KONKURS PRZEDMIOTOWY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM

Konkursy w województwie podkarpackim w roku szkolnym 2009/2010

 

KONKURS PRZEDMIOTOWY Z MATEMATYKI  DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM 

 

 

Klucz odpowiedzi do ETAPU WOJEWÓDZKIEGO   

 

Zadania otwarte: 

 

1. Jeżeli  uczeń  popełnił  błąd  w  obrębie  jednego  z  kryterium,  to  otrzymuje  za to kryterium 0 punktów. 

2. Jeżeli  uczeń  pomimo  tego  błędu,  tok  rozumowania  ma  poprawny,  to otrzymuje dalsze punkty zgodnie z kryteriami. 

3. Jeżeli  uczeń  poprawnie  rozwiązał  zadanie  inną  metodą  niż  podana,  otrzymuje maksymalną liczbę punktów za to zadanie. 

     

Zad.  Odpowiedzi  Liczba 

pkt. 

x=2 więc 

5(a+3∙2)(2+1) – 4(1+2∙2)

²

 = 80 

‐ zapisanie równania  1        15a + 90 – 100 = 80 

         a = 6  ‐ rozwiązanie równania  1 

1 

Razem:  2 pkt. 

x = 75%y

  ‐ zapisanie zależności  1 

%

% 100

% 75

100 = ⋅

⋅ y

y x

y

  ‐ zapisanie zależności  1 

3% 1331

% 3 100

% 4 75 100

100⋅ = ⋅ =

 

‐ wynik końcowy  1 

2 

Razem:  3 pkt. 

0 = 2x + b, więc x =  2

−b   ‐ obliczenie miejsca zerowego 

pierwszej funkcji   1 

0 = ax + 3, więc x = 

a

−3  ‐ obliczenie miejsca zerowego 

drugiej funkcji  1 

a

b 3

2 =−

− , więc  a ∙ b = 6  ‐ wyznaczenie zależności 

pomiędzy liczbami a i b  1  (2,3); (3,2); (6,1); (1,6) 

 

‐ podanie czterech prawidłowych par  liczb całkowitych spośród ośmiu par  stanowiących rozwiązanie zadania 

1  (‐2,‐3); (‐3,‐2); (‐6,‐1); (‐1,‐6)  ‐ podanie pozostałych czterech par 

liczb całkowitych  1 

3 

Razem:  5 pkt. 

Strona 1 z 4 

Konkursy w województwie podkarpackim w roku szkolnym 2009/2010

 

     

Wystarczy pokazać że:    a ∙ b = 1     15 4 15

4− ⋅ +

=

⋅ b

a   ‐ zapisanie iloczynu  1 

( ^{4 − 15} ) ( ^{⋅ 4 + 15} )

=

  ‐ wykorzystanie własności 

pierwiastków  1 

1 1 15

4

²

− = =

=

  ‐ końcowy wynik  1 

4 

Razem:  3 pkt. 

s – długość trasy w km  v – prędkość pociągu w km/h 

v

s ‐ czas potrzebny na pokonanie trasy 

3h min 2

40 = ‐ różnica czasu po  zwiększeniu prędkości 

   

      ‐ wprowadzenie oznaczeń    

           

1 

⎪ ⎪

⎩

⎪⎪ ⎨

⎧

=

− − + =

− 10 1

3 2 10

v s v

s v

s v s

   ‐ zapisanie poprawnego układu 

równań (po 1 pkt. za każde równanie)  2 

⎪ ⎪

⎩

⎪⎪ ⎨

⎧

− = +

− + =

− +

10 1 10

3 2 10

10

2 2

v v

s sv sv

v v

vs s sv

 

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

= +

=

v v s

v v

s

10 10

20 2

30

2 2

 

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+

−

=

−

+

=

v v

s

v v

s

30 3 30

20 2

30

2 2

  Po dodaniu stronami mamy: 

v v 50 0=− ²+  

‐ doprowadzenie układu do równania 

kwadratowego  1 

50 lub 0

0 ) 50 (

=

=

=

− v v

v

v

 

‐ obliczenie prędkości pociągu równej  50 km/h 

(uczeń może zauważyć że v=0  nie spełnia warunków zadania) 

1 

10

2

10 v s = v −

 

10 200 500 2500− =

=

s  

‐ obliczenie długości trasy równej 

200 km  1 

5 

Razem:  6 pkt. 

) 3 5 ( 5

3

5 2 5

2

^{− − −}

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

^{x x}

  ‐ doprowadzenie potęg do tej samej 

   podstawy     1 

3x – 5 = – (5x – 3)  ‐ zapisanie równania  1 

6 

x = 1  ‐ poprawne rozwiązanie równania  1 

   

 

Strona 2 z 4   

Konkursy w województwie podkarpackim w roku szkolnym 2009/2010

 

  Razem:  3 pkt. 

 

‐ wykonanie rysunku, wprowadzenie  oznaczeń i zauważenie, że krótsza  przekątna dzieli romb na dwa trójkąty  równoboczne, każdy o polu równym  1 cm²

1 

4 2

2

3 2

3 4 1

4 3

=

=

=

=

a a P P a

  ‐ obliczenie boku rombu  1 

3 27 2 27 3

27

2

⁴

4 4

4

=

⋅

= ⋅

a

  ‐ usunięcie niewymierności 

z  mianownika  1 

7 

Razem:  3 pkt. 

 

‐ wykonanie rysunku, wprowadzenie 

oznaczeń  1 

) (

3 4

) (

3 2 8 1

3 2 8 3 1 2 8 3 1 2 8 1

c b a P

c b a P

c b

a P

+ +

⋅

=

+ +

⋅

⋅

=

⋅

⋅ +

⋅

⋅ +

⋅

⋅

=

 

‐ wyznaczenie pola trójkąta 

równobocznego jako sumy pól trzech  trójkątów o wspólnym wierzchołku  w punkcie P 

1 

3 48

4 3 ) 3 8

( ²

=

= ⋅ P

P   ‐ obliczenie pola trójkąta 

równobocznego  1 

12

3 48 ) (

3 4

= + +

= + +

c b a

c b

a   ‐ wyznaczenie sumy odległości punktu 

P od boków trójkąta  1 

8 

Razem:  4 pkt. 

   

 

Strona 3 z 4   

Konkursy w województwie podkarpackim w roku szkolnym 2009/2010

 

d – średnica koła – szerokość tunelu 

|AD| = 1 m 

|CD| = 3 m 

‐ wykonanie rysunku, wprowadzenie 

oznaczeń, zapisanie danych  1 

kąt ACB jako kąt wpisany oparty na  średnicy okręgu jest kątem prostym,  więc Δ ABC jest prostokątny 

‐ uzasadnienie że Δ ABC jest 

prostokątny  1 

Δ ABC – prostokątny  Δ ADC – prostokątny 

Δ ABC ~ Δ ADC na podstawie cechy kkk  (oba trójkąty mają przynajmniej po  jednym kącie ostrym równym) 

‐ poprawne uzasadnienie  podobieństwa trójkątów   prostokątnych (zaznaczenie na  rysunku lub zapisanie kątów o tej  samej mierze) 

1 

2 2

2 AD CD

AC = +  

stąd 

10 3

1

²

+

²

=

=

AC

 

‐ obliczenie 

AC

 z twierdzenia 

Pitagorasa  1 

d AC AC

AD

AB AC AC

AD

=

=

  ‐ zapisanie proporcji  1 

10 10 10

1

=

= d

d

  ‐ obliczenie szerokości tunelu  1 

9 

Razem:  6 pkt. 

 

   

 

Strona 4 z 4