INTELIGENTNE STEROWANIE RUCHEM ROBOTA MANIPULACYJNEGO Z WIĘZAMI GEOMETRYCZNYMI

(1)

INTELIGENTNE STEROWANIE RUCHEM ROBOTA MANIPULACYJNEGO Z WIĘZAMI GEOMETRYCZNYMI

Piotr Gierlak

^1a

, Magdalena Muszyńska

^1b

1Katedra Mechaniki Stosowanej i Robotyki, Politechnika Rzeszowska

apgierlak@prz.edu.pl, ^bmagdaw@prz.edu.pl

Streszczenie

W niniejszej pracy do rozwiązania problemu sterowania ruchem robota manipulacyjnego z narzuconymi więzami holonomicznymi zastosowano inteligentny neuronowo-rozmyty układ sterowania. Celem tego układu jest aproksymacja nieliniowości dynamiki robota manipulacyjnego przeprowadzana po to, aby wygenerować sterowanie kompensacyjne. Układ sterowania zaprojektowano tak, by na bieżąco modyfikował swoje właściwości przy zmiennych warunkach pracy dwuczłonowego robota manipulacyjnego. Badania symulacyjne zostały przeprowadzone dla przypadku, kiedy końcowy punkt robota manipulacyjnego przemieszcza się po torze w kształcie okręgu i wywiera nacisk na powierzchnię kontaktu.

Słowa kluczowe: manipulator, logika rozmyta, sieci neuronowe

INTELLIGENT CONTROL OF ROBOTIC MANIPULATOR MOVEMENT WITH GEOMETRICAL CONSTRAINTS

Summary

In this paper, to solve the problem of the control of the robotic manipulator movement with holonomical constraints, the intelligent control system was used. This system is understood as hybrid controller being combination of fuzzy logic and artificial neural network. The purpose of the neuro-fuzzy system is approximation of nonlineari- ty of the robotic manipulator’s dynamic to generate a compensating control. Control system is designed is such way, to modify their properties under different operating conditions of two-link manipulator. Simulation studies were carried out for the case when the tip of the manipulator moves along a path in the shape of a circle and ex- erts pressure on the contact surface.

Keywords: manipulator, fuzzy logic, neural network

1. WSTĘP

Zagadnienie sterowania ruchem robota manipulacyjnego z ograniczeniami wynikającymi z kontaktu koń- cówki manipulatora z otoczeniem coraz częściej znajduje praktyczne zastosowanie w robotyzacji procesów prze- mysłowych [3, 5]. W takich przypadkach istotnego znaczenia nabierają siły interakcji pomiędzy końcówką roboczą manipulatora i środowiskiem, w którym działa robot. Siły te powstają w punkcie styku końcówki robota z otoczeniem i są to siły normalne i styczne do tzw. powierzchni styku. W celu poprawnej realizacji procesu sterowania siły interakcji normalne do powierzchni styku należy kontrolować. Jednocześnie odby-

wa się sterowanie ruchem końcówki manipulatora po powierzchni styku. Prowadzi to do tzw. sterowania hybrydowego pozycyjno-siłowego [4, 5].

Roboty manipulacyjne są układami o nieliniowym opisie dynamiki, dodatkowo występuje problem niepew- ności modelowania. W celu poprawnej realizacji procesu sterowania takim układem prawo sterowania powinno uwzględniać kompensację nieliniowości sterowanego obiektu [4]. Współcześnie dostępne są nowoczesne tech- niki sterowania układami nieliniowymi, które bazują na teorii układów adaptacyjnych [1, 5, 6] oraz odpornych.

Są one szczególnie przydatne w zagadnieniach sterowa-

(2)

nia w przypadkach takich jak analizowany w niniejszym artykule.

W niniejszej pracy do rozwiązania problemu sterowania ruchem robota manipulacyjnego z narzuconymi więzami holonomicznymi zastosowano inteligentny układ sterowania rozumiany jako sterowanie hybrydowe będą- ce połączeniem logiki rozmytej i sztucznych sieci neuro- nowych. Celem układu neuronowo-rozmytego jest aproksymacja nieliniowości dynamiki robota manipulacyjnego przeprowadzona po to, aby wygenerować sterowanie kompensacyjne.

2. OPIS DYNAMIKI OBIEKTU

Obiektem sterowania jest dwuczłonowy robot manipulacyjny, którego schemat pokazano na rys.1.

Rys. 1. Manipulator dwuczłonowy z ograniczeniem Kinematyka manipulatora we współrzędnych xy opi- sana jest równaniem:

y x

y k q l cosq l cosq

l sinq l sinq (1) gdzie q q ,q to wektor współrzędnych uogólnio- nych robota, l ,l to długości członów robota. Przyjęto, że punkt C manipulatora będzie poruszał się po powierzchni opisanej równaniem:

h k x y R 0 (2)

Jest to równanie więzów holonomicznych narzuco- nych na końcówkę manipulatora, które we współrzęd- nych uogólnionych ma postać:

h q l l 2l l cos q q R 0 (3)

Jakobian związany z narzuconymi ograniczeniami ma formę:

J q ∂h q

∂q !∂h q

∂q ∂h q

∂q "

2l l sin q q 2l l sin q q (4) Dynamiczne równania ruchu tego robota można przedstawić w postaci następującego równania:

a a cos q q

a cos q q a%

q&

0 a sin q q q'

a sin q q q' 0 q'

q' a(q' a)q' a*cosq

a+cosq τ_, τ_,

uu 2l l sin q q

2l l sin q q λ (5)

gdzie ai to parametry zależne od geometrii i rozkładu mas układu oraz współczynników oporów ruchu, u¹ i u² to momenty napędzające człony, τ^d1 i τ^d2 to zakłócenia, λ mnożnik Lagrange’a – w tym przypadku to siła normal- na do powierzchni więzów. W zapisie macierzowym równanie (5) ma formę [7]:

M q q& C q, q' q' F q' G q τ, t

u J q λ (6)

Wprowadzenie więzów (3) zredukowało liczbę stopni swobody z 2 do 1, zatem ruch manipulatora może być opisany przy pomocy arbitralnie wybranej zredukowanej współrzędnej pozycji θ1=q1. Z przyjętych ograniczeń wynika współrzędna zależna taka, że

θ q γ q q arccos⁸⁹^:;_;_<⁹^<_;^:;₉ ⁹⁹,

q

'

₂ ^q

'

₁^{, q}

&

₂ ^q

&

₁ ⁽⁷⁾

Definiuje się jakobian rozszerzony L wiążący prędko- ści układu nieograniczonego i ograniczonego w następu- jący sposób:

q' Lθ' ! 1

?γ @_<

?A<

" θ' (8) W analizowanym przypadku L=[1, 1]^T. Podstawiając zależność γ(q1) i wzór (8) do równania dynamiki manipulatora (5) otrzymano:

a a h

a h a% θ& ! a B1 h θ'

a B1 h θ' "θ' !a⁽θ' a)θ' "

a*cosθ

a+cos θ arccosh τ,

τ,

uu

! 2l l √1 h

2l l √1 h "λ (9) gdzie h ⁸⁹^:;_;^<⁹^:;⁹⁹

<;₉ . Mnożąc zależność (9) przez L^T i wykorzystując fakt, że JL=0, zapisano

L a a h

a h a% θ& L ! a B1 h θ'

a B1 h θ'"θ' L !a⁽θ' a)θ' "

L a*cosθ

a+cos θ arccosh L τ,

τ, L u

u (10) a w zapisie macierzowym

MDθ& VD θ' FF GD τF, L u (11) gdzie MD L a a h

a h a%, VD L ! a B1 h θ' a B1 h θ' ", FF L !a⁽θ'

a)θ' ", GD L a*cosθ

a+cos θ arccosh , τF, L τ,

L τ,

τ, , u u u .

Powyższe równanie opisuje ruch po powierzchni styku, przy czym należy zauważyć, że nie ma w nim infor- macji o sile nacisku.

(3)

3. STEROWANIE POZYCYJNO - SIŁOWE

Celem sterowania hybrydowego pozycyjno-siłowego jest teraz realizacja zadanej trajektorii θ^1d(t) oraz realizacja zadanej trajektorii siłowej λd(t). Zdefiniowano błąd nadążania eθ, uogólniony błąd nadążania s, błąd siły λG oraz pomocniczy sygnał υ1 [7]:

eA θ , θ (12)

s e'A ΛeA (13)

λG λ, λ (14)

υ θ' , ΛeA (15)

gdzie Λ jest dodatnią stałą projektową. Równanie (10) wyrażone w tych zmiennych ma formę

L a a h

a h a% υ' s' L ! a B1 h θ'

a B1 h θ' " υ s L !a⁽θ'

a)θ' " L a*cosθ

a+cos θ arccosh L τ,

τ,

L u

u (16) Zredukowaną dynamikę manipulatora w funkcji uogólnionego błędu nadążania przekształcono do postaci:

L a a h

a h a% s' L ! a B1 h θ'

a B1 h θ' "s L f L τ,

τ,

L u

u (17)

MDs' VD s L f τF, L u gdzie

f a a h

a h a% υ' ! a B1 h θ'

a B1 h θ' "υ !a⁽θ' a)θ' "

a*cosθ

a+cos θ arccosh (18)

W celu realizacji sterowania pozycyjno-siłowego przyjęto sterowanie w postaci:

u u uLM uN ς

fP KMLs J Rλ, KNλGS ς (19) gdzie ς to sterowanie odporne, uPD=KDLs to forma sterowania PD, gdzie KD to dodatnio określona macierz wzmocnienia pozycyjnego, uN J Rλ, KNλGS to sterowanie w pętli sprzężenia siłowego, gdzie KF to dodatnie wzmocnienie siłowe, natomiast u fP to funkcja aprok- symująca nieliniową zależność (18), jest to sterowanie kompensacyjne. Schemat zamkniętego układu sterowania przedstawiono na rys. 2.

Rys. 2. Schemat zamkniętego układu sterowania pozycyjno- siłowego

Kompensator jest zrealizowany w formie układu neuronowo-rozmytego. Zgodnie z twierdzeniem mówiącym o dokładności aproksymacji nieliniowej funkcji modelem neuronowo-rozmytym [10] wraz ze wzrostem stopnia złożoności modelu (liczby reguł, liczby zbiorów rozmytych) rośnie jego możliwość do dokładnego odwzorowa- nia. Jednak w przypadku większej liczby wejść modelu neuronowo-rozmytego występuje problem eksplozji rozwiązań. Aby uniknąć tego typu zjawisk, wprowadzo- no strukturalne sterowanie neuronowo-rozmyte poprzez zastąpienie modelu złożonego modelami prostymi. Takie podejście upraszcza problem projektowania, wprowadza nową strukturę sterowania neuronowo-rozmytego i przyspiesza proces obliczeniowy [9]. Elementy wektora sterowania kompensującego nieliniowości robota manipulacyjnego zapisano jako:

fTU g g g%

fTU g( g) g* (20) gdzie:

g a a h υ' g a √1 h θ' υ

g_% a₍θ' a_*cosθ (21) g( a h a%υ'

g) a √1 h θ' υ g* a)θ' a+cos θ arccosh

4. NEURONOWO-ROZMYTY

KOMPENSATOR NIELINIOWOŚCI ROBOTA

W celu aproksymacji nieliniowości robota manipulacyjnego zastosowano układ neuronowo-rozmyty, który należy do podzbioru układów z logiką rozmytą.

W przyjętym wariancie układu, adaptacji podlegają parametry konkluzji bazy reguł modelu Sugeno przy założonych stałych parametrach funkcji przynależności wejścia µXYZ (założono w przesłankach bazy reguł rów- nomierne rozmieszczenie funkcji przynależności w przestrzeni rozważań). Do aproksymacji nieliniowości zastosowano model rozmyty w postaci bazy reguł:

R^[: IF^x A[ `AND^xT A[ `THEN^yF yF^f` (22)

(4)

gdzie A[g jest zbiorem rozmytym w Ugi R, x x ,x … xT k U a j 1,2,…, N to liczba reguł. Model rozmyty z operacją rozmywania typu singleton, z bazą reguł (21), rozmytą implikacją typu (MIN), metodą wyostrzania typu CA można opisać zależnością [8,10]:

f x ∑ τn [yF[

[o p∑ τⁿ_[o _[ (23)

gdzie τ[ oznacza stopień aktywności reguły R^[.

τ[ q µ_go X_YZ x (24) x k U i R , yF k V i R to odpowiednio wejście do modelu rozmytego i wyjście ostre z modelu. Jeżeli wybierze się funkcje przynależności µX_YZw postaci krzywych gaussow- skich, które są wyrażone wzorem:

µXYZ xg e^:r^ZY⁹^{^s}^Y^:^ZY^`⁹ (25) gdzie r[g jest parametrem określającym odwrotność szerokości krzywej gaussowskiej a c[g jest jej środkiem, to wówczas wyjście z modelu rozmytego można zapisać w formie:

f x ∑n q eⁿ_go ^:r^ZY⁹^{^s}^Y^:^ZY^`⁹ yF[ [o

∑ eⁿ_[o ^:r^ZY⁹^{^s}^Y^:^ZY^`⁹

t (26)

Natomiast stopień aktywności reguły wyznaczono na podstawie zależności (24):

τ[ q e_go ^:r^ZY⁹^{^s}^Y^:^ZY^`⁹ (27) W dalszych rozważaniach do aproksymacji zależności funkcyjnych występujących w konkluzjach bazy reguł modelu Takagi-Sugeno zostanie zastosowana sieć neuro- nowa. W tym celu przyjęto we wzorze (23) yF[ w[ jako wagi sieci neuronowej i wówczas model neuronowo- rozmyty zapisano w postaci równania:

fP x Tr ∑ τn [w[ [o ∑ τn [

p [o (28)

gdzie nr=1,2. Przyjmując oznaczenie:

δ[ x τ[

∑ τⁿ_[o _[

p (29)

model neuronowo-rozmyty zapisano w zwięzłej postaci:

fP xTr W_TUδ x (30) gdzie W_TU wx , wx ,…, wxy.Prawo uczenia wag konkluzji bazy reguł układu neuronowo-rozmytego wyznaczono, stosując teorię stabilności Lapunowa [2]. Przyjęto algorytm uczenia wag sieci w postaci:

Wz'_TU F{δ Ls kF{|Ls|Wz_TU (31) gdzie k } 0 jest wielkością projektową, F{ to macierz współczynników wzmocnień adaptacji. Takie ujęcie

syntezy sterowania neuronowego umożliwia poprawną pracę układu sterowania w wyniku działania pętli we- wnętrznej z regulatorem PD, do momentu, aż sieć zacznie się uczyć. Oznacza to, iż nie jest wymagany wstępny proces uczenia wag sieci, a wagi sieci są esty- mowane w czasie rzeczywistym. Na podstawie równania (30) aproksymowane elementy gf, wektora f zapisano w postaci równania (32) jako:

g~g x Wz_TUδ x (32) a po rozpisaniu otrzymano

g~g x wx ,wx ,… , wxy • δ xδ x δy€x

• (32)

gdzie m to liczba reguł rozmytych. W wyniku takiego podejścia otrzymano sześć prostych modeli neuronowo- rozmytych, każdy o dwóch sygnałach wejściowych. Na rys. 3 pokazano przykładowe elementy wektora f (g¹, g², g³). Takie ujęcie znacznie ułatwia syntezę modelu neuronowo-rozmytego.

Rys. 3. Schemat układu neuronowo-rozmytego z adaptacją konkluzji bazy reguł

5. WYNIKI TESTU

NUMERYCZNEGO NEURONOWO- ROZMYTEGO ALGORYTMU STEROWANIA

Przeprowadzono testy numeryczne zaproponowanego neuronowo-rozmytego algorytmu sterowania ruchem robota manipulacyjnego z narzuconymi więzami holonomicznymi. Testy zostały zrealizowane w środowisku obliczeniowym Matlab/Simulink.

Każdy element gg wektora sterowania kompensujące- go nieliniowości zawiera dwie zmienne wejściowe. Do aproksymacji modelem neuronowo-rozmytym przestrzeń rozważań każdej z tych zmiennych wejściowych podzie- lono na 3 zbiory rozmyte opisane gaussowskimi funk- cjami przynależności, w wyniku czego otrzymano bazę reguł złożoną z 9 reguł dla każdej funkcji gg. Założono równomierny podział przestrzeni wejściowej.

W prezentowanej symulacji założono wzmocnienia sterowań KD=diag{1,1}, L=1, KF=1. Macierz wzmoc- nień adaptacji konkluzji bazy reguł modelu neuronowo- rozmytego Fw=0.2. Uzyskane w symulacji przebiegi sygnałów sterowania przedstawiono na rys. 4.

(5)

a)

0 20 40 60 80 100 120 140 -0.8

-0.4 0 0.4 0.8

t[s]

uj[Nm]

u₂ u₁

b)

0 20 40 60 80 100 120 140 -0.8

-0.4 0 0.4 0.8

t[s]

f(x)nr[Nm]

f_nr2 f_nr1

Rys. 4. Przebiegi sygnałów sterowania: a) całkowite, b) kompensacyjne

Sterowanie całkowite generowane jest w taki sposób, aby realizować zadaną trajektorię ruchu oraz zapewniać żądany docisk końcówki manipulatora do powierzchni styku. W początkowej fazie człony manipulatora są nieruchome, narasta natomiast wywierany nacisk na powierzchnię styku, co jest spowodowane przez sterowanie uN przedstawione na rys.5b.

a)

0 20 40 60 80 100 120 140 -0.4

-0.2 0 0.2 0.4

t[s]

KDjLjsj[Nm]

K_D1L₁s₁, K_D2L₂s₂

b)

t[s]

uFj[Nm]

u_F1 u_F2

0 20 40 60 80 100 120 140 -0.8

-0.4 0 0.4 0.8

Rys. 5. Przebiegi sygnałów sterowania neuronowo-rozmytego:

a) PD, b) siłowe

Pozostałe składniki sterowania mają bardzo małe wartości, które są potrzebne jedynie do zrównoważenia momentów pochodzących od sił grawitacji. Nie ma natomiast potrzeby poruszania członów, gdyż zadana prędkość ruchu jest na początku równa zeru. Wobec tego bardzo małe są wartości błędów nadążania, na których bazuje regulator PD. Około 10 [s] człony zaczy- nają się poruszać tak, aby realizować zadaną trajektorię ruchu i wówczas wzrasta znacząco sterowanie PD.

Następnie dzięki postępowi adaptacji ocen wag konkluzji bazy reguł układu neuronowo-rozmytego rośnie rola sterowania kompensacyjnego. Na rys. 6 przedstawiono przebiegi błędów nadążania. Jak wynika z wykresów, błędy są największe w początkowej fazie ruchu nadążne- go, a następnie są zmniejszane i w wyniku adaptacji układu sterowania pozostają ograniczone.

a)

0 20 40 60 80 100 120 140 -0.2

-0.1 0 0.1 0.2

t[s]

eθ1[rad]

b)

0 20 40 60 80 100 120 140 -0.2

-0.1 0 0.1 0.2

t[s]

e. θ1[rad/s]

Rys. 6. Błędy nadążania a) ‚ƒ , b) ‚'ƒ .

Na rys. 7 przedstawiono wybrane przebiegi ocen wag konkluzji bazy reguł układu neuronowo-rozmytego.

Oceny wag konkluzji podlegają najszybszej adaptacji w początkowej fazie ruchu, a następnie dążą do wartości ustalonych.

a)

0 20 40 60 80 100 120 140 -0.2

-0.1 0 0.1 0.2

t[s]

Wnf(2)

b)

0 20 40 60 80 100 120 140 -0.1

-0.05 0 0.05 0.1 0.15

t[s]

Wnf(3)

Rys. 7. Wybrane wartości wag układu neuronowo-rozmytego Na rys. 8 zamieszczono przebiegi zrealizowanej siły nacisku, czyli trajektorię siłową (rys. 8a) oraz błąd nadążania za trajektorią siłową (rys. 8b).

a)

0 20 40 60 80 100 120 140 0

2 4 6

t[s]

λ[N]

b)

0 20 40 60 80 100 120 140 -0.4

-0.2 0 0.2 0.4

t[s]

λ~ [N]

Rys. 8. Trajektoria siłowa: a)zrealizowana trajektoria siłowa, b) błąd nadążania za trajektorią siłową

(6)

Oscylacje błędu „… wynikają z niedokładności działa- nia zarówno sterowania siłowego jak i realizacji ruchu nadążnego, co powoduje niejednostajny docisk końcówki manipulatora do powierzchni styku.

6. WNIOSKI

W niniejszym artykule przeanalizowano jedną z no- woczesnych technik sterowania układami nieliniowymi, czyli metodę bazującą na układach neuronowo- rozmytych. Są one szczególnie przydatne w zagadnieniach sterowania w przypadkach takich jak analizowany w niniejszym artykule. Celem układu neuronowo- rozmytego była aproksymacja nieliniowości dynamiki robota manipulacyjnego przeprowadzana po to, aby

wygenerować sterowanie kompensacyjne. W układzie adaptowane były konkluzje bazy reguł modelu neuronowo-rozmytego przy stałych parametrach przesłanek (środków i szerokości funkcji Gaussa), założono ich równomierny podział w przestrzeni rozważań. Skutecz- ność zaprojektowanego neuronowo-rozmytego algorytmu sterowania została potwierdzona wynikami badań symu- lacyjnych. Potwierdzają one słuszność przyjętej metody sterowania. Zaproponowany sposób sterowania nieliniowym obiektem, jakim jest robot manipulacyjny, stanowi narzędzie wykorzystujące informację neuronowo-rozmytą w sposób bardzo efektywny.

Literatura

1. Chen S., Billings A.: Neural networks for nonlinear dynamic system modeling and identification. „Int. J. Con- trol” 1996, Vol. 56, No. 2, p. 319 - 346.

2. Giergiel J., Hendzel Z., Zylski W.: Modelowanie i sterowanie mobilnych robotów kołowych. Warszawa: PWN, 2002.

3. Gierlak P.: Hybrid position/force control in robotised machining. „Solid State Phenomena”, Trans Tech Publica- tions, 2014, Vol. 210, p. 192 - 199.

4. Gierlak P.: Hybrid position/force control of the SCORBOT-ER 4pc manipulator with neural compensation of nonlinearities. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2012. In: L. Rutkowski et al. (Eds.): ICAISC 2012, Part II, LNCS 7268, p. 433 - 441.

5. Gierlak P.: Zastosowanie adaptacyjnego hybrydowego pozycyjno-siłowego sterowania manipulatorem w zroboty- zowanej obróbce mechanicznej. „Modelowanie Inżynierskie” 2013, nr 46, t. 15, s. 28 - 34.

6. Kumar N., Panwar V., Sukavanam N., Sharma S.P., Borm J.-H.: Neural network based hybrid force/position control for robot manipulators. „Int. J. Precis. Eng. Manuf.”, 2011, Vol. 12, No. 3, p. 419 - 426.

7. Lewis F.L., Jagannathan S., Yesildirek A.: Control of robot manipulators and nonlinear systems. London: Taylor

& Francis, 1999.

8. Hendzel Z., Muszyńska M.: Adaptive fuzzy control of a wheeled mobile robot. „Int. J. of Applied Mechanics and Engineering” 2012 Vol. 17, No 3, p.827 - 835.

9. Hornik K., Stinchcombe M., White H.: Multilayer feedforward networks are universal approximations. “Neural Networks” 1989 Vol. 2, p. 359 - 366.

10. Muszyńska M: Neuronowo-rozmyte systemy sterowania mobilnym robotem kołowym. Rozprawa doktor- ska, 2012.