Rozwi¡zanie: W pierwszym kroku sprawdzamy czy odpowiednie zagadnienie jednorodne (gdy f (x) ≡ 0 ) ma tylko rozwi¡zanie trywialne. Dla równania y 00 + y = 0 równanie charakterystyczne ma posta¢:

Zagadnienia brzegowe dla równa« ró»niczkowych drugiego rz¦du

Przykªad 1. Odnale¹¢ funkcj¦ Greena zagadnienia brzegowego:

( y ⁰⁰ + y = f (x),

y(0) = y ⁰ (1) = 0. (1)

Rozwi¡zanie: W pierwszym kroku sprawdzamy czy odpowiednie zagadnienie jednorodne (gdy f (x) ≡ 0 ) ma tylko rozwi¡zanie trywialne. Dla równania y ⁰⁰ + y = 0 równanie charakterystyczne ma posta¢:

k ² + 1 = 0 =⇒ k = ±i.

Zatem rozwi¡zanie ogólne:

y(x) = C ₁ sin x + C ₂ cos x.

Korzystaj¡c z warunku y(0) = 0 mamy, »e C 2 = 0, wi¦c y(x) = C 1 sin x. Nast¦pnie, poniewa»

y ⁰ (x) = C ₁ cos x oraz y ⁰ (1) = 0 dostajemy, »e C 1 = 0. Wówczas rozwi¡zaniem zagadnienia jedno- rodnego jest y(x) ≡ 0.

W kolejnym kroku dokonujemy wst¦pnej konstrukcji funkcji Greena:

( y ₁ ⁰⁰ + y ₁ = 0;

y ₁ (0) = 0 =⇒

( y ₁ (x) = C ₁ sin x + C ₂ cos x;

y ₁ (0) = 0 =⇒ y ₁ (x) = C ₁ sin x oraz

( y ⁰⁰ ₂ + y ₂ = 0;

y ⁰ ₂ (1) = 0 =⇒

( y ⁰ ₂ (x) = C ₁ cos x − C ₂ sin x;

y ⁰ ₂ (1) = 0 =⇒ C ₁ = C ₂ tg 1

⇒ y ₂ (x) = C ₂ (tg 1 sin x + cos x) . Zatem

G(x, ξ) =

( C ₁ sin x, 0 ≤ x ≤ ξ;

C ₂ (tg 1 sin x + cos x) , ξ ≤ x ≤ 1.

Z ci¡gªo±ci funkcji Greena w punkcie x = ξ; skoku:

G ⁰ _x (ξ + 0, ξ) − G ⁰ _x (ξ − 0, ξ) = 1

p(ξ) . (2)

gdzie p(ξ) = exp  R _a

_(x)

a

(x) dξ 

= exp R ₀

1 dξ
= 1 , dostajemy ukªad na wyznaczenie C 1 i C 2 : ( C ₁ sin ξ − C ₂ (tg 1 sin ξ + cos ξ) = 0;

C ₂ (tg 1 cos ξ − sin ξ) − C ₁ cos ξ = 1.

Licz¡c wyznacznik gªówny ∆ oraz wyznaczniki ∆ C

, ∆ _C

:

∆ = −1, ∆ C

= cos ξ + tg 1 sin ξ, ∆ C

= sin ξ, wi¦c

C 1 = − cos ξ − tg 1 sin ξ, C 2 = − sin ξ.

Zatem funkcja Greena ma posta¢:

G(x, ξ) =

( − sin x (cos ξ + tg 1 sin ξ) , 0 ≤ x ≤ ξ,

− sin ξ (cos x + tg 1 sin x) , ξ ≤ x ≤ 1.

Warunek symetryczno±ci jest trywialny.

Przykªad 2. Odnale¹¢ funkcj¦ Greena zagadnienia brzegowego:



 

 

y ⁰⁰ − y ⁰ = f (x);

y(0) = 0;

y(1) = y ⁰ (1).

(3)

Rozwi¡zanie: Rozwi¡zuj¡c równanie jednorodne y ⁰⁰ − y ⁰ = 0 dostajemy równanie charakterystyczne posta¢:

k ² − k = 0 =⇒ k ₁ = 1, k ₂ = 0.

Wówczas rozwi¡zaniem ogólnym jest:

y(x) = C ₁ e ^x + C ₂ .

Korzystaj¡c z warunku y(0) = 0 mamy, »e C 2 = −C ₁ , wi¦c y(x) = C 1 (e ^x − 1). Dalej, poniewa»

y ⁰ (x) = C 1 e ^x oraz y(1) = C 1 (e − 1), y ⁰ (1) = C 1 e na podstawie warunku y(1) = y ⁰ (1) otrzymujemy,

»e C 1 = 0, wi¦c i C 2 = 0. Wówczas rozwi¡zaniem zagadnienia jednorodnego jest y(x) ≡ 0.

Dokonuj¡c wst¦pnej konstrukcji funkcji Greena, mamy:

( y ₁ ⁰⁰ − y ₁ ⁰ = 0;

y ₁ (0) = 0 ⇒

( y ₁ (x) = C ₁ e ^x + C ₂ ;

y ₁ (0) = 0 ⇒ C ₂ = −C ₁ , ⇒ y ₁ (x) = C ₁ (e ^x − 1) oraz

( y ₂ ⁰⁰ − y ⁰ ₂ = 0;

y ₂ (1) = y ⁰ ₂ (1) ⇒

( y ₂ (x) = C ₁ e ^x + C ₂ ;

y ₂ (1) = y ⁰ ₂ (1) ⇒



 

 

y ₂ ⁰ (x) = C ₁ e ^x ; y ₂ (1) = C ₁ e + C ₂ ; y ₂ ⁰ (1) = C ₁ e,

⇒ C ₂ = 0 ⇒ y ₂ (x) = C ₁ e ^x . St¡d wst¦pn¡ konstrukcja funkcji Greena ma posta¢:

G(x, ξ) =

( C ₁ (e ^x − 1), 0 ≤ x ≤ ξ;

C ₂ e ^x , ξ ≤ x ≤ 1.

Nast¦pnie poniewa», p(ξ) = exp  R a

(x)

a

(x) dξ 

, mamy

p(ξ) = exp

Z

−1dξ



= e ^−ξ .

St¡d, jak równie» z ci¡gªo±ci funkcji Greena w x = ξ oraz skoku, dostajemy ukªad na wyznaczenie C ₁ i C 2 :

( C ₁ (e ^ξ − 1) − C ₂ e ^ξ = 0;

−C ₁ e ^ξ + C ₂ e ^ξ = e ^ξ .

Licz¡c odpowiednie wyznaczniki otrzymujemy:

∆ = −e ^ξ , ∆ _C

= e ^2ξ , ∆ _C

= e ^2ξ − e ^ξ , wi¦c

C ₁ = −e ^ξ , C ₂ = −e ^ξ + 1.

Zatem funkcja Greena ma posta¢:

G(x, ξ) =

( −e ^ξ (e ^x − 1), 0 ≤ x ≤ ξ,

−(e ^ξ − 1)e ^x , ξ ≤ x ≤ 1.

Przykªad 3. Odnale¹¢ funkcj¦ Greena zagadnienia brzegowego:



 



 



x ² y ⁰⁰ − xy ⁰ − 3y = f (x);

y(0) = 0;

y(x) = o 

√ 1 x



, dla x → +∞.

(4)

Rozwi¡zanie: W drugim warunku wyst¦puje wyra»enie z o maªe: y(x) = o ¹ _x
, dla x → +∞, które oznacza, »e granica:

x→+∞ lim y(x)

√ 1 x

= 0.

Na pocz¡tku rozwi¡»my równanie jednorodne x ² y ⁰⁰ − xy ⁰ − 3y = 0. Jest to równanie Eulera, wi¦c dokonujemy podstawienie x = e ^τ . Wówczas na podstawie:

y ⁰ = dy dx = dy

dτ · dτ

dx = ˙ y · 1 x , y ⁰⁰ = d

dx



˙ y · 1

x



= d ˙ y dτ · dτ

dx · 1 x + ˙ y d

dx

 1 x



= (¨ y − ˙ y) · 1 x ² otrzymujemy równanie o staªych wspóªczynnikach postaci:

x ² (¨ y − ˙ y) 1

x ² − x ˙y 1

x − 3y = 0,

¨

y − 2 ˙ y − 3y = 0.

Zapisujemy odpowiednie mu równanie charakterystyczne k ² − 2k − 3 = 0, którego pierwiastkami s¡ k 1 = −1, k 2 = 3. Wówczas

y(τ ) = C ₁ e ^−τ + C ₂ e ^3τ , wracaj¡c do zmiennej x, mamy:

y(x) = C ₁ 1

x + C ₂ x ³ .

Teraz widzimy, »¦ aby warunek y(0) = 0 byª speªniony staªa C 1 musi by¢ zerowa, wi¦c y(x) = C ₂ x ³ . Z drugiego warunku mamy, »e speªnione musi by¢:

x→+∞ lim C ₂ x ³

√ 1 x

= lim

x→+∞ C 2 x

= 0.

Powy»szy warunek jest prawdziwy tylko dla C 2 = 0. Wówczas otrzymujemy, »e rozwi¡zanie zagad- nienia jednorodnego jest trywialne y(x) ≡ 0.

Dokonuj¡c wst¦pnej konstrukcji funkcji Greena, mamy:

( x ² y ₁ ⁰⁰ − xy ⁰ ₁ − 3y ₁ = 0;

y ₁ (0) = 0 ⇒

( y ₁ (x) = C ₁ ¹ _x + C ₂ x ³ ;

y ₁ (0) = 0 ⇒ C ₁ = 0, ⇒ y ₁ (x) = C ₂ x ³ oraz

(x ² y ₂ ⁰⁰ − xy ⁰ ₂ − 3y ₂ = 0;

y(x) = o 

√ 1 x



, dla x → +∞. ⇒ (y ₂ (x) = C _{1 x} ¹ + C ₂ x ³ ; y(x) = o 

√ 1 x



, dla x → +∞. ⇒ C ₂ = 0 ⇒ y ₂ (x) = C ₁ 1

x . St¡d wst¦pn¡ konstrukcja funkcji Greena ma posta¢:

G(x, ξ) =

( C ₂ x ³ , 0 ≤ x ≤ ξ;

C _{1 x} ¹ , ξ ≤ x ≤ +∞.

Nast¦pnie liczymy:

p(ξ) = exp

Z −ξ ξ ² dξ



= exp

Z −1 ξ dξ



= exp (− ln ξ) = 1 ξ .

St¡d, jak równie» z ci¡gªo±ci funkcji Greena w x = ξ, skoku (2), dostajemy ukªad na wyznaczenie C ₁ i C 2 :

( C ₁ ¹ _ξ − C ₂ ξ ³ = 0;

−C 1 1

ξ

− 3C 2 ξ ² = ξ.

Licz¡c wyznaczniki dostajemy:

∆ = −4ξ, ∆ _C

= ξ ⁴ , ∆ _C

= 1, wi¦c

C ₁ = − 1

4 ξ ³ , C ₂ = − 1 4ξ . Zatem funkcja Greena ma posta¢:

G(x, ξ) =



 

 

− ¹ ₄ ^x _ξ

, 0 ≤ x ≤ ξ;

− ¹ ₄ ^ξ _x

, ξ ≤ x ≤ +∞.

Przykªady do samodzielnej pracy:

Zadanie: Odnale¹¢ funkcje Greena zagadnie« brzegowych:

a)

( y ⁰⁰ + 4y = f (x);

y ⁰ (0) = y(1) = 0, b)



 

 

y ⁰⁰ − 4y = f (x);

y ⁰ (0) = 0;

2y(1) = y ⁰ (1), c)

( y ⁰⁰ − y = f (x);

y(0) = y(1) = 0, d)



 

 

x ² y ⁰⁰ + 3xy ⁰ − 3y = f (x);

y(1) = 0;

y(2) = 2y ⁰ (2), e)

( (1 + x ² )y ⁰⁰ + 2xy ⁰ = f (x);

y(0) = y ⁰ (1) = 0, f )

( xy ⁰⁰ + y ⁰ = f (x);

y(1) = y(2) = 0,

g)

( x ² y ⁰⁰ + xy ⁰ − y = f (x);

y(1) = y ⁰ (2) = 0, h)



 

 

x ² y ⁰⁰ + 2xy ⁰ − 12y = f (x);

y(0) = 0;

y(x) = O(1) dla x → +∞.

Odpowiedzi:

a) G(x, ξ) = _{2 cos 2} ¹

( cos 2x sin(2ξ − 2), 0 ≤ x ≤ ξ;

sin(2x − 2) cos 2ξ, ξ ≤ x ≤ 1, b) G(x, ξ) =

( e ^2ξ cosh 2x, 0 ≤ x ≤ ξ;

e ^2x cosh 2ξ, ξ ≤ x ≤ 1, c) G(x, ξ) = − _{sinh 1} ¹

( sinh x · sinh(1 − ξ), 0 ≤ x ≤ ξ;

sinh ξ · sinh(1 − x), ξ ≤ x ≤ 1, d) G(x, ξ) =

( ₁

4 ξ _x ¹

− x
, 1 ≤ x ≤ ξ;

1 4 x 

1 ξ

− ξ 

, ξ ≤ x ≤ 2, e) G(x, ξ) =

( − arctg x, 0 ≤ x ≤ ξ;

− arctg ξ, ξ ≤ x ≤ 1, f ) G(x, ξ) = _{ln 2} ¹

( ln t ln ^ξ ₂ , 1 ≤ x ≤ ξ;

ln ξ ln ^x ₂ , ξ ≤ x ≤ 2, g) G(x, ξ) = ₁₀ ¹







1

x − x


ξ + ⁴ _ξ 

, 1 ≤ x ≤ ξ;

 1 ξ − ξ 

x + ⁴ _x
, ξ ≤ x ≤ 2, h) G(x, ξ) = − ¹ ₇

( _x

ξ

, 0 ≤ x ≤ ξ;

ξ

x

, ξ ≤ x ≤ +∞.