykłych.

Wobec

przyjętych oznaczeń

dla systemu z priorytetem absolutnym mamy (2.1.1)

oraz (2.1.2) natomiast

oo oo

p 1(m1, t) =

~ ~

g¹(m1, x^{1 ,}x2 , t)dx1dx2,

jeżeli ·m

1

>O, o o

oo

p 1

(0,

t) =

~ /1(0,

x 2, t)dx2,

o

pc(m1, m2, t)

= <5m

2

,1p

1(mi, t),

gdzie

()ii

jest

deltą

Kroneckera.

(6)

10

^{D. Cze r}^{w i}^ń^{s k a}

Wprowadźmy

funkcje

tworzące prawdopodobieństw

zdefiniowanych w (III) oraz (IV):

oo

(V) II1 (r.J.

1 ,

t) =

_m1=0

L ^r.J.T'P'

^(m^{1 ,}

^t),

oraz (VI)

gdzie sumowanie

rozciąga się

na wszystkie

^składniki

m

1

i m

2 •

Transformaty Laplace' a

powyższych

funkcji

tworzących

oznaczmy przez

oraz

oo

fi1(r.J.

_{1 ,}

s) = ~ e-st[Jl(r.J.

_{1 ,}

t)dt o

oo

fżc(r.J. 1 ^, ^r.J.

^{2 ,}^s)

⁼ ^~ e-stllc(r.J.

_{1 ,}

r.J.

2 ,

t)dt.

o

Z

przyjętych założeń

i

oznaczeń

mam.y

fic(r.J.

_{1 ,}

r.J.

2 ,

s) = a

2

fi1(a

1 , s).

Przyjmujemy zatem,

^że

symbol li(·) oznacza

odpowiednią funkcję tworzącą

praw-

dopodobieństw,

natomiast kreska nad symbolem tej funkcji oznacza,

^że

chodzi o

transformatę

Laplace'a tej funkcji.

Niech

c2

oznacza

długość

cyklu

obsługi

jednostki

zwykłej,

a c

2

(t)

funkcję gę

stości długości

cyklu

c2 ,

tzn.

(VII) c

2

(t)dt = Pr(t < c

2

< t+dt).

Wyprowadzimy teraz wzory na

transformatę

Laplace'a funkcji

tworzącej dłu

gości

kolejki podczas cyklu

^obsługi

jednostki

zwykłej

oraz wzory na

transformatę

Laplace'a funkcji

gęstości długości

tego cyklu dla trzech wymienionych

^wcześniej

dyscyplin priorytetu absolutnego: z

doobsługiwaniem,

z

od nowa i z

inną obsługą

od nowa. Zaczniemy od priorytetu absolutnego z

doobsługiwaniem,

tzn. gdy wyrugowana jednostka

zwykła wracając

do

obsługi kończy swoją obsługę.

Równania

wiążące

funkcje

^gęstości

f1 ^(O, ^x

^{2 ,}

^{t) i}

^g^{1 (}

^m

^{1 ,}

^x

^{1 ,}

^x

^{2 ,}

t) znajdujemy

analizując

stan systemu w chwili

t

i

t

+LI.

Przykładowo

wyprowadzimy równanie

różniczkowe cząstkowe

dla funkcji

gęstości

f1 (O, x

2 ,

t).

Prawdopodobieństwo /1(0,

x

2+L1, t+L1)dx2

z

dokładnością

do

wyrażenia o(Ll)

jest równe sumie praw-

dopodobieństw

dwóch

rozłącznych zdarzeń:

1° zdarzenia

polegającego

na tym,

że

w chwili

t

cyklu

obsługi

jednostki

zwykłej

w systemie nie ma jednostek priorytetowych, a miniony czas

^obsługi

jednostki

zwykłej będącej

w

obsłudze

jest z

przedziału (x_{2 ,}x2

+ dx

2 )

oraz w przedziale

(t, t

+ ^{L1) nie}

zgłosi się

jednostka priorytetowa i jednostka

^zwykła

nie

^zakończy

swojej

obsługi; prawdopodobieństwo

tego zdarzenia jest równe

/1(0,

X2, t)dx2(l -A1L1-ry2(X2)L1),

(7)

gdzie

S2(X2) 1]2(X2)

= ^{- -X2}^{_ _}^_

1-

~

s2(u)du o

2° zdarzenia polegającego na tym, że w chwili

x,

O

< x < t,

zgłosi się do systemu jednostka priorytetowa rozpoczynająca przedział zajętości systemu ^obsługą jednostek priorytetowych, którego długość jest z przedziału {t-

x,

t -

x + L1 ),

a w momencie x miniony czas obsługi jednostki ^zwykłejjest z przedziału (x_{2 ,}x₂

+

+dx

2); prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest równe

L1A

1

b

1 (

t) * ^{f1 (O,} ^x

^{2 ,}

^{t) dx}

^{2 ,}

gdzie

b

1 (

t)

jest funkcją gęstości przedziału zajętości

b

₁ systemu

M /G

/1 z inten-

sywnością strumienia zgłoszeń

Ji.

₁

i

funkcją gęstości długości czasu ^obsługis1 (x), a symbol

*

oznacza ^operacjęsplotu. A zatem

(2.1.3)

/1(0, X.z +L1'

^1+Lł)dx2

= /1(0, X2, t)dx2(l -A1'1-112(X2)L1)+

+Ll.A1b1(t)f1(0, X2, t)dx2+0(!1).*

Po przeniesieniu pierwszego składnika z prawej strony wzoru (2.1.3) na lewą, po- dzieleniu obustronnie przez LI i po przejściu do granicy dla L1 ^~O otrzymujemy (2.1.4)

-4-.f1(0, X2, t)+

_ut

~!}__[1(0,

_uX

X2,

t)+((A1

+1]2(X2)).f1(0, X2, t) =

2 ·

= A1/1(0, X2, t) b1(t).*

Podobnie wyprowadzamy wzory

(2.1.5) g¹

(m 1, x 1, x 2, t) = A1/1(0, X2, t)p(m1, X1, t),*

(2.1.6)

C2(t) = ~ f1(0, X2, t)172(X2)dx2,

o

gdzie

p(m1, x 1, t)

^jestfunkcją gęstości dwuwymiarowej zmiennej losowej

(m(t), z)

określonej dla systemu

M/G/1

z parametrem strumienia ^zgłoszeń

A

1 i funkcją gę

stości długości obsługi s1

(t).

Równania (2.1.4)-(2.1.6) można rozwiązać przy warunku początkowym

f1

^(O,

^X2'

^O)⁼

^o(x2),

gdzie

o(x2)

jest funkcją deltą

Diraca,

tzn. funkcją określoną jako zero dla wszystkich

X2 =I o

ⁱ

taką, że ~

+oo

o(x2)dx2 =

I.

Przechodząc

w rów- naniach (2.1.4)-(2.1.6) do transformat Laplace'a, otrzymujemy -oo

(2.1.7)

sji(O, X2, s) + --/-f1(0, X2, s)+().1 _uX2

+172(X2))f1(0, X2, s)

=

(2.1.8)

(2.1.9)

=

Ji.1

j1(0, X2,

s)b₁(s), g¹(m1 , x1 , x2 ,

s)

= Ji.1

f

¹^(0,^x^{2 ,}^s)p(m^{1 ,}

^x

^{1 ,}

^s),

oo

c2(s)

=

~ [1(0, X2, s)172(x2)dx2.

o

(8)

12

D. Cze r w ⁱ^ńs k a

Równanie (2.1. 7)

może być

napisane inaczej w postaci

a - - -

-~-/1(0, X2, s) =

-[A1(l-b1(s))+s+112(X2)]/1(0,

X2, s).

uX2

Nietrudno

sprawdzić, że rozwiązanie

tego równania jest postaci

X2

(2.1.10) f1(0,x

2

,s) = exp[-(A

1

(I-b

1

(s))+s)x

2 -

~ 17

2

(u)du], gdzie

(2.1.11)

Wobec wzorów (2.1.9) i

(2.1.10)

mamy

(2.1.12) c

²^(s)

⁼ s 2 (A 1 (l-b 1(s))+s).

o

Stąd można obliczyć

dwa pierwsze momenty

^długości

cyklu

obsługi

jednostki

zwykłej.

Mianowicie (2.1.13)

oraz (2.1.14)

Wykorzystując

wzory (2.1.1), (2.1.2), (2.1.8), (2.1.10) i (2.1.12) otrzymujemy

[J

e( ) _ 0:2(l -c2(s)) (1 + A

1

Il(o:

1 ,

s))

(2.1.15)

^e>:1,

0:2, s - - '

A

1

(l -b

1

(s)) + s

gdzie Il(o:

_{1 ,}

s)

= ) oo

IJ(o:

1 ,

x

1 ,

s)dx

1 ,

natomiast Il(o:

_{1 ,}

x

1 ,

s) jest

transformatą

La- · place' a funkcji

tworzącej prawdopodobieństw o

p(m

_{1 ,}

x

1 ,

t). Transformata ta wy-

raża się

wzorem (zob. [25]) (2.1.16) fl(et1, X1, s) =

gdzie

S1(X) 1J1(X)

= __ ^{X _ _}^_

1-

~ s1

(u)du o

Niech e

1

(t)

=

Pr(m(t)

=

01 m(O) ^=O), ^tzn. e

1

(t) jest

tego,

^że

w chwili t system M/G/1 z

intensywnością

strumienia

^zgłoszeń

A

1

i

funkcją gęstości długości

czasu

^obsługi

s

₁

(t) jest pusty, pod warunkiem,

^że

w chwili roz-

poczęcia pracy również był pusty. Natomiast 14.o:u ^{s) niech} będzie transformatą

oo

Laplace'a funkcji tworzącej prawdopodobieństw p(m

1 ,

t) = ^~ p(m

1 ,

x

1 ,

t)dx

1 ,

o

(9)

gdzie p(m

1 ,

x

1 ,

t) jest

funkcją gęstości

dwuwymiarowej zmiennej losowej (n1(t), z)

określonej

dla

^tegoż

systemu M/G/1. Wówczas wiadomo,

^że

(zob. [46])

"A

1 (2.1.17) e

1

(s)

= _

s+ A

1

(l -b1 (s)) oraz

(2.1.18)

Wobec tego wzór (2.1.15)

można napisać

w postaci (2.1.19) fic(rx

1 , rx2,

s)

=

rx2(l-c2(s))ll(rx1, s).

Podobnie

postępujemy

w przypadku priorytetu absolutnego z

identyczną

ob-

sługą

od nowa. O takim priorytecie mówimy wówczas, gdy wyrugowana jednostka

zwykła

przy powtórnym

^wejściu

do

^obsługi

jest

obsługiwana

przez taki sam okres, jakiego

^wymagała

przy pierwszym

^wejściu

do

^obsługi.

Niech Z

będzie zmienną losową będącą długością obsługi

jednostki

^zwykłej

przy pierwszym

^wejściu

jej do

obsługi,

a/1(0,

x2 , tlZ),

g

¹(m1'

x1,

^tlZ)

i c2(tlZ)

oznaczają

odpowiednio te same funkcje

^gęstości

jak w przypadku priorytetu absolutnego z

doobsługiwaniem

pod warunkiem,

że długość obsługi

jednostki

zwykłej rozpoczynającej

cykl jest równa z.

W analogiczny sposób jak w przypadku priorytetu absolutnego z

doobsługiwa

niem wyznacza

^się

odpowiednie równania

różniczkowe, następnie

przechodzi

^się

do transformat Laplace'a,

^skąd

otrzymuje

^się

przy warunku

początkowym / 1

(0,

y, O

I Z) =

~(y) następujące rozwiązania

oo

(2.1.20) /1(0, x2, s)

=

~f ¹ (0, X2, slZ)s2(Z)dZ =

_ \

oo

exp[ -(A

1

+s)x2]s2(Z)dZ

- J A '

x2

1- Ai ~s b

¹

(s)(1-exp( -(A

1

+s)Z))

(2.1.21)

^{_ 1} ^_

00

~

(

1-exp( -(A

1

+s)Z))s2(Z)dZ

g (m

1 , Xi,

s) = ^l.

¹

p(m„ x„ s) ( ,

0

A1 +s-l

1

b1(s) 1-exp(-(l1 +s)Z)) (2.1.22) ( ) r exp( -(A1 +s)Z)s2(Z)dZ(l1 +s)

c 2

s

= ^~ l 1+s-l1b1(s)(l-exp(-(l

¹

+s)Z)) · Odpowiedniki wzorów (2.1.13), (2.1.14) w tym przypadku

^są

postaci (2.1.23)

E(c2 ) =

(1/A1 +E(b1))(E(exp(l

¹

s2))-l),

(2.1.24) E(d) = 2(1/.l

1

+E(b

1))

2E((exp(.l1s2)-1)2)+

+ ( E(bi)+2E(b

¹

)/A

¹

+ ~i) (E(exp(A

1

s

2)}-

l)+

oo

-2(E(b1) + 1 /.l1) ~ X2exp(A1 X2)s2(X2)dx2.

o

(10)

14

D. Czerw ^ińska

znowu podobnie

postępujemy

w przypadku priorytetu absolutnego z

inną obsługą

od nowa. Przy tej dyscyplinie wyrugowana jednostka

^zwykła

przy powtór- nym

wejściu

do

obsługi

jest

obsługiwana

losowy czas s2 z

funkcją gęstości

s2(x)

niezależnie

od poprzednich czasów

obsługi.

W tym przypadku przy warunku po-

czątkowym

f1(0,

x2 ,

O)=

~(x

2

⁾

otrzymujemy

następujące rozwiązania:

(2.1.25)

(2.1.26)

(2.1.27)

l

-s2C-"1 +s)

g

¹

(m 1,x1,s)

⁼

A 1p(m1,x

₁

, s ) - - - - A1 +s-J.

1

b1 (s) (1- s2(J.1 ^{+s)) '}

c

2(s) =

s2(A

1

+s)

Ze wzoru (2.1.27) znajdujemy dwa pierwsze momenty

^długości

cyklu

obsługi

jednostki

zwykłej. Mają

one

postać

(2.1.28)

(2. I .29)

oo

2 ) l

-s2CA·1) (

1 )

~ x2e-J.1x2s2(x2)dx2

+ -"i ^{s2(AJ - 2} ^E(bi)+ Ti ^(s2(A1))2 ^.

Można sprawdzić, że

wzór

(2.1.19) je~t

prawdziwy dla wszystkich trzech dyscy- plin priorytetu absolutnego.

Interesujące

jest porównanie

średniej długości

cyklu

obsługi

jednostki

zwykłej

przy tych trzech dyscyplinach;

zajmował się

tym R. E. Thomas ([47]). Nietrudno

zauważyć, że

czyli

E(exp(A1s2))

~

- - - s2(A.1)

Wobec tego

średnia długość

cyklu

obsługi

jednostki

^zwykłej

przy dyscyplinie prio- rytetu absolutnego z

od nowa jest nie mniejsza

niż

przy dyscy- plinie priorytetu absolutnego z

inną obsługą

od nowa.

Wyjaśnienie

tego faktu jest

następujące:

w pierwszym przypadku cykl

obsługi

jednostki

^zwykłej

trwa co naj-

mniej tak

^długo

jak czas

obsługi

jednostki

zwykłej

przy pierwszym

^wejściu

do

(11)

obsługi,

natomiast w drugim przypadku nowe

długości obsług

przy

następnym

wej-

ściu

wyrugowanej jednostki

zwykłej mogą być

krótsze

niż

poprzedni czas

obsługi.

Średnia długość

cyklu

^obsługi

jednostki

^zwykłej

w systemie z priorytetem ab- solutnym z

inną obsługą

od nowa jest

większa niż

w systemie z priorytetem abso- lutnym z

doobsługiwaniem, jeżeli

(1 +A1E(s2))s2(A1) < 1.

Nierówność

ta jest

^spełniona

w przypadku

stałej obsługi

i zamienia

^się

w

^równość

w przypadku

obsługi wykładniczej.

Wobec tego,

jeżeli długość obsługi

jednostki

zwykłej

ma

rozkład wykładniczy,

to

E(c2)P.Id. > E(c2)P.In. = E(c2)P.D.,

gdzie P.Id., P.In., P.D.

^oznaczają

odpowiednio priorytet absolutny z

od nowa, z

inną obsługą

od nowa i z

doobsługiwaniem,

a

jeżeli długość obsługi

jednostki

zwykłej

jest

stała,

to

E(c2)P.Id. = E(c2)P.In. > E(c2)P.D. ·

Będziemy

teraz badali zachowanie

^się

systemu dwupriorytetowego (z dwoma klasami jednostek) w przedziale

zajętości. Przedział zajętości

systemu dwuprio- rytetowego rozpoczyna

się wejściem

jednostki

zwykłej

z

prawdopodobień

stwem A

2

/(A

1

+'1

2)

lub

^wejściem

jednostki priorytetowej z

A

1

/('1

1

+ '1

2).

W przypadku

zgłoszenia się

jednostki

zwykłej przedział zajętości składa się

z samych cykli i

można uważać

go za

w systemie M /G /1 z

intensywnością

strumienia

^zgłoszeń

A

₂

i

długością obsługi równą długości

cyklu

obsługi

jednostek

^zwykłych

c

2 •

Wprowadzimy teraz

pojęcie początkowego przedziału zajętości

systemu M/G/I.

Początkowy przedział zajętości

systemu M/G/1 rozpoczyna

się

w momencie

zgłoszenia się

jednostki do pustego systemu, której

^obsługa

zacznie

się

po

^upływie

czasu

Q,

a

kończy się,

gdy w systemie nie ma jednostek.

^Zmienną

losową Q

nazywamy

początkowym obciążeniem

systemu. Wobec tego w przypadku

zgłoszenia się

jednostki priorytetowej do systemu dwupriorytetowego w chwili, gdy system jest pusty, rozpoczyna

się przedział zajętości

tego systemu, który jest po-

czątkowym przedziałem zajętości

systemu M/G/1 z

intensywnością zgłoszeń

A

2 , długością obsługi równą długości

cyklu

^obsługi

c

₂

i czasem

początkowego obcią

żenia Q

= b

1 .

Jeżeli

przez b!:J(t) oznaczymy

funkcję gęstości początkowego przedziału zaję

tości,

to transformata Laplace'a tej funkcji

gęstości wyraża się

wzorem (zob. [25]) (2.1.30)

gdzie A jest

w systemie M/G/1,

Q(t)

jest

funkcją gęstości

zmiennej losowej

Q,

a b(t) jest

funkcją gęstości przedziału zajętości

w tym systemie.

Oznaczenia w systemie M/G/1 z

A

1

i

funkcją gęstości długości obsługi

s

1

(x) oraz w systemie M/G/I z

A

2

i

^funkcją

gęstości długości obsługi

s

2

(x) opatrzone

są małymi

literami z indeksami odpo-

wiednio I i 2. Oznaczenia

odnoszące się

do systemu M/G/1 z

intensywnością zgło-

(12)

16

D. Cze r w i ^ńs k a

szeń

Ji.

₂

i

dLtgością obsługi równą długości

cyklu

^obsługi

c

₂ ^są

oznaczone wersali- kami.

Rozważmy

zdarzenie

polegające

na tym,

^że

w chwili

t przedziału zajętości

sy- stemu jednostka

^zwykła

wchodzi do

^obsługi,

a w kolejce znajduje

^się

m

2 -

1 jedno- stek

zwykłych. Prawdopodobieństwo

tego zdarzenia w systemie dwupriorytetowym oznaczmy przez .:Yt 2 (m2,

^{t ),}

w systemie

M / G /

1 z

.1 _{2 i}

^dłu

gością obsługi równą długości

cyklu c

2

oznaczmy przez Pe(m2, t), natomiast praw-

dopodobieństwo

tego samego zdarzenia w odniesieniu do

początkowego przedziału zajętości

systemu M/G/1 z

powyższymi

parametrami i

początkowym obciążeniem

b

1

oznaczmy przez

P~¹(m

2

^,^t).

Przy

powyższych

oznaczeniach mamy

A.2

A.1

^b

(2.1.31)

^~2^(m2^,

t)

=

A. A Pe(m2, t)+ A A Pe

¹

(m2, t).

1+ 2 1+ 2

Jeżeli y2

(t) oznacza

funkcję gęstości przedziału zajętości

w systemie dwuprio- rytetowym, to nietrudno

zauważyć, że

A.2

A.1

^b

Y2(t) =

~-B2(t)+ ~-;;-B2¹^(t),

ILt

+

^1L2 ^1L1

+

^ll.2

gdzie B

2

(t) i BNt)

^są

odpowiednio funkcjami

gęstości przedziału zajętości

i po-

czątkowego przedziału zajętości

systemu M/G/l z

intensywnością zgłoszeń Ji.2

i

^dłu

gością obsługi równą długości

cyklu c

2

oraz

początkowym obciążeniem b1 • Korzystając

z wzoru (2.1.30) mamy

(2.1.32) - Y2(s)

=

A. A.2 - A. B2(s)+ Ji. A.1 - ( A. b1 A.2(l-B2(s))+s . - )

1+ 2 1+ 2

Stąd

ostatecznie otrzymujemy

A.2E(c2) + _{A.1 E(b1)}

(2.1.33) E(y2) = (A.1 + A.2) (l -A.2E(c2)) '

jeżeli

A.2 E(c2) < 1 i E(b

1 )

< oo, oraz E(y

_{2 )}

= oo w przeciwnym przypadku. Wsta-

wiając

odpowiednie

^wartości

E(c

2 )

dla

różnych

dyscyplin priorytetu absolutnego

można łatwo znaleźć E(y_{2 ).}

Oznaczmy przez

.,li 1 (t)

i

„/t _{2 (}

t) odpowiednio

^liczbę

jednostek priorytetowych i jednostek

^zwykłych

w chwili

t przedziału zajętości

systemu dwupriorytetowego, a przez z

1 ,

z

2 ,

z

²

oznaczmy, tak jak zwykle, odpowiednio miniony czas

^obsługi

jednostki priorytetowej

^będącej

w

^obsłudze,

jednostki

zwykłej będącej

w

^obsłudze

i wyrugowanej jednostki

zwykłej. Wprowadźmy

poza tym oznaczenia:

(I) p(m1, m2, x1, X2, t)dx1dx2 = Pr(.,{(

1

(t) = _{m1, .,{(}

2

(t) =

= m2, X1 < Z1 < X1 +dxi, X2 < Z2 < X2+dx2I A .,{(1(t1)+.,H2(t1) >O),

l1e(O, I)

jeżeli

x

1

> O, x

2 ~

O, m

1

> O, m

2 ~

O, tzn. p(m1, m2, x 1, x2, t)dx1dx2 jest

tego,

^że

w chwili

przedziału zajętości

systemu dwupriorytetowego w systemie znajduje

^się

m

1

jed·

(13)

nostek priorytetowych, m

2

jednostek

zwykłych,

w

^obsłudze

znajduje

^się

jednostka priorytetowa, której miniony czas

obsługi

jest z

przedziału

{x

1 , x 1 +dx1),

a miniony czas

obsługi

wyrugowanej jednostki

zwykłej

jest z

przedziału (x2, x2 +dx2),

oraz (II)

q(m1, m2, X2, t)dx2 = Pr(Jt1(t) = m1,

Jt2(t) = m2, X2

<

z2

<

x2+dx2I /\

vłt1Ct1)+..4t2(t1) >O),

t1e(O, t)

jeżeli

x

2

> O, m

2

> O, m

1 ~

O, tzn.

q(m_{1 ,}m 2, xi, t)dx2

jest

tego,

że

w chwili t

systemu dwupriorytetowego

w

systemie znajduje

się

m

₁

jednostek priory- tetowych i m

2

jednostek

zwykłych,

a w

^obsłudze

znajduje

^się

jednostka

^zwykła,

której miniony czas

obsługi

jest z

przedziału (x2, x2

+

dx2). ^Ponieważ

priorytet jest absolutny,

^więc

we wzorze (II) m

1 =

O.

Prawdopodobieństwo p(m_{1 ,}m 2, x1 , x 2, t)dx¹dx2 można znaleźć rozważając

dwa przypadki: gdy miniony czas

obsługi

wyrugowanej jednostki

zwykłej x2

jest

większy

od zera i gdy jest równy zero. W pierwszym przypadku musi

zajść nastę

pujące

zdarzenie: w pewnej chwili -r < t jednostka

zwykła weszła

do

^obsługi

po-

zostawiając

w kolejce m

2 -

n - I jednostek

zwykłych,

gdzie O

~

n

~

m

2 -

I, i roz-

poczęła

cykl

^obsługi;

w chwili

t-

-rod momentu

rozpoczęcia

cyklu w systemie jest m

1

jednostek priorytetowych, w

obsłudze

wówczas jest jednostka priorytetowa, miniony czas jej

obsługi

jest z

przedziału (x _{1 ,}x ₁

+

^dx1),

a wyrugowana jednostka

zwykła

ma miniony czas

obsługi

z

przedziału

(x

2 ,

x

₂

+dx

2 )

oraz n jednostek zwy-

kłych przybyło

do systemu w czasie

t-

r;

prawdopodobieństwo

tego zdarzenia jest równe

W drugim przypadku,

ponieważ rozważamy

system z priorytetem absolutnym,

^bę

dziemy mieli zdarzenie

polegające

na tym,

^że

w chwili t = O jednostka prioryte- towa

rozpoczęła przedział zajętości

systemu M/G/1 z

2

₁

i

długością obsługi

si, który nie

zakończył się

do chwili t;

prawdopodobieństwo

tego zdarzenia jest równe 21 (J.2 t)m

²

~(x2);.

;. - - -

₁

exp(-A2t)p(m

1 ,

x

1 , t)dx1dx2,

gdzie m

1

>O.

1

+

² ^m2.

Wobec tego

możemy napisać

(2.1.34) p(m1, m 2, X1, X2, t) =

gdzie m

₁

> O.

(14)

18

^{D. Cze r}^wⁱ^ń^{s k a}

Podobnie znajdujemy

gdzie m

2

>O.

Funkcja

tworząca prawdopodobieństw długości

kolejki w przedziale

^zajętości

systemu dwupriorytetowego II(rx

1 ,

rx

2 , t)

jest równa

oo oo oo oo

II(rx

1 ,

rx

2 ,

t) = L ^2.:: ^rxT

¹

^rx~ ² ^{~ ~}

p(m 1 , m 2 ,

x

1 ,

x

2 ,

t)dx

1

dx

2

+

m1=l m2=0 O O

oo oo

+

_m2=l

2.:: ^rx~ ²

_O

^~

^q(O,^m2,^x^{2 ,}^t)dx^{2 •}

Podstawiając

(2.1.34) i (2.1.35) do ostatniej

^równości

i

przechodząc

do transformat Laplace'a, otrzymujemy

(2.1.36)

oo

gdzie G(rx2, s)

= _m2=l

L ^rx';

²

^.Yl'

²

^(m

^{2 ,}

^s).

Postać

G(rx

2 , s)

wyznaczamy

korzystając

ze wzoru

oraz

gdzie Ile(rx

2 ,

s) i

7.t~¹(rx

2

^,

^s)

^są

odpowiednio transformatami Laplace'a funkcji two-

rzących prawdopodobieństw

Pe(m

2 ,

t) i

P~¹(m

2

^,

^t). Wzory te

można otrzymać biorąc

;. = J.

2 , s = c_{2 ,} Q =

b

1 ,

b

=

B

2

we wzorach na transformaty Laplace'a

funkcji

tworzących prawdopodobieństw długości

kolejki w momencie

^wejścia

jed-

nostki do

^obsługi

odpowiednio w przedziale

^zajętości

i w

początkowym

przedziale

(15)

zajętości

systemu M/G/I (2.1.37) -G(cx

_CX2

1 -

2 ,

s) =

(zob. [25]).

Stąd

mamy

A.2( c.t2 -B2(s))+ A1b1 (A.2(1-a2)+s) (Ji.1 + A2) ( c.t2-c2( A.2(1- cx2) + s))

A1b1(A.2(l-B2(s))+s) O.i+ A.2) ( c.t2 -c2 (Ji.2(1- c.t2) +s)) ' gdzie B

2(s)

i "bi(s)

są

odpowiednio transformatami Laplace'a funkcji

gęstości B₂

(t) i

b1(t).

Przechodzimy teraz do badania zachowania

się

ogólnego procesu

^długości

ko- lejki w systemie dwupriorytetowym. Proces ten

składa się

na przemian z przedzia-

łów zajętości

i

przedziałów,

w których system jest pusty, czyli jest to proces odnowy.

Funkcja

gęstości długości odstępów między

punktami regeneracji,

^którą

oznaczymy przez r(t), ma

oczywiście postać

r(t) = Y2(t) * (Ji.1 +J.2)exp(-(J.1 ^+l.2)t).

Zakładamy, że

w chwili t

=

O system jest pusty, a zatem funkcja

gęstości długości

czasu do momentu pierwszej odnowy jest postaci

ro (t) = (I.i +Ji.2)exp(-(Ji.i +A.2)t).

Transformata Laplace'a funkcji

gęstości

odnowy h(t) jest postaci (zob. [25])

h(s)

= A.1 +A.2

Ai + A.2 +s- (I.i+ l.2)Y2(s) .

Niech ...H~(t) i ..1t"'i(t) oznaczają odpowiednio liczbę jednostek priorytetowych i jednostek

^zwykłych

w chwili t w systemie dwupriorytetowym.

Prawdopodobień

stwa p(m

1 ,

m2, Xi, x2, t)dx

1

dx2 i q(O, m2, x2, t)dx2

^są

analogonami prawdopo-

dobieństw

p(m1, m2, x1, X2, t)dxidx2 i q(O, m2, x

2 ,

t)dx

2 odpowiadającymi

pro- cesom Ali(t) i Jt

2(t),

pod warunkiem, że w chwili

t

=O system dwupriorytetowy jest pusty. Niech e

²

^(t)

będzie prawdopodobieństwem

tego,

^że

w chwili t system dwupriorytetowy jest pusty, tzn. e

²

^(t)

⁼

Pr(.,H~(t)+..H~(t) =O).

Ponieważ

h(t)dt jest

odnowy w przedziale (t, t+dt),

więc

nietrudno

zauważyć, że są spełnione następujące równości

(2.1.38) p(mi, m2, Xi, x

^{2 ,}

t) = h(t) P(m*

1 ,

m2, Xi, x2, t),

^jeżeli

mi> O, (2.1.39) q(O, m

2 , X2,

t)

=

h(t) *

^q(O,

m2, x2, t),

^jeżeli

m2 > O,

(2.1.40) e1(t)

=

b(t) * exp( -(A.1 + J.

²

)t) +h(t) *

^y²

^(t) * exp( -(/.1 + /.2)t).

Stąd

mamy (2.1.41) (2.1.42) (2.1.43)

·-p(m1, m2, Xi, x2, s) = (A.i +A. 2 ^)~ 2 ^(s)p(mi, m2, X1, X2, s),

~(O, m2, X2,

s) = (/.1

+l.2)~2(s)q(O, m2, X2,

s),

A

J

ei(s) = s+ (/.

₁

+ ^A2) (l -y2(s)) ·

(16)

20 D. Czerw ^ińska

Niech ll(a

1 ,

rJ.2, s) będzie transformatą Laplace'a funkcji tworzącej prawdopo-

dobieństw długości

kolejki w systemie dwupriorytetowym. Z ostatnich trzech wzo- rów wynika,

^że

ll(a1,

A

rJ.2,s) = ~1(s)(l+(J.1+A2)1I(a 1 ^, ^cx2,s)).

Wykorzystując

(2.1.19), (2.1.36) i (2.1.37) do ostatniej

^równości

otrzymujemy (2.1.44)

fr(cx1,

rJ.2,

s)

= ~1(s)ll(

a1, s+ A2(l - a2))K(cx2, s),

gdzie

Il "(

_{CX1,S -}

) _

- - - -l+l.11I(a1,s)

A1

+s-.A.1h1(s)

jest

transformatą

Laplace'a funkcji

tworzącej prawdopodobieństw długości

kolejki w systemie M/G/1 z

).

1

i

s

1 ,

natomiast

K(cx2, s) =

.A.1 ( l

-b 1

(s+ A2(l - a2))) +

J.

_2(1-

a2)+s+ ( l

-c2(

.?.

2(1- a2)+s)) x

( .?.2 (

cx2

-B2(s))

+ .l.1

(11(

.?.2_(1- a2)

+s

)-11( .?.2(l -B2(s)) +s))]

x--=---'---'-~

I - -1

-c 2( J.2(1- a2)+s)

Ll2

oraz

~1(s)

= ,

s+

.A.1 +

A2-.A.2B

2

(s)-A.1b1(s+

J.2(l -B2(s)))

gdzie B

2(s)

jest pierwiastkiem równania

^a

= c

2(J.₂(1- a)+s) leżącym wewnątrz koła

jednostkowego, c

²

^{(s) jest}

transformatą

Laplace'a

rozkładu długości

cyklu

obsługi

jednostki

^zwykłej

i

wyraża się

wzorami (2.1.12), (2.1.22), (2.1.27) odpo- wiednio dla dyscypliny priorytetu absolutnego z

doobsługiwaniem,

z

od nowa i z

inną obsługą

od nowa, ab

1

(s) jest

określone

wzorem (2.1.11).

Powyższy

rezultat

^otrzymał

N. K. Jaiswal w [25J i [26]. Podobnymi metodami ten sam wynik

^uzyskał

J. Keilson ( [30J).

Podstawiając

cx

2 =

1 we wzorze (2.1.44) otrzymujemy

transformatę

Laplace'a funkcji

^tworzącej

brzegowego

kolejki jednostek priorytetowych w systemie dwupriorytetowym

ll(cx

1 ,

1,

s)

= ll(a

1 , s),

która jest

oczywiście

jednakowa dla wszystkich dyscyplin priorytetu absolutnego, oraz

podstawiając

a

1

= I we wzorze (2.1.44) otrzymujemy

transformatę

Laplace'a funkcji

^tworzącej

brzegowego

kolejki jednostek

^zwykłych

w sy- stemie dwupriorytetowym

A

~2(s)

-

Il(l,cx

²

,s)

= . ,

s-. A

²

(l -rJ.2 ) K(a2,s).

Odwrócenie transformaty Laplace'a ll(a

1 ,

cx

2 , s)

przy dowolnych rozkładach dłu

gości obsługi

jednostek priorytetowych i jednostek

^zwykłych

jest trudne. W przypad-

(17)

ku dyscypliny priorytetu absolutnego z

doobsługiwaniem

i

wykładniczych rozkła

dów

długości obsługi

jednostek priorytetowych i

^zwykłych

C. R. Heathcote ([16]) znalazł wzór na ll(rxi, a

2 , t).

W rozwiązaniu występuje zmodyfikowana funkcja Bessela pierwszego rodzaju.

Wykorzystując

podstawowe twierdzenia z teorii odnowy, tj. elementarne twier- dzenie i

^węzłowe

twierdzenie teorii odnowy (zob. [25]) oraz wzory (2.1.36), (2.1.38) i (2.1.39), znajdujemy

funkcję tworzącą rozkładu

granicznych

prawdopodobieństw długości

kolejki:

oo

ll(rx1, rx2) = CA.1 +A.2)e2 ~ II(rx1, rx2, t)dt+e2,

o

d . ,.. l -A.2E(c2) .. _{1. ~} E( ) _{1 .} (b ) gzie e2

=

I+A.iE(bi), Jeze

1 11.2

c2 <

1

E

¹

<oo.

Oczywiście, rozkład

brzegowy

^długości

kolejki jednostek priorytetowych w sy- stemie dwupriorytetowym jest taki sam jak

rozkład długości

kolejki jednostek w systemie M/G/l z

A.

₁

i

s

_{1 •}Rozkład

brzegowy

długości

kolejki jednostek

zwykłych

w systemie dwupriorytetowym otrzy- mujemy z (2.1.45)

podstawiając

a

1 =

1. Ze wzoru (2.1.45)

^można

przez

różniczkowanie

i podstawienie odpowiednich wartości E(c2) dla różnych dyscyplin absolutnych otrzymać E(v'lt

1)

i E(.fi2). A oto wyniki:

dla priorytetu absolutnego z

doobsługiwaniem

" A.fE(si)

E(.fi

i)

= (!1

+ 2(1 - ei) '

E(.it

₂⁾ =

1 (e2+ A. ¹ A.2E(si)+Ji.~E(sD),

1-e1 2(1-e1-e2)

jeżeli

e

¹

^+e2 < 1, gdzie (!1

=

A1E(s1), (!2

=

A2E(s2);

dla priorytetu absolutnego z

od nowa:

" A.

1

A.2E(si)

Ji.~E(d)

E(.,lt 2) = A2E(c2) + 2(1-e1)2 + 2(1-A.2E(c2))'

oo

jeżeli~ (e'-t-1)2sl(t)dt < oo, gdzie E(c2) i E(cD ^są dane wzorami (2.1.23), (2.1.24),

o

(18)

22

D. Cze r w i ^ńs ka

natomiast dla priorytetu absolutnego z inną obsługą od nowa E(Jt~) jest tej samej postaci co

powyżej, jeżeli

.A.2(l-s2(..1

1))

1 (!i+ 2

₁

s2(.li.1) < ' gdzie E(c2) i E(ci)

^są

dane wzorami (2.1.28) i (2.1.29).

Wirtualny czas czekania. Przy

^użyciu

dotychczas

rozważanych

charakterystyk

długości

kolejki

można znaleźć

funkcje

^gęstości

czasu czekania jednostek

^zwykłych

i priorytetowych.

Czasem obciążenia obsługi w chwili

t ze

^względu

na jednostki

i-tej

klasy nazy- wamy czas od chwili t do momentu, gdy w systemie nie ma jednostek o priorytecie

j, j ^~i,

pod warunkiem,

^że

od momentu t nie

było zgłoszeń

jednostek

i-tej

klasy.

Innymi

^słowy,

jest to czas czekania na

^obsługę

jednostki

i-tej

klasy, gdyby ona

zgło

siła się

w chwili t, czyli jest to wirtualny czas czekania jednostki

i-tej

klasy. Niech Xi(t)

^będzie

czasem

obciążenia obsługi

w chwili t

systemu dwu- priorytetowego ze

względu

na jednostki priorytetowe, tzn. czas t mierzymy tu od momentu

rozpoczęcia przedziału zajętości

systemu dwupriorytetowego. x

¹

^(t) ^jest

oczywiście

wirtualnym czasem czekania w chwili t jednostki priorytetowej.

Oznaczmy

funkcję gęstości

zmiennej losowej x

1 (

t) przez "Ir

_{1 (}

-c, t ), a

^więc 1//1

(-c, t)d-c

=

Pr(-c < X

1

(t) < -c+d-c).

Rozważana

chwila t

może należeć

do

systemu

^obsługą

jedno- stek priorytetowych, który

rozpoczął się

w chwili t

=

O z

.A.

₁

/(.A.

1

+

^.A.

2), lub do cyklu

^obsługi

jednostki

^zwykłej,

który

rozpoczął się

w pewnej chwili

x, O~ x

< ^t, z

L

oo ^~

2

^(m

2

^,^{x) =}

^G(l,

x). Można więc

m2=l napisać

gdzie

w1 (

-c, t)d-c jest

łącznym prawdopodobieństwem

tego,

że

wirtualny czas cze- kania jednostki priorytetowej w chwili t od momentu

rozpoczęcia przedziału

za-

jętości

systemu

obsługą

jednostek priorytetowych jest z

przedziału

( -c, -c + d-c) i

^że

ten

trwa, a

w~

( -c, t)dr jest

łącznym prawdopodobieństwem

tego,

że

wirtualny czas czekania jednostki priorytetowej w chwili t od momentu rozpo-

częcia

cyklu

^obsługi

jednostki

^zwykłej

jest z

przedziału

(r, r+d-c) i

^że

ten cykl

obsługi

trwa.

Zdarzenie, którego

prawdopodobieństwo

jest równe

w1 (

r, t)dr,

można opisać

inaczej w

następujący

sposób: W chwili t od momentu

rozpoczęcia przedziału zajętości

systemu

^obsługą

jednostek priorytetowych w systemie mamy m

1 ,

m

1

> O,

jednostek priorytetowych; jedna jest w

^obsłudze

i czas do

zakończenia

jej

^obsługi