GEOMETRIA WYKREŚLNA I RYSUNEK TECHNICZNYGEOMETRIA WYKREŚLNA I RYSUNEK TECHNICZNY

GEOMETRIA WYKREŚLNA I RYSUNEK TECHNICZNY

GEOMETRIA WYKREŚLNA I RYSUNEK TECHNICZNY

Instytut Geologii,

Uniwersytet im. A. Mickiewicza w Poznaniu

prof. UAM, dr hab. Jędrzej Wierzbicki

Pracownia Geologii Inżynierskiej i Geotechniki

GWiRT:

GWiRT:

PROGRAM WYKŁADÓW

RODZAJE RZUTÓW

•

RZUT RÓWNOLEGŁY

• RZUT ŚRODKOWY

•

RZUT PERSPEKTYWICZNY

•

RZUT AKSONOMETRYCZNY

RZUT PROSTOKĄTNY RZUT CECHOWANY RZUTY MONGE’A

RZUTY PROSTOKĄTNE

GWiRT:

GWiRT:

PODSTAWOWE POJĘCIA GEOMETRII EUKLIDESOWEJ

A - punkt

a

- prosta

a

- płaszczyzna

GWiRT:

GWiRT:

PODSTAWOWE POJĘCIA GEOMETRII EUKLIDESOWEJ

przynależność uporządkowanie przystawanie ciągłość

równoległość

AKSJOMATY – określają związki pomiędzy utworami podstawowymi

PRZESTRZEŃ EUKLIDESOWA

GWiRT:

GWiRT:

PODSTAWOWE POJĘCIA GEOMETRII EUKLIDESOWEJ

ODWZOROWANIE

Z Z’

A B

C

A’

B’

C’



GWiRT:

GWiRT:

PODSTAWOWE POJĘCIA GEOMETRII EUKLIDESOWEJ

PRZEKSZTAŁCENIA

RZUT ŚRODKOWY

S

A A’

P

3D

GWiRT:

GWiRT:

PODSTAWOWE POJĘCIA GEOMETRII EUKLIDESOWEJ

PRZEKSZTAŁCENIE

A A’

P

RZUT RÓWNOLEGŁY

k

3D

GWiRT:

GWiRT:

PODSTAWOWE POJĘCIA GEOMETRII EUKLIDESOWEJ

PRZEKSZTAŁCENIE

A

A’

P

RZUT RÓWNOLEGŁY

k

3D

GWiRT:

GWiRT:

RZUT RÓWNOLEGŁY 3D

A

k

A’

punkt rzut równoległy punktu -

GWiRT:

GWiRT:

RZUT RÓWNOLEGŁY 3D

P

k ^a

a’ A’ H

A

prosta rzut równoległy prostej -

GWiRT:

GWiRT:

RZUT RÓWNOLEGŁY 3D

punkt rzut równoległy prostej -

P

k

H

= a’

a

GWiRT:

GWiRT:

RZUT RÓWNOLEGŁY 3D

proste równoległe rzut równoległy prostych równoległych -

P

k

H

a

b

a’

b’

H

GWiRT:

GWiRT:

RZUT RÓWNOLEGŁY 3D

punkty rzut równoległy prostych równoległych -

P

k

H

= b’

b

H

= a’

a

GWiRT:

GWiRT:

RZUT RÓWNOLEGŁY 3D

prosta rzut równoległy prostych równoległych -

P

k ^a

a’=b’

H

H

b

a

GWiRT:

GWiRT:

RZUT RÓWNOLEGŁY 3D

proste przecinające się rzut równoległy prostych przecinających się -

P

k ^a

b

a’

b’

P

P’

GWiRT:

GWiRT:

RZUT RÓWNOLEGŁY 3D

proste przecinające się rzut równoległy prostych skośnych -

P

k ^a

b

a’

B b’

A’=B’

A

GWiRT:

GWiRT:

RZUT RÓWNOLEGŁY 3D

prosta i punkt rzut równoległy prostych skośnych -

P

k ^a

b

b’

a’

GWiRT:

GWiRT:

RZUT RÓWNOLEGŁY 3D

proste równoległe rzut równoległy prostych skośnych -

P

k ^a

b

GWiRT:

GWiRT:

RZUT RÓWNOLEGŁY 3D

prosta rzut równoległy płaszczyzny -

P

k

l’

a

GWiRT:

GWiRT:

RZUT RÓWNOLEGŁY 3D

płaszczyzna rzut równoległy płaszczyzny -

P

k

a

a ’

GWiRT:

GWiRT:

RZUT PROSTOKĄTNY 3D

P

P k

P’

RZUT PROSTOKĄTNY TO

RZUT RÓWNOLEGŁY W KIERUNKU PROSTOPADŁYM DO RZUTNI

GWiRT:

GWiRT:

RZUT PROSTOKĄTNY 3D

P

k

A

A’

B’

B

f

odcinek rzut prostokątny odcinka -

GWiRT:

GWiRT:

RZUT CECHOWANY 3D

P

P k

P’

j

j j

RZUT CECHOWANY TO

RZUT PROSTOKĄTNY + CECHY PUNKTÓW

GWiRT:

GWiRT:

RZUT CECHOWANY

3D

P

B j

D’

A’

C’

(-2)

(0) (3)

(1)

C D

B

A

rzut cechowany punktu

GWiRT:

GWiRT:

RZUT CECHOWANY

3D

j

P

a

1 2

H

a’

2’ 1’

m

GWiRT:

GWiRT:

j

2’ a’

c’ b’

1’ 0

6’ 5’ 4’

3’

-1’

rzut cechowany prostej

RZUT CECHOWANY

GWiRT:

GWiRT:

j

P

a

a’ = H

b

b’

RZUT CECHOWANY

3D

GWiRT:

GWiRT:

j

-1

P

a

0 1

2

s

płaszczyzna w przestrzeni

RZUT CECHOWANY

3D

GWiRT:

GWiRT:

3D

j

-1

P

0 1

2

s

1’ a

2’ a ⁰ a _-1’ a ^s’ a

m

j

f

m

j

1

0

RZUT CECHOWANY

GWiRT:

GWiRT:

rzut cechowany płaszczyzny – sposoby przedstawiania plan warstwicowy

j

3’ a 2’ a 1’ a s’ a

3’ a 2’ a 1’ a

warstwice

s’ a 3’ a 2’ a 1’ a

linia spadu

m

3 2

m

RZUT CECHOWANY

m

= m

GWiRT:

GWiRT:

j

P

a

H

a’

1 2

2’ 1’

H

b’

b

1 2

2’ 1’

3D

RZUT CECHOWANY -

GWiRT:

GWiRT:

j

2’ 1’ 0 a’

2’ 1’ 0 b’

c’=d’

2’ 1’ 0

2’ 1’ 0

a’ II b’

m

= m

=

rzut cechowany prostych równoległych

RZUT CECHOWANY -

GWiRT:

GWiRT:

jj

P

a 2

2’ 1’

b

1

H

a’

b’ H

2

2’

3D

RZUT CECHOWANY -

GWiRT:

GWiRT:

jj

2’ 1’ 0 a’

0

b’

2 1’ = P’(1)

rzut cechowany prostych przecinających się

RZUT CECHOWANY -

GWiRT:

GWiRT:

3D

jj

P

a 2

b

b’ = H

H

a’

2’ 1’

1

RZUT CECHOWANY -

GWiRT:

GWiRT:

rzut cechowany prostych przecinających się

jj

2’ 1’ 0 a’

b’

RZUT CECHOWANY -

GWiRT:

GWiRT:

jj

P’(?) a’=b’

2’ 1’ 0

7’ 8’ 9

RZUT CECHOWANY -

GWiRT:

GWiRT:

proste skośne w przestrzeni

3D

jj

P

a 2

H

a’

2’ 1’

b 1

1

2 b’

H

1’

2’

RZUT CECHOWANY -

GWiRT:

GWiRT:

jj

2’ 1’ 0 a’

0

b’

1’

2’

P’

RZUT CECHOWANY -

GWiRT:

GWiRT:

rzut cechowany prostych skośnych

jj

2’ 1’ 0 a’

2’ 1’ 0 b’

2’ 1’ 0 d’

c’

RZUT CECHOWANY -

GWiRT:

GWiRT:

3D

j

-1

P

0 1

2

s

1’ a

2’ a ⁰ a _-1’ a ^s’ a A

A

RZUT CECHOWANY -

GWiRT:

GWiRT:

rzut cechowany punktu i prostej leżących na płaszczyźnie

j

s’ a 3’ a 2’ a 1’ a

a’

A’(2) 2’

3’

1’

RZUT CECHOWANY -

GWiRT:

GWiRT:

j

P

a

0 1

2

s

s

b

0 1

2

3D

RZUT CECHOWANY -

GWiRT:

GWiRT:

rzut cechowany płaszczyzn równoległych

s’ a 3’ a 2’ a 1’ a

s’ b 8’ b 7’ b 6’ b

1’ a II 8’ b m

= m

=

s’ a II s’ b

RZUT CECHOWANY -

GWiRT:

GWiRT:

j

P

a

0 1

2

s

3D

2 1

b

2 1

a

RZUT CECHOWANY -

GWiRT:

GWiRT:

j

s’ a 3’ a 2’ a 1’ a

b’

2’

3’

1’

a’

2’

3’

1’

rzut cechowany prostej równoległej do płaszczyzny

RZUT CECHOWANY -

GWiRT:

GWiRT:

j

s’ a 3’ a 2’ a 1’ a

b’

2’

3’

1’

a’

3’

A’(2) 1’

RZUT CECHOWANY -

GWiRT:

GWiRT:

płaszczyzny przecinające się w przestrzeni

3D

j

P

a

0 1

2

s

b

k

s

0

1 2

RZUT CECHOWANY -

GWiRT:

GWiRT:

s’ b 4’ b 3’ b 2’ b

k’

RZUT CECHOWANY -

GWiRT:

GWiRT:

3D

j

P

a

0 1

2

s

b

s

1 2

k

RZUT CECHOWANY -

płaszczyzny przecinające się w przestrzeni o warstwicach II

GWiRT:

GWiRT:

RZUT CECHOWANY -

s’ b 4 b 3’ b 2’ b

k’

k’

k’

GWiRT:

GWiRT:

prosta przebijająca płaszczyznę w przestrzeni

3D

j

P

a

0 1

2

s

b

k

s

0

1 2 a 2

1 P

RZUT CECHOWANY -

GWiRT:

GWiRT:

j

s’ a 3’ a 2’ a 1’ a

a’

1’

2’

s’ b ^1’ b

2’ b P’

RZUT CECHOWANY -

GWiRT:

GWiRT:

prosta prostopadła do płaszczyzny w przestrzeni

3D

RZUT CECHOWANY -

j

P

a

0 1

2

s

a

H

1

s

H

H

j H

m

m

GWiRT:

GWiRT:

RZUT CECHOWANY -

s’ a 1’ a 2’ a 3’ a

m

= 1/ m

=

j

m

m

a’ 1’ a a’

2’

1’

GWiRT:

GWiRT:

płaszczyzna prostopadła do płaszczyzny w przestrzeni

3D

RZUT CECHOWANY -

j

P

a

0 1

2

s

b

s

1

2

GWiRT:

GWiRT:

RZUT CECHOWANY -

s’ b 1’ b 2’ b 3’ b

m

= 1/ m

= j

m

m

a’ 1’ b a’

2’

1’

a a  a b

GWiRT:

GWiRT:

rzut cechowany prostej prostopadłej do prostej

RZUT CECHOWANY -

1’ a 2’ a 3’ a

m

= 1/ m

= j

m

m

1’ a b’

b’

2’

1’

a a  a b

a’

2’

1’

3’

GWiRT:

GWiRT:

RZUT CECHOWANY -

j

e l

r S

P

P f

r

3D

GWiRT:

GWiRT:

RZUT CECHOWANY -

obrót punktu wokół osi pionowej

j

P’

l’=S’

r

P’

f

GWiRT:

GWiRT:

RZUT CECHOWANY -

j

P’

r f

1’ a 2’ a 3’ a

P’

l’=S’

GWiRT:

GWiRT:

RZUT CECHOWANY -

obrót prostej wokół osi pionowej

j

e

a

2 l

S

f S

2

a

e

3D

GWiRT:

GWiRT:

RZUT CECHOWANY -

j

l’=S’

=S’

r f

2’

2’

GWiRT:

GWiRT:

RZUT CECHOWANY -

obrót prostej wokół osi pionowej

j

1’

r₂

b’ 2’

2’

l’=S’

=S’

r₁

f f

r₁

1’

r₂

GWiRT:

GWiRT:

RZUT CECHOWANY -

KŁAD – obrót przy następujących założeniach:

- oś obrotu leży na rzutni (jest pozioma)

- kąt obrotu jest taki aby punkt po obrocie znalazł się na rzutni

POJĘCIA:

- Oś obrotu = oś kładu.

- Kąt obrotu = kąt kładu.

- Kład o kąt P/2 nazywamy kładem prostokątnym.

- Promień obrotu = promień kładu.

- Środek obrotu = środek kładu.

GWiRT:

GWiRT:

RZUT CECHOWANY -

j

2j

A

oś kładu

A

2j

kład prostokątny punktu

3D

GWiRT:

GWiRT:

RZUT CECHOWANY -

j

2

1

GWiRT:

GWiRT:

RZUT CECHOWANY -

kład punktu

j

2j

A

oś kładu r

r r

A

A

3D

GWiRT:

GWiRT:

RZUT CECHOWANY -

j

2

2

GWiRT:

GWiRT:

RZUT CECHOWANY -

kład płaszczyzny

j

1⁰ =

2^x

s’b 1’b 2’b 3’b

j

s^xb s⁰b

2⁰

GWiRT:

GWiRT:

RZUT CECHOWANY –

60 50 40 30

55

65 25

50

45

30

40 50

60 60

60 50 40 30

GWiRT:

GWiRT:

RZUT CECHOWANY –

55

65 25

45

40 30

m

m

60 50

GWiRT:

GWiRT:

RZUT CECHOWANY –

55

65 25

45

60 50 40 30

55

GWiRT:

GWiRT:

RZUT CECHOWANY –

56

55 54

53 52 51

54 55

56 57

53 52 51

58,3

S’

K’

H’

GWiRT:

GWiRT:

RZUT CECHOWANY –

54 53 52 51

55 55,4

A

A

j

52 53 54 55

56 55,4 profil powierzchni

GWiRT:

GWiRT:

RZUT CECHOWANY –

54 53 52 51

55 55,6

1:2 j

m_st

0,6m_st

linia stokowa linia spadu

GWiRT:

GWiRT:

RZUT CECHOWANY –

54 53 52 51

55 55,6

j =1 1:m

54

m

nachylenie w punkcie

GWiRT:

GWiRT:

RZUT CECHOWANY –

54 53 52 51

55 55,6

j

m_a przekrój dowolną

płaszczyzną a

s’a

54,5

!