ZAGADNIENIE OPTYMALIZACJI W PÓŁAKTYWNYM UKŁADZIE TŁUMIENIA DRGAŃ POJAZDU

ZAGADNIENIE OPTYMALIZACJI

W PÓŁAKTYWNYM UKŁADZIE TŁUMIENIA DRGAŃ POJAZDU

Wiesław Grzesikiewicz

, Michał Makowski

1Instytut Pojazdów, Politechnika Warszawska

awgr@simr.pw.edu.pl, ^bm.makowski@simr.pw.edu.pl

Streszczenie

W artykule rozpatrywane są drgania pojazdu wyposażonego w cztery półaktywne tłumiki. Siły tarcia powstające w tych tłumikach mają istotny wpływ na intensywność drgań pojazdu. Do oceny wpływu tłumienia drgań pojazdu wybrano funkcjonał kryterialny, zależący od wartości tych sił. Zagadnienie optymalizacji służy do wyznaczenia czterech wartości sił, dla których funkcjonał kryterialny osiąga minimum w każdej chwili. Na tej podstawie są wyznaczane sygnały do urządzeń sterujących działaniem półaktywnych tłumików. W pracy dokonano analizy przed- stawionego zagadnienia w zakresie metody wyznaczania optymalnych wartości sił. Oprócz tego prezentowane są wyniki symulacji drgań pojazdu wyposażonego w półaktywne magnetoreologiczne tłumiki drgań. Zamieszczono także analizę wpływu postaci funkcjonału kryterialnego na efektywności redukcji drgań pojazdu.

Słowa kluczowe: tłumik magneto-reologiczny, algorytm sterowania, matematyczny model, pojazd, sterowanie drgań

OPTIMISATION OF VEHICLE VIBRATION DAMPING IN A SEMI-ACTIVE SYSTEM

Summary

The article presents the vibrations of a vehicle equipped with four semi-active dampers. The forces generated in these dampers have a significant impact on the intensity of the vehicle's vibrations. To assess this influence, a criterial function was selected, depending on the value of these forces. The optimisation problem is used to determine the four values of forces for wich the criterial function reaches the minimum at any time. On this basis, signals are appointed to devices controlling the operation of semi-active dampers. In the work, we analyse the presented issues in the field of determining the optimal values of forces. In addition, the results of vibration simu- lation of a vehicle equipped with semi-active magneto-rheological vibration dampers are presented. There is also an analysis of the impact of the criterion functional form on the vehicle vibration reduction efficiency.

Keywords: magneto-rheological damper; control algorithms, mathematical model, vehicle, vibration control

1. WPROWADZENIE

W artykule rozpatrywane są drgania pojazdu wzbu- dzane nierównościami drogi, a także działającymi na nadwozie siłami bezwładności. W efekcie tych drgań pogarsza się komfort jazdy oraz zwiększa się dyna- miczne obciążenie konstrukcji pojazdu. Ponadto zmie- niają się naciski kół na nawierzchnię drogi, co może przyczynić się do powstania poślizgów w czasie przy- spieszania lub hamowania albo podczas jazdy po łuku.

Do ograniczania drgań nadwozia pojazdu są zwykle sto- sowane różnego rodzaju urządzenia rozpraszające ener- gię nazywane tłumikami drgań.

Zagadnienie związane z zastosowaniem półaktywnych tłumików do redukcji drgań pojazdów, maszyn lub bu- dynków jest rozpatrywane od dawna [3, 9, 15]. Jed- nakże w ostatnich latach pojawiły się techniczne wa- runki umożliwiające praktyczną realizację takiego

sposobu redukcji drgań pojazdów [1, 2, 6, 11, 12. 13].

Warunki te powstały dzięki możliwości zastosowania w pojazdach komputerów pokładowych o dużej mocy ob- liczeniowej oraz tłumików półaktywnych. Energetyczne cechy tłumika półaktywnego charakteryzuje się za po- mocą relacji parametrycznej (f) między siłą powstającą w tłumiku (T) a prędkością jego odkształcenia (v), przy czym postać tej relacji zależy od parametru 𝜏𝜏 ∈ [0,1]^, co zapisuje się wzorem

𝑇𝑇 = 𝑓𝑓(𝑣𝑣; 𝜏𝜏), 𝜏𝜏 ∈ [0,1] (1)

Rys. 1. Schematyczny wykres dyssypacyjnej charakterystyki tłumika półaktywnego 𝑇𝑇 = 𝑓𝑓(𝑣𝑣; 𝜏𝜏) [5]

Schematyczny wykres takiej charakterystyki pokazano na rys. 1.

W rozważanej relacji parametr 𝜏𝜏 reprezentuje wielkość fizyczną, za pomocą, której można sterować dyssypa- cyjne cechy tłumika półaktywnego co ilustruje rys. 1.

Z powyższego opisu wynika, że w tłumiku półaktyw- nym siła tarcia T może przybierać wartości z przedziału określonego relacją

T ∈ [T_min(v), Tmax(v)], v ∈ R¹, (2)

jeśli

𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑣𝑣) ∶= �𝑓𝑓(𝑣𝑣; 0), 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑣𝑣 ≥ 0 𝑓𝑓(𝑣𝑣; 1), 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑣𝑣 < 0 𝑇𝑇_{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚}(𝑉𝑉) = �𝑓𝑓(𝑣𝑣; 1), 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑣𝑣 ≥ 0 𝑓𝑓(𝑣𝑣; 0), 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑣𝑣 < 0

, (3)

Relacje (2) i (3) zapisano w zmienionej postaci 𝑇𝑇(𝑣𝑣) ∈ 𝜗𝜗(𝑣𝑣) ⊂ 𝑅𝑅¹, (4a) 𝜗𝜗(𝑣𝑣) ∶= {𝑇𝑇 ∈ 𝑅𝑅¹: 𝑇𝑇_{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚}(𝑣𝑣) ≤ 𝑇𝑇 ≤ 𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑣𝑣)}, ^(4b) Za pomocą wzoru (4b) definiowane jest odwzorowanie 𝛺𝛺

𝛺𝛺(𝑣𝑣) ∶= {𝑇𝑇 ∈ 𝑅𝑅⁴: 𝑇𝑇_𝑚𝑚∈ 𝜗𝜗(𝑣𝑣_𝑚𝑚), 𝑖𝑖 = 1, … ,4} ⊂ 𝑅𝑅⁴, (5) jeśli:

𝑇𝑇 ∈ 𝑅𝑅⁴ – wektor sił tarcia w czterech tłumikach, 𝑉𝑉 ∈ 𝑅𝑅⁴– wektor prędkości odkształcania czterech tłu- mików.

Odwzorowanie 𝛺𝛺 wyznacza zbiór dopuszczalnych wek- torów sił tarcia 𝑇𝑇 ∈ 𝑅𝑅⁴ w zależności od wektora pręd- kości 𝑉𝑉 ∈ 𝑅𝑅⁴określającego prędkości odkształcenia tłu- mików.

Rozważane dalej zagadnienie optymalizacyjne jest związane z wyznaczeniem optymalnego wektora 𝑇𝑇^{𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜}∈ 𝛺𝛺(𝑣𝑣), dla którego funkcjonał kryterialny 𝒦𝒦: 𝑅𝑅⁴→ 𝑅𝑅¹ osiąga minimalną wartość. Zatem wyzna- czany jest wektor spełniający relację

T^opt∈ Arg min

T∊Ω(v)𝒦𝒦(T), ⁽⁶⁾ Szczegółowy opis tej relacji będzie przedstawiony dalej.

Rys. 2. Schemat układu mechanicznego, który przyjęto jako model pojazdu

2. MODEL POJAZDU

Rozważany matematyczny model pojazdu służy do analizowania drgań w płaszczyźnie pionowej. Na rys. 2 zamieszczono schemat układu mechanicznego, który przyjęto do sformułowania równań opisujących drgania pojazdu.

W celu uproszczenia tego opisu przyjęto, że:

- sprężyste elementy zawieszenia mają liniowe charak- terystyki;

- koła pojazdu nie odrywają się od nawierzchni drogi;

- sprężysto-dyssypacyjne cechy zawieszenia są odwzo- rowywane za pomocą elementów, które są umieszczone bezpośrednio nad kołami;

- masa pojazdu rozłożona jest symetrycznie względem osi podłużnej.

Do opisu drgań pojazdu wybrano współrzędne, które określają przemieszczenia pojazdu względem położenia równowagi. Na rys. 2 zaznaczono wybrane współrzędne oraz podstawowe parametry modelu. Równania drgań pojazdu opisuje się wzorami:

𝑚𝑚𝑧𝑧̈ + ∑ (𝑆𝑆⁴_𝑚𝑚=1 𝑚𝑚+ 𝑇𝑇𝑚𝑚) = 0 ^{, (7a)} 𝐽𝐽𝑚𝑚𝛷𝛷𝑚𝑚̈ + 𝑏𝑏1(𝑆𝑆1+ 𝑇𝑇1) + 𝑏𝑏2(𝑆𝑆2+ 𝑇𝑇2) − 𝑏𝑏1(𝑆𝑆3+ 𝑇𝑇3) −

𝑏𝑏₂(𝑆𝑆4+ 𝑇𝑇₄) + 𝑀𝑀1𝑆𝑆+ 𝑀𝑀₂^𝑆𝑆= 𝑀𝑀_𝑚𝑚, (7b) 𝐽𝐽𝑦𝑦𝛷𝛷𝑦𝑦̈ − 𝑎𝑎1(𝑆𝑆1+ 𝑇𝑇1) + 𝑎𝑎2(𝑆𝑆2+ 𝑇𝑇2) − 𝑎𝑎1(𝑆𝑆3+ 𝑇𝑇3) +

𝑎𝑎2(𝑆𝑆4+ 𝑇𝑇4) = 𝑀𝑀𝑦𝑦 , (7c) 𝑚𝑚0𝑧𝑧̈0𝑚𝑚− (𝑆𝑆𝑚𝑚+ 𝑇𝑇𝑚𝑚) + (𝑆𝑆0𝑚𝑚+ 𝑇𝑇0𝑚𝑚) + 𝐹𝐹𝑚𝑚𝑆𝑆= 0, 𝑖𝑖 =

1, … ,4

(7d) gdzie 𝑆𝑆𝑚𝑚, 𝑇𝑇𝑚𝑚, 𝑖𝑖 = 1, … ,4 – siły sprężyste i dyssypacyjne działające między i-tym kołem i nadwoziem takie, że:

𝑆𝑆_𝑚𝑚∶= 𝑘𝑘_𝑚𝑚𝑈𝑈_𝑚𝑚, 𝑇𝑇_𝑚𝑚= 𝑓𝑓(𝑉𝑉_𝑚𝑚; 𝐼𝐼_𝑚𝑚), 𝑖𝑖 = 1, … ,4 ^(8a) – siły wynikające z odkształcenia opony

𝑆𝑆0𝑚𝑚= 𝑘𝑘0𝑚𝑚𝑈𝑈0𝑚𝑚, 𝑇𝑇0𝑚𝑚= 𝑐𝑐0𝑚𝑚𝑉𝑉0𝑚𝑚, 𝑖𝑖 = 1, … ,4 ^(8b) 𝑈𝑈₁= 𝑧𝑧 + 𝑏𝑏₁𝛷𝛷_𝑚𝑚− 𝑎𝑎₁𝛷𝛷_𝑦𝑦− 𝑧𝑧₀₁

𝑈𝑈2= 𝑧𝑧 + 𝑏𝑏2𝛷𝛷𝑚𝑚+ 𝑎𝑎2𝛷𝛷𝑦𝑦− 𝑧𝑧02

𝑈𝑈3= 𝑧𝑧 − 𝑏𝑏1𝛷𝛷𝑚𝑚− 𝑎𝑎1𝛷𝛷𝑦𝑦− 𝑧𝑧03

𝑈𝑈₄= 𝑧𝑧 − 𝑏𝑏₂𝛷𝛷_𝑚𝑚+ 𝑎𝑎₂𝛷𝛷_𝑦𝑦− 𝑧𝑧₀₄

, ^(8c)

𝑉𝑉₁= 𝑧𝑧̇ + 𝑏𝑏₁𝛷𝛷̇_𝑚𝑚− 𝑎𝑎₁𝛷𝛷̇_𝑦𝑦− 𝑧𝑧̇₀₁ 𝑉𝑉2= 𝑧𝑧̇ + 𝑏𝑏2𝛷𝛷̇𝑚𝑚+ 𝑎𝑎2𝛷𝛷̇𝑦𝑦− 𝑧𝑧̇02

𝑉𝑉₃= 𝑧𝑧̇ − 𝑏𝑏₁𝛷𝛷̇_𝑚𝑚− 𝑎𝑎₁𝛷𝛷̇_𝑦𝑦− 𝑧𝑧̇₀₃ 𝑉𝑉₄= 𝑧𝑧̇ − 𝑏𝑏₂𝛷𝛷̇_𝑚𝑚+ 𝑎𝑎₂𝛷𝛷̇_𝑦𝑦− 𝑧𝑧̇₀₄

, (8d)

𝑈𝑈0𝑚𝑚= 𝑧𝑧0𝑚𝑚+𝜉𝜉𝑚𝑚, 𝑉𝑉0𝑚𝑚= 𝑧𝑧̇0𝑚𝑚+𝜉𝜉̇𝑚𝑚, 𝑖𝑖 = 1, … ,4; ^(8e) 𝑀𝑀₁^𝑆𝑆, 𝑀𝑀₂^𝑆𝑆 - momenty siły wynikające ze skręcania przed- niego i tylnego stabilizatora

𝑀𝑀1𝑆𝑆= 𝜅𝜅1�𝛷𝛷𝑚𝑚−^𝑧𝑧01_2𝑏𝑏^{−𝑧𝑧03}

1 �

𝑀𝑀₂^𝑆𝑆= 𝜅𝜅₂(𝛷𝛷_𝑚𝑚−^𝑧𝑧02_2𝑏𝑏^{−𝑧𝑧04}

2 ) , (8f) jeśli 𝜅𝜅1, 𝜅𝜅₂ – sztywność przedniego i tylnego stabiliza- tora;

Siły oddziaływania stabilizatorów na koła 𝐹𝐹1𝑆𝑆= −𝐹𝐹3𝑆𝑆=^𝑀𝑀_2𝑏𝑏^1𝑆𝑆

1, 𝐹𝐹2𝑆𝑆= −𝐹𝐹4𝑆𝑆=^𝑀𝑀_2𝑏𝑏^2𝑆𝑆

2 , (8g) Pozostałe symbole z rysunku oznaczają:

𝑉𝑉𝑜𝑜𝑜𝑜𝑝𝑝 – prędkość pojazdu,

𝑀𝑀_𝑚𝑚, 𝑀𝑀_𝑦𝑦 – momenty siły bezwładności działających na nadwozie pojazdu podczas ruchu nieustalonego (𝑉𝑉𝑜𝑜𝑜𝑜𝑝𝑝≠ const. ) ;

Przyjęto, że funkcje 𝜉𝜉𝑚𝑚, 𝑖𝑖 = 1, … ,4 opisujące kinema- tyczne wymuszenie drgań, a także funkcja prędkości 𝑉𝑉𝑜𝑜𝑜𝑜𝑝𝑝 są zadane.

Sformułowane powyżej zadanie drgań pojazdu posiada rozwiązanie tylko wtedy, gdy w każdej chwili jest znany wektor parametrów 𝜏𝜏 ∈ 𝑅𝑅⁴(rys. 1); wtedy na podsta- wie wzoru (1) mogą być ustalone wartości sił w tłumi- kach

𝑇𝑇𝑚𝑚= 𝑓𝑓(𝑣𝑣𝑚𝑚, 𝜏𝜏𝑚𝑚) , ⁽⁹⁾ Parametry 𝜏𝜏𝑚𝑚 (𝑖𝑖 = 1, … ,4) są wyznaczone w układzie sterowanie tłumikami. Opis tego układu będzie przed- stawiony w następnym rozdziale.

W zamieszczonych tam rozważaniach będą używane następujące oznaczenia:

𝐻𝐻 ∶= � 1 1 1

𝑏𝑏₁ 𝑏𝑏₂ −𝑏𝑏₁

−𝑎𝑎1 𝑎𝑎2 −𝑎𝑎1

1

−𝑏𝑏₂ 𝑎𝑎2

� ∈ 𝑅𝑅^3×4 , ℎ ∶= �

−𝛼𝛼1

−1𝛼𝛼

� ∈ 𝑅𝑅⁴, 𝛼𝛼 ∶=^𝑏𝑏_𝑏𝑏¹

2 ,

(10a)

Zauważyć można, że spełniona jest równość:

𝐻𝐻ℎ = 0 , (10b) 𝑃𝑃 ∶= 𝐻𝐻𝑆𝑆 + 𝐶𝐶 ∈ 𝑅𝑅³, 𝑆𝑆 ∶= [𝑆𝑆1, 𝑆𝑆2, 𝑆𝑆3, 𝑆𝑆4]^𝑇𝑇 ∈ 𝑅𝑅⁴,

𝐶𝐶 = [0, 𝑀𝑀₁^𝑆𝑆+ 𝑀𝑀₂^𝑆𝑆− 𝑀𝑀_𝑚𝑚, −𝑀𝑀_𝑦𝑦]^𝑇𝑇 , (10c) Używając powyższych oznaczeń w równaniach (7), otrzymano zestaw trzech równań opisujących przyspieszenie nadwozia pojazdu:

𝐵𝐵 + 𝑃𝑃 + 𝐻𝐻𝑇𝑇 = 0 , ^(11a)

𝐵𝐵 ∶= [𝑚𝑚𝑧𝑧̈, 𝐽𝐽_𝑚𝑚𝛷𝛷̈_𝑚𝑚, 𝐽𝐽_𝑦𝑦𝛷𝛷̈_𝑦𝑦]^𝑇𝑇 ∈ 𝑅𝑅³ , (11b) Zgodnie z przyjętymi założeniami wektor siły S ∈ R⁴ (wzór 8a) wyznacza zmiany obciążenia sprężystych ele- mentów zawieszenia w stosunku do ich obciążenia sta- tycznego w stanie równowagi.

3. MODEL UKŁADU STEROWANIA

W układzie sterowania tłumikami są przetwarzane sy- gnały reprezentujące wielkości fizyczne, które charak- teryzują stan pojazdu. W dalszych rozważaniach

oznaczenia wielkości fizycznych i odpowiadających im sygnałów będą jednakowe.

Centralną częścią rozpatrywanego układu sterowania jest sterownik programowalny, w którym jest wyzna- czony wektor sygnałów 𝜏𝜏^{𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜}∈ 𝑅𝑅⁴, odpowiadający opty- malnemu wektorowi sił tarcia 𝑇𝑇^{𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜} określonego relacją we wzorze (6). Podstawę do sformułowania tej relacji stanowi funkcjonał kryterialny 𝒦𝒦, określający wpływ sił tarcia na intensywność drgań pojazdu. W niniejszej pracy intensywność drgań będzie oceniana na podsta- wie wektora 𝐴𝐴 ∈ 𝑅𝑅³ określającego przyspieszenia nad- wozia pojazdu

𝐴𝐴 = −𝑀𝑀⁻¹(𝑃𝑃 + 𝐻𝐻𝑇𝑇) , ⁽¹²⁾ gdzie wektor sił 𝑃𝑃 ∈ 𝑅𝑅³ opisany we wzorze (10c), 𝑀𝑀 – macierz bezwładności nadwozia

𝑀𝑀 ∈ 𝑅𝑅^3𝑚𝑚3, 𝑀𝑀 ∶= 𝑔𝑔𝑖𝑖𝑎𝑎𝑔𝑔(𝑚𝑚, 𝐽𝐽_𝑚𝑚, 𝐽𝐽_𝑦𝑦). ⁽¹³⁾ Wzór (12) wyznacza związek między wektorami sił tar- cia 𝑇𝑇 ∈ 𝑅𝑅⁴ i przyspieszenia nadwozia 𝐴𝐴 ∈ 𝑅𝑅³.

Na tej podstawie ustalono pierwszy funkcjonał kryte- rialny, który wyznacza normę wektora przyspieszenia 𝐴𝐴 ∈ 𝑅𝑅³ według wzoru:

𝒦𝒦⁽¹⁾(𝑇𝑇) ∶=¹₂𝐴𝐴^𝑇𝑇𝐴𝐴 , ⁽¹⁴⁾ Stąd po uwzględnieniu wzoru (12) otrzymano :

𝒦𝒦⁽¹⁾(𝑇𝑇) =¹₂(𝑃𝑃 + 𝐻𝐻𝑇𝑇)^𝑇𝑇𝑀𝑀⁻²(𝑃𝑃 + 𝐻𝐻𝑇𝑇) , ⁽¹⁵⁾ a po przekształceniach jest

𝒦𝒦⁽¹⁾(𝑇𝑇) =¹₂𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 + 𝑔𝑔^𝑇𝑇𝑇𝑇 +¹₂𝑃𝑃^𝑇𝑇𝑀𝑀⁻²𝑃𝑃 , ⁽¹⁶⁾ jeśli

𝑇𝑇∈ 𝑅𝑅^4×4, 𝑇𝑇 ∶= 𝐻𝐻^𝑇𝑇𝑀𝑀⁻²𝐻𝐻 , ^(17a) 𝑔𝑔∈ 𝑅𝑅⁴, 𝑔𝑔 ∶= 𝐻𝐻^𝑇𝑇𝑀𝑀⁻²𝑃𝑃 . ^(17b) Zadanie optymalizacyjne jest sformułowane następu- jąco: należy wyznaczyć wektor 𝑻𝑻∈ 𝜴𝜴(𝒗𝒗), dla którego wartość funkcjonału 𝓚𝓚^(𝟏𝟏) jest najmniejsza w zbiorze wektorów 𝜴𝜴(𝒗𝒗) opisanego we wzorze (5).

Biorąc pod uwagę, że funkcjonał 𝒦𝒦⁽¹⁾ oraz zbiór 𝛺𝛺(𝑣𝑣) są wypukłe, to powyższe zadania posiada rozwiązanie;

ale ponieważ macierz 𝑇𝑇 nie jest ściśle wypukła - co wy- nika ze wzorów (10b), (17a) – to rozwiązanie tego za- dania może mieć niejednoznaczne rozwiązanie. To oznacza, że w zbiorze 𝛺𝛺(𝑣𝑣) istnieje podzbiór wekto- rów, dla których wartości funkcjonału 𝒦𝒦^{(1) są jedna-} kowe i równe minimum.

Zatem rozpatrywane tu zagadnienie optymalizacyjne sprowadza się do wyznaczenia wspomnianego wyżej podzbioru wektorów 𝑇𝑇 oraz do wybrania jednego z nich 𝑇𝑇^{𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜}. Zadanie to zapisano następująco

𝑇𝑇^{𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜}∈ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑔𝑔 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑚𝑚_{𝑇𝑇∈𝛺𝛺(𝑣𝑣)}𝒦𝒦¹(𝑇𝑇) (18) Dla tak wybranego wektora sił 𝑇𝑇^{𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜}∈ 𝛺𝛺(𝑣𝑣) ^norma wektora przyspieszeń nadwozia, określono wzorem (14), osiąga minimum. Należy zaznaczyć, że tak wybrany wektor 𝑇𝑇^{𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜} zmienia się wraz z wektorem 𝑈𝑈, 𝑉𝑉 ∈ 𝑅𝑅³, gdyż od nich zależy wektor siły 𝑃𝑃 ∈ 𝑅𝑅³ (wzór (10c)) oraz zbiór 𝛺𝛺 (wzór (5)). To znaczy że relacja (18) jest niestacjonarna, gdyż wektory 𝑈𝑈, 𝑉𝑉 zmieniają się w cza- sie.

Metodę wyznaczania rozwiązania (18) opisano dalej.

Teraz przedstawiono drugi funkcjonał kryterialny okre- ślony na podstawie zasady Karnoppa [3, 7, 8, 9] według której efektywne tłumienie drgań pojazdu uzyskuje się siłami, które zależą od wektora prędkości nadwozia 𝑉𝑉^𝑂𝑂

𝐹𝐹^{𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦}∶= 𝐶𝐶^{𝑠𝑠𝑘𝑘𝑔𝑔}𝑉𝑉^𝑂𝑂∈ 𝑅𝑅³ (19a) jeśli

𝑉𝑉^𝑂𝑂∶= �𝑧𝑧̇, 𝜑𝜑𝑚𝑚̇ , 𝜑𝜑𝑦𝑦̇ �^𝑇𝑇 ∈ 𝑅𝑅³ (19b) 𝐶𝐶^{𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦}∶= 𝑔𝑔𝑖𝑖𝑎𝑎𝑔𝑔 �𝑐𝑐𝑧𝑧, 𝑐𝑐𝜑𝜑_𝑥𝑥, 𝑐𝑐𝜑𝜑_𝑔𝑔�𝑅𝑅³∈ 𝑅𝑅^3𝑥𝑥3 (19c) Tak określoną siłę nazywa się sky hook (zaczepioną do chmurki).

Relacja takiej siły (𝐹𝐹^{𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦}) za pomocą czterech półaktyw- nych tłumików jest możliwa wtedy gdy są spełnione poniższe relacje

𝐹𝐹^{𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦}= 𝐻𝐻𝑇𝑇, 𝑇𝑇 ∈ 𝛺𝛺(𝐻𝐻^𝑇𝑇𝑉𝑉^𝑂𝑂) ⁽²⁰⁾ Relacje (20) mogą być jednak spełnione tylko w szcze- gólnych stanach ruchu nadwozia pojazdu. Wobec tego rozważany wybór siły 𝑇𝑇∈ 𝑅𝑅⁴, która najlepiej odwzoro- wuje działanie siły 𝐹𝐹^{𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦}∈ 𝑅𝑅³. Dla tak określonego za- dania definiuje się drugi funkcjonał kryterialny

𝒦𝒦^{𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦}(𝑇𝑇)∶=¹₂(𝐻𝐻𝑇𝑇 −𝐹𝐹^{𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦})^𝑇𝑇(𝐻𝐻𝑇𝑇 −𝐹𝐹^{𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦}) (21) która wyznacza miarę odchylenia wektora 𝑇𝑇∈ 𝑅𝑅^{4 od} zbioru rozwiązania równania 𝐻𝐻𝑇𝑇 −𝐹𝐹^{𝑠𝑠𝑘𝑘𝑔𝑔}= 0. Po sto- sownym przekształceniu wzoru (21) otrzymano

𝒦𝒦^{𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦}(𝑇𝑇)∶=¹₂𝑇𝑇^𝑇𝑇𝑇𝑇^{𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦}𝑇𝑇 −𝑇𝑇^𝑇𝑇𝑔𝑔^{𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦}+¹₂�𝐹𝐹^{𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦}�² (22) jeśli

𝑇𝑇^{𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦}∶= 𝐻𝐻^𝑇𝑇𝐻𝐻 ∈𝑅𝑅⁴, 𝑔𝑔^{𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦}∶= −𝐻𝐻^𝑇𝑇𝐹𝐹^{𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦}∈𝑅𝑅⁴. (23) Zauważyć można, że postać funkcjonału 𝒦𝒦^{𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦} jest ana- logiczna do postaci funkcjonału 𝒦𝒦¹. Ponadto funkcjo- nał 𝒦𝒦², też jest wypukły, lecz nie ściśle wypukły oraz również niestacjonarny, gdyż siła 𝐹𝐹^{𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦} zależy od pręd- kości nadwozia. Wobec tego wektor 𝑇𝑇^{𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦}∈ 𝛺𝛺(𝑣𝑣), który optymalnie odwzorowuje działanie siły 𝐹𝐹^{𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦}∈, jest określony relacją ze wzoru (18), czyli

𝑇𝑇^{𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦}∈ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑔𝑔 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑚𝑚_{𝑇𝑇∈𝛺𝛺(𝑣𝑣)}𝒦𝒦^{𝑠𝑠𝑘𝑘𝑔𝑔}(𝑇𝑇). (24)

W dalszych rozważaniach przedstawiono metodę wy- znaczania optymalnych wektorów sił tarcia opisanych relacjami (18) i (24).

3.1. ROZWIĄZANIE ZADANIA OPTYMALIZACYJNEGO

Rozpatrywany jest jednolity opis obu wcześniej przed- stawionych zadań. Zajmijmy się funkcjonałem kryte- rialnym:

𝒦𝒦(𝑇𝑇)∶=¹₂𝑇𝑇^𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 +𝑔𝑔^𝑇𝑇𝑇𝑇 ⁽²⁵⁾ którego macierz 𝑇𝑇∈ 𝑅𝑅^4𝑥𝑥4 jest półdodatnio określona a jej jądro określa jednowymiarowa przestrzeń

𝑘𝑘𝑘𝑘𝐴𝐴𝑇𝑇∶=�𝑇𝑇 ∈ 𝑅𝑅⁴: 𝑇𝑇 = 𝜉𝜉ℎ, 𝜉𝜉 ∈ 𝑅𝑅¹� (26) gdzie wektor ℎ ∈ 𝑅𝑅⁴ jest opisany we wzorze (10a).

Optymalne rozwiązanie jest poszukiwane w zbiorze wy- pukłym 𝛺𝛺(𝑣𝑣) ⊂ 𝑅𝑅⁴ jest określone relacją

𝑇𝑇^{𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜}∈ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑔𝑔 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑚𝑚_{𝑇𝑇∈𝛺𝛺(𝑣𝑣)}𝒦𝒦(𝑇𝑇) (27) Tak określony zbiór wektorów optymalnych nie jest pu- sty, a każda para wektorów spełnia warunek

𝑇𝑇⁽¹⁾− 𝑇𝑇⁽²⁾∈ 𝑘𝑘𝑘𝑘𝐴𝐴𝑇𝑇.

Na podstawie twierdzenia Kuhna-Tuckera oraz po uwzględnieniu szczególnej postaci zbioru 𝛺𝛺 (5) ^{[4, 16]}

otrzymano warunki, które powinno spełniać rozwiąza- nie relacji (27):

𝑇𝑇𝑇𝑇^{𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜}+ 𝑔𝑔 = 𝜆𝜆 (28a) 𝑇𝑇^{𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜}= 𝜋𝜋𝛺𝛺(𝑇𝑇^{𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜}− 𝜌𝜌𝜆𝜆) (28b) gdzie

𝜆𝜆 ∈ 𝑅𝑅⁴ – wektorów takich, że 𝜆𝜆𝑚𝑚≥ 0, 𝑖𝑖 = 1, … ,4;

𝜌𝜌 ∈ 𝑅𝑅¹ – dowolna liczba dodatnia;

𝜋𝜋𝛺𝛺: 𝑅𝑅⁴→ 𝑅𝑅⁴ – odwzorowanie rzutu na zbiór 𝛺𝛺;

𝜋𝜋𝛺𝛺(𝜉𝜉) =𝑎𝑎𝐴𝐴𝑔𝑔 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑚𝑚_{𝜂𝜂∈𝛺𝛺}‖𝜉𝜉 − 𝜂𝜂‖₂ (29) Schematyczny wykres ilustrujący relację (28b) poka- zano na rys. 3.

Rys. 3. Schematyczny wykres ilustrujący relację (28b)

Warunków ze wzoru (28) użyto do ustalenia iteracyjnej metody rozwiązania zagadnienia optymalizacyjnego (27). Na początku wyznaczono wektor 𝑇𝑇^∗∈ 𝑅𝑅⁴, który należy do zbioru punktów stacjonarnych 𝒮𝒮 funkcjonału (25):

𝑇𝑇^∗∈ 𝒮𝒮 ∶= {𝑇𝑇 ∈ 𝑅𝑅⁴: 𝑇𝑇𝑇𝑇 + 𝑔𝑔 = 0}

(30a) W przypadku funkcjonału 𝒦𝒦⁽¹⁾ (16) zbiór ten ma po- stać

𝒮𝒮⁽¹⁾∶= {𝑇𝑇 ∈ 𝑅𝑅⁴: 𝐻𝐻𝑇𝑇 + 𝑃𝑃 = 0}

(30b) a dla funkcjonału 𝒦𝒦^sky (22) jest:

𝒮𝒮^{𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦}∶= {𝑇𝑇 ∈ 𝑅𝑅⁴: 𝐻𝐻𝑇𝑇 − 𝐹𝐹^{𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦}= 0}, ^(30c) wektor T^∗, mający najmniejszą normę w tym zbiorze jest określony wzorem

𝑇𝑇^∗= −𝑇𝑇⁺𝑔𝑔, ^(31a) gdzie 𝑇𝑇⁺∈ 𝑅𝑅^4𝑚𝑚4 jest macierzą odwrotną w sensie Mo- ore-Penrose.

Dla funkcjonałów 𝒦𝒦⁽¹⁾ i 𝒦𝒦^sky jest odpowiednio:

T^∗(1)= −H⁺P; T^∗sky= H⁺F^sky , (31b) jeśli

H⁺: = −H^T(HH^T) ⁻¹ , (31c) a wektor P opisano we wzorze (11)

Jeżeli T^∗∈ Ω, to wtedy wektor T^∗ wyznacza poszuki- wane rozwiązanie relacji (27).

Jeżeli T^∗∉ Ω(V), to rozwiązanie relacji (27) lub (28) wyznacza się przybliżoną metodą iteracyjną według następującego schematu różnicowego:

∗ 𝑇𝑇⁽⁰⁾∶= 𝑇𝑇^∗ , (32a)

∗ 𝑇𝑇𝑇𝑇^(𝑠𝑠)+ 𝑔𝑔 = 𝑇𝑇𝜆𝜆^(𝑠𝑠) , (32b) 𝑇𝑇^(𝑠𝑠+1)= 𝜋𝜋𝛺𝛺(𝑇𝑇^(𝑠𝑠)− 𝜌𝜌𝜆𝜆^(𝑠𝑠)) , (32c) a warunek zakończenia iteracji ma postać

�𝑇𝑇^(𝑠𝑠+1)− 𝑇𝑇^(𝑠𝑠)�₂≤ 𝜀𝜀, (32d)

gdzie 𝜀𝜀 > 0 liczba określająca dokładność rozwiązania.

Równania (32b) i (32c) można zastąpić jednym równa- niem [4, 16]:

𝑇𝑇^(𝑠𝑠+1)= 𝜋𝜋𝛺𝛺((𝐼𝐼 − 𝜌𝜌𝑇𝑇)𝑇𝑇^(𝑠𝑠)− 𝜌𝜌𝑔𝑔). (33) Przedstawione powyżej rozwiązanie relacji (27) wyzna- cza wektor 𝑇𝑇^{𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜}∈ 𝛺𝛺(𝑉𝑉), dla którego funkcjonał 𝒦𝒦 osiąga najmniejszą wartość. Po ustaleniu tego wektora:

T^opt ≈ T^k+1 (34a)

można ze wzoru (9) wyznaczyć odpowiadający mu wek- tor parametrów 𝜏𝜏^{𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜}∈ [0,1]^4czyli:

𝜏𝜏^{𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜} = 𝑓𝑓⁻¹(𝑉𝑉,𝜏𝜏_𝑚𝑚^{𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜} ) , (34b) gdzie 𝑓𝑓⁻¹ funkcja odwrotna względem drugiego argu- mentu

Wektor 𝜏𝜏^{𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜} opisuje sygnały sterujące układem wyko- nawczym, za pomocą którego można zmieniać wielkość fizyczną, która wpływa na dyssypacyjne cechy tłumika półaktywnego. Założono, że działanie członu wykonaw- czego, który jest sterowany sygnałem 𝜏𝜏̇^{𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜}, opisuje rów- nanie

θ𝜏𝜏̇_𝑚𝑚+ 𝜏𝜏_𝑚𝑚=𝜏𝜏𝑖𝑖𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜, 𝑖𝑖 = 1, … ,4 , (35) gdzie θ – stała czasowa charakteryzująca urządzenie wykonawcze.

3.2. PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW W UKŁADZIE STEROWANIA

W tym rozdziale przedstawiono zasadę przetwarzania sygnałów w rozpatrywanym układzie sterowania. W pierwszej kolejności rozważono sygnały związane z pierwszym funkcjonałem kryterialnym 𝒦𝒦⁽¹⁾. W tym przypadku sygnałem wejściowym do układu sterują- cego są wektory 𝑈𝑈 ∈ 𝑅𝑅⁴, 𝑉𝑉 ∈ 𝑅𝑅⁴, reprezentujące prze- mieszczenia i prędkości opisane we wzorach (8c), (8d).

Wymienione sygnały są przetwarzane w sterowniku programowalnym, którego mikroprocesor wyznacza rozwiązanie zadania optymalizacyjnego w postaci sy- gnałów 𝜏𝜏^{𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜}∈ 𝑅𝑅⁴ Następnie człon wykonawczy zmie- nia wielkości parametryczne 𝜏𝜏_𝑚𝑚, 𝑖𝑖 = 1, … ,4 ^według równania (35); w efekcie tego w tłumikach działają siły określone wzorem (9).

Należy dodać, że postać funkcjonału 𝒦𝒦⁽¹⁾ zależy od in- ercyjnych parametrów nadwozia określonych macierzą bezwładności M ∈ R^3x3, która zależy od liczby pasaże- rów i masy ładunku. Wobec tego do korygowania ma- cierzy M może być wykorzystany sygnał U ustalony w chwili początkowej.

W przypadku realizowania sterowania według funkcjo- nału 𝒦𝒦^{𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦} przetwarzanie sygnałów jest analogiczne do opisanego wyżej. Jednakże w tym przypadku sygnałami wejściowymi są: wektor 𝑉𝑉 ∈ 𝑅𝑅⁴ opisany we wzorze (8d) oraz sygnał 𝑉𝑉^𝑂𝑂∈ 𝑅𝑅³ określający prędkość nadwozia po- jazdu opisany we wzorze (19b).

4. BADANIA SYMULACYJNE DRGAŃ POJAZDU

Rozpatrywane są symulacje drgań średniego samo- chodu osobowego, którego model opisano w punkcie 2.

Przyjęto następujące wartości parametrów określają- cych ten pojazd: 𝑚𝑚 = 1250 𝑘𝑘𝑔𝑔 – masa nadwozia

pojazdu; 𝑚𝑚0= 25 𝑘𝑘𝑔𝑔 – zredukowana masa koła oraz elementów zawieszenia; 𝐽𝐽𝑚𝑚= 𝑚𝑚𝜌𝜌𝑚𝑚2, 𝜌𝜌𝑚𝑚= 0,6 𝑚𝑚 – mo- ment bezwładności nadwozia względem osi podłużnej;

𝐽𝐽𝑦𝑦= 𝑚𝑚𝜌𝜌𝑦𝑦2, 𝜌𝜌𝑦𝑦= 1,15 𝑚𝑚 – moment bezwładności nad- wozia względem osi poprzecznej; 𝑎𝑎1= 1,4 𝑚𝑚, 𝑎𝑎2= 1,45 𝑚𝑚, 𝑏𝑏1= 𝑏𝑏2= 0,725 𝑚𝑚 – wymiary określające poło- żenie środka masy nadwozia względem kół; ℎ𝑠𝑠= 0,5 𝑚𝑚 – wysokość położenia środka masy pojazdu nad na- wierzchnią (rys. 2); 𝑘𝑘1= 𝑘𝑘2= 14,5 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚 – sztywność usprężynowania kół przednich i tylnych; 𝑘𝑘0= 200 𝑘𝑘𝑘𝑘/

𝑚𝑚 – sztywność opony koła; 𝑐𝑐0= 2,5 ∙ 10⁵ 𝑘𝑘𝑠𝑠/𝑚𝑚 – współczynnik tłumienia opony; 𝜅𝜅1= 𝜅𝜅2= 1,5 ∙ 10³ 𝑘𝑘𝑠𝑠/

𝐴𝐴𝑎𝑎𝑔𝑔 – sztywność przedniego i tylnego stabilizatora.

Rozważany pojazd jest wyposażony w tłumiki magne- toreologiczne (MR), których charakterystykę pokazano na rys. 4; przyjęto następujące parametry wymienione na tym rysunku, gdzie: 𝑇𝑇𝐴𝐴= 400 𝑘𝑘, 𝑉𝑉𝐴𝐴= 0,0075^𝑚𝑚_𝑠𝑠, 𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚= 210 𝑘𝑘𝑠𝑠/𝑚𝑚, 𝑐𝑐𝑔𝑔= 3 ∙ 𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚, 𝐼𝐼𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚= 2𝐴𝐴.

W tłumiku MR zmienna parametryczna reprezentuje prąd płynący przez uzwojenie cewki umieszczonej na tłoku tłumika [5, 10]. Na podstawie przedstawionych danych sformułowano charakterystyki tłumika (1):

𝑓𝑓(𝑉𝑉; 𝜏𝜏) ∶= 𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑉𝑉 + [𝑓𝑓𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑉𝑉) − 𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚]𝜏𝜏 , (36a) jeśli

𝑓𝑓_{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚}(𝑉𝑉) ∶= �

𝑇𝑇𝐴𝐴

𝑉𝑉𝐴𝐴𝑉𝑉 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 |𝑉𝑉| ≤ 𝑉𝑉𝐴𝐴

𝑇𝑇𝐴𝐴+ 𝑐𝑐𝑔𝑔(|𝑉𝑉| − 𝑉𝑉𝐴𝐴)𝑠𝑠𝑖𝑖𝑔𝑔𝑚𝑚𝑉𝑉 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 |𝑉𝑉| > 𝑉𝑉𝐴𝐴

,

(36b) 𝜏𝜏 ∶=_𝐼𝐼^𝐼𝐼

𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚, 𝐼𝐼 ∈ [0, 𝐼𝐼_{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚}] 𝜏𝜏 ∈ 𝑅𝑅¹, (36c) gdzie: I – natężenie prądu płynącego przez uzwojenie cewki.

Rys. 4. Przyjęta charakterystyka tłumika MR

Prezentowana poniżej charakterystyka opracowana na podstawie własnych badań [5, 10] oraz danych katalo- gowych tłumika RD 8040 firmy LORD [14].

Poza tym założono, że pojazd porusza się po drodze, której nierówności opisuje funkcja 𝜉𝜉(𝑠𝑠) = 𝜉𝜉0𝑠𝑠𝑖𝑖𝑚𝑚2𝜋𝜋^𝑆𝑆_𝐿𝐿, gdzie 𝜉𝜉0= 5 𝑚𝑚𝑚𝑚, 𝐿𝐿 = 12 𝑚𝑚, 𝑠𝑠 – przejechana droga; po- jazd porusza się ze zmienną prędkością, której wykres przedstawiono na rysunku 5. Założono też, że

nierówności drogi pod kołami lewej i prawej strony po- jazdu nie są jednakowe lecz przesunięte w fazie o ∆𝑠𝑠 = 𝑎𝑎1.

Rys. 5. Zadany przebieg prędkości pojazdu

Przyjęto, że parametry wirtualnego tłumika wymie- nione we wzorze (19c) są określone na podstawie bez- wymiarowych współczynników tłumienia wynoszących 𝛾𝛾𝑧𝑧𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦= 0,413; 𝛾𝛾𝜑𝜑𝑚𝑚𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦= 0,814; 𝛾𝛾𝜑𝜑𝑦𝑦𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦= 0,470.

Ze względu na porównawczy charakter wykonywanych badań przyjęto, że wzorcowy pojazd jest wyposażony w klasyczne amortyzatory (tłumiki), których dwukierun- kową charakterystykę określają dwie stałe: 𝑐𝑐1= 500 𝑘𝑘𝑠𝑠/𝑚𝑚 – gdy amortyzator jest ściskany, 𝑐𝑐₂= 2,5 ∙ 𝑐𝑐1 – gdy amortyzator jest rozciągany.

Przy użyciu przedstawionego modelu symulowano ruch pojazdu na opisanej drodze z prędkością podaną na rys.

5, a czas przejazdu wynosił 30 𝑠𝑠. Przyjęto, że w chwili początkowej (t=0) wszystkie współrzędne i odpowiada- jące im prędkości (patrz równania (7)) były równe zeru.

Na rys. 6 zamieszczono schemat układu zasilającego cewkę tłumika MR, czyli realizującego zmienną para- metryczną τ, którą jest prąd płynący przez cewkę.

Przebiegi prądów Ii, i = 1, … ,4 płynących przez cewki tłumików wyznaczonych według układu równań.

Przyjęto następujące wartości parametrów układu za- silającego cewki R = 2 Ω, L = 6 mH, Imax= 2A.

Lİi+ RIi= RIiopt (37) gdzie Iiopt obliczono na podstawie charakterystyki tłu- mika opisanej we wzorze (36)

𝐼𝐼_𝑚𝑚^{𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜} = 𝑓𝑓⁻¹�𝑉𝑉_𝑚𝑚, 𝑇𝑇_𝑚𝑚^{𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜}�, 𝑖𝑖 = 1, … ,4 (38)

Rys. 6. Schemat układu zasilania

Do oceny drgań nadwozia przyjęto wskaźnik, którego wartości określa sumę kwadratów przyspieszeń w czte- rech punktach nadwozia, znajdujących się nad kołami (rys. 2)

𝑊𝑊1∶= �∫₀^{𝑜𝑜𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒}∑⁴𝑚𝑚=1𝑎𝑎𝑚𝑚2(𝑜𝑜)𝑔𝑔𝑜𝑜�

1

2, ⁽³⁹⁾ gdzie: 𝑎𝑎𝑚𝑚 – przyspieszenia wymienionych punktów, 𝑖𝑖 = 1, … ,4,.

Oprócz tego wyznaczono również wartość wskaźnika charakteryzującego zmianę nacisku kół na drogę

𝑊𝑊2= �∫₀^{𝑜𝑜𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒}∑𝑚𝑚=1⁴ 𝑘𝑘𝑚𝑚2(𝑜𝑜)𝑔𝑔𝑜𝑜�², ⁽⁴⁰⁾ jeśli

𝑘𝑘_𝑚𝑚(𝑜𝑜) = (𝑆𝑆0𝑚𝑚(𝑜𝑜) + 𝑇𝑇0𝑚𝑚(𝑜𝑜))_𝑄𝑄¹

0𝑖𝑖, 𝑖𝑖 = 1, … , 4 ⁽⁴¹⁾ gdzie – siły opisane we wzorze (8b), Q0i – statyczny nacisk koła.

Wykonano trzy symulacje drgań pojazdu poruszającego się w opisanych wyżej warunkach. W pierwszej symu- lacji pojazd był wyposażony w klasyczne tłumiki, któ- rych charakterystykę opisano wcześniej w punkcie 4.

Druga symulacja drgań dotyczyła pojazdu wyposażo- nego w tłumiki MR, których charakterystykę przedsta- wiono na rys. 4, w tej symulacji optymalne wartości sił w tłumikach były wyznaczone według pierwszego funk- cjonału kryterialnego 𝒦𝒦^(1).

Trzecia symulacja była analogiczna do drugiej, ale siły w tłumikach były wyznaczane według funkcjonału kry- terialnego 𝒦𝒦^{𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦}.

Celem tych symulacyjnych badań było porównanie efektywności redukcji drgań pojazdu w opisanych wyżej trzech sytuacjach. Ocenę tej efektywności wykonano na podstawie wskaźników 𝑊𝑊₁ ^oraz 𝑊𝑊₂, które charaktery- zują intensywność drgań. Przy czym im mniejsza jest wartość wskaźnika, tym efektywność redukcji drgań jest większa. W tabeli 1 zamieszczono wartości rozpa- trywanych wskaźników.

Tabela 1. Wartości wskaźników

Kryterium 𝒦𝒦⁽¹⁾ 𝒦𝒦^(sky) klasyczny W1 2,2362 2,6568 4,6212 W2 0,3250 0,6523 0,3418

Uzyskane wyniki wskazują, że wartości wskaźników 𝑊𝑊1

– charakteryzujących intensywność drgań w aspekcie komfortu – są istotnie mniejsze dla pojazdu wyposażo- nego w tłumiki MR niż dla pojazdu z klasycznymi tłu- mikami. Natomiast wpływ postaci funkcjonału kryte- rialnego użytego w układzie sterowania na wartość 𝑊𝑊1

jest niewielki.

W przypadku wskaźnika 𝑊𝑊2 – określającego zmiany na- cisków kół – wpływ tłumików MR sterowanych według kryterium 𝒦𝒦⁽¹⁾, jest niewielki. Natomiast w wyniku sterowania według kryterium 𝒦𝒦^{𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦}. nastąpił wzrost wartości 𝑊𝑊2, co oznacza pogorszenie warunków oddzia- ływania na nawierzchnię drogi.

5. ZAKOŃCZENIE

W pracy rozpatrywano zagadnienie optymalizacyjne związane z półaktywnym układem tłumienia drgań po- jazdu. Sformułowano to zagadnienie oraz przedsta- wiono metodę wyznaczania optymalnych wartości sił tłumiących drgania pojazdu. Następnie wykonano dwie symulacje drgań pojazdu wyposażonego w półaktywny układ redukcji drgań. W trakcie obliczeń w każdej chwili były wyznaczane optymalne wartości czterech

sił. Oprócz tego wykonano symulację drgań pojazdu wyposażonego w klasyczne tłumiki. Na podstawie wy- ników symulacji wyznaczono wartości wskaźników słu- żących do oceny intensywności drgań pojazdu porusza- jącego się po ustalonej trasie. Analiza tych wyników pokazała, że dzięki zastosowaniu półaktywnego układu redukcji drgań nastąpiło istotne zmniejszenie przyspie- szeń nadwozia, co przyczynia się do poprawy komfortu jazdy.

Półaktywny układ redukcji nie wpłynął jednak zna- cząco na zmniejszenie zmian nacisku kół na drogę. Brak tego efektu jest - zdaniem autorów– spowodowany dzia- łaniem sił bezwładności powstającymi w trakcie przy- spieszania lub hamowania pojazdu. Tego rodzaju wol- nozmiennych obciążeń pojazdu nie można zredukować działaniem półaktywnymi tłumikami drgań.

W niektórych pojazdach poruszających się z dużymi prędkościami są stosowane specjalne płaty aerodyna- miczne (spojlery) dzięki, którym powstają siły dociska- jące koła pojazdu do nawierzchni [11]. Dzięki temu za- pobiega się poślizgowi kół, o czym wspomniano we wstępie. W dalszych pracach przewiduje się opracowa- nie modelu pojazdu wyposażonego w sterowane płaty aerodynamiczne, służące do zmniejszania zmian naci- sku kół podczas ruchu nieustalonego, co sprzyja zwięk- szeniu bezpieczeństwa jazdy samochodu.

Projekt został sfinansowany ze środków Narodowego Centrum Badań i Rozwoju w ramach projektu PBS3/B6/34/2015.

Literatura

1. Batterbee D. C., Sims N. D.: Hardware in the loop simulation (HILS) of magnetoreological damper for vehicle suspension systems. The University of Sheffild. “Journal of System and Control Engineering” 2007, 221 (2), p. 265-278.

2. Duysinx P, Bruls O, Collard J. F, Fisette P, Lauwerys J. S.: Optimization of mechatronic systems: application to a modern car equipped with a semi-active suspension. In: 6th World Congresses of Structural and Multidisciplinary Optimization, Rio de Janeiro, Brazil, 2005, p. 1-10.

3. Engel Z., Kowal J.: Sterowanie procesami wibroakustycznymi. Kraków: Wyd. AGH, 1995.

4. Grzesikiewicz W.: Dynamika układów mechanicznych z więzami. Warszawa: WPW, 1990.

5. Grzesikiewicz W., Makowski M.: Symulacja drgań pojazdu wyposażonego w tłumiki magnetoreologiczne. „Symu- lacja w Badaniach i Rozwoju”, Kwartalnik PTSK, 2017, Vol. 8, nr 3-4, s. 85-95.

6. Hyvarinen J-P.: The improvement of full vehicle semi-active suspension through kinematical model. Faculty of Technology, Department of Mechanical Engineering, University of Oulu, 2004.

7. Karnopp D. C., Crosby M. J.: Vibration control semi-active force generators. “ASMEJ of Engineering for Industry”

1974, 96, p. 619–626.

8. Karnopp D. C.: Active damping in road vehicle suspension system. “Vehicle System Dynamics” 1983, 12, p. 183- 188

9. Kowal J.: Aktywne i semiaktywne metody wibroizolacji układów mechanicznych. Kraków: Wyd. AGH, 1990.

„Mechanika”, z. 23.

10. Makowski M.: Badanie wpływu sterowania tłumikiem magnetoreologicznym w zawieszeniu pojazdu samochodo- wego na komfort jazdy. Rozprawa doktorska. Warszawa: Ofic. Wyd. Pol. Warsz., 2008.

11. Piechna J.: Podstawy aerodynamiki pojazdów. Warszawa: WKŁ, 2010.

12. Sapiński B.: Theoretical analysis of magnetorheological damper characteristics in squeeze mode. “Acta Mechanica et Automatica” 2015, Vol. 9 No. 2, p. 89-92.

13. Söllner T.: The innovative shock absorber system from Audi: New technology saves fuel and enhances comfort, www.audi-mediacenter.com, Ingolstadt, 2016..

14. Thomas Lord Research Center, www.mrfluid.com

15. Valasek M., Novak M., Sika Z., Vaculin O.: Extended ground hook – new concept. “Vehicle System Dynamics 1997” 27, p. 289-303.

16. Сyиapeb A. Г., Tмnoхob A. B., Фeδopob B. B.: Kypc мeтoδob oпmимизaцип. Hayкa, 1986

Artykuł dostępny na podstawie licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska.

http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/pl