DR. KAZIM IERZ B A R TEL
P R O F E S O R P O L IT E C H N IK I L W O W S K IE )
W YDANIE DRUGIE
V .
V
LWÓW — WARSZAWA
KSIĄŻNICA POLSKA T-WA NAUCZ. SZKÓŁ WYŻSZYCH MCMXXII
“
KSIĄŻNICA POLSKA
TOW ARZYSTW A NAUCZ. SZKÓŁ WYŻSZYCH LWÓW, UL. CZARNIECKIEGO 12
T E L E F O N Nr. 345
WARSZAWA, NOWY ŚW IAT 59
T E L E F O N Nr. 1 1 5 -4 7 , 223—65 i 147—62
p o le c a n a s tę p u ją c e p o d rę c z n ik i d la s z k ó ł h a n d lo w y c h ;
GÓRA W. — Bilanse.
— Podręcznik księgowości dla użytku w wyższych szkołach handlowych T. I. Księgowość pojedyncza.
— Podręcznik księgowości T. II. Księgowość podwójna.
— Podręcznik księgowości T.III. Formy księgowości podwójnej.
HUMNICKI W. — Krótki kurs towaroznawstwa. Cz- I. Paliwo i towary, organiczne.
KAPUŚCIŃSKI J. — Podręcznik do nauki pisania na maszynie.
PAWŁOWSKI A. - Księgowość rękodzielnika.
— Rachunki kupieckie Cz. I—II.
— Rachunki kupieckie Cz IV.
— Nauka rachunków przemysłowych. Cz. I. dla klasy przy
gotowawczej.
— Nauka rachunków przemysłowych, Cz. II.
— Nauka rachunków przemysłowych. Cz. III.
— Tablice matematyczne.
— Zasady arytmetyki politycznej.
— Tematy do. książkowania w interesie towarowym.
PETYNIAK-SANECKI K. i TOMANEK F. — Zasady ekonomji Społecznej d k wyższych zakładów naukowych w Polsce.
„ Z a s a d y e k o n o m ji s p o łe c z n e j“ o ce n ia w „E k o n o m iś c ie “ 1921, s. 183 b a r d z o k o rz y s tn ie D r Z o tja D a s z y ris k a -G o liń s k a i z u z n a n ie m p o d n o s i sy ste m a ty c z n y u k ła d k sfąźk i, ja s n o ś ć w y k ład ó w , u w z g lę d n ia n ie fak tó w p o w o jen n y c h , o r a z sło w n ictw o , w h tó re m w p ro w a d z a ją a u to ro w ic w ielek ro ć n o w e, d o b rz e o b m y ślo n e te rm in y n au k o w e.
ZAGAJEWSKI K. i TOMANEK F. - Wzory i tematy do han
dlowej korespondencji niemieckiej.
D R . K A Z IM IE R Z B ñ R T E L
PROFESOR POLITECHNIKI LWOWSKIEJ
G E O M E T R J A W Y K R E S L N A
W YDANIE DRUGIE, POPRA W IO NE I UZU
PE Ł N IO N E Z 584 RYSUNKAMI W TEK ŚC IE
(¿k księgozbioru
ć t y m r d i ( Ź u i k w s h e g o
LWÓW WARSZAWA
KSIĄŻNICA POLSKA T ;WA NAUCZYCIELI SZKÓŁ WYŻSZYCH 1922
W Y K O N A N O W Z A K Ł A D Z IE D R U K A R S K IM , 0 R A F IA * W E L W O W IE
W stosunkowo bardzo krótkim odstępie czasu zaszła po
trzeba drugiego wydania tej książki, a z nią konieczność pod
dania rozwadze celowość ogólnego jej układu i przeglądnięcia poszczególnych ustępów.
Postanowiłem nie rozszerzać omawianego obszaru, zacho- - wać elem entarny charakter wykładu, a wobec niemożności zna
cznego powiększenia objętości usunąć, pobieżnie tylko w pierw- szem wydaniu opracowany, rozdział o perspektywie środkowej.
Zarówno układ jak i opracowanie m aterjału uległy częściowej przeróbce, a także dość licznem uzupełnieniom. Kilkanaście rysunków zastąpiono now em i; mimo usunięcia rozdziału o per
spektywie, objętość książki powiększyła się, ilość rysunków wzrosła.
Za pomoc w czytaniu trudnej korekty składam serdeczne podziękowanie panu koledze pro!, dr. R . Plamijzererowi, a za techniczne wykonanie dodatkowych rysunków p. M. Teliczkowi, asystentowi przy mojej katedrze. Szczególnie wielki dług wdzię
czności zaciągnąłem wobec „K siążnicy“ T-wa Nauczycieli Szkół W yższych i Zakładu „G rafji“ za gotowość w uwzględnieniu w szystkich, tak licznych, moich życzeń i ponowne świetne wyposażenie wydawnictwa.
We Lwowie, dnia 5. lipca 1922.
K. Bartel.
/ Í 3 0 4 0 0
W IA D O M O ŚCI W ST Ę P N E
1. P rzed m io t g eo m etrji w y k reśln ej. Podobnie jak mowa lub pismo, jest wszelki rysunek sposobem porozumiewawczym, służącym celom nauki, techniki lub sztuki.
Praw a rządzące mową lub pismem są przedmiotem nauki gram atyki, względnie ortografji; niezmienne, a więc w dzie
dzinie nauk ścisłych leżące prawa, którym podlega każdy ry sunek, są przedmiotem geomełrji w ykreślnej. Geometrja wy- kreślna jest więc, nie ulegającą zmianom, gram atyką wszel
kiego rysunku.
Odtworzenie przedmiotu, przedstawionego rysunkiem , wy
m aga współdziałania tej władzy naszego um ysłu, którą okre
ślam y m ianem z m y s ł u p r z e s t r z e n i . Zdolność wyobra
żania sobie ściśle określonych i określone położenie w prze
strzeni zajm ujących utworów przestrzennych, w najogólniejszem ich rozumieniu, nie jest właściwą w równym stopniu, każdemu umysłowi. Są ludzie, którzy patrzą a nie widzą, w podwójnem znaczeniu tego w yrazu: nie um ieją spostrzegać i nie posiadają zdolności należytego zapam iętania, względnie odtworzenia tego, na co patrzą. Zdolność spostrzegania da się rozbudzić i wy
kształcić, podobnie jak i pamięć przestrzeni, a nauką, która pośrednio zadanie to spełnia, jest geom etrja w ykreślna.
Geometrja w ykreślna podaje właściwe sposoby notowania, kreślenia tego, co spostrzegam y, albo w yobrażam y sobie w prze
strzeni, uczy w ykresy te odczytywać, badać ich własności i wnosić, na podstawie otrzym anych wyników, o w łasnościach utworów przedstawionych -rysunkiem . Umiejętność czytania rysunków polega przedewszystkiem na zdolności wywoływania wyobrażeń, ćwiczenie się w tem czytaniu jest ćwiczeniem zm ysłu przestrzeni.
B a rte l. G e o m e lrja w y k re śln a 1
2 W IA D O M O ŚCI W STĘPNE
R wreszcie, jak zapomocą praw gram atyki spraw dzam y poprawność, z jaką w yraziliśm y m yśl swoją pismem, tak geo- m etrją w ykreślną spraw dzam y poprawność każdego rysunku, który jest również jedynie wyrazem naszych wyobrażeń i pojęć.
2. U w ag i o ry s u n k u g eo m etry czn y m . Znajomość geo- metrji w y k r e ś l n e j łączy się ściśle z umiejętnością wyko
nania rysunku, który m yśl geom etryczną wyraża. Od najprost
szych zadań począwszy, winną być rysunkowi geom etrycznemu poświęcona szczególna uwaga i stała dążność osiągnięcia jak największej w nim biegłości. R ysunek winien być zawsze dokładny i najstaranniej wykonany. W wielkim stopniu zależy osiągnięta dokładność rysunku od przyborów rysunkow ych, które jednak, ani w części, nie zastąpią wprawy, nabytej ćwiczeniami.
Ołówek do rysunku m usi być dostatecznie twardy i zawsze ostro, stożkowato zacięty; użycie ołówków w, rodzaju „Penkala“
jest tu niemożliwe. Do zacinania ołówków używ ać należy scyzoryka; wszelkiego rodzaju m aszynki nie odpowiadają celowi.
Koniec ołówka m usi być s t a l e ostry jak rylec, co osiągnąć się da w doskonały, łatwy i szybki sposób tylko zapomocą małego, drobno siekanego, płaskiego p i l n i k a ; papier pia
skowy, czy szklany, a także i kam ień nie zastąpią pilnika.
Używanie zbyt twardych ołówków z dwóch względów nie jest w skazane: Przedew szystkiem wzgląd na oczy, które cierpią bardzo zm uszone do dłuższego, wytężającego wpatrywania się w zbyt cienkie, szarej barw y linje, a po drugie, niemożność usunięcia linij wykreślonych, albo raczej wyciśniętych, zbyt twardym ołówkiem.
Papier n a rysunki może być bardzo rozmaity. N a ćwi
czenia, w ykonywane tylko ołówkiem, nadaje się zwykły papier do pisania, wycieranie linij jest tu jednak tylko wówczas mo
żliwe, gdy do rysow ania użyto ołówka średniej twardości, więc np. „Polonja“ Majewskiego Nr. HB. Początkujący, który używać będzie częściej gum y dla wytarcia swych nieudolnych prób rysunkow ych, nie może posługiwać się papierem pisarskim i m usi także do rysunków, w ykonanych tylko ołówkiem, użyć papieru rysunkowego. Jakość tych ostatnich, bardzo rozmaita, zależy od ceny i pochodzenia. Rysownik biegły zadowoli się papierem cienkim, dobrze gumowanym, o powierzchni gładkiej;
początkujący użyje z większą korzyścią papieru grubszego, dobrze gumowanego, jednak o powierzchni mniej gładkiej, raczej
2. UWAGI O RYSUNKU GEOMETRYCZNYM 3
szorstkiej. Papier taki znosi bardzo cierpliwie zcieranie linij w ykreślonych nietylko ołówkiem ale i tuszem.
Przybornik. Zespół cyrkli i przyborów do kreślenia tuszem t. zw. grafjonów, stanowi przybornik. W handlu w ystępują przyborniki od najtańszych i mało dokładnych, aż do kosztow
nych szkatuł, w ykonanych z nadzw yczajną dokładnością. P rzy
bornik zawierać winien w każdym razie: cyrkiel z wkładką na ołówek i grafjon, cyrkiel do kreślenia m aleńkich kół, t. zw.
zerownik i grafjon. Nóżki cyrkla powinne dawać się nastawiać prostopadle do płaszczyzny papieru. Grafjon służący do k re
ślenia, a raczej pociągania tuszem linij narysow anych ołów
kiem, winien być zawsze dostatecznie ostry i po każdorazowem użyciu starannie oczyszczony, jednak nie papierem lub bibułą, tylko cienką szmatką, która należy do przyborów rysunkow ych.
Kierownica, w ykonana z drzewa, nie powinna być krótszą od deski rysunkowej, a głowa jej m usi być dobrze przymoco
w aną do lineału. Używania kierownic, w których głowa n a
stawiać się da, względem lineału, pod rozmaitemi kątami, zale
cić nie można.
Trójkątów, które w ykonywane bywają z drzewa, m asy papierowej, celuloidu, twardej gumy, metalu, a także i szkła, potrzebuje rysownik dwóch: prostokątny trójkąt rów noram ienny i prostokątny trójkąt, w którym stosunek jednej przyprostoką- tnej do przeciwprostokątnej w ynosi 1 : 2. Kąty, jakie przeciw- prostokątna zawiera z przyprostokątnem i, są więc w pierwszym trójkącie równe 45°, w drugim wynoszą 30° i 60°. Polecenia godne są przedewszystkiem trójkąty z drzewa, w dobrem wy
konaniu, a potem dopiero z twardej gumy, celluloidu i m asy papierowej. Metal brudzi zbytnio papier, szkło jest zbyt kruchym materjałem, chociaż ze w szystkich w ym ienianych da się naj
czyściej utrzym ać. Trójkąty z drzewa odczyszczać można tylko gum ą lub chlebem. Do kreślenia tuszem nadają się naj
lepiej trójkąty z drzewa, przy użyciu innych następuje łatwo zalewanie linij.
Deska rysunkowa, służąca do przypinania, zapomocą plu
skiewek, względnie naklejania papieru, powinna być wyko
nana z zupełnie suchego drzewa lipowego, topolowego, jawo
rowego lub sosnowego, ujętego w dwie łaty z drzewa twardego.
Ściany czołowe tych łat m uszą być najdokładniej, obrobione, po nich bowiem posuwa się kierownica.
1*
4 W IADOM OŚCI WSTĘPNE
Guma do wycierania śladów ołówka musi być miękka.
W ytarcie linij, w ykreślonych tuszem, osiągnąć się da tylko na papierze nie najgorszego gatunku, a na papierach dobrych jest zawsze możliwe, przy pomocy ostrej gum y i ewentualnie bar
dzo ostrego scyzoryka. Użycie scyzoryka wymaga wprawy i doświadczenia, początkujący posługiwać się nim nie powinien.
Usunięcie tuszem błędnie w ykreślonych linij, względnie więk
szych plam z tuszu, łączy się z um iejętnością rysowania. P rzy pewnej wprawie, a zawsze przy znacznej cierpliwości, wytarcie choćby całej siatki linij lub dowolnie wielkich plam, bez po
zostawienia znaczniejszych śladów, jest zawsze możliwe.
Tusz, t. j. czarna farba, służąca do pociągania linij w ykre
ślonych ołówkiem, w ystępuje w handlu w dwojakiej formie:
płynny, a więc gotowy do użytku i stały w laseczkach, który rysow nik przez roztarcie z wodą na szkle matowem lub w mi
seczce przygotowuje do użytku. Pierw szy, przy małej wprawie w posługiwaniu się grafjonem „zalewa“, t. zn. spływa zbyt gwałtownie, zwłaszcza przy kreśleniu grubych linij. T usz tarty wady tej nie posiada i jest zawsze znacznie czarniejszy.
Rys. 1
Jeżeli rysunek wykony wamy na m ałych kartkach papieru, względnie w notatce, a więc bez posługiwania się deską ry
sunkową i kierownicą, to linje równoległe i prostopadle do nich kreślim y przy pomocy dwóch trójkątów. Jeżeli trójkąt 1, (rys. 1), przytrzym am y lewą ręką, zaś trójkąt 2, oparty stale o 1, posuwać będziemy
praw ą ręką w kierunkach oznaczonych strzałkami, to proste, kreślone wzdłuż przeciwprostokątnej trójkąta 2, są do siebie równoległe. Przez obrót trójkąta 2, (rys. 2), przy zachowaniu położenia trójkąta 1, uzy
skujem y możność kreślenia prostych prosto
padłych do poprzednich. Jeżeli rysujem y na
desce, to kierownica, której głowa posuwać się m usi zawsze po lewej krawędzi deski, służy do rysow ania prostych pozio
m y ch ; użycie trójkąta umożliwia kreślenie prostych prostopa
dłych do pierw szych, lub nachylonych do nich pod 30°, 45° i 60°
(rys. 3). A by rysunek geom etryczny, którego konstrukcja jest
Rys. 2
1. UWAGI O RYSUNKU GEOMETRYCZNYM 5
Rys. 3
niejednokrotnie zawiłą, uczynić przejrzystym i łatwo czytelnym, nadajem y linjom odpowiednie grubości. W szczególności odró- żniam y linje pomocnicze, prowadzące do wyniku, od innych.
W zadaniach początkowych wyróżniać będziemy trojakiego rodzaju linje: dane, pomocnicze i wynikowe. Pierwsze wy
kreślam y zawsze pełne, średniej gru
bości, drugie tak cienko, jak tylko po
zwala graijon, a to albo jako linje ciągle, albo jako złożone z punktów i kresek.
Linje wynikowe kreślim y jako ciągłe, czyli, jak mówimy, pełne i znacznie od danych grubsze. W zadaniach, odnoszą
cych się do utworów przestrzennych,
więc wielościanów i powierzchni, używ ać będziemy również tro
jakiego rodzaju linij, jednak często w innem ich znaczeniu. Linje pomocnicze pozostaną jak poprzednio, linjami najgrubszem i w ykreślam y nietyłko wynik, ale także i obrazy danego utworu przestrzennego, jeśli linje wynikowe leżą na tych utworach.
Przykład najlepiej sprawę w yjaśni: zadanie wymaga w yzna
czenia przecięcia kuli płaszczyzną. O brazy kuli wraz z w yzna
czonym przekrojem w ykreślim y grubo, obraz płaszczyzny, która jest dana, średnią grubością, a resztę linij, jako linje pomocni
cze, bardzo cienko i w rozmaity sposób poprzerywane. Linje pomocnicze w ykreślać można tuszem barwnym, jednak tylko barw y niebieska i sepja są polecenia godne.
file najlepiej pod względem doboru linij w ykonany ry sunek geom etryczny nie jest zupełny, dopóki nie jest o p i s a n y , t. j. dopóki punkty i linje nie otrzym ają oznaczeń. Staranne opisanie rysunku należy do ważnych zadań rysownika, gdyż dopiero opisanie rysunku czyni go czytelnym.
Do opisywania używ ać należy pism a według niżej poda
nego wzoru (rys. 4); pismo t. z w. rondowe uw ażam y dla rysunków geom etrycznych za nieodpowiedne.
a b c d e f g h i j k t m n o p ą r s t u v w x y z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X V Z
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Rys. 4
6 W IADOM OŚCI WSTĘPNE
A L F A B E T GRECKI
A, cc Älpha I, i Iota P, P Rho
B, ß Beta K, K Kappa y G Sigma
r, r
Gamma A, X Lambda T, X ThauA, 8 Delta M, p. My
T l
0 Ypsilon2, e Epsilon N, V Ny o , 9 Phi
Z, ?» Zeta I 1 Xi X, X Chi
I?. Eta 0 , o Omikron w , t Psi
0 , Theta II, jt Pi Q, co Omega'
3. E lem enty p rzestrz en i. O znaczenia. Przedmiotem roz
ważań geom etrycznych wogóle jest p r z e s t r z e ń , a w szcze
gólności u t w o r y geometryczne, powstające w skutek rozważań geom etrycznych.
N ajprostszem i utworami geometrycznemi, stanowiącemi punkt w yjścia dla naszych rozumowań, u t w o r a m i z a s a - d n i c z e m i , które też] zwiemy e l e m e n t a m i p r z e s t r z e n i są: p u n k t , l i n j a p r o s t a czyli krótko p r o s t a i p ł a s z c z y z n a . D la jednostajności wykładu oznaczać będziemy stale: punkty dużemi literami alfabetu łacińskiego np. A, B, C. . . względnie liczbami arabskiemi, proste małemi literami tegoż alfabetu (a, b, c ,. . . ) , płaszczyzny małemi literami alfabetu greckiego (a, p, y ,...) .
4. P ro ste p rzecin ające się i ró w n o leg łe n a p łaszczyźnie.
Dwie proste posiadać mogą jeden punkt wspólny, czyli jak mówimy, przecinać się. Wtedy istnieje jedna płaszczyzna, pro- stem i temi wyznaczona, czyli przez owe proste „przechodząca“, albo jak też w yrażać się^będziemy, na prostych owych leżąca.
W eźmy pod uwagę dwie proste a i b przecinające się w punkcie P, (rys. 5), a na prostej a punkt A.
Jeżeli prosta a obraca się około pun
ktu A, w kierunku wskazówki zegara, przyjm ując położenia a lt a 2, . . . . ag , . . . . a„ , to punkt P posuwa się po prostej b, od ręki prawej ku lewej, o d d a l a j ą c się od pierwszego uważanego położenia P i przyj
m ując położenia P 1}P 3 . .. Przez dalszy obrót prostej a, ruchom y punkt P znajdzie się po prawej stronie punktu P, z b l i ż a j ą c
Rys. 5
4. PR O STE PRZECIN A JĄ CE SIĘ I RÓWNOLEGŁE 7
się do niego od ręki prawej ku lewej. Najwidoczniej prosta a, obracając się około punktu A i przecinając prostą b w punk
tach coraz dalej leżących od punktu P, osiągnęła pewne p o ł o ż e n i e g r a n i c z n e ag , po przekroczeniu którego, jej punkty przecięcia się Pn , P n+ i , . . . z prostą b, poczęły zbliżać się do punktu P. Owo graniczne położenie pfostej a, względem prostej b, nazyw am y p o ł o ż e n i e m r ó w n o l e g ł e m , a prostą ag, prostą równoległą do b.
O punkcie przecięcia się prostej a z prostą b, w położeniu granicznem , mówimy, że leży w odległości n i e o g r a n i c z e n i e albo nieskończenie dalekiej na prostej b i nazyw am y go punk
tem n i e w ł a ś c i w y m , w odróżnieniu od punktów w ł a ś c i w y c h , leżących w odległości skończonej na prostej. Dla ozna
czenia punktów niewłaściwych używ am y znaku °°, pisząc go jako wskaźnik, więc np. Poo, a położenie punktu niewłaści
wego na płaszczyźnie oznaczam y linją opatrzoną strzałką, czyłi t. zw. kierunkiem.
Z powyższego widzimy, że przez] punkt A przechodzi jedna prosta a g, równoległa do danej prostej b, i, że nawzajem prosta b jest równoległa do prostej ag , gdyż punkt niewłaściwy Poo. jest punktem wspólnym obu prostych ag i b. Dwie proste równoległe stanowią tedy szczególny przykład prostych prze
cinających się, gdzie punkt w spólny leży w odległości nie
ograniczenie dalekiej, czyli jest punktem niewłaściwym. Prze
prowadzone rozumowanie poucza nas dalej, że prostą uważać możemy za zbiór (mnogość) nieograniczonej ilości, następują
cych po sobie w sposób ciągły, punktów właściwych i jednego punktu niewłaściwego.
Przez każdy punkt A, prostej a, prze
chodzi dowolna, nieograniczona ilość pro
stych, których zbiór, wraz z prostą a, nazyw am y p ę k i e m p r o s t y c h , a punkt A b.)
wierzchołkiem tego pęku (rys. 6 a). Przez — ...- punkt niewłaściwy Poo, prostej a, przecho- -2 ^--- — dzi również pękj prostych, który nazyw am y ■■ — p ę k i e m p r o s t y c h r ó w n o l e g ł y c h R s &
(rys. 6 b).
Nieograniczona ilość punktów linji prostej stanowi t. zw.
s z e r e g punktów, dla którego prosta ta jest p o d s t a w ą .
8 W IADOM OŚCI W STĘPNE
5. P ro s te sk o śn e . Jeżeli dwie proste a i b, znajdujące się w przestrzeni, nie posiadają punktu wspólnego, ani w łaści
wego ani niewłaściwego to położenie ich określam y jako s k o ś n e lub w i c h r o w a t e (rys. 7).
6. P ro sta i płaszczyzna. Prosta posiadać może jeden punkt wspólny, właściwy z płaszczyzną, a wtedy ją p r z e b i j a (rys. 8), albo jeden punkt wspólny, leżący w odległości nieograni- czenie dalekiej, czyli punkt n i e w ł a ś c i- w y , a wówczas mówimy, że p r o s t a j e s t do p ł a s z c z y z n y r ó w n o l e g ł ą .
7, P ła sz c z y z n y p rzecin ające się i ró w noległe. Przyjm ijm y dwie płaszczyzny a i p, przecina
jące się w prostej a (rys. 9), a na płaszczyźnie a dowolną prostą b, równoległą do prostej a. Niechaj położenie prostej b, w odniesieniu do płaszczyzny p, będzie
niezm ienne i niechaj płaszczyzna a obraca się około tej prostej jako osi i to np.
w kierunku wskazówki zegara, przyjm u
jąc położenia a lf a 2 . . ag , a „ . . . Prosta a posuwać się będzie na płaszczyźnie p od ręki prawej ku lewej, oddalając się od pierwszego uważanego położenia a, przyj
m ując położenia a t , a 2 , aż przekro- . czyw szy pewne położenie graniczne a g, por
jaw i się po drugiej stronie prostej a, zbliżając s i ę . do niej.
Owo graniczne położenie płaszczyzny cc, nazyw am y p o ł o ż e n i e m r ó w n o l e g ł e m, a płaszczyznę a która osią
gnęła owo położenie, płasz
czyzną równoległą do płasz
czyzny p. O prostej prze
cięcia się płaszczyzn ccg i p, w położeniu granicznem , mó
wimy, że leży w odległości nieograniczenie albo nieskoń
czenie dalekiej i nazyw am y ją p r o s t ą n i e w ł a ś c i w ą płasz
czyzn ag i p. Podobnie, gdy w miejsce prostej b przyjm iem y
6.' PRO STA I PŁASZCZYZNA 9
Rys. 10
dowolny punkt B, dojdziemy do tego samego rezultatu i stw ier
dzimy, że przez punkt ten przechodzi dowolna ilość płasz
czyzn przecinających płaszczyznę p, ale jedna tylko płasz
czyzna do niej równoległa. Płaszczyzny ag i p są w tym przy
padku wzajemnie równoległe, a prosta niewłaściwa j est prostą wspólną obu płaszczyzn. Podobnie jak przy prostych równoległych, stanowią dwie płaszczyzny równoległe szcze
gólny przykład płaszczyzn przecinających się, przyczem prosta przecięcia się leży w odległości nieograniczenie dalekiej i jest prostą niewłaściwą.
Przez każdą prostą a na płasz
czyźnie j t (rys. 10) przechodzi dowol
na, nieograniczona ilość płaszczyzn, których zbiór wraz z płaszczyzną n, tworzy t. zw. p ę k p ł a s z c z y z n o o s i e . Przez pro
stą niewłaściwą płaszczyzny n przechodzi również pęk płasz
czyzn, który nazyw am y p ę k i e m p ł a s z c z y z n r ó w n o l e g ł y c h (rys. 11).
Dowolna płaszczyzna przecina pęk płaszczyzn w pęku promieni, którego wierzchołkiem jest punkt przecięcia się osi pęku z płaszczyzną sieczną. Gdy pęk płaszczyzn jest pękiem równoległym, otrzym any p ę k ' promieni jest również równo- tegty) punkt bowiem przebicia się osi pęku, którą jest prosta niewłaściwa, jest niewłaściwym wierzchołkiem pęku promieni.
Z rozważań ustępu 4 i powyższego widzimy, że na płasz
czyźnie znajduje się nieograniczona ilość punktów i prostych właściwych i jedna prosta niewłaściwa. Owo pojęcie w szyst
kich punktów, względnie prostych danej płaszczyzny, określam y mianem u k ł a d u p ł a s k i e g o .
Zbiór nieograniczony prostych, przechodzących przez jeden punkt w przestrzeni, nazyw am y w i ą z k ą p r o m i e n i , a punkt ów ś r o d k i e m , albo wierzchołkiem, tej wiązki. Jeżeli środek wiązki leży nieograniczenie daleko, to wiązka składa się z pro
mieni równoległych.
10 W IADOM OŚCI W STĘPNE
8. Pojęcie rzutu środkow ego i rów noległego.
a) Rzuty na prostą. Przyjm ijm y na płaszczyźnie rysunku prostą a i zewnątrz niej punkt 5 (rys. 12), a nadto dowolne punkty A, B, C , W ykreślm y proste p lt p 2, p s . . . , łączące punkt S z punktami A, B, C . . , to ich punkty przecięcia się A ',B '-,C ',
Rys. 12 Rys. 13 Rys. 14
z prostą a nazyw am y r z u t a m i punktów A, B, C . . . na pro
stą a. Punkt 5 jest ś r o d k i e m r z u t ó w , a proste p u p 2, p 3. . . są p r o m i e n i a m i r z u c a j ą c e m i punkty A, B, C ,... na pod
s t a w ę a.
Jeżeli środek rzutów jest punktem niewłaściwym 5 °°
płaszczyzny rysunkowej, a więc wyznaczony kierunkiem, to promienie rzutów są do danego kierunku równoległe (rys. 13).
Rzut A f, B '. . . , punktów A, B , , ze środka rzutów 5 (rys. 12), który jest punktem właściwym płaszczyzny ry su n kowej, nazyw am y r z u t e m ś r o d k o w y m ; gdy środek rzutów jest punktem niewłaściwym, rzut nosi nazwę r z u t u r ó w n o l e g ł e g o (rys. 13).
Szczególny, a dla n as bardzo ważny, przypadek rzutu równoległego stanowi rzut, którego kierunek jest prostopadły
do podstawy a, a któ
ry nazyw am y r z u t e m p r o s t o k ą t n y m (rys. 14).
b) Rzuty na p łasz
czyznę. Przyjm ijm y płaszczyznę ir i ze
wnątrz niej punkt S Rys- 15 Rys- 16 (rys. 15), to proste, łączące dane punkty A, B , . . . z punktem S, przebiją płasz
czyznę Jt w punktach A', B ' . . . , które nazyw am y r z u t a m i
9. O KONSTRUKCJACH GEOMETRYCZNYCH 11
środkowemi punktów A, B . . . na płaszczyznę jt. Punkt 5 jest ś r o d k i e m rzutów, płaszczyzna jt płaszczyzną rzutów, albo krótko r z u t n i ą , a p ro step L, p 2 . . . s ą prom ieniam irzucającem i.
Jeśli położenie punktu C w przestrzeni jest tego rodzaju, że promień p 3, rzucający go na płaszczyznę jt, jest do niej równo
legły, to rzut punktu C jest punktem niewłaściwym i leży w odległości nieograniczenie dalekiej na płaszczyźnie jt.
Przyjm ijm y, że środek rzutów jest punktem niewłaści
wym S°° (rys. 16), to wówczas promienie rzutów tworzą pęk równoległy i równoległy do danego kierunku, zwanego k i e r u n k i e m r z u t u . Mówimy w tym wypadku o r z u c i e r ó w n o l e g ł y m punktów na płaszczyznę.
Jeżeli kierunek rzutu jest prostopadły do rzutni, to m am y szczególnie w ażny przypadek rzutu równoległego, zw any r z u t e m p r o s t o k ą t n y m .
Prócz punktów odosobnionych rzucać można na płasz
czyznę całe ich skupienia, zbiory, w formie linij, figur i t. d.;
poznanie sposobów kreślenia rzutów tych utworów jest jednem z zadań geometrji wykreślnej.
9. O k o n stru k c ja c h g eo m etry czn y ch . Przy założeniu, że przyrządy rysunkowe, któremi się posługujemy, są dokładne, że ołówek jest ostro zacięty, a papier gładki, rysunek nasz nie będzie nigdy dokładny w znaczeniu m atematycznem. Możemy tylko bardziej lub mniej zbliżyć się do tej idealnej dokładności, a stopień tego zbliżenia stanowi o stopniu dokładności rysunku.
R ysujem y więc zawsze z pewnym błędem, a staraniem na- szem, popartem doświadczeniem i wprawą jest, by błędy ry su n kowe nie przekraczały pewnych granic.
Jest rzeczą zrozumiałą, że np. linja prosta lem dokładniej wyznaczona jest na płaszczyźnie rysunkowej, im dalej leżą od siebie punkty, prostą tę w yzn aczające; że punkt przecięcia się dwóch prostych tern dokładniej jest wyznaczony, im bardziej zbliża się do kąta prostego kąt, jakie proste te tworzą, i t. p.
Pam iętając o tern, możemy w wypadkach, w których kon
strukcja pozwala na pewną dowolność i pozostawia rysowni
kowi zastosowanie tej lub innej metody, użyć zawsze tej, która zabezpiecza osiągnięcie najdokładniejszego rezultatu.
D alsze trudności w ynikają z tego, że płaszczyzna ry su n kowa jest ograniczona i że potrzebne nam do konstrukcji punkty i proste leżą poza jej obrębem. W tych wypadkach
12 W IADOM OŚCI W STĘPNE
stosować będziemy szczególne konstrukcje, z których najw a
żniejsze poniżej podamy.
a) Przez dany punkt P i nie leżący w obrąbie płaszczyzny rysunkowej punkt R, przecięcia się prostych p l i p 2, wykreślić prostą
(rys. 17).
P i e r w s z y s p o s ó b . Z punktu P w ykreślim y dowolnie dwie proste P A i P B , a do prostej A B w do- wolnem m iejscu równoległą A L B t . Równoległa, w ykreślona z punktu A t do A P , przecina prostą, w ykre
śloną z punktu B 1 równolegle do B P , w punkcie P u który jest punktem szukanej prostej P R , gdyż punkt R jest środkiem podobieństwa trójkątów A B P i i4j B x P {.
D r u g i s p o s ó b . Z punktu P k reślim y/ 3ylj i P B l A .p 2 (rys. 18), to prostopadła, w ykreślona z punktu P do prostej A 2 B 2, rozwiązuje zadanie.
W istocie proste A t A 2, B x B 2, a także P R , są wysokościami trójkąta R A 2B 2,
b) Przez niedostępny punkt R, przecięcia się prostych p x i p 2, wykre
ślić równoległą do danej prostej m
(rys. 19). Kreślim y dowolnie prostą ■Pi P 2, a przez punkty P 2 i P 2 równoległe do danych prostych: q r // p 2, q 2 I I P i>
Z punktu Q prowadzimy rów no
ległą do m, a następnie od
cinam y P 2 N = P t M. Prosta n, wykreślona przez punkt N, równo
legle do prostej m, rozwiązuje zadanie.
c) Wykreślić prostą, przecho
dzącą przez dwa niedostępne punkty ■ Rys. 19 przecięcia się P i Q prostych p xp 2
i q t q2. Z dowolnego punktu C, prostej A B (rys. 20), kreślim y n H p 2 i m l l q 2, to prosta M N jest równoległa do szukanej, której punkt E, leżący na prostej A B , znajdziem y na podstawie proporcji A E : A D = A B : A C . Jeżeli
9. O KONSTRUKCJACH GEOMETRYCZNYCH 13
punkt C jest środkiem odcinka A B , to wówczas A D = D E . (Czytelnik uzupełni
rysunek, oznaczając punkt przecięcia się prostych q i i m li
terą M).
d) Znaleźć dwu
sieczną kąta, którego wierzchołek leży po
za obrębem rysunku (rys. 21). Do prostej p 1 kreślim y równo
ległe ffl, i n it a do
prostejp 2, w tych sa- Rys- 20 Rys. 2i m ych odległościach,
równoległe m 2 i n 2. Prosta q, przechodząca przez otrzym ane punkty M i N, równo oddalone od ram ion p x i p 2, rozwiązuje zadanie.
ROZDZIAŁ PIERWSZY
G E O M E T R JA W Y K REŚLN A
ELEM EN TÓ W PR ZESTR ZEN I, U TW O RÓW . PŁ A SK IC H I W IELOŚCIA NÓW
§ 1. ZA SA D Y RZUTÓW CECH O W A NY CH
10. O k reślen ie po łożen ia p u n k tu w p rzestrz en i. P rzy j
m ijm y dowolny punkt A i postanówmy stworzyć warunki, umożliwiające względne ustalenie położenia tego punktu w prze
strzeni.
W tym celu przyjm iem y dowolną płaszczyznę n (rys. 22), z punktu A w yprowadzimy prostą p, prostopadłą do tej płasz
czyzny i znajdziem y punkt przebicia się A' tej prostopadłej z płaszczyzną n. Punkt A', odcinek A A ' i zaznaczenie, po której s t r o n i e płasz- P czyzny « znajduje się punkt A, w yzna
czają położenie tego punktu, w odniesieniu do płaszczyzny jt. Płaszczyznę sr, k t ó r a z r e g u ł y j e s t p ł a s z c z y z n ą p o z i o m ą , nazyw am y p ł a s z c z y z n ą r z u -
Rys. 22 t ó w lub krócej r z u t n i ą , prostą p zwiemy p r o m i e n i e m r z u c a j ą c y m , lub krótko r z u c a j ą c ą , a punkt A ' r z u t e m p r o s t o k ą t n y m p u n k t u A.
Liczbę, w yrażającą w przyjętych jednostkach długości odle
głość punktu A od jego rzutu A', czyli długość odcinka A A ' , nazyw am y c e c h ą lub z n a m i e n i e m punktu A, '
Odległość punktu, leżącego n a d płaszczyzną rzutów od tejże płaszczyzny, nazyw am y „ w y s o k o ś c i ą “ tego p u n k tu ; m iarą odległości punktów, leżących p o d płaszczyzną rzutów od tej płaszczyzny, jest „ g ł ę b o k o ś ć “ tych punktów. Cechom
11. RZUT CECHOWANY PROSTEJ 15
punktów, znajdujących się nad płaszczyzną rzutów, dajem y znak dodatni, cecha w yrażająca głębokość punktu, otrzym uje znak ujem ny. Jeżeli w rysunku w ystępują j e d y n i e cechy ze zna
kam i dodatniemi albo jedynie ujemnemi, to znaki te pomijamy.
Rzut prostokątny A', punktu A, na płaszczyznę n, przy znajom ości względnej wartości cechy tego punktu, nazyw am y r z u t e m c e c h o w a n y m punktu A. Niechaj płaszczyznę rzu
tów stanowi płaszczyzna tej kartki; jeśli na prostopadłej, wy
prowadzonej w punkcie A' do płaszczyzny rzutów, odmierzymy 7'6 przyjętych jednostek długości, więc np. cm, n a d płaszczy- ' zną kartki — to otrzym am y punkt A (rys. 23). Punkt B, któ
rego rzut znajduje się w punkcie B ', a cecha wynosi — 3 cm.
leży o 3 cm p o d płaszczyzną kartki. Punkt
leżący n a płaszczyźnie rzutów oznaczym y A '(76) ¡¡'¡.y np. literą C bez kreski i bez cechy, która
równa jest zeru. R b y zaznaczyć, że w danym Rys- 23 w ypadku chodzi o punkt np. A, którego rzut A'
i cecha np. 7'6 cm są dane, używać będziemy następującego w yrażenia: D any jest punkt A (A \ 7'6). Rzut prostokątny punktu na daną płaszczyznę w yznacza położenie tegu punktu względem tej płaszczyzny, jeśli opatrzony jest c e c h ą czyli znamieniem. Metoda geometrji wykreślnej, posługująca się ce
chami, nazyw a się m e t o d ą r z u t ó w c e c h o w a n y c h i ona będzie przedmiotem naszych rozważań w następnych ustępach.
11. Rzut cechow an y prostej. Przez rzut prostokątny prostej rozum iem y m iejsce geom etryczne rzutów prostokątnych dowolnej ilości punktów tej prostej.
Prosta a i promień b (rys. 24), rzucający dowolny jej punkt B na płaszczyznę n, w yznaczają (ust. 4) płaszczyznę y,
która przecina płaszczyznę jt w pro
stej a'. Ponieważ na płaszczyźnie tej, którą nazyw am y płaszczyzną r z u c a j ą c ą , leżą wszystkie promienie, rzuca
jące punkty prostej a, więc prosta a' jest miejscem geom etrycznem rzutów w szystkich punktów prostej a, jest tedy rzutem prostej a. Widoczne stąd, że r z u t l i nj i p r o s t e j j e s t w o g ó l n o ś c i p ro s tą . P r o s t ą w y z n a c z a j ą d w a p u n k t y ; znajom ość więc rzutów dwóch punktów i ich cech, określa jednoznacznie po
16 § 1. ZR SR D Y RZUTÓW CECHOWANYCH
łożenie prostej w przestrzeni, w odniesieniu do danej rzutni.
Jeżeli np. płaszczyznę tej kartki uważam y za rzutnię, to w od
niesieniu do niej, określone jest jednoznacznie położenie pro
stej a, której rzuty cechowane dwóch punktów, a mianowicie A i B są dane, j e ś l i p r z y t e m p o d a n a j e s t j e d n o s t k a m i a r y , w k t ó r e j c e c h y t y c h p u n k t ó w w y r a ż a m y . N apis „J—l cmu na rys. 25 oznacza, że przyjętą dla tego ry
sunku jednostką długości jest centym etr_
12. P o d zia łk a ry su n k u . Odcinek A' B ' w rys. 25, wyraża prawdziwą odległość rzutów punktów A i B; rysunek wyko
nany jest w p o d z i a ł c e (wielkości) n a t u r a l n e j , co zazna
czam y na rysunku literami n. w. Jeżeli jednak jednostka dłu
gości, w stosunku do płaszczyzny rysunku, jest za wielka, to wówczas rysunek wykonać m usim y — w stosunku do prawdzi-
Rys. 25
i os o 2m
=J
Rys. 27
wych wymiarów — w pewnem p o m n i e j s z e n i u , w pewnej p o d z i a ł c e p o m n i e j s z o n e j . W tym wypadku, obok je
dnostki długości np.: „J—l m “ (rys. 26) podać m usim y na ry sunku stosunek jego wymiarów do wymiarów naturalnych, czyli
„ p o d z i a ł k ę “. Napis „ P o d z i a ł k a 1 : 100“ (rys. 26) rozumieć należy w ten sposób, że 1 cm na rysunku oznacza 100 cm w rzeczywistości, że w celu otrzym ania n a t u r a l n e j , p r a w d z i w e j , długości odcinka A 'B ', należy odcinek A !B ' = 1.55cm powiększyć sto razy.
Notowanie na rysunku rodzaju przyjętej jednostki długo
ści i stosunku pomniejszenia, względnie powiększenia, zastępu
jem y zazwyczaj umieszczeniem na tym że rysunku pojedynczej lub podwójnej linji prostej, na której odm ierzam y pewną ilość w żądanym stosunku p o m n i e j s z o n y c h lub p o w i ę k s z o n y c h jednostek długości, pisząc obok ostatniej m i a n o je
dnostki naturalnej.
W r y s u n k u 27 jednostkę długości m e t r , w yraziliśm y również centym etrem ; stosunek więc wymiarów rysunku do
13. KŁHD PR O STEJ 17
wymiarów rzeczywistych, m a się tak, jak 1 : 100. R ysunek ten w ykonany jest w setnem pomniejszeniu, czyli w p o - d z i a ł c e 1 : 100.
13. K ład p ro stej. Rzuty cechowane A ' (1.0) i B '( 2 ‘2) (rys. 28) określają położenie prostej a, w yznaczonej punktam i A i B. W yprowadziwszy bowiem w punktach A' i B ' prosto
padłe Pi i p2 do płaszczyzny rysunku i odm ierzyw szy na pier
wszej z nich, od punktu A' n a d płaszczyzną rysunku 1 cm, zaś na drugiej 2'2cm od punktu B ',
również n a d płaszczyzną rysunku — otrzym am y punkta A i B, a więc i prostą a punktam i temi w yznaczoną.
W celu w yznaczenia prawdzi
wej wielkości odcinka, którego rzut , cechowany dwóch punktów jest znany, -v
weźmy pod uwagę punkta A, B, A' i B ', j mJ bedące wierzchołkami trapezu, którego / A" 0> ^ trzy boki i dwa kąty są znane. Bokami
temi są odcinki A 'B ', A' A i B ' B ; Rys. 28
kątami, kąty proste A A !B ' i B B 'A '.
Przez w yrysow anie więc tęgo trapezu, otrzym am y nieznany bok A B . Na prostopadłych, wyprowadzonych w punktach A ' i B ' do prostej a' (rys. 28), odm ierzym y A' A°= V0cm, B ' B °= 2'2cm ; otrzym any odcinek A°B° rów ny jest prawdziwej długości od
cinka A B . Przeprow adzenie konstrukcji trapezu A ' B ' A B° n a zyw am y wykonaniem k ł a d u odcinka A B . W istocie bowiem trapez A 'B ' A aB a powstaje, jeśli trapez A B A 'B ', znajdujący się na płaszczyźnie rzucającej, p o ł o ż y m y około j e g o boku A !B ' na płaszczyznę rysunku. Odcinek > 4 ° jest k ł a d e m od
cinka A B i równy jego długości; odcinki A' A° i B 'B ° są kła
dami promieni rzucających A A ' i B B '.
Jeśli rysunek wykonany jest w podziałce pom niejszającej, to długość odcinka A B równa jest ilorazowi z długości jego kładu A°B° i wykładnika stosunku pomniejszenia.
14. K ąt n a ch y len ia p ro ste j do p ła sz c z y z n y rzu tó w . S iad i n a c h y len ie p ro stej. Kąt cp, jaki prosta b tworzy ze swoim
•rzutem poziomym b', nazyw am y kątem nachylenia prostej b do płaszczyzny poziomej. Kąt ten otrzym am y przez wykonanie kładu prostej, a więc kładu dwóch jej punktów na płaszczyznę rysunku. Kąt bowiem <p° (rys. 29) jaki zam yka prosta b°, bę-
aB°
,'a° pi \
■"B'(2&
B a r te l. G e o m c trja w y k re ś ln a 2
18 § I . ZASADY RZUTÓW CECHOWANYCH
dąca k ł a d e m prostej b, z prostą b', równy jest kątowi 9, bez względu na podziałkę, w jakiej wyko
nany jest rysunek. W istocie bowiem, gdy podziałka rysunku wynosi np. 1: n, to boki A B° Hb B ' są proporcjonalne do • boków trójkąta wyrażonego rysu n kiem ; oba trójkąty są więc podobne, a zatem kąty ich są równe.
Poprowadźmy przez punkt A° pro
stą b równoległą do b', to kąt 9 t°, jaki tworzą proste b° i b ^ , równy jest oczywiście kątowi 90, a więc i kątowi 9, jaki prosta b zawiera z płaszczyzną poziomą. Prostą b ^ po
służym y się w wypadku, gdy punkt Hb przecięcia się pro
stych b' i b'\ nie leży w obrębie rysunku. .
Punkt Hb, którego wysokość (cecha) równą jest zeru, jest punktem przebicia się prostej b z płaszczyzną rzutów, a więc elementem wspólnym prostej b i rzutni i nazywa się ś l a d e m p o z i o m y m tej prostej. _ _____
Oznaczm y odcinek A 'B ' = .A0. ^ 0 literą d, zaś różnicę wysokości punktów A i B równą odcinkowi B ° B j® literą A, to stosunek:
Rys. 29
d = tg 9 = I
nazyw am y n a c h y l e n i e m prostej b.
Jeżeli cechy dwóch punktów, w yznaczających prostą, są równe, to cechy każdego dowolnego punktu tej prostej są równe, a prosta jest r ó w n o l e g ł ą do płaszczyzny rzutów.
15. P od ział o d cin k a Obierzmy na danej prostej, w yzna
czonej punktami A (A', a) i B (B ', b) punkt C, którego cecha wynosiłaby c jednostek długości, w podziałce rysunku. W tym celu (rys. 30) wykonamy klad A°B° odcinka A B , a następnie odm ierzym y od punktu B', w podziałce rysunku, odcinek B 'Ń = c.
Prosta wykreślona z punktu N, równolegle do p ', przecina pro
stą p° w punkcie C°; prostopadła z C° do p ' przecina tę osta
tnią w punkcie "C, który jest szukanym rzutem punktu C o cesze c. Na rysunku 30, wykonanym w podziałce 1 : 100, przy przyjętej jednostce m iary równej 1 m, (1 cm na rysunku wyraża 1 m w rzeczywistości) obrano : a = 0-8 m, b — 2'3 m, c = 1'65 m.
16. PŁASZCZYZNY RÓWNOLEGŁE 19
Ponieważ A ^ C " : C°B° — A 'C ': C'B', więc punkt C' dzieli odcinek A 'B ' w tym sam ym stosunku, w jakim punkt C dzieli odcinek A 0~B°, R ponieważ odcinek A ^ B 0, jako kład odcinka A B leżącego w przestrzeni, w yraża jego prawdziwą długość i poło
żenie względem swego rzutu, w ięc: s t o s u n e k p o d z i a ł u o d c i n k a w p r z e -
s t r z e n i n i e z m i e n i a s i ę w s k u t e k c, ° ! j v r z u t u t e g o o d c i n k a .
Innemi słow y: p o d z i e l i w s z y . ^ / f “ o d c i n e k w p r z e s t r z e n i w p e w - j
n y m s t o s u n k u , a w i ę c t a k ż e n a _ J _______
p e w n ą i l o ś ć c z ę ś c i i r z u c i w s z y A',a> p ' G'lc- Btb>
p u n k t y p o d z i a ł u n a r z u t t e g o i 0-5 o 1 zm o d c i n k a , p o d z i e l i m y t e n r z u t T"r4 ' ' 1 w t y m s a m y m s t o s u n k u , w z g l ę - Rys- 30 d n i e n a t ę s a m ą i l o ś ć c z ę ś c i .
W szczególności, punktowi połowiącemu odcinek w przestrzeni, odpowiada punkt środkowy rzutu odcinka, jako rzut tego punktu połowiącego.
I w zajem nie: Z proporcji A°C° : C°B° = A ' C : C 'B ' wynika, że p u n k t y d z i e l ą c e w p e w n y m s t o s u n k u , albo na pewną ilość części, r z u t o d c i n k a , s ą r z u t a m i p u n k t ó w , d z i e l ą c y c h w t y m s a m y m s t o s u n k u , wzglę
dnie na tę sam ą ilość części, o d c i n e k w p r z e s t r z e n i .
16. P ła sz c z y z n y ró w n o le g łe i k ła d p ro s ty c h n a nie.
Płaszczyzny równoległe do rzutni poziomej nazyw am y p ł a s z c z y z n a m i w a r s t w o w e m i albo p o z i o m e m i. Przez w y s o k o ś ć płaszczyzny poziomej rozum iem y oddalenie jej od płasz
czyzny rzutów, którą w odniesieniu do pierw szych nazyw am y płaszczyzną p o r ó w n a w c z ą . Płaszczyzny warstwowe, których wysokości są liczbami całemi, nazyw am y g ł ó w n e m i, inne p o ś r e d n i e m i .
Jeżeli cechy końcowych punktów odcinka są duże, to w ykonanie jego kładu, ze względu na ograniczoną płaszczyznę rysunku, natrafia na trudności, albo też jest naw et niewyko
nalne. W tych wypadkach kład odcinka w ykonujem y na płasz
czyznę warstwową, przechodzącą przez jeden z punktów koń
cowych, zazwyczaj przez punkt o cesze mniejszej.
Rys. 31 podaje konstrukcję kładu prostej [A (A ', a = 18), B ( B r, b = 19.8)] na płaszczyznę warstwową, przechodzącą przez
2*
20 § 1. ZASADY RZUTÓW CECHOWANYCH
e - ?
'A'ta) C'(C)
0'5
BU)
=12m
punkt A (A ', 18). Na prostopadłej, wykreślonej w punkcie B', odmierzymy, w podziałce rysunku, odcinek B 'B °, równy różnicy
wysokości punktów B i A, więc b — a — 1-8 m i punkt B° połą- I czym y z A', otrzymując tym spo
sobem kład odcinka A B na główną ___ płaszczyznę warstwową o wyso- : i_______ 1 t I kości a — 18 m. Oczywiście, że B ° A 'B ' = <p° równy jest kątowi, jaki prosta (A B ) zawiera z płasz
czyzną porównawczą.
Rys. 31 Rzut C punktu C, któryby
leżał na prostej (A B ), a miał żą
daną cechę np. c = 19'l m, znajdziem y podobnie jak w ust. 15, odmierzając jednak na prostej B ' B° odcinek B ' M, równy ró
żnicy wysokości punktów C i A, więc c—a = V l m.
Z rys. 31 czytam y:
A' C : C B ' — A' C ° : Cu B °= B ' M : M B° = ( c - a ) : ( b - c ) , jeśli literami a, b, c, oznaczymy cechy punktów A, B
Z równości powyższych wynika, że
~U~C : C r B r= ( c - a ) : ( b - c ) . . . .
co oznacza, że punkt C' dzieli odcinek ~A' B ' w stosunku (c—a) : (b—c), albo, że wyznaczenie
rzutu punktu C o żądanej cesze c na prostej, danej cechowanemi rzutami dwóch punktów A (A', a) i B (B', b), sprowadza się do znalezienia punktu C', dzielącego odcinek A' B ' w sto
sunku (c—a) : (b —c). W rys. 32 przy
jęliśm y a = 0'8, b —2’3, c = V 6 — odci-
C'(ts)
i C.
I
B'(23)
Rys. 32
punkt C nek tedy A' B ' podzielimy w stosunku
(c — a) : (b — c) = 0-8: 0-7, a otrzym any punkt C" rozwiązuje zadanie.
17. S to p n io w an ie i m oduł prostej. W yznaczenie rzutów tych punktów danej linji prostej, których cechy są liczbami całemi, nazyw am y z e s t o p n i o w a n i e m prostej, albo w yzna
czeniem jej p o d z i a ł k i n a c h y l e n i a .
Gdy cechy dwóch danych punktów prostej są liczbami całemi, to zestopniowanie prostej wykonać można zapomocą
17. STO PN IO W A NIE I M ODUŁ PRO STEJ 21
podziałki milimetrowej, dzieląc dany odcinek na części, których ilość rów na się różnicy cech.
Zestopniowanie prostej A (A', 5‘4), B (B', S'Y) (rys. 33) wykonać można zapomocą jej kładu na płaszczyznę warstwową 5'4 — powtarzając zadanie w ustępie 16, albo dzieląc dany od
cinek według proporcji (równanie I), podobnie jak w rys. 32.
W tym celu w punkcie A ' (5'4) popro
w adzim y dowolną prostą q i odmie
rzym y na niej kolejno, od punktu A' począwszy, odcinki równe 0'6, 1'0, 1'0, 0'7 dowolnej jednostki długości, a przez punkty podziału w ykreślim y równoległe do boku Q B '. O trzym ane punkty na prostej p ' posiadają ce
chy 6, 7, 8 i tworzą p o d z i a ł k ę n a c h y l e n i a .
Odległość rzutów poziomych dwóch punktów prostej, któ
rych różnica wysokości, a więc i różnica cech, równa jest jednostce, stanowi j e d n o s t k ę podziałki nachylenia i nazywa się m o d u ł e m (p) prostej. Mo
dułem np. p rostej (A B), ry s. 34 jest odcinek C D ' = D ' E ' = p.
Rys. ten poucza też nas bezpo
średnio, że im w i ę k s z y j e s t k ą t n a c h y l e n i a p r o s t e j d o r z u t n i , t e m m n i e j s z y j e s t j e j m o d u ł i odwrotnie.
P r o s t e n a c h y l o n e do p ł a s z c z y z n y r z u t ó w p o d t y m s a m y m k ą t e m , m a j ą r ó w n e m o d u ł y . Moduł pro
stej, nachylonej pod * 45°, równy jest przyjętej na rysunku jednostce długości.
Jeżeli w równaniu I (str. 18) wstawimy A równe jednostce przyjętej miary; to według określenia powyżej podanego, d stanie się modułem p prostej, czyli:
co znaczy, że n a c h y l e n i e i m o d u ł p r o s t e j s ą l i c z b a m i o d w r o t n e m i.
P0/ . I I D0/ 'JÈ---
/ ; 'î \ f
C? / ’ Vi
: c»
. . A l
: /i i M Al: ____ I ç> ...
A'miC'tS) D'ir> E'ts) B ' c a P J~lm.
Podziatka 1:100.
Rys. 34
2 2 § 1. ZASADY RZUTÓW CECHOWANYCH
Położenie prostej w przestrzeni, w odniesieniu do płasz
czyzny rzutów, jest w zupełności wyznaczone, gdy prócz jej rzutu i cechy jednego jej punktu, znany jest jej moduł i w skazany (strzałką) k i e r u n e k jej nachylenia, przez który rozum iem y kierunek następstwa punktów prostej, o cechach m alejących.
W dalszym ciągu wyznaczać będziemy prostą przeważnie jej p o d z i a ł k ą n a c h y l e n i a , czyli jej zestopniowanym rz u tem. Liczby podziałki nachylenia nazywam y w s k a ź n i k a m i tejże podziałki.
18. D w ie proste przecinające się. Przez każdy punkt P prostej a, wyznaczonej np. podziałką nachylenia o module p.u przechodzi dowolna ilość prostych, które prostą a p r z e c i n a j ą w punkcie P. A by określić położenie jednej z nich, np. b (rys. 35), m usim y dowolnie przyjętym modułem p.2 zestopnio- wać prostą b', przeprowadzoną dowolnie przez punkt P (8),
Podziałką 1:100.
Rys. 35 Rys, 36
który jest punktem wspólnym prostych a i b. Proste, łączące jednakowe wskaźniki prostych a' i b', są do siebie równoległe i odwrotnie: jeżeli p r o s t e , ł ą c z ą c e r ó w n o w a r t o ś c i o w e w s k a ź n i k i r z u t ó w d w ó c h p r o s t y c h , t w o r z ą p ę k r ó w n o l e g ł y — t o r z u t y o w e w y r a ż a j ą d w i e p r o s t e p r z e c i n a j ą c e s i ę .
19. D w ie proste skośne. Jeżeli punkt przecięcia się M rzutów a’ i b' dwóch prostych, uważany za rzut punktu prostej b, m a inną cechę, aniżeli uw ażany za rzut punktu prostej a, to pro
ste a i b nie posiadają punktu wspólnego, nie przecinają s ię ; ich wzajemne położenie określam y jako s k o ś n e lub w i c h r o w a t e . Przez k ą t n a c h y l e n i a d w ó c h p r o s t y c h s k o ś n y c h rozum iem y kąt, jaki otrzymamy, jeśli przez dowolny punkt
2?. WYZNACZENIE PŁASZCZYZN 23
P' w przestrzeni poprowadzimy proste równolegle do danych prostych skośnych.
20. D w ie p ro ste rów noległe. Rzuty prostych równoległych są prostemi równoległemi, o zgodnych kierunkach nachylenia i o równych modułach, gdyż proste równoległe nachylone są do poziomu pod tym sam ym kątem.
Z równości modułów dwóch prostych równoległych i zgo
dności ich kierunków nachylenia wynika, że proste, łączące punkty o jednakowych cechach są równoległe (rys. 36). I n a
w zajem: jeśli proste, łączące jednakowe w skaźniki rzutów dwóch prostych a' // b' tworzą pęk promieni równoległych, to owe dwie proste a i b są równoległe.
21. Z adanie. Wyznaczyć rzut prostej q, równoległej do danej prostej p, a przechodzącej przez dany punkt P ( P / 9'4) (rys. 37).
Rzut qł przejdzie przez punkt P /, równolegle do p'.
Kierunki nachylenia obu pro
stych są zgodne, moduły rów
ne, należy tylko zestopnio- wać, — w jeden z poznanych
sposobów, (np*. zapomocą po- u a ,
działki) — prostą q'. 1 5 ' 1 q
22. W yznaczenie p ła sz czy z n y . Położenie p u n k t u w przestrzeni, w odniesieniu do płaszczyzny rzutów, wyznacza
jego rzut cechowany, a więc również p u n k t opatrzony cechą.
Względne położenie p r o s t e j w przestrzeni w yznacza jej zesto- pniowany rzut, czyli również p r o s t a . Położenie trzeciego za
sadniczego elementu geometrji t. j. płaszczyzny, wyznaczone jest położeniem dwóch prostych przecinających się, lub równole
głych, prostej i punktu, względnie trzech dowolnych punktów.
Mówimy, że dwie proste przecinające się, dwie proste równoległe, względnie trzy dowolne punkty w y z n a c z a j ą płaszczyznę, w tern rozum ieniu tego w yrażenia, że:
1) istnieje jedna jedyna płaszczyzna, przechodząca równo
cześnie przez obie proste, względnie przez trzy punkty, że:
2) znając położenie dwóch prostych przecinających się, lub równoległych, względnie trzech punktów, znam y położenie płaszczyzny elementami temi wyznaczonej i że:
i , 1 £
\
1 T » \ " y . 10 i
i—/ — i -0-6(10
8 S P m i io u
i w ■0 ---t1 —
- l i
Rys. 37
2m
2 4 , § 1. ZASADY RZUTÓW CECHOWANYCH
3) znajom ość położenia dwóch prostych przecinających się, lub równoległych, względnie trzech punktów, dozwala na wyznaczenie położeń każdej dowolnej ilości punktów i prostych płaszczyzny, elementami owemi określonej.
Ponieważ prostą wyznaczają dwa jej punkty, więc g d y d w a p u n k t y p r o s t e j l e ż ą n a p ł a s z c z y ź n i e , t o p r o s t a — a więc zbiór wszystkich jej punktów, l e ż y n a p ł a s z c z y ź n i e .
Proste a' i b' (rys. 38) są rzutami dwóch prostych przeci
nających się, wyznaczają więc po
łożenie pewnej płaszczyzny, którą oznaczmy literą e.
Połączmy wskaźnik 2 prostej a! ze wskaźnikiem 1 prostej b', to otrzym ana prosta m' jest rzutem prostej m, przecinającej zarówno prostą a, jak i b, a więc leżącej na płaszczyźnie e, wyznaczonej prostemi a i b.
Na szczególną uwagę zasłu gują proste, leżące na płaszczyźnie a równoległe do rzutni. Rzuty Oe,
Rys. 38 h , 2 e, 3e , .. . tych prostych otrzy
mamy, łącząc punkty o jednako
wych cechach prostych a' i b'. 'Proste te, leżące na płaszczy
źnie s, a równoległe do płaszczyzny poziomej, są linjami łączą- cemi punkty przebicia się prostych a i b z głównemi płaszczy
znam i warstwowemi, a więc także linjami przecięcia się tych płaszczyzn z płaszczyzną s. Proste Oe, h , 2 e. . . nazywam y l i n j a m i w a r s t w o w e m i albo linjami poziomu, r z u t y zaś tych linij w a r s t w i c a m i płaszczyzny s.
Linja warstwowa Oe = hs leży na rzutni poziomej (płasz
czyźnie porównawczej), jest prostą przecięcia się płaszczyzny e z tą rzutnią i nazywa się ś l a d e m p o z i o m y m płaszczy
zny e. Ślad poziomy płaszczyzn oznaczać będziemy stale literą h.
Płaszczyzna prostopadła do rzutni, czyli t. zw. płaszczyzna rzucająca (ustęp 11), wyznaczona będzie swoim śladem pozio
mym, z którym schodzą się rzuty wszystkich punktów i prostych,
J alm
Podziałka 1:75.
23. PROSTA PR O STO PA D ŁA DO PŁASZCZYZNY 25
leżących na tej płaszczyźnie, która tym sposobem r z u c a je w swój ślad.
23. P ro sta p ro sto p a d ła do p ła szc zy zn y . Przyjm ijm y na płaszczyźnie jt (rys. 39) trzy proste a, b, c, przechodzące przez punkt M, w którym to punkcie wyprowadźmy prostą p prostopadłą zarówno do pro
stej a, jak i b. Niechaj do
wolnie na płaszczyźnie jt przyjęta prosta q, przecina proste a, b i c w punktach A, B i C. Obierzm y na
stępnie na prostej p punkty P i i P 2, przycezm niech P x M = P 2 M i połączmy je
z punktami A, B i C. Z ry- Rys- 39 sunku 39 czytam y:
A A M P l ~ A Ą M P , i A B M P ^ A B M P2
więc P 1 A —P 2 A, P t B —P 2 B jako odpowiednie boki w trój
kątach przystających. N astępnie m am y:
A A B P x ^ A A B P2 więc
■$-P1 A P = - £ P2 A B jako odpowiednie kąty w trójkątach przy
stających. Z kolei otrzym ujem y:
A A C P , ^ .A A C P 2, a więc P x C = P 2 C.
R w reszcie:
' A M C P t ~ A M C P 2, zatem
•fc C M P X= ^ C M P 2, a ponieważ kąty te są kątami przyle- głemi, więc skoro oba są równe, to każdy z nich musi b y ć a kątem prostym czyli: p i c . Tym sposobem dowiedliśmy na
stępującego tw ierdzenia: Jeżeli prosta p, przechodząca przez punkt przecięcia się dwóch prostych, je st do nich prostopadłą, to wówczas je st prostopadłą do każdej prostej przechodzącej przez ten punkt, a leżącej na płaszczyźnie jt, wyznaczonej przez owe dwie proste. Mówimy, że prosta p jest p r o s t o p a d ł ą albo n o r m a l n ą do płaszczyzny Innem i słow y: gdy pro
sta jest norm alną do dwóch prostych w ich punkcie prze
cięcia się, to jest norm alną 3o płaszczyzny temi prostemi wy
znaczonej.
Przez dowolny punkt Aft płaszczyzny x (rys. 39) popro
wadzim y proste Cj // c i p L // p. Kąt, jaki zawierają proste
26 § 1. ZflSHDY RZUTÓW CECHOWANYCH
skośne p i c it równy kątowi jaki tworzą proste p i i c n jest kątem prostym (ust. 19), a ponieważ prosta p jest prostopadłą do każdej prostej, przechodzącej przez punkt M, a leżącej na płaszczyźnie jt, więc jest prostopadłą do każdej prostej płasz
czyzny jt. C zy li: gdy prosta jest prostopadłą do płaszczyzny, to je st prostopadłą do wszystkich prostych, leżących na tej płaszczyźnie.
24. R zut k ą ta prosteg o . T w i e r d z e n i e : Rzut kąta pro
stego na płaszczyzną jest kątem prostym, gdy jedno jego ramią jest równoległe do płaszczyzny rzutów.
Przyjm ijm y ramię a kąta prostego, jaki tworzą proste a i b, równolegle do płaszczyzny rzutów jt (rys. 40), to rzut a' jest równoległy do prostej a. Ponieważ promień rzucający p jest 1 do prostej a, a ta znowu 1 do prostej b, zatem prosta a jest ± równocześnie do prostych 40 b i p, a więc prostopadła do płasz
czyzny p, prostemi temi w yzna
czonej. U le z ustępu poprzedniego wiemy, że gdy prosta jest norm alną do płaszczyzny, to jest norm alną do każdej prostej, leżącej na tej płaszczyznę; prosta tedy a jest prostopadłą do prostej b', która leży na płaszczyźnie fi = (p, b) i jest rzutem pro
stej b na płaszczyznę ;r. Ponieważ wkońcu prosta a’ jest równo
ległą do prostej a, więc i a' jest i do b '— co było do wykazania.
25. L inja sp ad u p łaszczy zn y . Prosta U, leżąca na płasz
czyźnie e a pro
stopadła do jej linij warstwo
wych, nazywa się l i n j ą n a j - w i ę k s z e g o s p a d u , lub kró
cej 1 i n j ą s p a- d u tej płaszczy-
zn y (ry s.4 1 ).P o - Rys_ 4, meważ lin je war
stwowe są równoległe do płaszczyzny porównawczej, więc na podstawie ustępu poprzedniego r z u t / Y l i n j i n a j w i ę k s z e g o
