Matematyka nie opisuje świata, lecz wychodzi mu naprzeciw

(1)

Matematyka nie opisuje świata, lecz

wychodzi mu naprzeciw

Zagadnienia Filozoficzne w Nauce nr 58 [Numer specjalny: filozofia matematyki], 7-43

(2)

Zagadnienia F ilo zoficzne w N auc e | L VIII • 2015

lecz wychodzi mu naprzeciw

Jerzy Mioduszewski Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski

Mathematics does not describe the world, but faces it Abstract In everyday experience mathematics rarely appears to us as a whole, and certainly never as a system in the sense of David Hilbert’s con-siderations from early 20th_{Century. Mathematical disciplines seem} to be independent and autonomous. We do not see that specific de- duction goes beyond particular convention applicable in given dis-cipline. In the late 19th_{Century this view was shared by Felix Klein} and Richard Dedekind. The latter’s work “What are numbers and what should they be?” (Was Was sind und was sollen die Zahlen?) was the inspiration for writing this article. This essay is an attempt to see mathematics not as a building, but as a living organism seek-ing its explanation.

Keywords philosophy of mathematics, Richard Dedekind, arithmetic, geo-metry, number sense, calculus, incommensurability, transfinite numbers

(3)

P

ochodne i całki, wzory Eulera w rodzaju π2_{/6, teoria}

mnogo- ści. Jedno mogłoby istnieć bez drugiego. To wszystko ma-tematyka. Czy jest jakąś całością? Jest anegdota o Erdösu, który zwierzył się swojemu równie znakomitemu koledze, że nie zro-zumiał nigdy teorii Galois. To nie dla ciebie, Paul – usłyszał w odpowiedzi. Dla kogo zatem jest twierdzenie matematyczne? Na czym nam w nim zależy? Arystoteles uważał, że nie jeste-śmy przywiązani do samej treści twierdzenia matematycznego. Równie dobrze przyjmujemy jego negację, o ile okaże się praw-dziwa. Pewne obserwacje są za tym, by zgodzić się z Filozofem, ale w wyniku naszych dalszych rozważań dojdziemy i do innych konkluzji, bo może chodzi tu jeszcze o coś innego.

Rytm Dnia Pierwszego

Lokum matematyki to „ś w i a t S n a s z y c h m y ś l i”. Zwrot pochodzi ze słynnego, chociaż niewielkiego i nie do końca zro-zumianego przez matematyków, dzieła Richarda Dedekinda

Was sind und was sollen die Zahlen? (1888).

Pomyślmy m y ś l – pewien ustalony element wspomnia- nego świata S. Umysł nie jest w stanie powstrzymać się od „my- śli o tej myśli”, a w rezultacie od „potoku myśli”, który jest po-dobny do p o t o k u l i c z b. Nie od razu Dedekind doszedł do tego wniosku. Poświęcił dziesiątki stronic, aby z owego potoku myśli wydobyć wspomnianą minimalną nić. Nie wskazywał żad-nej konkretnej liczby, lecz r y t m przenikający świat S, który jest

(4)

Zagadnienia F ilo zoficzne w N auc e | L VIII • 2015 n i e s k o ń c z o n y. Po przesunięciu o jedną myśl dostajemy ten sam świat S. Liczba nie jest u Dedekinda wytworem ani czasu rozumianego fizycznie, ani przestrzeni, jak u Kanta. Mogła po-wstać już w P i e r w s z y m D n i u, już w samej myśli Stwórcy. Giuseppe Peano dwa lata później zredukował myśl Dede- kinda do aksjomatu indukcji w zakresie liczb naturalnych. De-dekind w milczeniu przyjął to uproszczenie. Doświadczenie myślowe Dedekinda skłania do wniosku, że w naszej myśli mogą powstawać pewne konstrukcje niezależnie od bodźców zewnętrznych. Nasza myśl nie staje wobec świata bezbronna. Napisał gdzieś Max Scheller: żyjemy światu naprze-ciw. Narzucamy światu r y t m n a s t ę p s t w a i widzimy go jako nieskończony, nie zapytując świata, czy życzy sobie ta-kiego jego rozumienia. Nie było nas w Pierwszym Dniu, a jeśli byliśmy, to bez świadomości, i do wiadomości naszej ten pierwotny rytm nie zawitał. Nie znaczy to, by nie odcisnął się w nas w jakiejś pier-wotnej formie na naszym świecie S. Dlatego nie są nam obce pierwsze jego takty, jakie były nam wtedy darowane. Czy rytm świata S jest fragmentem czegoś szerszego, tylko się domyś lamy. Bo czy nie podlega temu rytmowi nasz język i nasze pły-nięcie w czasie? Jest to rytm następstwa. Ale znamy też kontemplację, kiedy myśl płynie w sposób ciągły. My wszakże wyodrębniamy oddzielne stany i formułujemy oddzielne sądy. Na ich rytmie i na-stępstwie oparte są nasze czynności logiczne. I chociaż myślenie mogłoby być ciągłe, to nasza jego ekspresja zdaje się wymagać

(5)

Zagadnienia F ilo zoficzne w N auc e | L VIII • 2015 zamknięć w zdania, które są jakby jego atomami. Atomizm my-ślowy jest wielką zagadką naszego świata S, nie wydaje się być jego koniecznością. Nie panujemy nad pierwotnym rytmem naszych myśli i nie od razu rozpoznajemy jego dla nas znaczenie. Potokowi myśli, jakim obdarza nas indukcyjne następstwo, nie towarzyszy bez- pośrednia refleksja. Jak pisze Andriej Biełyj, inspirowany mate-matyczną filozofią swego ojca Nikołaja Bugajewa, „myśli same się myślą”, a wspomnijmy jeszcze potok myśli w Herzogu Saula Bellowa. Jesteśmy zniewoleni do wchodzenia w ich rytm. Nie umiemy wyłączyć się z ich strumienia, o czym pisał Bergson, oraz w znanej przed laty książce Ernest Dimnet, a powtarza współczesny nam Eckhart Tolle. Podobnie widzi nasz grama- tycznie uporządkowany potok fraz językowych Noam Chom-sky, co obszernie omawia w swojej niedawno u nas wydanej książce książce Keith Devlin.

Naprzeciw światu

Świat S jest wszakże bogatszy niż to, co daje sam rytm indukcji. Jesteśmy dziećmi D n i a S z ó s t e g o. To wtedy dostaliśmy w podarunku ś w i a d o m o ś ć, to znaczy poczucie kierowania sobą, poczucie naszej odrębności wobec tego, co nas otacza, a jednocześnie poczucie wspólnoty ze światem. I dano nam tego Dnia zmysły, które lokują w świecie S całe

(6)

obrazy świata zewnętrznego. Świat S nie poprzestaje na ich kon-Zagadnienia F ilo zoficzne w N auc e | L VIII • 2015 templacji, ale stwarza środki wychodzące naprzeciw obrazom atakującym jego zmysły. Zastępuje te obrazy właściwą sobie konstrukcją własną. Nie jest przez to biernym odbiorcą wrażeń. Konstrukcja, jaką świat S obudowuje odbierane obrazy, nie należy do rzeczy samych w sobie w znaczeniu Kanta. Jest polem wewnętrznym, jakie świat S tworzy w odpowiedzi na ata-kujące go z zewnątrz zjawiska. Oto tworzy pojęcie koła, którego formę narzuca „kołom” obecnym w świecie zewnętrznym. Po-strzegając te „koła”, wchodzi jedynie w te ich aspekty, które są obecne we wzorcowym kole mającym siedzibę w jego wnętrzu, to jest w naszej świadomości. Nie wszystkim obrazom świat S potrafi przeciwstawiać wzorce, ale ewolucja polega na wzboga-caniu ich zakresu. Wzorce, którymi otacza się świat S, stanowią mur obronny przed nieznanym nam zewnętrzem. Chcemy, jak m o n a d a L e i b n i z a, być odcięci od wpływów zakłócających nasze wnętrze. Obrazy selekcjonujemy według kierujących nami upodobań. Od siebie nawzajem odbieramy jedynie te sygnały, które przekazują określony rodzaj treści. Nie uczymy się od siebie, przelewając sobie nawzajem całe mózgi. Odbieramy jedynie izolowane sygnały wystarczające dla rozbudzenia w mona-dzie jej wewnętrznego świata. Jak zauważa niezapamiętany z imienia Filozof – staramy się, by nasz świat wewnętrzny był nieprzystępny dla zewnętrz-nej – jak pisze – pospolitości. Bo przyjrzyjmy się obudowie monady w postaci pięknej muszli. Dzieło sztuki, aby obronić się przed przetworzeniem w kicz, zaznacza choćby jednym

(7)

Zagadnienia F ilo zoficzne w N auc e | L VIII • 2015 szczegółem – może być to nawet skaza – swoją odmienność od środowiska. Ale przecież tym środowiskiem zewnętrznym się karmimy. Według Arystotelesa, nie ma niczego w naszych myślach, co by nie przeszło wcześniej przez zmysły. Myśl pozostawiona samej sobie zawęża się. I chociaż wdrukowany w nas rytm pierwotny sprawia, że nie zawęzi się do końca, to jednak nie wzbogaca on naszej świadomości. Zmysły, które zasiedlają świat S, walczą w nim o miejsce dla siebie. Widzimy wśród nich również z m y s ł, którego za-daniem jest tworzenie wspomnianej konstrukcji odpowiadającej doznaniom zmysłowym przychodzącym z zewnątrz. Nazwijmy ten zmysł z m y s ł e m m a t e m a t y c z n y m. Zmysł matema-tyczny odczuwa przykrość, jeśli dla odbieranego przez siebie spostrzeżenia nie znajduje miejsca w budowanej konstrukcji. Odczuwa zadowolenie, wręcz spełnienie, z wprawnie wykony-wanych czynności.

Tworzenie pojęć matematycznych, to koncert zmysłów biorących w tym udział. Zmysł matematyczny nie walczy tu o pierwszeństwo, dając w geometrii pole zmysłowi wzroku, w topologii zmysłowi dotyku, a w nauce o ruchu poczuciu in-tensywności zmiany, poczuciu natężenia siły i upływu czasu. Zostawia wszakże dla siebie ostatnie słowo. To zmysł matema-tyczny nadaje ostateczny kształt pojęciu... Twórcy matematyki są coraz bardziej skłonni przyjmować, że wyjaśnienie istoty matematyki leży bardziej w rozpoznaniu

(8)

natury świata S i zmysłów, które go zaludniają, niż w rozpozna-Zagadnienia F ilo zoficzne w N auc e | L VIII • 2015 niu treści, które niesie matematyka. John von Neumann w swo-ich wczesnopowojennych esejach przyznaje, że nie poznaw-czość, lecz estetyzm, czy wręcz samolubność – dodajmy od siebie – jest tym, co kieruje matematyką. Hardy wręcz twierdził, że taka właśnie jest jej natura. Ukształtowany w innym świecie pojęć Sziłow również twierdzi, że matematyka kieruje się w swym rozwoju własnymi prawami. Dołączają się do tego po-glądu biologowie. Z niepokojem zauważamy, że świat S naszych myśli mógłby się zamknąć w zbudowanym przez siebie gmachu, jeśliby zmysł matematyczny pozostawić samemu sobie. Ale dodajmy, że sa-molubność nie jest cechą wyłącznie tego zmysłu.

Metafizyka matematyki

Nasze poznawanie świata poprzedzone jest p r z e k o n a-n i a m i, a-nazwijmy je m e t a f i z y c z a-n y m i. M e t a f i z y k a to aprioryczne przekonania – oczekiwania, ale też i uprze- dzenia – wobec tego, co może przyjść z zewnątrz. Jest poda-runkiem Dnia Szóstego. Ale jako o metafizycznym wypada nam myśleć także i o darowanym nam wcześniej rytmie Dnia Pierwszego. Poznanie matematyczne, poprzedzone apriorycz-nymi przekonaniami, tworzy coś co nazwalibyśmy m a t e m a t y c z n o ś c i ą.

Dla pierwotnych wdrukowań i budowanych na nich prze-konań świat S poszukuje potwierdzeń, dzięki którym stają się

(9)

Zagadnienia F ilo zoficzne w N auc e | L VIII • 2015 one p r a w d a m i powstałej konstrukcji. Kryterium prawdy to wewnętrzna harmonia – s p ó j n o ś ć – będąca wyrazem wza-jemnego dopasowania elementów konstrukcji. Nie dopuszczeni jesteśmy do wglądu, jak ta harmonia ma się do t r e ś c i prawd, to jest do prawdy w znaczeniu powszechnie przyjętym. Światu S musi wystarczać ich wewnętrzna zgodność, za co przed świa-tem zewnętrznym odpowiada jako c a ł o ś ć. Dba o tę zgod-ność ze względu na potrzebę zachowania swej wiarygodności, gotowy – w razie pojawienia się t r u d n o ś c i, do przebudowy konstrukcji. Nie szuka potwierdzeń w świecie zewnętrznym dla każdego swego „dwa a dwa jest cztery”. Prawda matematyczna jest ż y w a, jeśli jest obecna w na-szej świadomości. Trwa w umyśle dopóki trwa emocja z nią związana. Są przebłyski prawd matematycznych goszczące w umyśle przez chwilę. Bo prawdy matematyczne dotyczą ra-czej s y t u a c j i niż tak zwanych b y t ó w. Słyszało się, że niezapisane w porę dowody powstałe w Kawiarni Szkockiej bezpowrotnie ginęły. Ale prawdy matematyczne, nawet zapi- sane, mogłyby nie odżyć, jeśliby nie były dłuższy czas aktyw-nie przeżywane. Mimo to chcemy wierzyć, że są trwałe, a nawet wieczne, w tym znaczeniu, że jeśli przebłysk prawdy matema-tycznej zechce do nas zawitać po raz drugi, będzie ten sam, co przedtem. Dopóki zainteresowaniem matematyki były figury geome-trii i liczby w swych zjawiskowych indywidualnych postaciach, ten platoński pogląd na matematykę wydawał się właściwy. Ale wiek XIX uwidocznił, jak wiele w matematyce zależy od nas

(10)

samych. Brouwer na początku XX wieku zwrócił uwagę na wpływ, jaki na prawdę matematyczną ma nasza logika. Inter-wencja logiczna jest interwencją ad hoc, polegającą na zapeł-nianiu luk myślowych. Te mogłyby pozostać niezamknięte, ale logika – cierpiąc na horror vacui – zamyka je na użytek doraźny w zdania, które w tej postaci są petryfikowane jako prawdy nie-zmienne. Wiele z nich zawiera prawdy niepotrzebne, z których matematyka, jak każdy organizm, musi się uwalniać. Obecność logiki w rozumowaniach matematycznych jest najbardziej widoczna tam, gdzie dotyczą one pojęć słabo mo-tywowanych intuicjami. To logika wprowadza do matema-tyki pojęcie s p r z e c z n o ś c i, nie umiejąc inaczej bronić się przed nonsensem. Sama matematyka zna jedynie t r u d n o ś c i. Opiera się na intuicjach, a te, jeśli na ich drodze pojawiają się trudności, ulegają adaptacji w przebudowanej strukturze pojęć. Dotyczyłoby to i logiki, gdyby można było znaleźć zmysł, któ-remu jest podporządkowana i który pozwala nam ją sensownie kształtować. Jedynie rytm pierwotny mógłby być postawiony w tej roli, ale nie panujemy nad nim, mimo – a może właśnie dlatego – że matematyka i logika płyną wspólnie tym rytmem wspomagając się wzajemnie, Logika nie buduje matematyki. Matematyka, taka jak ją tu widzimy, n i e j e s t g m a c h e m, którego elementy zespojone są logiką. Dedukcja łączy lokalnie niektóre prawdy matematyczne. Nici, którymi łączy te prawdy, są krótkie. Całość mate-matyki j e s t o r g a n i z m e m, który swoją spójność zawdzię-cza dalekiego zasięgu s y g n a ł o m pobudzającym dalekie od

(11)

Zagadnienia F ilo zoficzne w N auc e | L VIII • 2015 siebie autonomiczne regiony – m o n a d y świata S – wzboga-cając lokalne konstrukcje o doznania pobrane gdzie indziej. Te sygnały nie przenoszą prawd na ten sposób, co dedukcja, są jedynie pobudzeniami. Prawda jest wypracowywana w każ-dej monadzie z osobna, logiką niewychodzącą poza monadę. Jest również w ludzkim myśleniu jakiś przymus z w i e ń-c z e ń naszyń-ch wyobrażeń o śwień-cie. Zwieńń-czamy efektownymi zamknięciami otwarte wątki myślowe, co uwalnia nas od mie- rzenia się z pytaniami, odpowiadając na te pytania jakby nie- swoimi myślami. Zdarza się, że ulegamy i korzystamy z wy-godnego prezentu. Nie wykluczamy, że niektóre z naszych zmysłów i zwią-zane z nimi doznania odzwierciedlają sens uniwersalny. Mimo to w samym charakterze zmysłu jest efemeryczność i gra. Zmy-sły nas zwodzą, wciągając do gry, mając swoje własne w niej cele. Razem tworzą wiecznie ewoluującą żywą konstrukcję, którą świat S ustawił naprzeciw światu. W zrozumieniu natury świata S powinna nas wspomóc, jak sądzimy, wiedza o organi- zmach żywych, ku której z obawą jednak sięgamy, by nie usły-szeć prawd zbyt trudnych. Matematyka nie jest tworem jednorodnym. Abstrakty geometrii, takie jak punkt, prosta i koło, mają niemal idealnie jedno-znaczne reprezentacje w świecie rzeczy objawiających się nam w postaci punktów, prostych i kół fizycznych. Abstrakcja wy-daje się tu wręcz niepotrzebna.

(12)

Arytmetyka

Inaczej jest z a r y t m e t y k ą i ogólniejszą od niej a r y t m e-t y c z n o ś c i ą, ke-tórej rye-tm – jak sądzimy – był obecny w świe- ą, której rytm – jak sądzimy – był obecny w świe- cie już od jego Dnia Pierwszego. To w tym rytmie dopatru-jemy się głębszego sensu l i c z b y. Liczba nie pojawia się nam sama, w czystej postaci. Istnieje, jak pisze Mendelssohn, po-przez swoje w c i e l e n i a. Jeśli istnieje bezpośrednio, to je-dynie jako element świata S. Mendelssohn nazywa arytmetykę „inną nauką”, co znaczyłoby, że stawia ja poza celami poznaw-czymi. Liczba potrafi wcielić się w figurę jako jej aspekt, np. ilościowy, ale może się prezentować jako kolekcja punktów lub figur, to jest jako zbiór elementów. Potrafi się wcielić także w liczbę 5. Bo pewne indywidualne liczby są zjawiskami. Najprostsze z nich pojawiają się pobudzone już samym rytmem indukcji, ale ich zakres poszerza się. Liczby 13 i 7 pojawiają się wcze- śniej jako zjawiska myślowe, niż liczba 6, która pojawia się na-wet później niż biblijne dziesięć tysięcy. Jan Potocki słowami Velasqueza przekonuje nas, że liczby zjawiskowe nieobce są również naszym braciom mniejszym. Ten zakres liczb, rozbudo- wany przez nas myślowo, ujawnia cechy wychodzące poza pierwotny potok indukcyjny, rozbudowując się w dyscyplinę nazy-waną t e o r i ą l i c z b. Chodzi tu również o aspekt ilościowy liczby, nieobecny bezpośrednio w rytmie indukcji. Wyodręb- niony w ten sposób zakres liczb wydaje się być już kontrolo-wany zmysłowo. Nie wykluczamy, że ten zmysł jest też obecny

(13)

Zagadnienia F ilo zoficzne w N auc e | L VIII • 2015 również w naszych wyobrażeniach o z b i o r a c h i objawiają-cej się tam nieskończoności. Liczba może się też ujawniać poprzez wcielenia pozaaryt-metyczne. Liczba 17 pojawia się jako liczba boków wielokąta foremnego możliwego do skonstruowania w sposób klasyczny cyrklem i linijką. Gauss dowiódł, że nie tylko liczba 17, ale też 257 ma tę własność (mają ją, wcześniejsze niż 17, liczby 3 i 5). Jest to zjawisko darowane pozasystemowo liczbie 17. Bok siedemnastokąta foremnego wpisanego w koło o promie- niu 1 spełnia pewne warunki algebraiczne konieczne dla wspo-mnianej konstrukcji. Dzięki tej konstrukcji liczba 17 uzyskuje w c i e l e n i e w pewną sytuację geometryczną. To tego rodzaju wcielenia mógł mieć na myśli Moses Mendelssohn. Geometria służy wielu możliwościom tego rodzaju wcieleń, dostatecznie prostych dla liczb takich jak 2 i 3. Ale wspomnijmy też trójki pitagorejskie poczynając od trójki (3, 4, 5). Pewnym liczbom, takim jak 2 i 5, wcieleń dostarcza już przyroda. To nasze pięć palców stworzyło system dziesiętny, matematyczność to tylko akceptowała. Ale system dwunast-kowy mógł już być dyktowany samym rytmem arytmetycznym, chociaż nie wykluczamy magii związanej z liczbą 12. Liczne przykłady zjawiskowego zaistnienia liczb mogły prowadzić do przypuszczenia, że jest jakiś magiczny system, który je jedno-czy. Tak chcieli widzieć liczbę Pitagorejczycy. Pogląd o niezależności pojęcia liczby od pojęć o przestrzeni przypisaliśmy Dedekindowi. Ale ten pogląd głosił również współ-czesny mu Gottlob Frege. Upatrywał on jednak istotę liczby w jej

(14)

Zagadnienia F ilo zoficzne w N auc e | L VIII • 2015 aspekcie ilościowym, a nie jak Dedekind w jej aspekcie porząd-kowym, wyznaczonym przez jej rytm indukcyjny. Pojęcia o liczbie mogłyby zamknąć się same w sobie. Liczba stara się jednak być obecną w całej matematyce. Liczba s ł u ż y matematyce. Jej rytm pierwotny słyszymy w zjawiskach, w które się wciela. Są wszakże zjawiska matematyczne, które ten rytm omijają. Przykładem jest topologia, ale nie tylko. Bo i teoria liczb w swoich najgłębszych partiach rytmem indukcji nie jest zainteresowana.

Geometria

Geometria, ta jaką widzimy u Talesa, jest wolna od pojęcia o liczbie. Jest, co widzimy u Euklidesa, fizyką naszego z m y-s ł u w i d z e n i a. Ale zaczynamy dodawać do y-siebie odcinki prostej, a Pitagorejczycy upominają się o ich wspólne miary. Ten prosty sposób na arytmetyzację zawodzi. Niedługo później jednak Euklides (a może Eudoksos) proponuje algorytm, który odkrywa bogactwo natury arytmetycznej w zakresie niewspółmier-ności, które za Teajtetem wyrażamy ułamkami łańcuchowymi. Geometria nagle wzbogaca się o metody nieskończonościowe, których sama w swoich początkach się nie spodziewała. Eudok- sos, a za nim Archimedes, starają się uchronić geometrię od trud-ności powstałych na skutek inwazji nowego żywiołu. Ustępuje geometria. Prostej wprawdzie nie zabrania się być nieskończoną, ale dla zaspokojenia wymagań arytmetyczności każdy jej punkt

(15)

Zagadnienia F ilo zoficzne w N auc e | L VIII • 2015 ma być osiągalny odkładaniem odcinka, nawet jakkolwiek ma-łego. Ustępuje w ten sposób również arytmetyka, rezygnując z pozaskończoności. Dzięki temu rozszerzone prawdy matema-tyczne nadal pozwalają się lokować w naszej świadomości. Adaptacja prawd arytmetycznych do świadomości matema-tycznej ukształtowanej w Dniu Szóstym będzie odtąd stałym problemem matematyki. Znane jest powiedzenie Eulera, że jego ołówek odkrywa rzeczy bez jego w tym udziału.

Platon, który prawdy matematyczne uważał za przed- wieczne, musiał mieć na myśli prawdy arytmetyczne. Wcho- dzą w nasz świat S bez naszej zgody, formując go na swój spo-sób. Według Fregego, od prawdy arytmetycznej nie ma apelacji, a według powiedzenia Cantora, nie ma w arytmetyce miejsca na hipotezy, to jest na zdania, których prawdziwość byłaby zależna od czegoś poza nią. W geometrii nie jesteśmy biernymi widzami. Geometria, rozwinięta później topologia i budowana w oparciu o nie fizyka matematyczna, są konstrukcjami naszymi. To tam odnajdujemy siebie, kształtując pojęcia o świecie i przestrzeni. Ale bywa, że uprzedza nas w tym arytmetyka, przez co nasze wyobrażenia o przestrzeni nie są całkiem nasze. Gotowi bylibyśmy widzieć geometrię po prostu jako mate-matykę naszego zmysłu widzenia. Nie idziemy wszakże w tym za daleko. Koło dla Greków było kołem niemal fizycznym. Jeśli jed-nak zapomnimy o wypełniającym koło fizycznym płaskim dysku, to zobaczymy w nim linię zamkniętą, po której może coś biec. Istotnym aspektem koła staje się c y k l. A jest jeszcze koło, które

(16)

Zagadnienia F ilo zoficzne w N auc e | L VIII • 2015 może się zawęźlać, a jest też koło, które może być b r z e g i e m niekoniecznie dysku. Nie miał więc może do końca racji M o s e s M e n d e l s s o h n, bo również obiekty geometrii osiągają poziom trwałych wzorców wcielających się na wiele sposobów w roz-liczne sytuacje, jakich doświadcza świat S. Jest też takim wzorcem nie tylko koło, bo również i t r ó j k ą t, chociaż może nie kwadrat. Przebieg ewolucji pojęć, w końcu zależny od zdarzeń nie- przewidzianych, nie pozwolił rozwinąć się pojęciom geome-trycznym w sposób czysty, jako t o p o l o g i c z n e. Nie jest nam jednak obca myśl o istotach żywych, których świat S ukształtowany jest przez zmysł d o t y k u, które nie mają in-nych pojęć niż topologiczne, którym nieobce jest pojęcie linii zamkniętej i prostej, rozumianej po prostu jako przegroda. Wcielając się w sytuacje geometryczne, liczba ewoluuje, wzbogacając się o cechy swego nosiciela. Przyjmuje rolę dłu-gości, pola, masy i przebiegu. Dozwala na, nieobecną w samej teorii liczb, podzielność w nieskończoność, wreszcie i ciągłość. L i c z b a c i ą g ł a ma taki właśnie początek. Wyrasta z dwóch źródeł. Jednym jest wspomniany konstrukt czysto arytmetyczny, drugim jest czerpane z fizycznych właściwości rzeczy c o n t i-n u u m Arystotelesa, i-nad którego pozaliczbową i-naturą rozmy- Arystotelesa, nad którego pozaliczbową naturą rozmy-ślał w naszych czasach Hermann Weyl. Jeśliby jednak przyjąć za Cantorem, że pojęcie liczby ciągłej nie wymaga odwołań się do fizyczności, że można je wyprowadzić logicznie z właści-wości tkwiących już w systemie liczb naturalnych, w oparciu o czysto myślowe pojęcie z b i o r u, znaczyłoby to zgodę na pełną arytmetyzację matematyki.

(17)

Ruch i zmiana

Matematyka starożytnych była, jak to określał Arystoteles, na-uką o b y t a c h n i e r u c h o m y c h. Było to samoogranicze-nie wymuszone przez paraliżującą myśl aporię Zenona o strzale, która nie pozwalała na rozumienie zmiany jako p r o c e s u. Tymczasem zmiana jest istotą zjawisk fizycznych. To właśnie w z r o s t o w i i z a n i k o w i poświęcił Arystoteles w swojej

Fizyce cały rozdział. Ale sytuacje, gdzie obserwujemy zmianę,

nie mają ze sobą powiązań. Może to być droga narastająca w cza-sie, nasilenie barwy, czy też tempo przyboru wody w strumieniu.

Ideę ich wspólnego ujęcia matematycznego podjęli filozofowie scholastyczni XIV wieku. Calculatores z Merton Col- lege z Oksfordu i filozofowie z Paryża wyszli od spostrzeże-nia, że to, co bezpośrednio podlega obserwacji w zjawiskach, to nie sama wielkość zmiany, lecz jej i n t e n s y w n o ś ć, która obserwowana w określonym zakresie determinuje zmianę ilo-ściowo. Jednym z przykładów była intensywność łaski Bożej spływającej na człowieka, która się w nim nagromadza s u-m a r y c z n i e na sposób, który Newton i Leibniz nazywali później c a ł k ą. Jest też intensywność siły wtłaczanej w po-ruszające się ciało, która determinuje jego i m p e t – a więc prędkość. Jeśli więc s i ł a – a tak jest przy spadku swobodnym – jest niezmienna w czasie, prędkość wzrasta w czasie jedno-stajnie. Scholastycy zawierzyli wdrukowanemu w nas zmysłowi pozwalającemu nam odczuwać stopień natężenia oddziaływań. Galileusz nie wierzył tej wrodzonej nam intuicji i sprawdzał.

(18)

Zagadnienia F ilo zoficzne w N auc e | L VIII • 2015 Pełne włączenie tej idei czternastowiecznej w zarysowu- jącą się już konstrukcję matematyczną zawdzięczamy Newto-nowi i Leibnizowi, chociaż pominęliśmy prekursorów, Keplera i Torricellego, a przede wszystkim Arystotelesa, bo to na grun-cie jego planu powstawał opisywany tu nowy dział matematyki – a n a l i z a m a t e m a t y c z n a – w której Newton widział geometrię Euklidesa wzbogaconą o naukę o ruchu. Był to skok w rozwoju, ale – wróćmy do naszej mitologii – skok w obrębie pojęć matematyki Dnia Szóstego. Zauważmy przy tym, że intensywność zmiany ma jakieś podobieństwo do liczbowego rytmu Dnia Pierwszego, jest jakby tego rytmu c i ą g ł y m wypełnieniem. Podobnie jak rytm arytmetyczny, ma on zastanawiającą rozmaitość wcieleń, nadając pojęciom ma-tematycznym nowe szybsze tempo rozwoju. Nie trzeba będzie nawet stu lat, aby c a l c u l u s Newtona przeszedł w równa- nia struny u Eulera. Przypomnijmy, że to właśnie intensyw-ność – wielkość, która była tak trudna do określenia – jest tym, co podlega bezpośrednio obserwacji, a także pomiarowi. Tę prawdę wyraża nam równanie różniczkowe, które z danych związków między intensywnościami obiecuje nam odtworzyć związki między samymi wielkościami, które bezpośredniej ob-serwacji nie są dostępne. Rozumienie metod różniczkowych nie zawsze będzie nadą-żało za rachunkiem. Przyznawał to Euler we wstępie do swojego trzytomowego dzieła, a nie chodziło już tylko o anegdotyczny ołówek. Motywacje analizy wywodzą się z szerszego zakresu niż te, które wystarczały geometrii. Włącza się zmysł poczucia

(19)

Zagadnienia F ilo zoficzne w N auc e | L VIII • 2015 czasu, natężenia siły i poczucia nagromadzania się wielkości, na wiele sposobów wcielając się w matematykę. Metafizyczność tych motywacji odczuwamy dużo silniej niż w zakresie motywacji geometrycznych, których źródło jest nie-mal bezpośrednie. Motywacje analizy są głęboko w nas ukryte, najczęściej nie są naszymi bezpośrednimi przekonaniami wyni- kającymi z własnego doświadczenia, lecz zdają się raczej wy-nikiem w d r u k o w a n i a ich w nas – używając zwrotu Kon-rada Lorenza – we wczesnych stadiach naszej ewolucji, chociaż może nie chodzi tu o Dzień Pierwszy. Słowacki w Genesis z du-cha dziękuje mrówce, której doświadczeniem się kieruje. My to wszystko nazywamy i n t u i c j ą. Na przykładzie intu-icji, która doprowadziła do odkrycia calculusu, widzimy intuicję jako sumaryczne doświadczenie przedmatematyczne, c a ł k ę z naszych doświadczeń, nie tylko nas samych, lecz całego biegu ewolucji. Bywa, że nie ufamy intuicji, ale Pascal dopowiadał, że to dlatego, iż aż nazbyt często bywa bezbłędna. Dodajmy wszak, że nie każde przekonanie powinno być nazwane intuicją. Matematyka scholastyków i Newtona, a nie pomińmy Ke- plera i Cavalleriego, zaczerpnęła jeszcze raz pełną garścią z do- stępnego nam zmysłami świata. W swoich początkach była jesz-cze wolna od wpływu arytmetycznego. Było to jeszcze wtedy, kiedy Newton formułował prawa dynamiki i poddawał im prawa Keplera rządzące ruchem planet, a nawet jeszcze wtedy, kiedy Jan Bernoulli wyjaśniał problem brachistochrony, a Euler pro-blem struny.

(20)

Matematyczność przyrody

Przyroda p o z w a l a się widzieć matematycznie. Dla przedsta-wienia problemu, wróćmy do pełnego toku naszych wywodów. Mówiliśmy o świecie S i wbudowanej weń konstrukcji pojęć. Nie dzieliliśmy jej na matematyczną i niematematyczną. Do- piero w którymś momencie pojawiła się matematyka, którą za-zwyczaj wyodrębnia się spośród ogółu dociekań ś c i s ł o ś c i ą – inaczej r y g o r e m – cechą wcale dla niej nie najważniej-szą. Nierygorystyczne fazy rozumowań s ą r ó w n i e ż mate-matyką, chociaż woleliśmy je nazwać matematycznością, aby nie wychodzić poza ustalony zwyczaj. Nie wykluczamy więc, że wszystko w świecie jest matematyczne, przynajmniej po-tencjalnie. Pozostają wszakże całe obszary zjawisk przyrody, do któ-rych z naszą matematyką nie zaglądamy. Z geometrią Euklidesa można iść w dowolnie dalekie regiony kosmiczne, uzyskując nadal sensowny opis zjawisk. Korzystał z tego Einstein. Ale już Riemann zauważył, że wiarygodność fizyczna naszej geometrii zatraca się, jeśli przechodzimy ku mikroskali. Naiwne przeko-nania o symetrii, w jakiej pozostają do siebie nieskończoność i zero, trzeba odrzucić. Riemann dokładnie się nie wypowiadał, ale już w jego czasach budowa punktowa otoczenie zera była uświadomioną trudnością myślową. Fizyka dwudziestego wieku, wchodząc w mikroświat, do- świadczyła tego, co było przeczuciem Riemanna. W mikroświe-cie nie ma bezpośrednio nic do powiedzenia nasza matematyka,

(21)

Zagadnienia F ilo zoficzne w N auc e | L VIII • 2015 która potrafi się tam dostać jedynie za pomocą konstrukcji przestrzeni abstrakcyjnych, a więc w istocie za pomocą czystej aryt-metyki, która w matematyczności ma pozycję specjalną. Nie uzyskujemy obrazu podlegającego kontroli zmysłów. Wymiar, o jakim mówi się w teoriach kwantowych, nie tłumaczy się na wymiar odbierany zmysłowo. Pewne rzeczy można przybliżać wyobraźni poprzez analogie w stylu Bohra, w istocie poprzez metafory. To, że jakieś zjawisko pozostaje p o z a naszą matematyką, nie znaczy że jest niematematyczne. Jest po prostu dla nas ma-tematycznie pustą krainą. Na tym niewielkim fragmencie, który jest nam dostępny, stwierdzenie, że przyroda jest matematyczna, jest nie więcej niż t a u t o l o g i ą. Pójdźmy jednak krok dalej za tautologicznością tej tauto- logii. Przyjmijmy sposób widzenia zafascynowanego Schopen-hauerem Witkacego, że świat zewnętrzny zawdzięcza swoją matematyczność n a m. Matematyka nie wnika jednak w istotę świata, daje nam tylko pewien przekaz. Grawitacja jest wielką tajemnicą świata, a my dostrzegamy tylko kwadrat w prawie ciążenia i związek tego kwadratu z eliptycznością torów pla-net. Stwórca nie musiał znać tych wzorów, nie były mu one potrzebne dla rozumienia swego zamysłu. Nic nie ujmiemy, a nawet przeciwnie, dodamy powagi Stwórcy, jeśli uwolnimy Stwórcę od wchodzenia w nasze wzory matematyczne.

(22)

Arytmetyzacja matematyki

Intuicje, które kierowały Calculusem, a które jeszcze wystar- czały Eulerowi, zmuszone były w końcu dać się wyręczyć ra-dykalnemu środkowi, jakim była arytmetyzacja analizy ma-tematycznej dokonana w początkach XIX wieku za sprawą Cauchy’ego. Analiza matematyczna Cauchy’ego jest od sa-mego początku całkowicie arytmetyczna. Prostej nie musi się widzieć geometrycznie. Prosta ma być teraz systemem liczbo-wym, a funkcje – dawne fluenty – określone są arytmetycznie punkt po punkcie. Nie musimy widzieć, by liczyć. Cauchy nie poszerzał matematyki na ten sposób, w jaki kilka wieków wcześniej poszerzył matematykę Calculus, poporządkowując matematyce niedostępne jej dotąd rejony o d-c z u w a n i a świata. Matematyka Caud-chy’ego nie poszerzała zmysłu matematycznego. Był to nawet ruch wsteczny, wyklu- czający z analizy pewne jej idee, jeśli nie dawały się poddać je-dynej w niej idei, którą była ś c i s ł o ś ć natury arytmetycznej. Cauchy z r e d u k o w a ł analizę Newtona do pojęcia liczby. Nie był to wszakże powrót do idei pitagorejskiej. Nie wchodzi się dwa razy do tej samej rzeki. Liczba u Cauchy’ego nie była dawną czystą ideą pitagorejską, lecz tworem myślowym, który wszedł do matematyki jako c o n t i n u u m l i c z b o w e, po-myślane tak, by mogło być polem, na którym dawne pojęcia i postulaty Newtona mogły być ukształtowane w teorię i twierdzenia. W niedługim czasie pojawiła się idea zredukowania ca-łej matematyki do kilku prostych zasad, chociaż nie od razu

(23)

Zagadnienia F ilo zoficzne w N auc e | L VIII • 2015 przewidziano na jakiej drodze dojdzie do wielkiej unifikacji. Kronecker uważał, że samo pojęcie liczby należy zostawić ta-kie, jakim było. Protestował, widząc próby szukania unifikacji w pojęciach bardziej pierwotnych. W matematyce Cauchy’ego funkcja przestawała być p r a-w e m zależności. Nie było przeszkód dla określania funkcji punkt po punkcie, co pomijało ukształtowane dotąd intu-icje, chociaż dowierzano funkcjom zadawanym dowolnym ruchem ręki, a więc c i ą g ł y m z samej swojej natury. Oka-zało się wszakże, że dowolny ruch ręki nie wnika w pełni we wszystkie aspekty intensywności procesów. Ciągłość nie za-pewnia istnienia pochodnej, a całka nie zawsze jest zdolna do odtworzenia funkcji z istniejącej wszędzie pochodnej. Oka-zało się, że to przekonanie Calculusów i Newtona ma jakieś wyjątki. Cała druga połowa XIX wieku i wiek XX w mate-matyce to koncert frapujących wyjątków, jakie zaczęła do-starczać pozbawiona dawnych ograniczeń zarytmetyzowana matematyka. Odczuwamy nostalgię za matematyką Dnia Szóstego, ale nie wydaje się, by mogła ona poddać swojemu oglądowi rytm Dnia Pierwszego, czemu naprzeciw wyszedł właśnie Augustine Cauchy. W świecie Dnia Szóstego zjawiska mają charakter ja-kościowy i objawiają się n i e r ó w n o ś c i a m i. Równościom pozostawiony jest status wątpliwych co do zaistnienia stanów granicznych. Arytmetyczność to koncert r ó w n o ś c i, t o ż s a -m o ś c i i r ó w n a ń, a więc sa-mych osobliwości z punktu wi- ń, a więc samych osobliwości z punktu wi-dzenia świata Dnia Szóstego. Doznania redukują się do dwóch

(24)

Zagadnienia F ilo zoficzne w N auc e | L VIII • 2015 wartości logicznych, otwierając jednocześnie furtkę ku dwuwar-tościowej kombinatorycznej eksplozji. Hermite i Poincare sprzeciwiali się tej inwazji osobliwo-ści, ale też i odcięciu matematyki od jej źródeł przyrodniczych, z których matematyka już nie wyrastała, lecz do których jedynie mogła w r a c a ć poprzez z a s t o s o w a n i a – pojęcie d a w-n i e j w-n i e z w-n a w-n e.

Poszerzanie intuicji

Okazało się jednak, że nasza wyobraźnia potrafi rozbudować się i adaptować wspomniane osobliwości. Potrafiliśmy rozsze-rzyć nasz zmysł matematyczny, wbudowując zarytmetyzowaną analizę w naszą świadomość. Zdolność naszej świadomości do adaptacji w sytuacjach daleko odbiegających od doświadczeń zmysłowych okazała się większa niż ta, którą widzieli wielcy sceptycy. Mimo że nie obserwujemy funkcji Cantora – Lebes-gue’a w zjawiskach przyrody, to jednak umiemy ją umieścić nie tylko w naszym świecie S, ale potrafimy sobie wyobrazić pewne stany graniczne zjawisk przyrody, w których ta funkcja się poja-wia się już nie jako osobliwość, lecz jako stan graniczny idealny. Przykład zarytmetyzowanej matematyki stawia przed nami pytanie o to, jak daleko świat S naszych myśli może pójść w ada-ptacji osobliwości arytmetycznych, wbudowując odpowiednią w nas zmysłowość już ściśle matematyczną, o której pisze Fe-lix Klein w jednym ze wspomnianych na wstępie wykładów.

(25)

Zagadnienia F ilo zoficzne w N auc e | L VIII • 2015 Wydaje się, że ta zdolność adaptacyjna jest daleka od wyczer-pania pod warunkiem wszakże, by nie naruszone były p r a w a jakimi świat S się rządzi. Dowód komputerowy twierdzenia o czterech barwach nie spełnia tego warunku. Świat S nie po-zwala się wyręczać w potwierdzaniu niewypracowanych przez siebie prawd. Akceptacja prawdy jest w jego gestii i żaden do-wód, który nie angażował emocjonalnie świata S, nie może być przez świat S uznany. Dano to kiedyś do zrozumienia Galile-uszowi, który zważył pole pod cykloidą i mimo że wynik był prawidłowy, nie zaistniał w matematyce.

Zbiór i liczba

Z b i o r y są już u Euklidesa. Słynny dowód nieistnienia naj-większej liczby pierwszej poprzedzony jest w Elementach roz-winięciem teorii podzielności wykorzystującej rytm indukcyjny z b i o r u liczb naturalnych. Wraca do tego Gauss. Zbiór nie jest u Gaussa, podobnie jak u Euklidesa, jeszcze pojęciem, lecz je-dynie wygodą słowną. Ale teraz zbiór nie musi być z góry dany. Ten zbiór się w p r o w a d z a do rozważań i w p r o w a d z a się działania na jego elementach. Przykładem jest zbiór przedsta-wiający kratę liczb całkowitych na płaszczyźnie z działaniami takimi jak na liczbach zespolonych. Po wprowadzeniu poję- cia podzielności powstaje system liczbowy inny niż znany do-tąd system liczb całkowitych. Ma sens pojęcie liczby pierwszej

(26)

i prawdziwe jest twierdzenie o rozkładzie na czynniki pierw-Zagadnienia F ilo zoficzne w N auc e | L VIII • 2015 sze, ale w pewnych kratach budowanych według tego wzoru są wyjątki dla jednoznaczności rozkładu. Dla Dedekinda – ucznia Gaussa i twórcy algebry abstrakcyjnej – nie było już wątpliwo-ści, że zbiory są nieodłącznym towarzyszem liczby. Samo pojęcie zbioru nie ma wyraźnego wbudowania w na-szą zmysłowość. Zbioru nie widzimy w formie c z y s t e j, lecz zawsze we w c i e l e n i u w jakąś sytuację matematyczną. Z drugiej jednak strony, pojęcie zbioru czystego elementu i na-leżenia do zbioru, zaspakaja jakąś naszą potrzebę myślową i było od dawna obecne w rozmyślaniach filozofów. Nie było jednak potrzebą matematyki. W pierwszym odruchu myśli chcielibyśmy widzieć zbiory czyste jako tworzywo liczby. Tymczasem, jak zauważa A l e-x a n d e r W i t t e n b e r g w pełnej gruntownych przemyśleń książce, konkretne czysto myślowe zbiory są dane nam od razu wraz z liczbą. Zbiór i liczba wydają się dla naszej zmysłowości nierozłączne. Filozof, który akurat widzi to zdanie, podpowiada, że może to być r z e c z t a s a m a. Miejmy na uwadze świa-tło, które objawia się nam raz jako strumień cząstek, a raz jako fala, z tym, że liczba ujawnia dwa jakby niezależne aspekty: po-rządkowy i ilościowy. Frege proponował widzieć liczbę jako abstrakt powstały po utożsamieniu w s z y s t k i c h zbiorów tej samej liczności. Z pojęć o zbiorze wyprowadzał aspekt ilościowy liczby. Russell wskazał na niewykonalność tego zamiaru z powodu trudności związanych z pojęciem o zbiorze wszystkich zbiorów. Cantor upatrywał załamanie tego zamysłu gdzie indziej. Widział liczby

(27)

Zagadnienia F ilo zoficzne w N auc e | L VIII • 2015 jako pewne wyróżnione elementy swojej skali liczb porządko-wych. Abstrakcja Fregego jest zbędna – twierdził – skoro dla abstraktów mamy zawczasu gotowych reprezentantów. Liczbowość, nie pojęcie o zbiorze, kierowało Cantorem, kiedy będąc na kroku ω, reprezentującym pełny ciąg liczb na-turalnych, stawiał kroki ω + 1, ω + 2 i dalsze. Ale czy były one oczekiwane przez jego świadomość, czy był to przymus my-ślowy, któremu się poddawał? Z tego, co możemy wyczytać z jego Memoire Nr 5, było to wymuszenie. Po przekroczeniu progu nieskończoności, nie odczuwamy spodziewanego poczucia poetyczności. Skala liczb porządkowych jest w swoich po-czątkowych partiach, po wyjściu poza liczby naturalne, szara. Dopiero w dużej skali ujawnia się w niej echo rytmu pierwot-nego, następstwa, nieodwracalności i niemożliwości powie dzenia s t o p. Wobec nieokreśloności w naszej zmysłowości, zbiory wcie- lają się w materię matematyczną nieraz podstępnie bardzo da-leko, a wchodząc w nieswoje role, mylą nasze zmysły. Cantora zaskoczyło odkrycie, że płaszczyzna ma tyle samo punktów co prosta, i trzeba było dopiero doświadczonego Dedekinda, aby widzieć, że nie obala to niczego, co naruszałoby nasze wyobra- żenia o wymiarze. Zbiory wcielają się – jak się powszechnie są-dzi – we w s z e l k i e sytuacje matematyczne. Według Dede-kinda, dają tym sytuacjom swoiste ich rozumienie. Rozumiemy lepiej prostą geometryczną, jeśli rozmieścimy na niej jakieś punkty, dochodząc w końcu do zbudowania zbioru nazywa-nego c o n t i n u u m, którego system elementów odzwierciedla

(28)

Zagadnienia F ilo zoficzne w N auc e | L VIII • 2015 w sensie porządku system punktów prostej. Według Dedekinda, continuum – nie będąc tym samym co prostą – o b j a ś n i a pewne aspekty jej budowy. Na elementy zbioru – pisze Dede-kind – nie musimy patrzeć jako na budulec, lecz jako na c o ś c o s ł u ż y. Elementy continuum służą wyjaśnieniu jego bu-dowy, nie są jednak tym, co je s t a n o w i. Tak widział Dede-kind rolę zbiorów w Stetigkeit und irrationale Zahlen.

Ale zbiory widziane jako b u d u l e c konstrukcji matema-tycznych również nie są nam obce. Już starożytni próbowali myśleć o figurach geometrycznych jako zbudowanych z punk- tów. Prowadziło to jednak do licznych trudności, które przedys-kutował Arystoteles, znając wcześniej wypowiedziane obiekcje Zenona z Elei. Widzimy nadal w tym trudność. Budowa punk-towa przestrzeni kłóci się z naszymi o niej geometrycznymi wyobrażeniami. Ale właśnie to dzięki tej niezgodności wiemy o przestrzeni coś, czego bez tego testu byśmy nie wiedzieli. Ma-tematyka penetruje teren hipotezami, które pełnią w niej rolę eksperymentów. Kiedy oderwiemy się od kontekstu geometrycznego, zbiór staje się dla nas z b i o r e m c z y s t y m i żadna zmysłowość nie broni nas przed pomyśleniem zbioru jako z b u d o w a n e g o ze swych elementów. Jest to sytuacja Cantora. Cantor dał dwa dowody, że liczebność punktów continuum przewyższa liczebność zbioru liczb naturalnych, dowodząc, że żaden ciąg jego elementów nie wyczerpuje całego continuum. W pierwszym dowodzie (1874) trzymał się kontekstu geo-

(29)

metrycznego, patrząc na continuum jak na punktowo zbudo-Zagadnienia F ilo zoficzne w N auc e | L VIII • 2015 waną prostą. Mając ciąg punktów wykazywał, że nie wypełnia on prostej. W tym celu rozważał odcinek omijający pierwszy wyraz ciągu, następnie zawarty we wnętrzu tego odcinka odcinek omijający drugi z kolei wyraz, i to postępowanie kontynu-ował. Punkt leżący w przekroju tak otrzymywanych odcinków jest różny od każdego z wyrazów ciągu. Istnienie tego punktu na continuum jest zapewnione wymaganiem ciągłości uporząd-kowania, jakie ma continuum. Otrzymany punkt jest zmysłowo dotykalny. W drugim dowodzie (1890) – dużo późniejszym – ignoruje porządek na continuum, a widzenie jego elementów redukuje do ich rozwinięć cyfrowych. Dla uproszczenia, niech będą to roz-winięcia dwójkowe, z cyframi 0 i 1, w których te cyfry mogą być traktowane jako symbole. Poza każdym ciągiem tego ro- dzaju układów cyfrowych jest układ niewchodzący w skład do-tąd rozważanych. Przykładem jest układ, którego nta cyfra jest różna od ntej cyfry ntego z kolei układu. Ten dowód, zwany p r z e k ą t n i o w y m, przebiega w czystej myśli, bez udziału wyobrażeń geometrycznych, a nawet liczbowych... Dowiedliśmy, że zbiór wspomnianych układów jest więk- szej liczebności niż zbiór liczb naturalnych. Nic nie stoi na prze- szkodzie, by to samo rozumowanie przeprowadzić na tym więk-szym zbiorze, rozpatrując na nim funkcje, których wartościami są symbole 0 i 1. Otrzymany zbiór jest liczebniejszy od poprzed- nio otrzymanego. Nie można zatrzymać myśli przed pomyśle- niem dalszego takiego kroku. Skala liczebności zbiorów oka-zuje się niczym nieograniczona!

(30)

Zagadnienia F ilo zoficzne w N auc e | L VIII • 2015 Poprzedni dowód, geometryczny, nie powodował tego ro-dzaju e k s p l o z j i. Zbiory związane z sytuacjami kontrolowa-nymi zmysłowo nie eksplodują! Podane dwa dowody są w pewnej analogii do dwóch do-wodów istnienia wielkości niewspółmiernych, które przekazała nam starożytność. Niewspółmierności były odkryte najpierw w geometrii na przykładach, między innymi boku kwadratu i przekątni oraz boku i wysokości w trójkącie równobocznym, z indywidualnymi dla każdego przypadku dowodami opartymi na prawach przestawania trójkątów. Późniejszy dowód Eukli- desa oparty na twierdzeniu liczbowym o jednoznaczności roz-kładu liczby na czynniki pierwsze, daje jednym rozumowaniem nieskończoną serię przykładów, co na owe czasy można było uznać za eksplozję. W dowodzie uczestniczyło pojęcie zbioru.

Dobry porządek

Profesor Mikusiński chciał się koniecznie sam przekonać, że lemat Zorna można wyprowadzić nie używając liczb poza-skończonych, i podał ładny tego dowód. Budował w tym celu w danym zbiorze częściowo uporządkowanym łańcuch nieprze-dłużalny przy pomocy samego tylko pewnika wyboru. Lubił przypominać ten swój dowód, ale za którymś razem można było usłyszeć uwagę: chciałem ominąć liczby porządkowe, ale kiedy budowałem łańcuch nieprzedłużalny, ten – mimo, że wcale tego nie chciałem – okazał się dobrze uporządkowany.

(31)

Podziwia się Cantora za jego konstrukcję skali dobrze uporządkowanej, Ale nietrudna obserwacja przekonuje nas, że ten dobry porządek tworzył się sam! Wcześniej niż Cantor przekonał nas w Was sind und was sollen die Zahlen? o aprio- rycznym wbudowaniu w nas dobrego uporządkowania Dede- kind. Mając myśl, nie potrafimy uwolnić się od myśli o tej my-śli i wpadamy w przymus iteracji, w indukcyjnie dynamiczny system liczb naturalnych. Ten porządek, nazwany umownie d o b r y m, daje nam w podarunku sama natura naszego my-ślenia. Porządki z w y k ł e nasza myśl zapożycza ze zjawisk spoza świata S. Uważa się, że dobry porządek to wymaganie dodatkowe. Nic błędniejszego! Znaczyłoby to bowiem, że dla uzyskania do-brego porządku wystarczyłoby najpierw mieć porządek j a k i-k o l w i e i- k, a potem go poprawić. Tymczasem nie umiemy do-stać tego jakiegokolwiek porządku samą konstrukcją myślową. Continuum, które punktami wypełnia prostą, budujemy mając wcześniej podpowiedź od przyrody. Zgodziłby się z tym Her-mann Weyl. Ten o naturze fizycznej pręt n i e j e s t tworem arytmetycznym. Arytmetycznie budujemy tylko jego pewną eg-zemplifikację. Wymaganie zwykłego liniowego porządku jest logicznie słabsze, ale matematyka apriorycznie w nas wbudowana, nie ob-darzyła nas żadnym przykładem, Ogólniejszą, podobną sytuacją jest próba pomyślenia d o w o l n e g o z b i o r u bez odwoły-wania się do żądnych zmysłowych spostrzeżeń. Nie umiemy

(32)

pomyśleć tu innych przykładów poza systemem liczb natural-Zagadnienia F ilo zoficzne w N auc e | L VIII • 2015 nych i jego odcinkami początkowymi. Dorzućmy to tego jeszcze odcinki liczb porządkowych Cantora. Nie mamy innych aprio-rycznie wbudowanych w nas zbiorów niż wspomniane zbiory l i c z b, które same są w istocie liczbami. Wspominaliśmy o tym już wcześniej powołując się na Wittenberga. Nie zwracają uwagi na ten paradoks twórcy teorii mnogości. Matematyka aprioryczna w nas wbudowana jest matema-tyką a r y t m e t y c z n ą. Ten n i e n a s z rdzeń jest s o l ą na-szej matematyki. Ale jej k w i a t e m jest matematyka s ł a b a, ta, którą sami myślowo wypracowujemy. Jej przykładem są kontemplacyjne zasady geometrii i calculusu. Ta matematyka, karmiona postrzeżeniami idącymi od świata zewnętrznego, two-rzona jest przy pełnym udziale naszej świadomości, Wydaje się, że mogłaby zaistnieć bez udziału arytmetyki. Ale można też po- myśleć matematykę czysto arytmetyczną. Myśląc o naturze ma-tematyki, powinno się brać pod uwagę te dwie skrajności, wcale realne.

Eksplozja i zwieńczenia

Widzieliśmy wcześniej, jak zbór w postaci czystej pozosta-wiony sam sobie eksploduje niedającymi zatrzymać się przez myśli myślowymi konstrukcjami. Rozpatrywana tam funk-cja przyjmująca na elementach zbioru symboliczne wartości 0 lub 1, może być widziana jako p o d z b i ó r zbioru, złożony z tych elementów zbioru, na których funkcja przyjmuje wartość

(33)

Zagadnienia F ilo zoficzne w N auc e | L VIII • 2015 1. Twierdzenie Cantora można więc rozumieć tak, że z b i ó r p o d z b i o r ó w zbioru przewyższa liczebnością sam zbiór. Po-przednią eksplozję widzimy teraz nieco prościej.

Tak liberalne rozumienie podzbioru napotyka na okre-ślone przeszkody, jeśli continuum widzimy geometrycznie. Od podzbiorów teraz można czegoś wymagać, na przykład tego, by można było na nich rozwinąć pojęcia miary i całki. Jeśli zbiór ma strukturę grupy, sensowne są podzbiory zamknięte ze względu na działanie grupowe, to jest podgrupy Na zbiorze czy-stym nie ma możliwości n i e p o m y ś l e n i a zbioru, który da się pomyśleć, a nawet do jego usunięcia, jeśli już zawitał do naszych myśli. Nie możemy nie pomyśleć zbioru pustego, je-śli już jakoś został pomyślany. Ta niemożliwość niepomyślenia zaciążyła na całej teorii zbiorów. A jest to niczym innym niż to, co Cantor w Memoire Nr 5 nazywał s w o b o d ą przyjęcia na myśl wszystkiego, co nie prowadzi do logicznych sprzeczności. W innych słowach, i raczej z troską niż z wyczuwanym tu sarka-zmem, wypowiedział to Profesor Andrzej Mostowski w latach 50. na Kongresie w Pałacu Staszica.

Teoria zbiorów zna jeszcze jeden przymus, który jest wspólny s w o b o d n i e rozwijającym się teoriom. Jest to przy-mus z w i e ń c z e ń. Zetknęli się z tym już Ojcowie Kościoła i filozofowie scholastyczni (inni niż ci, którzy byli prekursorami calculusu), dyskutując o uniwersaliach takich jak praprzyczyna i omnipotencja. Ale wcześniej był Platon, który dla połączenia rzeczy w świecie oddzielonych, powoływał do świata S naszych myśli idee n a d r z ę d n e, które miały te rzeczy wytłumaczać.

(34)

Zagadnienia F ilo zoficzne w N auc e | L VIII • 2015 Ten przymus myślowy kierował filozofów bizantyńskich – jak czytamy o tym u Focjusza – do rozumienia wielości poprzez do- strzeżenie w niej wspólnotowej jedności. Surowa myśl Arysto-telesa i Newtona odrzucała tego rodzaju myślowe konstrukcje, wypowiadając dumnie swoje h y p o t h e s e s n o n f i n g o, a Ockham wcześniej wypowiadał swoje: n i e m n o ż y ć b y-t ó w b e z p o y-t r z e b y. Coś podobnego napotykamy i w matematyce czystej, bę- dącej konglomeratem nieopowiązanych ze sobą dyscyplin, wal- czących o miejsce w naszym świecie S. Rozumienie całości, ja-kie osiągamy rozbudowując pojęcia poza granice wszelkiego odczuwania zmysłowego, jest w istocie ułudą rozumienia. Do- dajmy też, że znane nam dotąd zbyt rozbudowane teorie pry-skały jak bańki mydlane, będąc w istocie naszymi życzeniami myślowymi. Przypominają się nam przy tej okazji słowa Kro-neckera z listu do Cantora o teoriach, które przemijają, a jedyne co z nich zostaje, to w z o r y. Zastąpmy wszakże to archaiczne słowo terminem w z o r z e c, bardziej odpowiadającym współ-czesnej matematyce. Bo matematykę można rozumieć też jako kolekcję wzor-ców, unikając budowania gmachu zwieńczającego wszystko. Mamy tu Sierpińskiego, mistrza detalu. Wchodzimy do mate-matyki o d k r y w a j ą c jakiś jej frapujący fragment. Te frapu- jące fragmenty są istotą matematyki, wiążą ją poprzez odczu-cia zmysłowe z prawdziwą rzeczywistością. W ich odkrywaniu zmysł matematyczny wychodzi poza rolę kuriera, w której wi-dział matematyków niechętny matematyce Filozof.

(35)

Zagadnienia F ilo zoficzne w N auc e | L VIII • 2015 Znane z przeszłości „prawa najwyższe”, którymi obdarzali nas Platon i HoeneWroński, dają jedynie ułudę rozumienia. Nie dała się zamknąć analiza matematyczna w wielce obiecu- jący świat szeregów Taylora, ani geometria w swoje formali- zmy osiemnastowieczne. Przypominając jednak te próby, my-ślimy w istocie o wielkich formalizmach naszych czasów. Na ich przykładzie widzimy, jak po okresie rozwoju i ukazywaniu matematyce nowych horyzontów, przychodzi moment, kiedy zaczynają matematykę ograniczać. W stadium początkowym teorii zbiorów m o g l i ś m y się cieszyć z tego, że w tak wielu rzeczach d a j e s i ę widzieć zbiory. Współczesne tendencje z m u s z a j ą nas do widzenia w postaci zbioru każdej rzeczy.

Spojrzenie w przyszłość

Czytamy u przyrodnika José Delgado (1971), że istotom żywym konieczny jest dla ich zdrowia wewnętrznego nieprzerwany dpływ nowości i pobudzeń idących z z e w n ą t r z. Jest to p o-k a r m, bez o-którego nasze siły myślowe słabną. Jeśli ten dopływ się utrzyma, matematyka ma zapewniony rozwój. Bo nie są dla matematyki przeszkodą trudności dowodowe. Znaczenie twier-dzenia matematycznego nie zależy od tego, czy znalazło się dla niego dowód, ale od tego, jakie ma miejsce w naszym świecie S. Lemat Zorna i lemat Urysohna nie przestałyby mieć znacze- nia, jeśliby pozostały niedowiedzionymi zasadami. Jeśli stwa-rzałyby trudności, takie jak kiedyś aporie Zenona, matematyka

(36)

Zagadnienia F ilo zoficzne w N auc e | L VIII • 2015 znalazłaby sposoby, by sięgnąć po przebudowę pojęć. Dlatego to nie twierdzenie Gödla jest tym, co mogłoby zahamować roz-wój matematyki. Przyczyny do obaw są gdzie indziej. Może wydać się nie-stosownym wypowiadać je w czasie, w którym na naszych oczach padły największe stuletnie problemy, a natężenie po-toku rezultatów matematycznych przewyższa wszystko to, co w przeszłości. Niepokój ma jednak swe uzasadnienie, bo natę- żenie potoku odkryć matematycznych zawdzięczamy urucho- mieniu całego nagromadzonego dotąd zasobu środków arytme-tycznych, które znajdują dla siebie pokarm wśród problemów już dawniej postawionych.

Wyczerpuje się nasze bezpośrednie odczuwanie mate-matyki obecnej w zjawiskach. Jak pisze S . P. Z e r v o s, nie uczymy się od naszych braci mniejszych, odcinając się od nie- człowieczych źródeł metafizyki. Ale i nauki przyrodnicze prze- stały być hojne w problemy. To dzięki nim matematyka rozsze-rzała się o nowe pola badań, matematyzując nowe obszary. Nie zaspakaja tej potrzeby zmatematyzowana krańcowo fizyka, któ-rej problemy są najczęściej w t ó r n y m i problemami matema-tycznymi. Wgląd w mikroświat mógłby wzbogacić matematykę, ale tak nie jest. Dla jego penetracji fizycy wolą eksploatować dawno już rozwinięte metody matematyczne. Moglibyśmy wszakże uznać, że matematyka rozwinęła sie już w określonym kształcie i domaganie się stałego jej rozwoju ma postać obsesji. Dlaczego tak nam na matematyce zależy?

(37)

Zagadnienia F ilo zoficzne w N auc e | L VIII • 2015 Czy na twierdzeniach, które gdy zyskają dowód, czeka status szacownych przedmiotów kolekcji? Nie. Bo chodzi też o utrzy-manie napięcia myślowego, tego niepokoju, który towarzyszy pytaniu matematycznemu. Niepokój matematyczny – jego na-tężenie i jakość – jest tym, co daje nam poczucie żywotności myślowej. Obawiamy się też zejścia ku matematyczności czystej. Na- wet przy całkowitym braku nowych zadań, nasza myśl nie za-trzyma się. Poddana rytmowi pierwotnemu będzie rozwijać do wyczerpania nagromadzonych dotąd możliwości. Poznawa-nie świata, w którym matematyka dotąd uczestniczyła, zejdzie w niej na daleki plan. Wyobrażamy sobie stan graniczny, kiedy zostaniemy s a m n a s a m z e z b i o r e m i l i c z b ą, któ- rych związek ze światem zewnętrznym jest nieoczywisty. Od-czuwamy możliwość tej krańcowości. Myśli będą nie tylko myślały się same, ale będą nas zmuszały do gonitwy wraz z nimi bez obietnicy ich przeżywania. Potok myśli może być wtedy pełen prawd – przy tym absolutnych, bo koniecznych – nieznajdujących wszakże oparcia w doznaniach zmysłowych, przez co niemających nic więcej do powiedzenia poza tym, że są prawdami.

(38)

Bibliografia

Arystoteles, Fizyka. Bellow S., Herzog, tłum. K. Tarnowska, Czytelnik, Warszawa 1971. Biełyj A., Petersburg, tłum. S. Pollak, Czytelnik, Warszawa 1974. Dedekind R., Was sind und was sollen die Zahlen?, Braunschweig

1888.

Delgado J., Mozg i soznanije (przekład), Mir, Moskwa 1976.

Devlin K., Żegnaj Kartezjuszu, Rozstanie z logiką w poszukiwaniu

no-wej kosmologii

umysłu, tłum. B. Stanosz, Prószyński i Ska, War-szawa 1999.

Dębiec J., Mózg i matematyka, Biblos, Tarnów 2002.

Dimnet E., Sztuka myślenia, tłum. Z. Czerniewski, Biblioteka Wiedzy 22, Trzaska, Evert i Michalski, Warszawa 1936.

Frege G., Grundlagen der Arithmetik, Breslau 1884.

Hardy G.H., A Mathematician’s Apology, wydanie polskie, Prószyński i Ska, Warszawa 1997.

Klein F., Odczyty o matematyce, 1893, tłum. S. Dickstein, Wydaw. Red. Wiadomości Matematycznych, Warszawa 1899.

Mendelssohn M., O oczywistości w naukach metafizycznych, tłum. R. Kuliniak, T. Małyszek, Wyd. Uniwersytetu Wrocławskiego, Wrocław 1999.

Mikusiński J., O twierdzeniu Zorna, „Wiadomości Matematyczne” 1967, 9, s. 225–232.

Neumann J. von, The Mathematician, Works on the Mind, vol. I, no 1, University of Chicago Press, Chicago 1947, s. 180–196; The

Mathematician, Part 2 – przedruk March 2006.

Potocki J., Rękopis znaleziony w Saragossie (Dzień trzydziesty siódmy), tłum. E. Chojecki, Czytelnik, Warszawa 1976. Sziłow G.E. [Gieorgij Kaciweli], Matiematika i diejstwitielnost’, 1975. Tatarkiewicz W., Historia filozofii, I – III, PWN, Warszawa 2007. Tolle E., Potęga teraźniejszości, tłum. M. Kłobukowski, Galaktyka, Łódź 2010. Weyl H., Das Kontinuum, Leipzig 1918.

Wittenberg A.I., Vom Denken in Begriffen, Birkhäuser Verlag, Basel – Stuttgart 1957.

Zervos S.P., On the development of mathematical intuition, „Tensor” N. S. 26.