które pozwolą na oszacowanie parametrów KMNK (ε – składnik losowy)

Ekonometria Lista 4 Z2ZF01

Lista zadań obejmuje następujące zagadnienia:

• NMNK: estymacja modeli nieliniowych

• Transformacja liniowa

1

Dokonać transformacji liniowej podanych modeli nieliniowych i podać odpowiednie podstawienia za zmienne i parametry:

a) bY = ab^X (wykładniczy) b) bY = aX^b (potęgowy)

c) bY = a ln(X) + b (logarytmiczny) d) bY = a/X + b (hiperboliczny I) e) bY = (aX + b)⁻¹ (hiperboliczny II) f) bY = X/(aX + b) (hiperboliczny III) g) bY = aX²+ bX + c (paraboliczny)

h) bY = ab^1/X (logarytmiczno-hiperboliczny)

i) bY = a0X₁^a1X₂^a2 (funkcja produkcji Cobba-Douglasa) j) bY = a sin(X + b) + c

k) bY = (X + a)^b

l) bY = (aX²+ bX)/(1 − cX) 2

Wykazać równoważność modeli:

a) bY = ab^X, Y = exp(ab ₀+ a₁X)

b) bY = aX/(X + b), Y = X/(ab ₁X + a₀)

Pokazać, w jaki sposób z parametrów a, b można uzyskać parametry a₀, a1. 3

Znaleźć transformacje następujących funkcji:

a) Y_t= exp α + β/√

Xt+ εt
, b) Y_t= Xt/ (αXt− β − X_tεt),

c) Y_t= exp (α + βX_t) / [exp (α + βX_t) − exp (ε_t)],

które pozwolą na oszacowanie parametrów KMNK (ε – składnik losowy).

4

Oszacować parametry modelu ekonometrycznego bY = ab^X. Obserwacje zmiennych zawiera tabela:

X 1 2 3 4 5

Y 4 7 10 25 40

1

Ekonometria Lista 4 Z2ZF01

5

Oszacować parametry modelu ekonometrycznego bY = a ln(X₁X₂) + b. Obserwacje zmiennych zawiera tabela (e – liczba Eulera):

Y X₁ X₂

2 e 1

3 e e

3 e² 1 4 e² e 6

Oszacować KMNK na podstawie 15 obserwacji model ˆy = a/(x²+ b), gdzie a, b to parametry, jeżeli wiadomo, że:

x² = 3.5, 1/y = 4.5, P15

i=1(1/y_i− 1/y)(x²_i − x²) = 48, P15

i=1(x²_i − x²)²= 49.

Zapisać oszacowany model nieliniowy.

7

Oszacowano za pomocą KMNK parametry strukturalne funkcji produkcji typu Cobba-Douglasa, otrzymując:

ln Ydt= 1.7 + 0.5 ln Kt+ 0.5 ln Zt.

Wiadomo, że Y_s = 5000, K_s = 1000, Z_s = 1500. O ile jednostek wzrośnie wielkość produkcji w okresie s + 1, jeżeli wartość kapitału K wzrośnie w tym samym okresie o 20 jednostek, ceteris paribus?

Nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów

Załóżmy, że funkcja g(x, α) jest nieliniowa względem parametrów, a model ˆy = g(x,α)b jest niesprowadzalny do postaci liniowej. Do estymacji wektora parametrów α można wówczas wykorzystać estymator nieliniowej metody najmniejszych kwadratów. W metodzie tej minimalizacji podlega suma kwadratów reszt:

f (a) =Pn

i=1[yi− g(x_i, a)]² → min.

Tak określona funkcja celu minimalizowana jest metodami numerycznymi, np. za pomocą algorytmu Newtona-Raphsona (algorytm ten jest oprogramowany np. pod postacią modułu Solver w MS Excel).

Stosując estymator NMNK zakłada się, że składnik losowy jest wprowadzony do modelu ad- dytywnie, tj. y = g(x, α) + ε. Modele nieliniowe sprowadzalne do postaci liniowej przez trans- formację liniową wymagają zwykle dodania składnika losowego w nieliniowej postaci modelu w sposób multiplikatywny — tak, by po transformacji składnik losowy w zlinearyzowanym modelu był ujęty addytywnie. Przykładem jest model z zadania 4. W modelu tym zakłada się implicite multiplikatywną obecność składnika losowego: Y = αβ^Xexp ε. Po obustronnym zlogarytmowaniu logarytmem naturalnym model jest liniowy względem parametrów i posiada addytywny składnik losowy: ln Y = ln α + X ln β + ε.

8

Wprowadzić do funkcji Y_t = α0X_t^α1exp(α2X_t⁻¹) składnik losowy w sposób addytywny oraz multiplikatywny. Dla każdego modelu zaproponować metodę estymacji.

2