DANS DES CLASSES DE CARLEMAN DE FONCTIONS HOLOMORPHES

INSTITUTE OF MATHEMATICS POLISH ACADEMY OF SCIENCES

WARSZAWA 1998

DIVISION ET EXTENSION

DANS DES CLASSES DE CARLEMAN DE FONCTIONS HOLOMORPHES

V I N C E N T T H I L L I E Z

CNRS - URA 751, Bˆ at. M2, Math´ ematiques Universit´ e des Sciences et Technologies de Lille

59655 Villeneuve d’Ascq Cedex, France E-mail: Vincent.Thilliez@univ-lille1.fr

D´ edi´ e au Professeur Stanis law Lojasiewicz

Abstract. Let Ω be a bounded pseudoconvex domain in C

^{with C}

boundary and let X be a complete intersection submanifold of Ω, defined by holomorphic functions v

, . . . , v

(1 ≤ p ≤ n − 1) smooth up to ∂Ω. We give sufficient conditions ensuring that a function f holomorphic in X (resp. in Ω, vanishing on X), and smooth up to the boundary, extends to a function g holomorphic in Ω and belonging to a given strongly non-quasianalytic Carleman class {l! M

} in ¯ Ω (resp. satisfies f = v

f

+ . . . + v

f

with f

, . . . , f

holomorphic in Ω and {l! M

}- regular in ¯ Ω). The essential assumption is that f and v

, . . . , v

belong to some (maybe smaller) Carleman class {l! M

}, where the sequences M

and M are precisely related by geometric conditions on X and Ω.

Introduction. Soit Ω un ouvert born´ e, pseudoconvexe ` a bord lisse, dans C

, et soit A

( ¯ Ω) l’alg` ebre des fonctions holomorphes dans Ω et C

jusqu’au bord de Ω (autrement dit, admettant un prolongement C

dans C

). On consid` ere v

, . . . , v

(1 ≤ p ≤ n − 1) des fonctions de A

( ¯ Ω) ainsi prolong´ ees ` a C

et on pose ˜ X = {v

= . . . = v

= 0}, X = ˜ X ∩ ¯ Ω.

Lorsque l’on a ∂v

∧ . . . ∧ ∂v

6= 0 sur X ∩ ∂Ω et que les ensembles ˜ X\ ¯ Ω et ¯ Ω sont r´ eguli` erement situ´ es au sens de Lojasiewicz [M], on connaˆıt les propri´ et´ es suivantes :

(a) Toute fonction f de A

( ¯ Ω) qui s’annule sur X v´ erifie la propri´ et´ e de division f = v

f

+ . . . + v

f

avec f

∈ A

( ¯ Ω) pour j = 1, . . . , p.

1991 Mathematics Subject Classification: Primary 32E25, 32E35; Secondary 46E99.

Received by the editors: November 2, 1996.

The paper is in final form and no version of it will be published elsewhere.

[233]

(b) Toute fonction f qui, en un sens convenable, est C

sur X et holomorphe dans l’int´ erieur relatif de X dans ˜ X, s’obtient par restriction ` a X d’une fonction g de A

( ¯ Ω).

Il s’agit l` a de r´ esultats d’E. Amar [A1]. On se reportera ´ egalement ` a P. de Bartolomeis

& G. Tomassini [DBT], R. Gay & A. Sebbar [GS], ainsi qu’aux r´ ef´ erences cit´ ees dans ces travaux.

Soit ` a pr´ esent M = (M

)

une suite croissante de r´ eels positifs, logarithmiquement convexe. Disons qu’une fonction h de classe C

au voisinage d’une partie Y de C

satisfait des estimations Carleman C

sur Y s’il existe une constante C telle que les d´ eriv´ ees de h ` a tout ordre l soient born´ ees par C

l! M

sur Y . Comme on le sait, la suite M mesure, en un certain sens, le d´ efaut d’analyticit´ e de h sur Y .

Dans ce travail, on exploite les r´ esultats de [Th1] pour r´ epondre aux questions sui- vantes. On se place dans le cadre des r´ esultats (a) et (b) rappel´ es pr´ ec´ edemment et on suppose que la suite M est “fortement r´ eguli` ere” (voir § 1, par exemple M

= l!

(Log l)

, α > 0, β ∈ R). Peut-on alors, `a partir de la donn´ee de M , Ω et ˜ X, d´ eterminer une suite M

telle que dans les r´ esultats (a) et (b), une hypoth` ese additionnelle de r´ egularit´ e C

, portant sur f et sur les v

dans ¯ Ω, implique que les fonctions f

et g aient la r´ egularit´ e C

sur ¯ Ω ? Dans l’affirmative, quelles sont les propri´ et´ es de M

?

Ce probl` eme se ram` ene ` a l’´ etude de l’id´ eal engendr´ e par les v

sur la classe des fonctions de A

( ¯ Ω) qui v´ erifient des estimations C

sur ¯ Ω. Apr` es l’introduction d’outils techniques aux § 1 et § 2, les r´ esultats obtenus sont d´ ecrits au § 3. Les d´ emonstrations font l’objet des § 4 et § 5.

La m´ ethode suivie fait appel ` a deux ´ etapes : une premi` ere ´ etape consiste ` a ´ etablir des versions locales des r´ esultats pr´ ecit´ es. Pour cela, on s’inspire en particulier de cons- tructions faites par E. Amar [A1] dans le cas de A

( ¯ Ω). La seconde ´ etape consiste ` a globaliser les r´ esultats via des proc´ ed´ es cohomologiques ; ici la proposition 6.1 de [GS]

joue un rˆ ole crucial. Bien entendu, il est ´ egalement n´ ecessaire de disposer de solutions du

∂ ` ¯ a r´ egularit´ e Carleman : ces solutions sont fournies par [CC2] lorsque l’ouvert Ω poss` ede une “bonne” base de voisinages pseudoconvexes.

Tout au long de l’article, et en contraste avec le cas de A

( ¯ Ω) o` u l’aspect quantitatif est occult´ e, il est essentiel de contrˆ oler tr` es pr´ ecis´ ement les “pertes de r´ egularit´ e” Car- leman li´ ees ` a la propri´ et´ e de situation r´ eguli` ere des ensembles ˜ X\ ¯ Ω et ¯ Ω. Ceci n´ ecessite l’introduction de proc´ ed´ es sp´ ecifiques : en particulier, le th´ eor` eme de recollement de jets ultradiff´ erentiables et la notion de situation r´ eguli` ere raffin´ ee de [Th1] sont essentiels.

1. R´ esultats pr´ eliminaires

D´ efinition 1.1. Soit M = (M

)

une suite de r´ eels positifs. On dit que la suite M est fortement r´ eguli` ere lorsqu’elle v´ erifie les conditions suivantes :

(1.1.1) Les suites M et (M

/M

)

sont croissantes.

(1.1.2) Il existe une constante A

≥ 1 telle que l’on ait, pour tout l,

M

≤ A

M

M

pour 0 ≤ j ≤ l.

(1.1.3) Il existe une constante A

≥ 1 telle que l’on ait, pour tout l, X

j≥l

M

(j + 1)M

≤ A

M

M

. On note S

l’ensemble des suites fortement r´ eguli` eres.

On d´ efinit une relation d’´ equivalence ∼ sur S

en disant que l’on a M ∼ M

si et seulement si il existe une constante C, avec C ≥ 1, telle que l’on ait C

M

≤ M

≤ C

M

pour tout entier l.

On d´ esigne par F l’ensemble des fonctions ϕ : R

−→ R

croissantes au voisinage de 0 dans R

et telles que ϕ(0) = 0. On d´ efinit aussi une relation d’´ equivalence ' sur F en disant que l’on a ϕ ' ψ si et seulement si il existe des constantes b, c, avec 0 < b < 1, 0 < c < 1, telles que l’on ait b ϕ(ct) ≤ ψ(t) ≤ b

ϕ(c

t) pour t → 0.

1.2. Fonctions h

. Soit M une suite fortement r´ eguli` ere. Pour tout entier l, on pose h

(t) = inf

j≥0

t

M

pour t ∈ R

.

La fonction h

est continue, croissante et on a h

(0) = 0 et h

(t) = M

pour t ≥ 1.

De plus, si on pose N

= Sup

t>0

t

h

(t), on a alors N ∼ M en vertu de la condition de convexit´ e logarithmique (1.1.1). La donn´ ee de h

d´ etermine donc M dans S

/ ∼. Comme autre cons´ equence, ´ etant donn´ ees deux suites M et M

de S

, l’existence de constantes b et c avec 0 < b < 1, 0 < c < 1, telles que l’on ait b h

(ct) ≤ h

(t) pour t −→ 0,

´

equivaut ` a l’existence d’une constante C ≥ 1 telle que l’on ait M

≤ C

M

pour tout entier l. En particulier, on a M ∼ M

si et seulement si on a h

' h

dans F . Compte tenu de ces remarques, on confondra souvent, dans le reste de ce travail, les suites M de S

et leurs classes d’´ equivalence modulo ∼ .

Exemple. Soient α et β r´ eels, avec α > 0. La suite M donn´ ee par M

= l!

(Log l)

pour l ≥ 1 est fortement r´ eguli` ere et on a h

(t) ' exp(−t

(Log(1/t))

).

D´ efinition 1.3. Soit θ un ´ el´ ement de F . On dira que la fonction θ est fortement admissible si elle v´ erifie les conditions suivantes :

(1.3.1) Elle est continue, strictement croissante, au voisinage de 0 dans R

. (1.3.2) La fonction t −→ θ(t)/t est croissante au voisinage de 0 dans R

.

(1.3.3) Il existe un r´ eel q > 1 tel que la fonction t −→ θ(t)/t

soit d´ ecroissante au voisinage de 0 dans R

.

Exemple. Un exemple standard de fonction fortement admissible est donn´ e par θ(t) = t

(Log(1 +

))

, o` u µ et ν sont deux r´ eels, avec µ ≥ 1 et ν ≥ 0.

La d´ efinition 1.4 ci-apr` es illustre l’usage que l’on fera, dans ce travail, des fonctions fortement admissibles. On d´ esigne par d la distance euclidienne.

D´ efinition 1.4. Soient Y

et Y

deux sous-ensembles ferm´ es de R

et θ une fonction fortement admissible. Si on a Y

∩ Y

6= ∅, on dit que Y

et Y

sont θ-situ´ es lorsque, quels que soient les sous-ensembles compacts respectifs E

et E

de Y

et Y

, il existe une constante γ > 0 et un ouvert V contenant E

∪ E

tels que l’on ait

(1.4.1) d(x, E

) + d(x, E

) ≥ γ θ(d(x, E

∩ E

))

pour tout x de V . Si on a Y

∩ Y

= ∅, on convient aussi de dire que Y

et Y

sont θ-situ´ es avec θ(t) = t (autrement dit : id-situ´ es).

R e m a r q u e 1.5. Dans la d´ efinition pr´ ec´ edente, il est possible d’employer des fonc- tions admissibles plus g´ en´ erales, voir [Th1] et [Th2]. Ici, il sera techniquement plus simple de se limiter aux fonctions fortement admissibles d´ efinies en 1.3. Il s’agit d’une restriction minime, voir les points 1.6 et 1.7 de [Th2].

Il convient par ailleurs de remarquer que, compte tenu de (1.3.3), la θ-situation d´ efinie en 1.4 implique la situation r´ eguli` ere de Lojasiewicz [M]. Elle en est une forme pr´ ecis´ ee.

On rappelle maintenant une construction faite dans la proposition 2.2 de [Th1]. Elle jouera un rˆ ole essentiel aux § 3 et § 4.

Proposition 1.6. Soit θ une fonction fortement admissible. Alors, quel que soit M dans S

/ ∼, il existe un unique M

dans S

/ ∼ tel que l’on ait

(1.6.1) h

' h

◦ θ.

En outre, M

est donn´ e explicitement , modulo ∼, par (1.6.2) M

= Y

0≤j≤l−1

m

avec m

= 1

θ(1/m

) , m

= M

/M

. Exemples.

(i) Pour θ(t) = t

(µ ≥ 1), on a M

= (M

)

. En particulier, pour θ = id (identit´ e), on a M

= M .

(ii) Pour M

= l!

(Log l)

et θ(t) = t

(Log(1 +

))

avec α > 0, β ≥ 0, µ ≥ 1 et ν ≥ 0, on a M

= l!

(Log l)

(On v´ erifie (1.6.1) ` a l’aide de l’exemple donn´ e en 1.2, ou bien on utilise (1.6.2)).

On a tr` es facilement la propri´ et´ e suivante : soient θ une fonction fortement admissible et M une suite de S

/ ∼ ; alors il existe des constantes q ≥ 1 et C ≥ 1 telles que l’on ait

C

M

≤ M

≤ C

(M

)

pour tout l (c’est une cons´ equence directe de (1.3.2), (1.3.3) et (1.6.2)). La propri´ et´ e qui suit est beaucoup moins imm´ ediate.

Proposition 1.7 ([Th2], proposition 1.10). Soit θ une fonction fortement admissible.

Alors l’application M −→ M

est une bijection de S

/ ∼ sur lui-mˆ eme.

1.8. Notation. Dans toute la suite, si θ est une fonction fortement admissible donn´ ee et si M est un ´ el´ ement de S

/ ∼, on notera M

l’unique ´ el´ ement de S

/ ∼ tel que l’on ait (M

)

= M .

2. Classes de Carleman

2.1. Notations. Pour z = (z

, . . . , z

) dans C

, on pose z

= x

+ ix

(1 ≤ j ≤ n).

Pour tout multi-indice L = (l

, . . . , l

) de N

, on note l la longueur l

+ . . . + l

de L et D

le monˆ ome de d´ erivation ∂

/∂x

· · · ∂x

associ´ e ` a L.

2.2. Classes de Carleman. Soit M une suite fortement r´ eguli` ere. Une fonction f de

C

(C

) sera dite appartenir ` a la classe de Carleman C

(C

) s’il existe une constante

positive C (d´ ependant de f ) telle que l’on ait, pour tout multi-indice L de N

et tout z de C

,

(2.2.1) |D

f (z)| ≤ C

l! M

.

La classe C

(C

) est une alg` ebre, stable par op´ erateurs diff´ erentiels. Elle est fortement non-quasianalytique [B], en particulier dot´ ee de partitions de l’unit´ e.

Soit ` a pr´ esent Ω un ouvert born´ e ` a bord de classe C

dans C

. On d´ efinit la classe de Carleman C

( ¯ Ω) comme l’alg` ebre des fonctions f de C

( ¯ Ω) telles que l’on ait (2.2.1) pour tout multi-indice L et tout z de ¯ Ω, et on d´ efinit A

( ¯ Ω) comme l’alg` ebre des fonctions de C

( ¯ Ω) qui sont holomorphes dans Ω. D’apr` es [B], [CC1] (voir aussi le corollaire 3.12 de [BBMT]), pour toute fonction f de C

( ¯ Ω), il existe une fonction ˜ f de C

(C

) telle que l’on ait ˜ f |

= f ; ainsi A

( ¯ Ω) peut ˆ etre encore vu comme l’ensemble des fonctions f de C

(C

) telles que l’on ait ¯ ∂f = 0 sur ¯ Ω. Plus g´ en´ eralement, si K est un compact de C

, on notera A

(K) l’ensemble des fonctions f de C

(C

) telles que ¯ ∂f s’annule ` a l’ordre infini sur K (compte tenu des th´ eor` emes d’extension de [B], [CC1], cette notion co¨ıncide avec celle de jet ¯ ∂-plat de classe C

sur K).

Soit F un faisceau de germes de fonctions sur ¯ Ω. On d´ esigne par F

le faisceau des germes de (p, q)-formes diff´ erentielles ` a coefficients dans F , par Γ( ¯ Ω, F ) l’espace des sections de F et par F

la fibre de F en un point ζ de ¯ Ω. On note C

(resp. A

) le faisceau sur ¯ Ω des germes de fonctions de C

( ¯ Ω) (resp. A

( ¯ Ω)) et O le faisceau usuel sur C

des germes holomorphes. On identifie Γ( ¯ Ω, C

) et C

( ¯ Ω) (resp. Γ( ¯ Ω, A

) et A

( ¯ Ω)).

On remarquera que toutes les notions pr´ ec´ edentes ne d´ ependent que de la classe de M modulo ∼ .

D´ efinition 2.3 [CC2]. Un compact K de C

est dit 1-H-convexe s’il existe une constante c, avec 0 < c < 1, telle que pour tout r´ eel δ > 0, assez petit, on puisse trouver un ouvert Ω

pseudoconvexe satisfaisant

{z : d(z, K) < cδ} ⊂ Ω

⊂ {z : d(z, K) < δ}.

Exemples.

(i) Si Ω est un ouvert born´ e ` a bord C

strictement pseudoconvexe, ou plus g´ en´ erale- ment C

` a fonction d´ efinissante plurisousharmonique, alors ¯ Ω est 1-H-convexe.

(ii) L’adh´ erence de tout ouvert Ω born´ e pseudoconvexe ` a bord C

est localement 1-H-convexe, en ce sens que chaque point de ¯ Ω poss` ede une base de voisinages relatifs ` a Ω d’adh´ ¯ erences 1-H-convexes.

Dans [CC2], l’´ equation ¯ ∂ est r´ esolue dans les classes de jets Gevrey d’un compact 1-H-convexe. La d´ emonstration s’adapte sans probl` eme ` a toute classe de Carleman as- soci´ ee ` a une suite fortement r´ eguli` ere. Compte tenu de l’exemple (ii) qui pr´ ec` ede, on obtient le r´ esultat local suivant :

Proposition 2.4 [CC2]. Soient M une suite fortement r´ eguli` ere et Ω un ouvert born´ e pseudoconvexe ` a bord C

dans C

. Avec les notations de 2.1, on a l’exactitude du complexe

0 −→ A

−→ C

∂¯

−−−→ C

−−−→ . . .

−−−→ C

−→ 0.

Il en r´ esulte classiquement ([G], D5 et D8) que l’on a H

( ¯ Ω, A

) = H

(Γ( ¯ Ω, C

)) pour q ≥ 1. En appliquant de nouveau [CC2], on en d´ eduit le r´ esultat global :

Proposition 2.5 [CC2]. Soient M une suite fortement r´ eguli` ere et Ω un ouvert born´ e pseudoconvexe ` a bord C

dans C

, dont l’adh´ erence est 1-H-convexe. On a alors

H

( ¯ Ω, A

) = 0 pour q ≥ 1.

3. ´ Enonc´ e des r´ esultats

3.1. Hypoth` eses. On consid` ere un ouvert Ω pseudoconvexe born´ e dans C

, ` a bord de classe C

. On suppose en outre, dans tout ce qui suit , que l’on a

H

( ¯ Ω, A

) = 0 pour q ≥ 1.

D’apr` es 2.5, ceci est par exemple vrai d` es que ¯ Ω est 1-H-convexe.

On donne θ une fonction fortement admissible et M une suite fortement r´ eguli` ere.

Soient p un entier avec 1 ≤ p ≤ n − 1 et v

, . . . , v

des fonctions de A

( ¯ Ω), prolong´ ees en ´ el´ ements de C

(C

) (voir 2.2). On pose

X = {z ∈ C ˜

: v

(z) = . . . = v

(z) = 0} et X = ˜ X ∩ ¯ Ω.

On suppose que ˜ X rencontre ∂Ω ; en particulier on a X 6= ∅.

On note enfin (v

, . . . , v

)C

( ¯ Ω) (resp. (v

, . . . , v

)A

( ¯ Ω)) l’id´ eal engendr´ e par les v

sur C

( ¯ Ω) (resp. A

( ¯ Ω)).

On consid` ere la liste d’hypoth` eses suivante. Ces hypoth` eses serviront ` a tour de rˆ ole dans les diff´ erents r´ esultats ´ etablis.

(H

) Les v

appartiennent ` a A

( ¯ Ω).

(H

) Les v

appartiennent ` a A

( ¯ Ω).

(H

) On a ∂v

∧ . . . ∧ ∂v

6= 0 sur X ∩ ∂Ω.

(H

) Les ensembles ˜ X\ ¯ Ω et ¯ Ω sont θ-situ´ es.

(H

) L’int´ erieur de X relatif ` a ˜ X est dense dans X.

On a alors les ´ enonc´ es ci-dessous. Les preuves feront l’objet des § 4 et § 5 de ce travail.

Th´ eor` eme 3.2. Sous les hypoth` eses (H

) et (H

), on a

A

( ¯ Ω) ∩ (v

, . . . , v

)C

( ¯ Ω) = (v

, . . . , v

)A

( ¯ Ω).

Th´ eor` eme 3.3 (division). Sous les hypoth` eses (H

), (H

), (H

), (H

), soit f une fonction de A

( ¯ Ω) telle que l’on ait f |

= 0 . Alors f appartient ` a (v

, . . . , v

)A

( ¯ Ω).

Th´ eor` eme 3.4 (extension). Sous les hypoth` eses (H

), (H

), (H

), soit f une fonction de A

(X). Alors il existe une fonction g de A

( ¯ Ω) telle que l’on ait g |

= f.

3.5. Remarques sur les hypoth` eses (H

)

(i) Les conditions (H

) ou (H

) sont v´ erifi´ ees automatiquement lorsque les v

sont des fonctions holomorphes au voisinage de ¯ Ω.

(ii) ` A l’aide des propri´ et´ es des fonctions admissibles, on peut s’assurer, en s’inspirant

du § 0 de [A2], que (H

) ne d´ epend pas du choix du prolongement ` a C

des v

.

(iii) Lorsque l’ordre de contact entre ˜ X et ∂Ω en chaque point ζ de ˜ X ∩ ∂Ω est au plus ´ egal ` a m (m ∈ N

), c’est ` a dire lorsque l’on a lim inf

z−→ζ, z∈ ˜X

|z − ζ|

d(z, ∂Ω) > 0, il est facile de v´ erifier que (H

) est satisfaite avec θ(t) = t

. La r´ eciproque est fausse except´ e dans le cas m = 1, θ = id, o` u (H

) a lieu si et seulement si X est transverse ` a ∂Ω.

(iv) Dans le cas o` u X est transverse ` a ∂Ω, la condition (H

) est automatiquement v´ erifi´ ee.

3.6. Remarques sur les conclusions des th´ eor` emes 3.2, 3.3, 3.4.

(i) Lorsque X est transverse ` a ∂Ω, les th´ eor` emes 3.3 et 3.4 sont sans perte de r´ egularit´ e puisque l’on a alors θ = id, M = M

.

(ii) Lorsque les v

sont holomorphes au voisinage de ¯ Ω, la conclusion de 3.2 est ` a comparer ` a celle du th´ eor` eme ´ etabli par A. Nagel pour A

( ¯ Ω) ([N], th´ eor` eme 3.2). Le th´ eor` eme de Nagel ne requiert cependant pas l’hypoth` ese (H

).

4. R´ esultats locaux

4.1. Notation. On note I := (v

, . . . , v

)A

et J := (v

, . . . , v

)C

les faisceaux engendr´ es respectivement sur A

et C

par les v

. Comme cons´ equence de l’existence de partitions de l’unit´ e de classe C

, on a ´ evidemment

(4.1.1) Γ( ¯ Ω, J ) = (v

, . . . , v

)C

( ¯ Ω).

4.2. Coordonn´ ees locales. L’hypoth` ese (H

) implique que ˜ X est une vari´ et´ e lisse au voisinage de ∂Ω et pour tout point ζ de X ∩ ∂Ω, il existe un voisinage U de ζ et un (n − p)-uple u de fonctions sur U telles que (u, v) := (u

, . . . , u

, v

, . . . , v

) forme un syst` eme de coordonn´ ees d’origine ζ, appartenant ` a la classe C

lorsque (H

) est v´ erifi´ ee, C

dans le cas g´ en´ eral (H

), et holomorphes dans Ω ∩ U (voir [D] pour la version C

du th´ eor` eme des fonctions implicites utilis´ ee ici).

Soit r une fonction d´ efinissante pour Ω. On pourra, quitte ` a renum´ eroter les v

, sup- poser que l’on a ∂r ∧ ∂v

∧ . . . ∧ ∂v

6= 0 dans U , c’est ` a dire que v

, . . . , v

sont des coor- donn´ ees tangentielles (lorsque la coordonn´ ee v

est aussi tangentielle, ˜ X est transverse ` a

∂Ω au voisinage de ζ).

Pour j = 0, . . . , p, on notera X

= {(u, v) ∈ C

: v

= . . . = v

= 0} (on a X

= ˜ X et X

= C

). Pour toute partie Y de C

, on pourra identifier X

∩ Y avec sa projection sur C

.

Dans toute la suite, on utilisera sans le mentionner la stabilit´ e de la r´ egularit´ e Carle- man par composition (donc par passage aux coordonn´ ees (u, v)), voir [D].

Proposition 4.3 (extension locale). On se place dans les hypoth` eses (H

), (H

), (H

). Soient ζ un point de X ∩ ∂Ω et f un germe en ζ de fonction de A

(X), c’est-` a- dire un germe de C

qui est ¯ ∂-plat sur X. Alors il existe un germe g dans A

tel que l’on ait g |

= f.

Dans cet ´ enonc´ e et les suivants, les conditions de restriction ou de ¯ ∂-platitude sont

bien sˆ ur sous-entendues au voisinage de ζ. Ici, le fait que g co¨ıncide avec f non seulement

sur X, mais mˆ eme sur ˜ X (les germes ´ etant prolong´ es au voisinage de ζ), jouera un rˆ ole important en 5.5.

P r e u v e. On suit la ligne directrice du th´ eor` eme 2.1 de [A1] en contrˆ olant pr´ ecis´ ement les pertes de r´ egularit´ e. On utilise les coordonn´ ees locales (u, v) dans un voisinage U de ζ.

D’apr` es 2.2, on peut ´ etendre le germe f en une fonction de C

(C

), que l’on notera encore f . Pour u ∈ C

, on pose g

(u) = f (u, 0, . . . , 0) et on consid` ere l’extension triviale de g

` a C

, donn´ ee par

f

(u, v

) = g

(u), de sorte que l’on a f

∈ C

(C

),

(4.3.1) f

|

= f

et enfin, par hypoth` ese sur f ,

(4.3.2) ∂f ¯

est plat sur X ∩ U.

A partir de (H `

) et des d´ efinitions, il est facile de v´ erifier que ˜ X\(X

∩ ¯ Ω) et X

∩ ¯ Ω sont θ-situ´ es au voisinage de 0 dans C

. Compte tenu de (4.3.2), de 1.6–1.8 et du th´ eor` eme 2.4 de [Th1], il existe une (0, 1)-forme ω

de classe C

dans C

telle que l’on ait, quitte ` a r´ etr´ ecir U ,

(4.3.3) ω

= ¯ ∂f

dans X

∩ ¯ Ω ∩ U,

(4.3.4) ω

est plate sur X ∩ U. ˜

De (4.3.4), on d´ eduit que l’on a, pour tout multi-indice J , tout entier k et tout (u, v

) de X

∩ U ,

(4.3.5) |D

ω

(u, v

)| ≤ C

(j + k)!M

|v

|

/k!,

o` u C est une constante convenable. On consid` ere alors la (0, 1)-forme η

:= v

ω

, qui est de classe C

sur (X

\ ˜ X) ∩ U . Pour tout multi-indice L, on d´ eveloppe D

η

` a l’aide de la formule de Leibniz et on estime chaque terme (D

v

)(D

ω

) apparaissant dans le d´ eveloppement avec I + J = L, en utilisant (4.3.5) avec k = i + 2. Compte tenu de l’estimation triviale |D

v

| ≤ i! |v

|

et de la propri´ et´ e (1.1.2) des suites fortement r´ eguli` eres, on obtient sans difficult´ e

(4.3.6) |D

η

(u, v

)| ≤ C

l!M

|v

| pour tout (u, v

) de (X

\ ˜ X) ∩ U , quitte ` a augmenter C.

Il s’ensuit que η

se prolonge en une (0, 1)-forme de classe C

sur X

, plate sur ˜ X ∩U . Par (4.3.3), on a aussi ¯ ∂η

= 0 sur X

∩ ¯ Ω ∩ U .

On remarque maintenant que X

∩ Ω ∩ U s’identifie ` a un ouvert de C

` a bord de classe C

, pseudoconvexe, au voisinage de 0 : c’est une cons´ equence imm´ ediate du fait que les coordonn´ ees v

sont tangentielles pour j ≥ 2. On peut appliquer ` a cet ouvert la proposition 2.4. Quitte ` a restreindre U , il existe donc une fonction h

de classe C

satisfaisant ¯ ∂h

= η

dans X

∩ ¯ Ω ∩ U . D’apr` es 2.2, h

peut ´ evidemment ˆ etre suppos´ ee de classe C

` a support compact dans C

.

On pose alors g

= f

− v

h

. Clairement, g

est de classe C

dans C

, on a

∂g ¯

= 0 sur X

∩ ¯ Ω ∩ U et g

|

= f

|

= f compte tenu de (4.3.1).

En particulier, pour p = 1, le germe de g

en ζ r´ ealise l’extension souhait´ ee.

Pour p ≥ 2, on consid` ere f

d´ efinie par extension triviale de g

` a C

, c’est-` a-dire par

f

(u, v

, v

) = g

(u, v

).

La fonction f

est de classe C

sur C

et on a manifestement

(4.3.7) f

|

= f.

On a enfin

(4.3.8) f

est ¯ ∂-plate sur X

∩ ¯ Ω ∩ U.

Par ailleurs, la coordonn´ ee v

est tangentielle, donc X

et X

∩ ∂Ω sont transverses, et les ensembles X

\(X

∩ ¯ Ω) et X

∩ ¯ Ω sont id-situ´ es, au voisinage de 0. En utilisant encore [Th1], th´ eor` eme 2.4, et (4.3.8), il existe une (0, 1)-forme ω

de classe C

(comme f

) dans C

telle que l’on ait

ω

= ¯ ∂f

dans X

∩ ¯ Ω ∩ U, ω

est plate sur X

∩ U, quitte ` a r´ eduire U .

De l` a, on montre comme pr´ ec´ edemment que η

:= v

ω

est de classe C

dans X

, plate sur X

; on r´ esoud ¯ ∂h

= η

dans X

∩ Ω ∩ U et on pose g

= f

− v

h

. Dans le cas p = 2, compte tenu de (4.3.7), le germe de g

en ζ r´ ealise l’extension annonc´ ee.

Pour p ≥ 3, on it` ere la construction pr´ ec´ edente en remarquant que, puisque les coor- donn´ ees v

, . . . , v

sont tangentielles, les ensembles X

et X

∩ ∂Ω seront, ` a chaque fois, transverses au voisinage de 0 : on conservera donc la r´ egularit´ e C

` a chaque ´ etape, contrairement ` a ce qui se passait dans la construction de g

(passage de C

` a C

).

Proposition 4.4 (division locale). On se place dans les hypoth` eses (H

), (H

), (H

) et (H

). Soit ζ un point de X ∩ ∂Ω et soit f un germe de A

tel que l’on ait f |

= 0 . Alors f appartient ` a I

.

P r e u v e. Il s’agit de trouver des germes g

, . . . , g

dans A

tels que l’on ait f = v

g

+ . . . + v

g

.

Dans les coordonn´ ees locales (u, v), le germe f ´ etant suppos´ e prolong´ e en une fonction de classe C

sur C

comme indiqu´ e en 2.2, on a f (u, 0) = 0 pour (u, 0) ∈ X ∩ U . D’apr` es (H

), il en r´ esulte que toutes les d´ eriv´ ees de u −→ f (u, 0) sont ´ egalement nulles pour (u, 0) ∈ X∩U. Aussi, si on pose ϕ

(u, v) = f (u, v

, 0, . . . , 0) et ˜ ϕ

(u, v

) = ϕ

(u, v

)−

f (u, 0), les jets de classe C

induits par ϕ

sur E

:= X

∩ ¯ Ω ∩ U (resp. ˜ ϕ

sur E

:= ( ˜ X\(X

∩ ¯ Ω)) ∩ U ) co¨ıncident sur E

∩ E

(on a E

∩ E

⊂ X). En appliquant, compte tenu de (H

) et de 1.6–1.8, le th´ eor` eme 2.4 de [Th1], on obtient une fonction F

de C

(C

) qui co¨ıncide avec ϕ

sur E

(resp. ˜ ϕ

sur E

), quitte ` a r´ etr´ ecir U . On en d´ eduit en particulier

(4.4.1) F

= f ainsi que

(4.4.2) F

|

= 0,

c’est ` a dire F

(u, 0) = 0 pour u voisin de 0 dans C

. Par suite, quitte ` a r´ eduire U , on a, pour tout (u, v

) de X

∩ U ,

(4.4.3) F

(u, v

) = v

G

(u, v

) + ¯ v

H

(u, v

) avec

(4.4.4) G

(u, v

) = Z

0

∂F

∂v

(u, tv

)dt et H

(u, v

) = Z

0

∂F

∂ ¯ v

(u, tv

)dt.

Pour (u, v

) ∈ X

∩ U , si on pose f

(u, v

) = v

F

(u, v

), on a (4.4.5) f

(u, v

) = G

(u, v

) + I

(u, v

)

avec I

(u, v

) = v

K

(u, v

) et K

(u, v

) = ¯ v

H

(u, v

). On a vu dans la preuve de 4.3 que X

∩ Ω s’identifie ` a un ouvert de C

, pseudoconvexe ` a bord C

au voisinage de 0. On va montrer que f

d´ efinit une fonction de classe A

dans cet ouvert. Pour cela, on ´ etudie s´ epar´ ement les termes I

, puis G

, de (4.4.5).

Pour tout multi-indice L et tout (u, v

) de X

∩ U , on a d’abord, par (4.4.4), la majoration |D

H

(u, v

)| ≤ Sup

0≤t≤1

|(D

1

)(u, tv

)|. Or, d’apr` es (4.4.1) et l’holomorphie de f , la fonction ∂F

/∂ ¯ v

est plate sur X

∩ ¯ Ω ∩ U . On en d´ eduit ais´ ement

(4.4.6) |D

H

(u, v

)| ≤ Sup

0≤t≤1

C

(l + k)!M

dist((u, tv

), X

∩ ¯ Ω ∩ U )

/k!
, pour tout multi-indice L, tout entier k et tout (u, v

) de X

∩ ¯ Ω ∩ U , C d´ esignant une constante convenable. Or, pour (u, v

) ∈ X

∩ ¯ Ω∩U et t ∈ [0, 1], on a dist((u, tv

), ¯ Ω∩U ) ≤

|(u, tv

) − (u, v

)| ≤ |v

|. Par (4.4.6) et par d´ efinition de K

, il vient donc

|D

K

(u, v

)| ≤ C

(l + k)!M

|v

|

/k!,

quitte ` a augmenter C. De l` a, on tire comme dans la preuve de 4.3 (r´ egularit´ e de v

ω

` a partir de (4.3.5)) que I

se prolonge en une fonction de classe C

sur X

∩ ¯ Ω ∩ U , plate sur X ∩ U .

On v´ erifie ensuite sans difficult´ e, ` a partir de (4.4.1) et de l’holomorphie de f , que G

est de classe C

sur X

∩ ¯ Ω ∩ U , ¯ ∂-plate sur X ∩ U .

Ainsi, f

est de classe C

sur X

∩ ¯ Ω ∩ U , ¯ ∂-plate sur X ∩ U . En outre, elle est clairement holomorphe sur (X

\ ˜ X) ∩ Ω ∩ U , o` u elle co¨ıncide avec v

f . On en d´ eduit bien le r´ esultat annonc´ e pr´ ec´ edemment.

A pr´ ` esent, comme X

est transverse ` a ∂Ω, il existe, d’apr` es 4.3 et quitte ` a r´ eduire encore U , une fonction g

de classe A

dans Ω ∩ U et satisfaisant g

1∩ ¯Ω∩U

= f

. Ceci prouve la proposition pour p = 1, puisqu’on a alors f = v

g

.

Dans le cas p ≥ 2, on consid` ere la fonction f − v

g

: c’est un germe de A

, nul sur X

par construction. Suivant l’id´ ee de [A1], th´ eor` eme 3.1, on r´ ep` ete alors la d´ emarche pr´ ec´ edente en construisant F

telle que l’on ait

F

= f − v

g

, F

|

= 0,

de fa¸ con ` a construire g

comme extension de v

F

, et ainsi de suite. On it` ere ce processus

en notant que les constructions successives se font maintenant sans perte de r´ egularit´ e

puisque les X

sont transverses ` a ∂Ω.

Les lemmes qui suivent serviront au paragraphe 5.

Lemme 4.5. On se place dans les hypoth` eses (H

), (H

). Alors la suite 0 −→ I −→ J −−−→ K −→ 0,

o` u K d´ esigne le faisceau image de J par ¯ ∂, est exacte.

P r e u v e. Le lemme revient ` a montrer que si ζ est un point de ¯ Ω et f un germe de la forme

(4.5.1) f = v

f

+ . . . + v

f

avec f

∈ C

pour j = 1, . . . , p, satisfaisant ¯ ∂f = 0, alors on peut trouver des germes g

dans A

(1 ≤ j ≤ p) tels que l’on ait f = v

g

+ . . . + v

g

.

Lorsque ζ est un point de ¯ Ω\X, il existe un indice i tel que v

ne s’annule pas au voisinage de ζ. Le germe de v

en ζ est alors inversible dans A

(voir par exemple [D]) et on a f = v

g

o` u g

:= f

+ v

P

j6=i

v

f

a les propri´ et´ es requises.

Lorsque ζ est un point de X ∩ Ω, on remarque d’abord que l’on a A

= O

et C

⊂ C

: la propri´ et´ e r´ esulte alors de la O-platitude de C

, voir [M].

Lorsque ζ est un point de X ∩ ∂Ω, on peut supposer que f

est de classe C

sur C

et on pose, dans les coordonn´ ees locales (u, v),

(4.5.2) f ˜

(u, v) = f

(u, v

, 0, . . . , 0).

Par (4.5.1), on a donc v

f ˜

(u, v

, 0, . . . , 0) = f (u, v

, 0, . . . , 0) pour (u, v

) ∈ X

∩ Ω ∩ U . On sait que X

∩ Ω ∩ U s’identifie ` a un ouvert de C

et il r´ esulte alors de cette ´ egalit´ e que ˜ f

est ¯ ∂-plate sur X

∩ Ω ∩ U .

En appliquant la proposition 4.3 ` a Ω, X

, ˜ f

, donc dans le cas transverse (sans perte de r´ egularit´ e), on obtient un germe g

de A

tel que l’on ait g

|

= ˜ f

, quitte ` a r´ etr´ ecir U .

On consid` ere alors, pour (u, v) ∈ Ω ∩ U , la fonction h(u, v) := f (u, v) − v

g

(u, v).

Elle d´ efinit un germe de A

et s’annule sur X

par construction de g

. L’application

`

a Ω, X

et h de la proposition 4.4, encore une fois dans le cas transverse, assure que l’on a h(u, v) = P

j=2

v

g

(u, v) o` u les g

sont des germes de A

. Ceci prouve le lemme.

Lemme 4.6. On se place dans les hypoth` eses (H

), (H

). Soient ζ un point de X et f un germe de A

tel que l’on ait f |

= 0. Alors f appartient ` a I

.

P r e u v e. Lorsque ζ est un point de X ∩Ω v´ erifiant ∂v

∧. . .∧∂v

(ζ) 6= 0, le r´ esultat est standard puisque l’on a un syst` eme de coordonn´ ees holomorphes (u

, . . . , u

, v

, . . . , v

) au voisinage de ζ. Les points ζ de X ∩ Ω tels que l’on ait ∂v

∧ . . . ∧ ∂v

(ζ) = 0 sont en nombre fini en vertu de (H

) et de propri´ et´ es ´ el´ ementaires des ensembles analytiques.

On r` egle le cas de ces points via la proposition 5.8 de [GS], par exemple. Enfin, lorsque

ζ est un point de X ∩ ∂Ω, on pose F

(u, v

) = f (u, v

, 0, . . . , 0). De l` a, on peut reprendre

directement la preuve de 4.4 ` a partir de (4.4.1)–(4.4.2), puisque f est maintenant suppos´ ee

d’embl´ ee nulle sur ˜ X et non seulement sur X comme dans 4.4.

5. Globalisation. On consid` ere les faisceaux I et J d´ efinis en 4.1 et on note R le faisceau des relations des v

sur A

.

Lemme 5.1. Sous les hypoth` eses (H

) et (H

), on a H

( ¯ Ω, I) = 0 et H

( ¯ Ω, R) = 0 pour q ≥ 1.

P r e u v e. Comme dans [A1] ou [GS], il s’agit de v´ erifier une propri´ et´ e de coh´ erence globale. Soient e

, . . . , e

les sections canoniques de A

:= Λ

A

. On consid` ere le com- plexe de Koszul

(5.1.1) 0 −→ Λ

A

−−−→ Λ

A

−→ . . . −→ Λ

A

−−−→ I −→ 0,

o` u les σ

: Λ

A

−→ Λ

A

sont d´ efinis r´ ecursivement par σ

(e

) = v

pour 1 ≤ j ≤ p et σ

(e

∧ e

) = v

e

− σ

(e

) ∧ e

pour 2 ≤ k ≤ p, I = (i

, . . . , i

) avec 1 ≤ i

< . . . . . . < i

< j ≤ p et e

= e

∧ . . . ∧ e

. On justifie d’abord que le complexe (5.1.1) est exact en tout point ζ de V ∩ ¯ Ω, o` u V est un voisinage convenable de ∂Ω. Pour cela, il suffit de choisir V tel que l’on ait ∂v

∧ . . . ∧ ∂v

6= 0 sur X ∩ V : en effet, pour ζ ∈ X ∩ V ∩ Ω, le r´ esultat est standard comme cons´ equence du fait que A

co¨ıncide avec O

et que (u

, . . . , u

, v

, . . . , v

) est un syst` eme de coordonn´ ees holomorphes au voisinage de ζ.

Dans le cas d’un point ζ de X ∩ ∂Ω, on reprend la preuve d’E. Amar [A1] dans le cadre A

au lieu de A

, et en s’assurant que la propri´ et´ e d’extension locale 4.3, utilis´ ee au lieu du th´ eor` eme 2.1 de [A1], n’intervient que dans le cas transverse, donc sans perte de r´ egularit´ e. Enfin, lorsque ζ est dans ¯ Ω ∩ V \X, on conclut ´ egalement comme [A1], en utilisant que l’une des v

ne s’annule pas au voisinage de ζ et est donc une unit´ e dans A

.

Comme cons´ equence, (5.1.1) est une r´ esolution libre de I, globale sur V ∩ ¯ Ω.

Par ailleurs, il est classique que I |

est O-coh´ erent et

(5.1.2) H

(Ω, I) = 0 pour q ≥ 1.

On conclut alors que l’on a H

( ¯ Ω, I) = 0 en appliquant la proposition 6.1 de [GS] avec X = ¯ Ω, O = Ω, A = A

, F = I, compte tenu de (5.1.2) et de l’hypoth` ese H

( ¯ Ω, A

) = 0 pour q ≥ 1.

Les arguments pr´ ec´ edents permettent ´ egalement d’´ etablir H

( ¯ Ω, R) = 0, puisque R est par d´ efinition le noyau de σ

.

Lemme 5.2. Sous les hypoth` eses (H

) et (H

), on a Γ( ¯ Ω, I) = (v

, . . . , v

)A

( ¯ Ω).

P r e u v e. En reprenant les notations de la preuve de 5.1, la suite 0 −→ R −→ A

−−−→ I −→ 0

est exacte. Compte tenu de l’annulation de H

( ¯ Ω, R) en 5.1, on en d´ eduit l’exactitude de la suite

0 −→ Γ( ¯ Ω, R) −→ Γ( ¯ Ω, A

)

∗

−−−→ Γ( ¯

Ω, I) −→ 0 avec σ

(f

, . . . , f

) = P

j=1

v

f

([G], D2). Le r´ esultat s’ensuit.

Lemme 5.3. Sous les hypoth` eses (H

) et (H

), soit f un ´ el´ ement de Γ( ¯ Ω, J ) tel que

l’on ait ¯ ∂f = 0. Alors f appartient ` a Γ( ¯ Ω, I).

P r e u v e. L’exactitude de la suite

0 −→ Γ( ¯ Ω, I) −→ Γ( ¯ Ω, J ) −−−→ Γ( ¯

Ω, K) r´ esulte aussitˆ ot ([G], A10) du lemme 4.5.

5.4. Preuve du th´ eor` eme 3.2. Imm´ ediate par 5.2, 5.3 et (4.1.1).

5.5. Preuve du th´ eor` eme 3.3. Pour tout point ζ de ¯ Ω, il existe un voisinage U

de ζ dans C

et des germes g

de A

tels que l’on ait f = P

j=1

v

g

dans U

(Pour ζ ∈ X ∩ ∂Ω, c’est la proposition 4.4, pour ζ ∈ X ∩ Ω le r´ esultat s’obtient en invoquant les mˆ emes arguments que dans la preuve de 4.6, enfin pour ζ ∈ ¯ Ω\X, c’est encore une cons´ equence de l’inversibilit´ e de l’un des v

dans A

). ` A l’aide d’une partition de l’unit´ e de classe C

subordonn´ ee ` a un recouvrement de ¯ Ω par un nombre fini de U

, on en d´ eduit que f est dans l’id´ eal (v

, . . . , v

)C

( ¯ Ω) et on conclut avec 3.2.

5.6. Preuve du th´ eor` eme 3.4. Par 4.3 on construit un recouvrement fini de ¯ Ω par des ouverts U

de C

et des fonctions g

de classe A

sur ¯ Ω ∩ U

satisfaisant g

|

= f. Soit ζ un point de U

∩ U

; alors g

− g

appartient ` a A

et s’annule sur ˜ X. D’apr` es 4.6, on a g

− g

∈ I

. Ainsi les extensions locales g

de f d´ efinissent un ´ el´ ement ˜ g de Γ( ¯ Ω, A

/I).

Par ailleurs, l’exactitude de la suite

0 −→ Γ( ¯ Ω, I) −→ Γ( ¯ Ω, A

) −→ Γ( ¯ Ω, A

/I) −→ 0

est une cons´ equence standard ([G], D2) de l’annulation de H

( ¯ Ω, I) en 5.1. Aussi ˜ g se rel` eve en un ´ el´ ement g de A

( ¯ Ω) dont le germe en tout point ζ de ¯ Ω co¨ıncide avec celui de f modulo I

, d’o` u l’on tire g |

= f .

R e m a r q u e 5.7. Tous les r´ esultats d´ ecrits dans ce travail concernent le cas o` u la codimension p de ˜ X est au plus n − 1. Pour p = n, ˜ X est r´ eduit ` a un point et les conclusions de 3.2, 3.3, 3.4 restent vraies sous les seules hypoth` eses (H

) et (H

), avec M

= M . En effet l’extension est alors triviale, la division locale se r´ eduit au lemme 4.6 ; enfin les lemmes 5.1 ` a 5.3 s’adaptent ais´ ement, ce qui permet de globaliser.

R´ ef´ erences

[A1] E. A m a r, Cohomologie complexe et applications, J. London Math. Soc. (2) 29 (1984), 127–140.

[A2] E. A m a r, Non-division dans A

( ¯ Ω), Math. Z. 188 (1985), 493–511.

[DBT] P. d e B a r t o l o m e i s & G. T o m a s s i n i, Finitely generated ideals in A

( ¯ D), Adv.

in Math. 46 (1982), 162–170.

[BBMT] J. B o n e t, R. W. B r a u n, R. M e i s e & B. A. T a y l o r, Whitney’s extension theorem for nonquasianalytic functions, Studia Math. 99 (1991), 156–184.

[B] J. B r u n a, An extension theorem of Whitney type for non quasi-analytic classes of functions, J. London Math. Soc. (2) 22 (1980), 495–505.

[CC1] J. C h a u m a t & A.-M. C h o l l e t, Th´ eor` eme de Whitney dans des classes ultradif-

f´ erentiables, C. R. Acad. Sci. Paris S´ er. I Math. 315 (1992), 901–906.

[CC2] J. C h a u m a t & A.-M. C h o l l e t, Noyaux pour r´ esoudre l’´ equation ¯ ∂ dans des classes ultradiff´ erentiables sur des compacts irr´ eguliers de C

, in: Several Complex Vari- ables (Stockholm 1987/1988), Math. Notes 38, Princeton Univ. Press, Princeton, 1993, 205–226.

[D] E. M. D y n k i n, Pseudoanalytic extension of smooth functions. The uniform scale, Amer. Math. Soc. Transl. 115 (1980), 33–58.

[GS] R. G a y & A. S e b b a r, Division et extension dans l’alg` ebre A

( ¯ Ω) d’un ouvert pseudoconvexe ` a bord lisse de C

, Math. Z. 189 (1985), 421–447.

[G] R. C. G u n n i n g, Introduction to Holomorphic Functions of Several Variables, vol. III : Homological Theory , Wadsworth & Brooks/Cole, Monterey, 1990.

[M] B. M a l g r a n g e, Ideals of Differentiable Functions, Oxford University Press, Bom- bay, 1966.

[N] A. N a g e l, On algebras of holomorphic functions with C

boundary values, Duke Math. J. 41 (1974), 527–535.

[Th1] V. T h i l l i e z, Prolongement dans des classes ultradiff´ erentiables et propri´ et´ es de r´ egularit´ e des compacts de R

, Ann. Polon. Math. 63 (1996), 71–88.

[Th2] V. T h i l l i e z, Sur les fonctions compos´ ees ultradiff´ erentiables, J. Math. Pures

Appl. (9) 76 (1997), 499–524.