Jacek SZULEJ*
Politechnika L ubelska
PROBLEMY WYZNACZANIA WSPÓŁCZYNNIKA TŁUMIENIA METODĄ KOLOKACYJNĄ
Streszczenie. W artykule przedstaw iono problem y zw iązane z zastosow aniem m etody kolokacyjnej. W ym ieniona m etoda służy do określania w spółczynnika tłum ienia drgającej konstrukcji. W artość w spółczynnika tłum ienia drgań otrzym ujem y na podstaw ie analizy widmowej przebiegów czasow ych przyspieszeń badanych konstrukcji. W ykresy funkcji FFT są porów nyw ane z odpow iednią funkcją aproksym ującą. W ynikiem porów nania je s t m iędzy innymi w spółczynnik tłum ienia, który je s t je d n y m z param etrów funkcji aproksym ującej.
Celem pośrednim je s t w yznaczenie poziom u tłum ienia m ateriałow ego dla prostych i zespolonych m odeli m ateriałow ych.
THE PROBLEMS OF DETERMINING DAMPING COEFFICIENT OF VIBRATION FOR COLLOCATION METHOD
S u m m a ry . The problem o f practical application o f the collocation m ethod have been presented in the paper. This m ethod is used to determ ine a dam ping coefficient for a vibrating structure. Its value is obtained by spectral analysis for tim e series o f acceleration. The graphs of FFT functions are com pared w ith suitable approxim ating functions. The effect o f this comparison is th e dam ping coefficient w hich is one o f param eters o f the approxim ating function. A dditionaly the level o f structural dam ping for sim ple and com lex m odels are found.
1. Wstęp
Projektując coraz bardziej sm ukłe konstrukcje (kładki, m osty, m aszty), w ażne je st prawidłowe rozpoznanie param etrów dynam icznych konstrukcji. W ażn ą cech ą praw idłow o zaprojektowanej budow li je s t odpow iedni poziom tłum ienia, który m oże być opisany
’ Opiekun naukowy: Prof, dr hab. inż. Andrzej Flaga
3 8 0 J. Szulej
bezw ym iarow ym param etrem tłum ienia p . M etoda kolokacyjna, oparta na analizie w idm ow ej przebiegów czasow ych drgających układów , stosow ana przy badaniach obiektów i m odeli laboratoryjnych, pozw oli na dokładne określenie w artości w spółczynnika p . Dzięki znajom ości poziom u tłum ienia, ju ż na etapie projektow ania m ożna dobierać odpowiednie m ateriały konstrukcyjne i w ypełniające, które zapew nią praw idłow ą pracę konstrukcji.
W artykule, stosując m etodę kolokacyjną i uw zględniając zasady obróbki przebiegów czasow ych opisanych w pracach [1,2,3,4], określono d la czterech m odeli (dwuteownika, dw uteow nika z nakład k ą drew nianą, płaskow nika, płaskow nika z nakładką drewnianą) bezw ym iarow e w spółczynniki tłum ienia p (dodatkow o w artości tłum ienia przedstawiono w postaci logarytm icznego dekrem entu tłum ienia 8 i liczby tłum ienia £ ).
Z ależności pom iędzy p , S , Ę p rzedstaw iają poniższe w zory:
4 = S I 2tc 5 = P - T (1)
gdzie: T — okres drgań.
W literaturze [5,6,7] podane s ą orientacyjne w artości logarytm icznego dekrementu tłum ienia dla w ybranych elem entów konstrukcyjnych, nie m a je d n ak kom pletnych informacji o sposobie w ym uszenia drgań, rodzaju badanych postaci drgań (np.: giętne, skrętne), sposobie określania param etrów tłum ienia itd. W ym ienione czynniki m o g ą prow adzić do dużych rozbieżności w otrzym anych w ynikach.
C elem pracy je s t określenie param etrów pom iarów , w odniesieniu do których można stosow ać m etodę kolokacyjną i porów nanie otrzym anych w yników z wartościami literaturow ym i.
2. Opis metody
M etoda kolokacyjna, opisana m iędzy innym i w pracach [8,9], opiera się na analizie w idm ow ej przebiegów czasow ych drgań badanych konstrukcji i polega na doborze funkcji aproksym ującej. Poniew aż jednym z param etrów tej funkcji je s t w spółczynnik tłumienia, w ięc w yznaczenie funkcji oznacza obliczenie poziom u tłum ienia (bezwym iarow ego w spółczynnika tłum ienia p ).
K olejność czynności przy określaniu tłum ienia badanej konstrukcji je st następująca:
• P om iary drgań w łasnych konstrukcji (stosując: czujniki drogi, akcelerom etry), dzięki którym uzyskuje się przebiegi czasow e f ( t ) .
• P rzeprow adzenie analizy spektralnej przebiegów czasow ych f ( t ) za pom ocą FFT (szybkiej transform acji Fouriera), n a podstaw ie której uzyskuje się funkcję:
F = F F T { f ( t ) } ( 2 )
(oraz częstości kołow e drgań w łasnych m,, odpow iadające lokalnym ekstrem om FFT).
• Z akłada się, że drgania badanej konstrukcji s ą su m ą tłum ionych drgań harm onicznych o różnych częstotliw ościach (tłum ienie opisane je s t zastępczym m odelem w iskotycznym ), tak ja k w poniższych w zorach:
.KO = Z i 4 e “A' s in (o * t) c o s (® ’/ ) } f f = ( a > f (3) i
gdzie: oit — i-ta częstość kołow a drgań nietłum ionych, A„ Bi - ich am plituda, p i - param etr tłum ienia, odpow iadający i-tej częstości kołow ej.
• A proksym acja przebiegów funkcji F 2 fu n k cją Y2, op isan ą poniższą zależnością:
Y = FFT{y(t)} = J y(t) - ¡ L , e"‘s‘dt = ] X {Ąe~A' sin(a>‘t) +B,e'A' cos(iU,*i)} - 4 = e~is'dl (4)
— 00 V 271 — oo i
• W yznaczenie param etrów A, , B,, /?, (układ rów nań nieliniow ych), przy założeniu że funkcja F F T je s t zgodna z fu n k cją aproksym ującą w trzech punktach charakterystycznych (ekstrem a m odułów F FT oraz punkty leżące n a 0.707 w ysokości tych ekstrem ów , które odpow iadają częstościom co, =ń>„(l-£) i co2 =(o„{l + £) przy założeniu m ałego tłum ienia je s t to analogia do m etody „half-pow er bandw idth”).
W ym ieniona m etoda została om ów iona w pracy [7], gdzie: o)„ - i-ta częstość kołow a drgań w łasnych.
3. Opis badań i opis modeli
B adania drgań m odeli w ykonano przy użyciu sprzętu HBM : akcelerom etrów B200, analizatora S pider i program u sterującego C atm an 4.0. Badane m odele zam ocow ano
3 8 2 J. Szulej
w spom ikow o i w ym uszano drgania giętne i skrętne. D rgania w ym uszano przez wygięcie i nagłe zw olnienie końca m odelu.
W ykonano cztery serie pom iarów:
seria pierw sza (dw uteow nik 120, długość 1.72m - r y s .l) - akcelerom etry zamocowano w połow ie, trzech czw artych i n a końcu m odelu,
seria druga (m odel zespolony, dw uteow nik 120, bal sosnow y 80 c m x 4 8 cm, długość 1.72 m - rys. 2)) - akcelerom etry zam ocow ano w połow ie, trzech czw artych i na końcu m odelu,
seria trzecia (płaskow nik 80 x 8, długość 1.12 m, - rys. 3)) - akcelerom etry zamocowano w jednej trzeciej, dw óch trzecich i n a końcu m odelu,
seria czw arta (m odel zespolony, płaskow nik 8 0 x 8 , deska sosnow a 120 c m x 2 5 cm, długość 1.12 m - rys. 4)) - akcelerom etry zam ocow ano w jednej trzeciej, dw óch trzecich i na końcu m odelu,
Rys. 1. M odel nr 1 Rys. 2. Model nr 2 Fig. 1. Test piece no. 1 Fig. 2. Test piece no. 2
Rys. 3. M odel nr 3 Rys. 4. Model nr 4 Fig. 3. Test piece no. 3 Fig. 4. Test piece no. 4
W ynikam i pom iarów s ą przyspieszenia drgań w czasie, próbkow ane z częstotliw ością 3200, 2400, 1600, 1200, 800, 600, 400, 300, 200, 100 H z o szerokości pasm a 150 H z dla każdego z czterech modeli (rys. 5). C zęść w yników została odrzucona ze w zględu na niepraw idłow e w ym uszenie drgań. N a podstaw ie przebiegów czasow ych w ykonano analizę w idm ow ą drgań program em C atm an 4.0, w którym w ykorzystano funkcję FFT: A uto Power
Spectrum -Am plitudowe (rys. 6). C zęstości drgań w łasnych uzyskane z badań zw eryfikow ano przez obliczenia program em A lgor (program M ES), który potw ierdził w yniki badań (ta b .l).
Przykładowe \Mdmo amplitude«» Przykładowy przebieg czasow y ( w ykre s przyspieszenia drgań)
Rys. 5. Przykładowe widmo am plitudowe Rys. 6. Przykładowy przebieg czasowy Fig. 5. The exemplary o f frequency spectrum Fig. 6. The exemplary o f tim e course
T abela 1 Porów nanie uzyskanych częstotliw ości ______________
Model f (Hz) (badania) f (Hz) (Algor) forma drgań
Dwuteownik 33,8 34,2 drgania skrętne
41,8 41,7 drgania giętne
Dwuteownik + drewno
32,5 33,2 drgania skrętne
43,3 42,2 drgania giętne
Piaskownik 4,2 4,3 drgania giętne
Płaskownik + drewno 5,9 5,5 drgania giętne
4. Obliczenia i problemy związane z zastosowaniem metody
4.1. Teoretyczne przebiegi drgań
D opasow anie m etody kolokacyjnej spraw dzono n a teoretycznym przebiegu (zal. 5,6).
Porównanie polegało na określeniu funkcji przejścia pom iędzy fu nkcją aproksym acyjną (widmo z funkcji ciągłej) i funkcjam i dyskretnym i (w idm am i z przebiegów ). Poniższy w ykres (rys. 7) pokazuje, że zbyt duże kroki czasow e i zbyt krótki czas przebiegu (wykres kropkowany) prow adzi do błędnego dostosow ania funkcji. W ykres przeryw any, czyli w idm o przebiegu dostatecznie długiego (w ytłum ionego), prow adzi do pozytyw nych w yników .
y (t) = A,e~Pl' (sin«,/®,. - / ? , )/ + co s« . /®,. - /? , )/)) (5)
At = 0.2s , A = 2 , B = 2 , P =0.02 , O) = 2rad
( 6 )
3 8 4 J. Szulej
Rys. 7. Porównanie w idma ciągłego i dyskretnego (linia ciągła - widmo ciągłe, linia przerywana i kropkow ana - w idmo dyskretne)
Fig. 7. The com parison o f frequency spectrum
4.2. P rzebiegi drgań badanych m odeli
Stosując m etodę kolokacyjną, czyli dobierając funkcję aproksym ującą w idm o przebiegów czasow ych (przyspieszeń lub przem ieszczeń) o kreślającą w artość w spółczynnika tłumienia, otrzym ano poniższe w yniki (tabele 2,3,4,5).
Tabela 2 W artości tłum ienia dla dw uteow nika ( p , S , £ )
Nr prób.
Częstot.
próbk.
(Hz) (badania)
Częstość własna
(Hz) (badania)
Częst.
własna (Hz) Algor
p S C A B
Częstość własna
(Hz) (badania)
Częst.
własna (Hz) Algor
p 8 % A B
11 3200 33.8 0.37 0.07 0,011 0.62 1.1 - - - - - -
12 2400 33.7 0.26 0.05 0,008 0.23 0.42 41.7 0.22 0.04 0,006 0.11 0.2
13 1600 33.8 0.3 0.06 0,010 0.16 0.29 41.8 '«T 0.19 0.03 0,005 0.07 0.12 14 1200 33.8 0.3 0.06 0,010 0.24 0.42 41.8 aca 0.22 0.03 0,005 0.05 0.09
15 800 33.7 U
S C4
0.35 0.06 0,010 0.52 0.91 41.8 ’3d
N 0.19 0.03 0,005 0.07 0.12
16 600 33.7 0.28 0.05 0,008 0.06 0 .1 1 41.8 0.25 0.04 0,006 0.1 0.19
17 400 33.7 0.29 0.05 0,008 0.16 0.28 41.8 0.23 0.03 0,005 0.07 0.12
18 300 33.8 0.32 0.06 0,010 0.65 0.32 41.8 0.29 0.04 0,006 0.1 0.18
19 200 33.7 0.32 0.06 0,010 0.15 0.26 41.8 0.23 0.03 0,005 0.02 0.04
Tabela 3 W artości tłum ienia dla dw uteow nika i nakładki drew nianej ( p , S , £,)
Nr prób.
Częstot.
prób.
(Hz) (badania)
Częstość własna
(Hz) (badania)
Częst.
własna (Hz) Algor
p 8 5 A B
Częstość własna
(Hz) (badania)
Częst.
własna (Hz) Algor
P 8 C A B
21 3200 32.4 0.25 0.05 0,008 0.13 0.24 43.4 0.4 0.06 0,010 0.02 0.04
22 2400 32.5 0.33 0,06 0,010 0.03 0.05 43.3 0.39 0.06 0,010 0.01 0.01
23 1600 32.5 0.42 0.08 0,013 0.05 0 43.3 0.39 0.06 0,010 0.01 0.01
24 1200 32.5 .Si
‘5 0.18 0.03 0,005 0.02 0.04 - .Si
'5 - - - -
25 800 32.5 0.18 0.03 0,005 0.01 0 - ea
a - - - -
26 600 - £
cc - - - - 43.3 S - - - -
27 400 - fS - - - - 43.3 rj
ri 0.3 0.04 0,006 0.01 0.02
28 300 32.5 0.21 0.04 0,006 0.06 0.11 43.4 0.35 0.05 0,008 0.22 0.39
29 200 32.5 0.25 0.05 0,008 0.02 0.03 43.3 0.54 0.08 0,013 0.01 0.01
30 100 32.5 0.25 0.05 0,008 0.01 0.01 43.3 - - - -
T abela 4 W artości tłum ienia d la płaskow nika ( p , 8 , ¿j)
Nr prób.
Częstotliwość próbkowania (Hz) (badania)
Częstość własna (Hz)
(badania)
Częstość własna (Hz)
Algor p
8 % A B
51 3200 4.3 1.53 2.28 0,363 0.66 3
52 2400 4.1 1.76 2.69 0,428 0.22 1.03
53 1600 4.2 0.68 1.02 0,162 0.97 2.34
54 1200 4.2 .1T 0.71 1.06 0,169 0.89 2.18
55 800 4.2 «
s 0.63 0.93 0,148 0.87 2.03
56 600 4.2 S )W) 0.55 0.82 0,131 0.82 1.82
57 400 4.2 0.5 0.74 0,118 0.85 1.95
58 300 4.2 0.04 0.06 0,010 0.09 0.15
59 200 4.2 0.03 0.05 0,008 0.06 0.01
60 100 4.2 0.02 0.04 0,006 0 0.01
T abela 5 W artości tłum ienia d la płaskow nika
i nakładki drew nianej ( p , 8 , £ ) Nr
prób.
Częstotliwość próbkowania (Hz) (badania)
Częstość własna (Hz)
(badania)
Częstość własna (Hz)
Algor P S k A B
41 3200 5.9 0.2 0.2 0,032 0.09 0.17
42 2400 - - - -
43 1600 5.9 0.12 0.12 0,019 0.08 0.14
44 1200 5.9 (37 0.09 0.1 0,016 0.05 0.09
45 800 5.9 co
a 0.13 0.13 0,021 0.12 0.17
46 600 6 NOl 0.12 0.13 0,021 0.08 0.14
47 400 6 VI 0.1 0. 11 0,018 0.05 0.09
48 300 - - - -
49 200 6 0.12 0.13 0,021 0.09 0.15
50 100 6 0. 11 0.12 0,019 0.07 0.13
Poniżej dla porów nania otrzym anych w yników z pracy [7] zestaw iono w artości logarytmicznego dekrem entu tłum ienia dla przykładow ych konstrukcji (tab. 6).
T abela 6 W artości tłum ienia ( 8 ) dla przykładow ych konstrukcji
Typ konstrukcji Wartości 8
graniczne zalecane do obliczeń Konstrukcje stalowe
belki i ramy 0.03-0.12 0.04
kratownice 0.06 - 0.25 0.10
konstrukcje cienkościenne 0.02 - 0.08 0.02 Konstrukcje drewniane
belki zwykłe drewniane klejone 0.04-0.21 0.10 belki złożone gwoździowane 0.09 - 0.21 0.15
stropy drewniane 0.12-0.23 0.15
3 8 6 J. Szulej
5. Wnioski
P odsum ow ując otrzym ane w yniki, m ożna stw ierdzić, że dzięki obliczaniu poziomu tłum ienia m eto d ą kolokacyjną otrzym uje się praw idłow e w yniki, ale pod warunkiem że zo stan ą dobrane praw idłow o param etry pom iarów .
W m etodzie tej w ażne są: odpow iednia funkcja przejścia pom iędzy w idm em ciągłym i dyskretnym , sposób w ym uszenia badanej konstrukcji, odpow iednia długość przebiegów oraz praw idłow a częstotliw ość próbkowania. Praw idłow o przyjęte param etry prowadzą do otrzym ania dokładnego w idm a częstotliw ościow ego, które pozw ala na dokładne odczytanie w artości tłum ienia.
M etoda kolokacyjna, poza drganiam i giętnym i, pozw ala rów nież na określenie w spółczynników tłum ienia dla innych rodzajów drgań.
Prow adzone b ęd ą dalsze badania na m odelach i istniejących konstrukcjach, bazując na m etodzie kolokacyjnej i m etodzie w ykorzystującej transm itancję m echaniczną. Wyniki pozw o lą na dokładne określenie param etrów stosow alności każdej z metod.
LITER A TU R A
1. Ew ins D. J.: M odal Testing: T heory and Practice, R esearch Studies Pr, 1984.
2. Lyons R.: W prow adzenie do cyfrow ego przetw arzania sygnałów . W KŁ, W arszaw a 1999 3. N otes R.: A naliza n um eryczna szeregów czasow ych. W N T, W arszaw a 1978.
4. Zieliński T.: O d teorii do cyfrow ego przetw arzania sygnałów . AGH, K raków 2002.
5. D yląg Z. i inni: W ytrzym ałość m ateriałów , tom 2, W NT, W arszaw a 1997.
6. R akow ski G.: M echanika budow li-ujęcie kom puterow e, tom 2, A rkady, W arszaw a 1992.
7. Bachm ann H.: V ibration prob. in structures” . B ulletin D ’Inform ation, N o. 209, W ien 1991.
8. F laga A., M ichałow ski T.: C harakterystyki tłum ienia drgań lekkich kładek wiszących i podw ieszonych. Inżynieria i B udow nictw o nr 9, 2000, s. 495-497.
9. M ancuso M.: C ollocation m ethods w ith controllable dissipation for linear dynamics.
C om puter M ethods in A pplied M echanics and Engineering, 190, 2001, p. 3607-3621.
Recenzent: D r hab. inż. Zbigniew Zem baty, prof. Politechniki Opolskiej
