O pewnej własności wyznaczników symetrycznych typu przekątniowego

ROCZNIKI POLSKIEGO TOW ARZYSTW A MATEMATYCZNEGO SERIA I : PRACE MATEMATYCZNE V (1961)

M. W

(Wrocław)

O pewnej własności wyznaczników symetrycznych typu przekątniowego

W pracy niniejszej zajmuję się wyznacznikami

(1) Ат(ац •••> a j — - l®o'li i gdzie ot(-y s\+n

mającymi zastosowania w teorii funkcji analitycznych o części rzeczy­

wistej dodatniej i współczynnikach rzeczywistych w rozwinięciu na sze­

reg Maclaurina w kole jednostkowym ([!]).

T

. Wyróżnik W trójmianu kwadratowego A )tl(a1, a j względem am jest równy

-

L . i K , •••, Щи-i)-

D ow ód . Korzystając z metody podanej przez Muira ([2]) mogę przedstawić Am(ax, ..., a j w postaci

(2) A J a x, . .., a j = |pl7|?+1 • \qu\\% gdy m = 2 n j l , przy czym

( и^_у|+1 Ja2tl,+3_i_j dla j Ф- н A ,

Pij “ I Л1 •

1

\a\i-j\+i dla ] = n- f l , (li) a[i-j\-\ 1 ai+j l-l>

oraz

(3) A In (a x, . .., am) = 1 *iiI i-M i, gdy przy czym

ru = a\i-./|+1 Щп+2 — i— j ?

*u = aH-:/1 + 1 ai-\-j'

Istotnie, jeżeli w wyznaczniku (1), gdzie w = 2n-\-l, dodam kolumnę (2w4-l)-szą do pierwszej, 2n-tą do drugiej, ..., w końcu ( n j 2)-gą do R-tej i w wyznaczniku otrzymanym w ten sposób odejmę wiersz pierwszy od (2w-fl)-ego, drugi od 2w-tego, . .. , w końcu (2n-{-2)-gi od w-tego, otrzy­

mam, na podstawie uogólnionego twierdzenia Laplace’a, wzór (2).

Analogicznie otrzymuję (3) w przypadku m = 2n.

A tn{ai , . . . , a m) jest trój mianem kwadratowym względem am. Z po­

wyższego widać, że Am(a1, ..., am) da się przedstawić w postaci Am{a1, ..., am) = (Aam4 В )((Jam4-1) ), gdzie A , B, O, D są wielomianami współczynników a15 . .., am_ 1.

Obliczę wyróżnik W trój mianu

Щп) ~ (Anm-\-B){C<xm-\-D) —

— ACa%n-\- {ADJr BC)amĄ B D ) tzn.

W = -{A D + B C )* + 4ACBD = — {AD—BC)2.

Wyznaczę teraz А , В , C, D. Bozważę osobno dwa przypadki 1°

m = 2п-\-1, 2° m = 2n.

1° A jest podwyznacznikiem elementu {ax-\- a2n ;1) w pierwszym z w y­

znaczników wzoru (2), C jest podwyznacznikiem elementu a2n+1) w drugim z nich. В otrzymam przyjmując а2и+1 = 0 w pierwszym, D przyj­

mując a2n+l = 0 w drugim z wyznaczników wzoru (2).

Macierze wyznaczników A , B , C , D oznaczam odpowiednio przez А, В, C , D.

Biorę iloczyn

gdzie P = {an)ii an = an+1_i+i.

W wyznaczniku tym odejmuję kolumnę (2n—l)-szą od pierwszej, (2n —2)-gą od d ru giej,..., w końcu (w + l)-szą od {n—l)-szej. Kolumnę n-tą pozostawiam bez zmiany. Następnie dodaję wiersz pierwszy do (2w—l)-ego, drugi do (2n—2)-ego, ..., w końcu (?r—l)-szy do (n + l) ego.

Wiersz n-ty pozostawiam bez zmiany.

Iloczyn Al) jest teraz wyznacznikiem, którego 2n-ty wiersz jest równy

(1>2n ^ 2 « 3 ^ '2 ® 2 n

a pozostałe są identyczne z wierszami wyznacznika A 2.ft(ai, . .. , a2n).

AD można więc przedstawić jako różnicę wyznaczników, z których pierw­

szy jest równy A 2n(ax, ..., a2n), a drugi różni się od A2n ( % , . . . , a2n) tylko ostatnim wierszem, który jest tu równy

a2 a3 ... a2n 0.

Oznaczam ostatni wyznacznik przez A '2n. Zatem

^1D A -^1 271, • p ;

"d i’

Wyznaczniki symetryczne typu przekątniowego

Biorę iloczyn

- B C Ł < Ł

o c ’

gdzie Q jest macierzą prostokątną wymiaru (м + l) X

—1), Q = (a#),

( l .j . j

=

2 - i

W wyznaczniku tym odejmuję kolumnę 2м,-tą od drugiej, (2

—l)-szą od trzeciej, ..., w końcu (м-f 2)-gą od м-tej. Kolumny pierwszą i (m-ł-l)-Bzą pozostawiam bez zmiany. Następnie dodaję wiersz drugi od 2м,-tego, trzeci do

l)-ego, ..., w końcu м-ty do (w+2)-ego.

Iloczyn — BC jest teraz wyznacznikiem, którego pierwsza kolumna jest równa

ax -f- (i2n

~a4n 4“ a2 -

a pozostałe są identyczne z odpowiednimi kolumnami wyznacznika -A-2n (®1> •••J^2n.)'

—BC można więc przedstawić jako sumę wyznaczników, z których pierwszy jest równy A 2n(a1, ..., a2n), a drugi, jak łatwo zauważyć, A'2n.

Zatem

— ВС = A 2n-{-A2n, a stąd

W = - ( A D - B C ? = - [ ( A 2w- A ' J + (A2w+ A ; n)P - - 4 A 2 2n, co kończy dowód dla m = 2м +1.

2° Podobnie jak dla m — 2

+ 1 wyznaczam A , B , C , D . Macierze wyznaczników A, B , C , D oznaczam odpowiednio przez A , B , C, D.

Biorę iloczyn

gdzie P jest macierzą prostokątną wymiaru

—1) X n, P = ), — a n_i+j.

W wyznaczniku tym odejmuję kolumnę (2

—2)-gą od pierwszej, (2n — 3)-cią od drugiej, ..., w końcu м-tą od

l)-ej. Następnie dodaję wiersz pierwszy do (2м —2)-ego, drugi do (2

— 3)-ego,_ ..., w końcu

(m—

l)-szy do м-tego.

Iloczyn Al) jest teraz wyznacznikiem, którego wiersz (2

—l)-szy jest równy

t^2n — 1 ^2 a2n-2 ®2 n ^1?

a pozostałe są identyczne z wierszami wyznacznika A 2n_ l(al, ..., a2«-i)-

AD można więc przedstawić jako różnicę wyznaczników, z których pi szy jest równy -4

w—i ( ? • • • ? ^ 2 n—i)? a drugi różni się od A 2n_1(al1.,^ a l tylko ostatnim wierszem, który jest tu równy

a 2 —1 0 .

Oznaczam drugi wyznacznik przez ^

»-i

л ы - \ j ' •

Biorę iloczyn

- b \Q\

o c ’

Mam więc AT) — A 2ll _

gdzie jest macierzą prostokątną wymiaru n x (n —1), Q = (а,у),а^ =

^«.+ 1 — i+j'

W wyznaczniku tym odejmuję kolumnę ( 2 n - l ) - s z a od drugiej, ( 2 n — 2)-gą od trze c ie j,. . . , w końcu (w-f-l)-szą od w-tej. N a stęp n ie d od a ję wiersz drugi do (2n — l)-ego, trzeci do (2w — 2)-ego, w końou n -ty d o (w + l)-e g o . Iloczyn — Ж7 jest teraz wyznacznikiem, k tó reg o pierw sza kolumna jest równa

^2 “f* I

• ?

- ^ 2 n - l + a 2-

a pozostałe są identyczne z odpow iednim i kolum nam i wyznacznika

■^1 2tt — 1 ( ^ 1 J •••? a 2 « . - l ) -

—

BO m ożna więc przedstawić jak o sumę wyznaczników, z których pierwszy jest rów n y A 2п_ х (ax, . . . , a2n_ x), a drugi, jak łatw o zauważyć, А'гп-1- W ięc

— BC = A 2n_ 1 -t~A2n_ 1.

W końcu

W = - U I > - S C ) 2 = — [ ( ^ 2„ - i — A 2n_ 1) + (A 2n__1 + A 'n_j)]2 =

= — ^A\n_ x c. b. d. o. i1) Z powyższego oraz z twierdzenia Caratheodory’ego ([1]) wynika bez­

pośrednio następujący

W

. Niech liczby rzeczywiste c1, c 2, . . . , c p spełniają nierówności An+1(2, clf ся, ..., c j > 0 dla n = 1 , 2 , . . . , p.

Istnieje wtedy funkcja analityczna f (z) = 1 -f- axz4- a2z2-\~..., \zj <C 1, o współ­

czynnikach a±, a2, ... rzeczywistych i części rzeczywistej dodatniej wewnątrz

ł / > r t r \ T r n l s i /i łsw I r r t Ą?d> r t --- /> Я 1 п <11 --- “I Stn

Wyznaczniki symetryczne typu przekątniowego

D ow ód . Wystarczy wykazać, że istnieje ciąg liczb rzeczywistych ax, a2, ..., przy czym an = cn dla n = 1 , 2 , . . . , p, który spełnia nierów­

ności

(4) (2, ax, at, ..., an) > 0 dla w = 1 , 2 , . . .

Z założenia p liczb spełnia warunek (4). Przypuszczam, że wyznaczy­

łem już m liczb (m > p) spełniających warunek dla n = 1, 2, ..., m.

Pokażę, że można dobrać liczbę a„l+1 spełniającą wraz z liczbami ax, .. ,,am warunki (4) dla n = 1 , 2 , . . . , (m + 1).

Mamy

Am+ii2, ax, ..., am, x) = а(я?—ж1)(я?—я?а) .

Łatwo zauważyć, że a = —Am(2, ax, . . . , am_ x) < 0. Ponieważ W —

, Д- a? 2

= — lA mJil

^O, więc а?! Ф хг. Przyjmując am+1 — — - — , otrzymam -4.WM.2(2 , «„,,!) > 0 .

Prace cytowane

[1] C. C a r a t h e o d o r y , Eendiconti del Circolo di Matematico di Palermo 32 (1911), str. 193-217.

[2] T. M u ir, Quart. Jour, of Math. 18 (1881), str. 166-177.

M. Войтас (Вроцлав)

О Н ЕК О ТО РО М СВОЙСТВЕ С И М М ЕТ Р И Ч Н Ы Х О П Р Е Д Е Л И ТЕ Л Е Й ДИ АГО Н АЛ ЬН О ГО ТИ П А

РЕЗЮМЕ

Обозначим

а х

а>ц

«2 «1

а 2 • (hn

«з « 2

ах

dm—

dm ат—

dm—

ах

Целью статьи является доказательство следующего утверждения:

дискри­

минант W квадратного трёхчлена А т (ах, а2,

ат.) относительно а т равен

—

Am_i (а

а

Определители

Лт {ах,а.2, . . . , а т)

М. Wo j t a s (Wrocław)

ON A C E R T A IN P R O P E R T Y OP SYM M ET R IC D E T E R M IN A N T S

SUMMARY

Write

«1

« 2 « 1 ^{a - 2 • d m— i}

A m { a ,1, a 2 > • •• > Щ п ) — « 3 ^{a 2}

«1

а , ц a > m —1 <*m— 2 •. . ^{a i}

The object of the paper is the proof of the following theorem:

The discriminant W o f the trinomial o f the second degree A m

dm) with respect to am is equal to

— ($1, a2> ®m—1)‘

The determinants

A m(a\,

am)