19H4 Hr kol. 301
Tadeusz s r o i s
IB TORA SElimrCYJIO-CYKLICZNA O D TW A RZ A* IA PRZEKŁADNI o w a r t o ś c i rmiciursj
Z E S Z Y T Y l A J I C b Ł P O I 1 " V H I . - : 1 U k U V S e r i a : E Ł ł K T p j H A z . 9 E
S t r e s z c z e n i e . P r z e ds t aw io no p o d s ta w y m a t em at yc z ne m e t o d y odtwa
rzania p rzekłaśni • wartości typu p/ą. Istotną cechą tej m et od y jest niezależność od w a r t oś ci i klaay w z o rc ó w z astosowanych do jej realizacji.
1. Warawaśzenle
W precyzyjnych n arzędziach p o ai ar o w y c h Mi er z ą c y c h lub odtwarz a ją cy ch eteaunek d wu w a rt a śc i w ie l ko śc i elektrycznej (przekładnię), wartość rze- czywiata przekładni wota być w y r a ś on a ró wn a ni em (1):
A • A„ - ¿A (1)
gdzie: AR jaat w a r t o ś c i ą nom in al n ą przekładni, w sa az y w a n ą przez narzędzie peaiarowe, a ^ jaat b ł ę d ó w b ez wz g l ę d n y « tej w ar .ości. Z równania (1) ¡noż
na obliczyć rz ec z y w i a t ą wartość przekładni sprawdzanego narzędzia p o m i a rowego, jeśali zb ud o wa ny zostanie układ u a o i l i wi aJ ąc y w y k o na ni e d o k ł a d n e go paaiaru r ó i n i c y p rzekładni i w k tórym będz i e z a stosowany wzorzec przekładni o w ar to ś c i rzeczywistej równej An (rys. 1). Układ może mieć dowolną strukturę, ale zawsze p r o b le we w jest odtworzenie w z orca p r z e kł a d
ni. Proponuje się w tym calu za st osowanie procedury, która zastępuje w z o rzec przekładni i nie w y ma g a utycia dokła dn yc h wz orców. Procedura ta pro-
Rya. 1. Schemat b l o ko wy u k ł ad u opisanego ró wnaniem (1)
22. Tadeusz Skubis
w ad zi do odtworzenia przekładni na podstawie wzorc a grupowego, tworzonego w g określonego algorytmu. Zostanie przedstawiona idea cyklicznego prze
stawienia elementów zbioru (p+q)-elementowego, która stanowi matematyczną podstawę proponowanej procedury.
2. j-ty krok procedury
K le ch będzie d a n y zbiór F, zawierający p+q elementów F ^ i m 1...(p+q).
Klech el ementy F i zostaną u p orządkowane tak, że:
1° za elementem F^ następuje 2° za elementem następuje F^.
E le me n t y zbioru F tworzą zamknięty łańcuch, w którym kolejność elementów jest stała.
K l e c h łańcuch elementów F 1 zostanie podzie lo ny na dwie części, zawie
rające Odpowiednio p 1 q elementów (rys. 2), tj. na dwa podzbiory:
L y zawierający p elementów
Łj s { F i : i e < j , a > } (2)
Mj, zawierający q elementów
M j 5 {y i * 1 • < * . • > } (3)
Rys. 2. Ilustracja p odziału zbioru F na podzbiory oraz
Po d zb io ry L. oraz K. za wierają elementy o ustalonym porządku, zgodnym z
ty o *■
1 i 2 . Element p oc zą t ko wy podzbioru 1.^ jest identyfikowany ws kaźnikiem j, który m oś e być dowo l ną liczbą naturalną ze zbioru < 1 , p + q > . Wskaźnik a elementu końcowego uporządkowanego p od zbioru musi być tak wy zn ac z o
ny, by po dz bi ó r ten zawierał p elementów. Wskaźnik b identyfikuje element następujący za F a > Wsk a źn ik c końcowego elementu uporządkowanego p o d zbioru H. musi być tak wyznaczony, b y p odzbiór ten zawierał q elementów.
Równocześnie element F Q poprzedza bezpośrednio Fj.
Metoda sekwencyjno-cykllczna.. 31
Równania określające wa rt o śc i w s ka ź ni kó w a,b,c, w zależności od z mien
nej wartości j oraz stał yc h w a rt o śc i p oraz q można zapisać p r z y w y korzystaniu funkcji entier:
(4)
(5)
(
6
)(7)
Uwzględniając fakt, że p o d z bi o ry oraz Mj p owstały przez przecięcie zamkniętego łańcucha elementów oz n aczonych liczbami naturalnymi 1...(p+q), można zauważyć, że e lementy p o dz bi or u Lj m a j ą wskaźniki "i" określone r e lacjami :
jeśli j < a, to J < 1 < a (8)
jeśli j > a, to (j < i < p+q) oraz (1 < i < a) (9)
Analogicznie e lementy po dz b io ru Mj ma ją wskaźniki określone relacjami:
jeśli b < c , to b < i < c (10)
jeśli b > c, to (b < 1 < p+q) oraz (1 < i < c) (11)
Ula p rz ypadku pr z ed stawionego na rys. 2 zachodzą relacje (8) i (11).
Zbiór f można podzielić na p o d z bi or y Lj i na (p+q) sposobów, p rz yj mując kolejno j ■ 1 , 2 , 3 , . . . ( p + q ) . Podział, w którym tworzy się podzbio
ry Lj i Mj, nazwano j-tym krokiem procedury.
3. Kolejne kroki p r oc ed ur y
Przejście od J do j+1 kroku pro ce d ur y m ożna uzyskać przez przes ta w ie nie w s z y s t k i c h elementów na miejs ca elementów p op rz e dzających w łańcu
chu. Wy k onanie w s z y s t k i c h kroków pr oc ed u ry jest więc równoważne (p+q)-kro- tnemu p r z es t aw ie ni u w sz y st k i c h elementów F^ na poprzedzające miejsca w łańcuchu, aż do wy ko na ni a pełnego cyklu. Z tego powodu procedurę nazwano cyklicznym przesta wi en i em elementów. Układ elementów F^ dla wszyst ki ch kroków pr oc e du ry zestawiono w tablicy 1.
j € H, 1 < j <■ p+q
a x j+p-1-(p+q) E ( ^ P ~ -2 )
b = j+p-(p+q) B(-jiEzl)
c ■ j+p+q-1-(p+q) E ( ‘i'lT ^ ~ 2 )
ty
\
u b :■l. Równamle procedury
l'<Ia J-tego kroku procedury stosunek A ^ sumy wszystk i ch elementów p o d zbioru Lj do sumy wszystkich elementów podzbioru Mj Jeat zależny od w a r tości elementów f i wynosi :
u
2 » 4
(12) 2 "i
A
Ze
i=b
wszystkich stosunków A j (j a 1 ,<J, .. .,p+q) nośna formalnie wyodrębnić d owolny stały składnik A oraz zmienne składniki S , o odpowiednich war- topolach, wg z a l e ż n o ś c i : i
Aj a A + S, ( 15)
•* j
»prowadzając dowolną stałą k oraz zmienną W., składniki «S. można wyrazie
J A |
n astępująco:
kW,
K - i r 2 - < ’4 >
2 lab
Z równaó (ii’), (Ib) 1 (14) otrzymuje się:
( I b ) 2 K t » A 2 ^ »■ kW)
1 »j 1 a.b
uinu jąc a teoriami r ó w n u n 1« ( 1S ) dla .1 • '
P+U Va-iJ
a 2 r t
p>ą
- a 2
2
♦prą k V
jr 1 laj j*i lab jat
(1t o)
K»iżriy element i występuje po lewej stronie równaniu ( 11>) p razy, * po prawej Mironie q. Cąs-y (por. tubl. I). Zmieniając kolejność s u m ow a
nia, równanie to można saplaaC w postaci:
pry P*ą pnj
* 2 P 1 * 2 F i f H 2 <'7 >
lat lat J al
Tablica
M> toda a e l t w r n c y j n o - c y k l i c z i m .
Tadeusz Skubią
Z równania (17) otrzymuje aięs
p+q k 2 *j
(18) 9 2 'i
i«1
Lewa strona równania (18) zalety od liczebności podzbiorów Lj i Mj, a nie zaleśy od wa r to śc i elementów Fj. Ponadto, jeżeli stały składnik A do b ie rze się tak, te A 58 £, to składnik zale żn y od sum ma wartość b l iską 0,
Z anal iz y r ó w n a ń (13) ... (18) w y ni ka wn.',a@k ogólny: procedura cy
klicznego p rzestawienia elementów w uk ładzie opisanym r ów naniem (1 5) jest równoważna zasto s ow an iu w tym układzie w z orca przekładni o wart oś c i p/q i w y k o na ni u jednego pomiaru. P ro cedura ta stanowi zatem podstawę m et od y two
rzenia w zo rc a grupowego przekładni o w a r t oś ci wymiernej. Ze w z g lę du na sposób p rzestawiania elementów i liczbę wykon yw a ny ch kroków metodę nazwa
no sekwencyjno-cykliczną.
5. R ealizacja p r oc ed ur y pomiarowej
P o ds ta wo w ym w a r u n k i e m realizacji m et od y sekwencyjno-cyklicznej odtwo
rzenia przekładni o wa rt oś c i p/q jest zbudowanie układu,którego stan rów nowagi jest opisany r ów naniem (15). W układzie tym elementy Fj^ (i * 1...p+q) są immitancjaei tego samego rodzaju o zbliżonych do siebie wartościach, A jest prze kł a dn ią sprawdzanego narzędzia, jest war to ś ci ą p ar ametru r ó w noważącego układ w j-tym kroku procedury, k jest stałą proporcjonalności, zależną od s tr uktury układu. W układzie n ależy cyklicznie przestawiać e- lementy ? i i za k ażdym r az em w stanie równowagi mierzyć wartość *j.P° w y konaniu całego cyklu p rz e st aw ie ń elementów wartość A przekładni oblicza się z równania (18), w którym s kładnik zależny od su m ma mał ą wartość w stosunku do A.
Jako przykład zastosowania m e t o d y na rys. 3 przedstawiono układ do sprawdzania b łę du przekładni napięciowej indukcyjnego dzielnika napięcie.
Układ ma strukturę mostka, w którym prąd nierównowagi Jest kompensowany p rądem I ,. Źródło p rą du I . m u s i umożliwiać nastawienie obu składowych
f r »J ( -z r » J .
Re {I r Ą oraz I“ (Ir z dużą rozdzielczością. N ap i ęciem odniesienia dla źródła p r ą d u I . jest napięcie U lub w pr zy bliżeniu U„. Obie skła-
1 1 j n z
dowe pr ąd u Ir j w stanie kompensacji prądu nierównowagi mostka muszą być dokładnie m ierzone lub obliczane na podstawie nastaw źródła. V stanie rów
nowagi u k ł a d u obowiązuje równanie:
Metoda s e k w e n c y j n o - c y k l l c z n a ,. 35
T,x 2 - iTfl - u n 2
ixb iaj
Definiując prze kł ad ni ę napię ci ow ą dzielnika jako:
A x n
(19)
.(2 0)
otrzymuje się z ró wnania (19):
2 *i • * 2 *i l 1:,;
i-j lab
(2 1)
Metoda sekwencyjno- c yk ll cz n eg o przestawienia elementów może być zanto- sowapa, ponieważ s tr uk tu r y równań (21) oraz (15) eą takie same, przy czym
?1 “ *i' *j “ *r J ’ * = 1^ n * Przestawiając cyklicznie wszystkie adml- tancje (por. tabl. 1) i za każdym razem równoważąc układ przez na
stawienie odpowiedniej wa rtości prądu I wyk on uj e się p+q kroków pro- r » J
cedury pomiarowej. Z równania (16) oblicza się błąd przekładni sprawdza
nego dzielnika:
36 Tadeusz Skubis
6. Wnioski
1. Metoda sekwencyjno-cykllczna przestawienia elementów pozwala odtwo
rzyć przekładnię p/ą, gd y istnieją e lementy o w ar to ś c i a c h stałych w cza
sie wykony w an ia procedury.
2. Prz ed st a wi on a metoda jest równow aż n a zastosowaniu jednego wzorca przekł ad n i o wa r to ś c i rzeczywistej p/ą. 0 ile wzo r ze c taki jest pojęciem abstrakcyjnym, o tyle m etoda stano w i alternatywę re al i zowalną p r a k t y c z nie.
3. Z idei m e t od y wynika, śe elem en t y podlegające cykl i cz ne mu p r z e s ta wianiu mo gą być dowolne, a w y n i k pomiaru nie zależy od ich w artości. W u kł ad ac h el ektrycznych m o g ą to być np. immitancje, w uk ła da c h m e c h a ni c z
ny c h np. odważniki lub płytki wzorcowe.
4. Szczególnymi p r zypadkami m et od y aekwencyjno-cyklicznej a ą metoda pr z es ta wi e ni a (p/ą > 1 } [2] Noraz metod a tzw. permutacyjna [i] .
5. W pr zy pa dk u narzędzi p om ia r ow yc h o.wielu prz ek ła d ni ac h me toda w y m a ga wyk on an i a całej p r oc ed ur y dla każdej przekładni oddzielnie. W takim p rz yp a dk u niezbędna liczba pomiarów m oż e być duża. Wie atanowi to jednak iatotaego utrudnienia, po nieważ pr o ce du ry pomiarowe dla sprawdzania po
s zc ze gólnych w a rt o ś c i przekła d ni .s ą niezależne od siebie i m o g ą być wy ko nywane w r ó żnym csssie i nawet prz y u ży o iu różnych wzorców immitancji.
L I T E R A T O M
'[i] Cu t ko ak y R.D., S h i e l d s - J . Q . : The P re cision Me s surement of Transformer Ratlos. IRE Trans, on Instr., Sept. 1960.
[2} K uryłowics 3. 1 Wybrane d zi ał y elektrycsnego m iernictwa precyzyjnego.
Skry pt U cs el n i a n y Po l itechniki Wrocławskiej, Wrocław 1971.
[3] Skubią T.i Oetermination of lhe ratio error b y the successire permu- tation ot immittance standards. Mat. konf. BMISCOK 83, Tatranska Łom
nica 1983.
R e c e n z e n t > prof. dr heb. inż. W o j ci ec h FullAaki
Wp ł yn ęł o do Re dakcji dnia 13.ZI.1983 r.
Xetoda s ek w e n c y j n o - c y k l l c s n a « ..
ESPHOiJMKCKH-GOCJTOOBAIEJUbHHa KFTQR BQCnPOHSJiJ^ftEHKH 0 fAUHOH^jthHHX SHA^KHEBK
P o m i
B c r a n e npexcxaBXKetc* uaxeuaxHuscicxe ochosu ttexoxa BoonpoxaBexexxa a c - pexaux B e u n a a o X tana p/q. CyasecxaaaBott ocsfieHxocxax) stars xexoxa n u n - cm BsaaaxCHMOoxb ox B a w t a K u x xsacca o 6 p a m o « , npsMeaaaMux a m aro peaxx-
stmu.
S S Q U S H C i - C Y C U C M K I H O D 0 7 H B P R O W T O W a O f RA TI O W I T H S U T IO W AL VALET*
S u n a a r y
A'xathematical ba a« of a me thod of re pr o d u c i n g of r atio w i t h p/q type value ha I been presented. An importer! ti feature; of this method is its in
d ependence f r o m the raluea and class of the standards applied there.
