Jerzy Z A B O R O W S K I
M ATEM ATYCZNE M O DELO W ANIE SAM O W ZBUDNYCH DRGAŃ W UKŁADZIE NAPĘDOW YM LO K OM OTYW Y
S treszczen ie. W arty k u le zo stał zap rezen to w an y m atem atyczny m odel asy m etry c zn eg o u kładu n ap ęd o w eg o lo kom otyw y u w zg lęd n ia jący zjaw isk a to w arzy szące to czen iu się sztyw nych kół po w zd łu żn ie sp rężyście o d kształcalnym p o d ło żu . T ak ie sfo rm u ło w a n ie opisu m atem aty czn eg o u kładu napęd o w eg o p o zw ala na b ad an ie drgań o b ro to w y ch k o ła sp o w o d o w an y ch s iłą tarcia p o w sta ją c ą w ob szarze styku k o ła z szyną. W ro zp atry w an y m u k ład zie ko ło - szyna p rzyjęto, że w ykres zw iązku m ięd zy w sp ó łczy n n ik iem tarcia a p rę d k o ś c ią p o ślizg u m a ch arak ter o p ad ają cy co, ozn acza, że siła tarcia m aleje w raz z p rę d k o ś c ią poślizgu.
M ATH EM ATICA L M ODELLING OF SELF-EXCITED VIBRATION IN LO KOM O TIVE POW ER TRANSM ISSION SYSTEM
S u m m a ry . T h is p a p e r p resen ts sim p le m ath em atical m odel asym etrical lokom otive p o w e r tran sm issio n system , w hich are d estin ated fo r d escrib in g o f self-excited, ro tatio n al v ib ratio n s d u rin g p o w e r tran sm ittio n to elastically, to rsio n ally deform able w h eelset. A d d ito n a lly is p resen ted sim ple m ath em atical m odel d escrib in g n on - statio n ary d e v elo p m en t o f th e tractio n force b etw een rigid w h eel and tangential d e fo rm a b le su b strate, w ith fallin g friction fo rce ch aracteristics.
1. W S T Ę P
W n in iejszy m arty k u le z o stan ie p rzed staw io n y m atem aty czn y m odel asym etrycznej stru k tu iy u k ład u n a p ę d o w e g o loko m o ty w y , słu żący zb ad an iu sam o w zb u d n y ch drgań sk rętn y ch zestaw u k ó ł tow arzyszących to cze n iu się kół po sp rężyście, w zd łu żn ie o d k ształcaln y m p o d ło żu . Ja k o m odel n ap ęd u p rzy jęto układ m ech a n iczn y w postaci u m o żliw iającej u w y d atn ien ie isto ty rozp atry w an y ch zjaw isk. W m odelu m atem aty czn y m p rzy jęto sz e re g zało ż eń u p raszczający ch , z których n ajisto tn iejsze s ą zało żen ie o w zdłużnej sprężystej o d k ształcaln o ści p o d ło ża (szyny) i o p o ru szan iu się k ó ł je z d n y c h ru ch em p ro sto lin io w y m w je d n e j płaszczy źn ie.
158 J. Z a b o ro w sk i
2. M A T E M A T Y C Z N Y M O D E L U K Ł A D U N A P Ę D O W E G O L O K O M O T Y W Y
S tru k tu ra m ech a n ic z n a o b iek tu rep re z e n to w a n a je s t p rz e z d y sk retn y m o d el o b lic z e n io w y o czte re c h sto p n iach sw obody. E lem en ty sk ład o w e o raz w sp ó łrzęd n e u o g ó ln io n e m o d elu p o k azan o na r y s .l.
J 3 , M 3 ,q>3
R ys. 1. S ch em at asy m etry c zn eg o u k ła d u n ap ęd o w eg o F ig .l . S ch ém a o f asy m m etrical p o w er tran sm issio n system
Do opisu ruchu przyjęto n astęp u jący zestaw w spółrzędnych:
X = [cp,, <p2, <p3, x f (1)
gdzie: <pj - k ą t ob ro tu lew eg o k o ła z estaw u kół, tp2 - k ą t obro tu p raw eg o k o la zestaw u kół,
<f>2 - k ąt o b ro tu w irn ik a silnika,
x - p rz e m ieszczen ie śro d k a m asy zestaw u kół.
R ów nania ruchu układu opisuje u k ład czte rech ró w n a ń ró żn iczk o w y ch zw y czajn y ch 2 rzędu:
J|tPi + k ] tpj — k 2<P2 = ~ TjRi (2)
J 2ćp2 - k j t p ] + ^ k j + - ^ j ( p 2 = - T2R2 (3)
~ < P 2 + k 2 ( p 3 = M 3 ( t ) ( 4 )
1
m x = T , + T , - F op(x ) (5)
gd zie: k i, k 2 - o d p o w ie d n io szty w n o ści sk rętn e z estaw u kól i sprzęgła, R i, R 2 - p ro m ie n ie to cze n ia o d p o w ie d n io 1 i 2 k o la w z e sta w ie kół, M 3(t) - m o m e n t n ap ęd o w y siln ik a elek try czn eg o ,
F op, T ], T 2 - o d p o w ied n io siła o p o ró w ru ch u o raz siły tarcia su ch eg o o d p o w ied n io na 1 i 2 k o le w z e staw ie kół.
U k ła d ró w n ań (2) - (5) je s t ro zw iązy w aln y po d w aru n k iem u zu p ełn ien ia go o p isem sił tarcia su ch eg o T] i T 2. O p is sił tarcia stan o w i o d d zieln e zag ad n ien ie, k tó re zo stan ie p rz e d sta w io n e w ro zd ziale 3.
W o g ólności p rz e d sta w io n e ró w n an ia w zap isie m acierzo w y m m a ją postać:
M X + K X + H T = F gdzie:
K =
T = [T „ T2 ]t ,
( 6 )
X = [<Pl, 92 93- *] r , M = d ia g (j i , J 2 , J 3,m ) (7)
k.i — k, 0 0 '
- k i v k?
k l + T T - h . 0
, H =
R |, 0 -
o, r 2 0
1 k 2 i
1
k 2 0 0, 0
- 1 , - 1
(8)
0 0 0 0 1 ) * _
F = [0, 0, M 3(t), - F op( x ) |r (9)
3. M O D E L C IE R N E J W S P Ó Ł P R A C Y K O L A Z P O D Ł O Ż E M
W celu w y zn aczen ia sił tarcia zo stan ie ro zp atrzo n y m o d el k o ła to czą ceg o się po szynie p rz e d sta w io n y w p racach [1], [3], Is to tn ą c e c h ą tego m o d elu je s t pu n k to w y styk k o ła z szy n ą o ra z w zd łu żn a o d k ształcaln o ść szyny. N a rysunku 3 p rzed staw io n e zo stało k o ło toczące się po o d k szlałcaln y m w raz z zazn aczo n y m i charak tery sty czn y m i p rędkościam i pun k tó w koła i szyny.
Rys. 2. S zty w n e ko ło toczące się po w z d łu ż n ie sp ręży ście o d k ształcaln y m pod ło żu i p ręd k o ści w sąsied ztw ie p u nktu styku k o ła z p o d ło żem
Fig.2. R ig id w h eel ro llin g on tangential d efo rm ab le su b strate and velo cities in contiguity o f co n tac t point
gdzie: ś := R ( p - x - p ręd k o ść ślizg an ia p unktu n ależ ąceg o do koła,
Vszyn - p ręd k o ść p u n k tu z w iązan eg o z odk ształcaln y m p o d ło żem (szyną).
P ręd k o ść p u n k tu p o d ło ża z g o d n ie z zało ż en iem o je g o w zd łu żn ej sprężystej o d k ształcaln o ści w y rażo n a je s t w zale żn o ści od siły tarcia i poch o d n ej siły tarcia [1], [3], [4],
v szyn= a |x |T + p f (10)
gdzie: a , (3 - p aram etry charak tery zu jące o d k ształcaln o ść szyny.
160 J. Z ab o ro w sk i
D la o k reślen ia siły tarcia sk o rzy stam y z b ilan su p ręd k o ści szty w n eg o k o la po o d k ształcaln y m p o d ło żu o raz zale żn o ści m ięd zy siłą tarcia a p rę d k o ś c ią ślizgania.
vpoś = ś ~ v «yn ( U )
P ręd k o ść p o ślizg u k o ła po szy n ie je s t ró w n a ró żn icy p ręd k o ści p u n k tó w k o ła i szyny, tzn.
(11). Po u w zg lęd n ie n iu tego zw iązk u w e w z o rz e (10) o trzy m u jem y ró w n an ie (12)
p f + a |x |T + Vpoi= ś (12)
i
(vpoś, T ) e a (13)
P o m ięd zy s iłą tarcia T a p rę d k o ś c ią p o śliz g u vp0ś w y stęp u je zw iązek [2], k tó ry je s t o k reślo n y w y k resem p o k azan y m na rys. 3. W arto ści To i Toi zazn aczo n e na w ykresie w y z n a c z a ją g ran iczn e w arto ści siły tarcia. W n in iejszy ch ro z w a ż a n ia c h siła tarcia zależy o d p ręd k o ści p o ślizg u i m a c h a ra k te r o p ad ający , c o ozn acza, że je j w arto ść z m n ie jsz a się w ra z ze w zro stem p ręd k o ści p o ślizgu.
R ys. 3. Z w iązek p o m ię d z y s iłą tarcia T i p rę d k o ś c ią p o ślizg u Vp^
Fig. 3. R elation b etw een frictio n force T and slid in g v elo city v pocc
R ó w n an ia (2), (3), (4), (5) o ra z (12) w raz z re la c ją (13) sta n o w ią pełny o p is m o d elu , słu żąceg o do b ad a n ia drgań sam o w zb u d n y ch układ u n a p ęd o w eg o lokom otyw y.
4. P R Z Y K Ł A D O W E W Y N IK I O B L IC Z E Ń U Z Y S K A N E D LA P R E Z E N T O W A N E G O M O D E L U
ru ch u ruchu
F ig. 4. E n g in e to rq u e a n d re sistiv e force F ig. 5. T orsional an g le o f w heelset axle
Rys. 6. P rzy sp ieszen ie p o stęp o w e Rys. 7. S iły trak cy jn e na
śro d k a m asy zestaw u po szczeg ó ln y ch ko łach zestaw u kół F ig. 6. L in ear acceleratio n o f w h eelset Fig. 7. T ractio n fo rces o n bo th w heels
162 J. Z a b o ro w sk i
Rys. 8. R ó ż n ic a sil trak cy jn y ch m ięd zy k o lam i zestaw u kół
Fig. 8. D ifferen ce o f tractio n forces b etw een w h eels o f w h celset
5. W N IO S K I
Z ap re z e n to w a n e w arty k u le p rzy k ład o w e w yniki o b liczeń d o w o d z ą istn ien ia silnych zab u rzeń sił tarcia ro zw ijan y ch w o b sz a rz e styku k o ła i szyny. D o d atk o w o u w zg lęd n ie n ie skrętnej o d k ształcaln o ści z estaw u k ó ł p o k a z u je w pływ g w ałto w n y ch z m ia n ro zw ijan y ch sił trak cy jn y ch (rys.7) na sk ręcan ie z e sta w u k ó ł (ry s.5) o raz n a za b u rz e n ia je g o ru ch u w z d łu ż toru (rys.6). P o n ad to , z a o b serw o w an e w tak im p rzy p ad k u b ard zo zn aczące ró żn ice sił trakcyjnych ro zw ijan y ch w tej sam ej c h w ili na o b y d w u k o łach z estaw u (rys. 8) p o z w a la ją stw ierd zić neg aty w n y wpływ' n a tra k c y jn ą sp raw n o ść napędu o raz p o te n c ja ln ą je g o trw ało ść o ra z d uże p raw d o p o d o b ień stw o z m n iejszen ia zap asu b e z p ie c z e ń stw a ru ch u p o jazd u ja k o takiego.
L iteratu ra
1. G rz e sik ie w ic z W ., P iotrow ski J.: O n the d e v elo p m en t o f th e tractio n fo rce b etw een w heel an d su b strate. A selectio n o f sim p le m a th e m a tic a l m o d els. W arsaw ', M ach in e D y n am ics P ro b lem s, V ol. 17, 1997, 37-52.
2. G rzesikiew 'icz W .: M o d elo w an ie sam o w zb u d n y ch d rg ań k o ła pojazdu. Z eszy ty N a u k o w e K ated ry M ech an ik i S to so w an ej P o litech n ik i Ś ląskiej, S y m p o zjo n M o d elo w an ie w M ech an ice, W isła 2004.
3. G rz e sik ie w ic z W .: H am u lce p o ja z d ó w szynow ych. W y d aw n ictw a P W , W a rsz a w a 1982.
4. Jo h n so n K .L ., V erm u elen P.J.: C o n ta c t o f n o n -sp h crical b o d ie s tra n sm ittin g tan g en tial force, 1964, Jo u rn al o f A p p lied M ech an ics, 6, 338 - 340.
5. K a lk e r J.J.: T h ree - D im en sio n al E lastic B odies in R olling C o n tact, K lu w c r A cad em ic P u b lish er, D o rd rech t/B o sto n /L o n d o n 1990.
A b stra ct
T h is p a p e r p resen ts sim p le m a th e m a tic a l m odel asy m ctrical lo k o m o tiv e p o w er tran sm issio n sy stem , w hich are d estin ated fo r d escrib in g o f self-ex citcd , rotational v ib ratio n s
d u rin g p o w er tran sm issio n to elastically, to rsio n ally deform able w heclset. A d d ito n ally is p resen ted sim p le m ath em atical m odel d escrib in g no n - statio n ary d ev elo p m en t o f the traction fo rce betw een rigid w heel and tan g en tial defo rm ab le substrate, w ith falling friction force ch aracteristics. S uch a m odel allo w s on an aly sis o f the creep ph en o m en o n w hich is appearing in ro llin g co n tact. T h is n on classica l frictio n m odel has been ap p lied to m odel o f to rsio n ally d efo rm ab le w h e e lse t w h ich cau se m o re d eep m echanical research o f self-excited rotational v ib ratio n s d u rin g p o w e r tran sm issio n . E x am p le calcu latio n resu lts presen t inform ation about p o ssib le lo w er tractio n efficiency, p o ten tial d u rab ility and reserv e o f m otion safety o f lo co m o tiv e an d its p o w er tran sm issio n system .
