Wykład1:Modelowanie-układyelektryczneimechaniczneGniewomirSarbicki Modelowanieiidentyfikacja

Modelowanie i identyfikacja

Wykład 1: Modelowanie - układy elektryczne i mechaniczne

Gniewomir Sarbicki

Rozważać będziemy obwody elektryczne zawierające elementy liniowe. Obwody mogą zawierać:

pojemności - napięcie na końcach jest proporcjonalne i przeciwne do różnicy ładunków na okładkach - całki z prądu ładującego

C

indukcyjności - napięcie na końcach jest proporcjonalne i przeciwne do pochodnej przepływającego prądu

L

oporności - napięcie na końcach jest proporcjonalne i przeciwne do przepływającego prądu

R

II prawo Kirchoffa

Suma sił elektromotorycznych i spadków napięć w obwodzie zamkniętym jest równa 0.

L R

C I(t)

−+ V (t)

V − L ˙I − RI − 1 C

Z

Idt = 0 (1)

1 L

R

1 C

1 s

1 s

+ + -

-

V (t)

I prawo Kirchoffa

Suma prądów wpływających do/wypływających z węzła jest równa 0.

L

R iL(t)

−+ V (t) C

iC(t)

( V − L ˙I_L− R(I_L− I_C) = 0

R(I_L− I_C) = _C^{1 R} Idt (2)

+

+ - + +

-

+ + -

1 L

R

1 CR 1

s

1 s

V (t)

Rozważać będziemy układy dynamiczne jednowymiarowe. Układy takie mogą składać się z:

mas

elementów sprężystych, siła działająca pomiędzy końcami elementu sprężystego jest proporcjonalna i przeciwna do zmiany jego długości.

elementów tłumiących, siła działająca pomiędzy końcami elementu tłumiącego jest proporcjonalna i przeciwna do różnicy ich prędkości.

Zmiennymi stanu w układzie mechanicznym są przemieszczenia w węzłach łączących elementy i ich pochodne.

Trzecia zasada dynamiki Newtona (zasada zachowania pędu)

Suma sił działających na masy w układzie (razem z siłami bezwładności) jest równa 0.

Układ izolowany

m₁ m₂

k

x₁ b x₂

m₁x¨₁+ k(x₁− x₂) + b( ˙x₁− ˙x₂) = 0 (3) m₂x¨₂+ k(x₂− x₁) + b( ˙x₂− ˙x₁) = 0 (4)

+

+ -

+

+

- +

+ +

−_m¹

2

k b

1 m1

1 s

1 s

1 s

1 s

Układ z siłą wymuszającą:

m k

b

F(t)

x1

m¨x = −kx − bx + F (t) (5)

1 s

1

s k

b

1

+ m

-

+ +

+

F +

Układ z wymuszeniem kinematycznym:

m k

b v0(t)

x₁ x₀

m¨x = −k(x − Z t

0

v₀dt) − b( ˙x − v₀) (6)

1 s

1 s 1

m

b

k +

-

- +

+

+

+

-

v₀ ¹

s

-

(https://www.mathworks.com/help/physmod/simscape/physical-modeling.html)

Rozważać będziemy układy dynamiczne jednowymiarowe. Układy takie mogą składać się z:

mas o momentach bezwładności:

elementów sprężystych, moment siły działający pomiędzy końcami elementu sprężystego jest proporcjonalny i przeciwny do kąta skręcenia elementu.

elementów tłumiących, moment siły działający pomiędzy końcami elementu tłumiącego jest proporcjonalny i przeciwny do różnicy ich prędkości kątowych.

Zmiennymi stanu w układzie mechanicznym są kąty obrotu węzłów łączących elementy i ich pochodne.

Trzecia zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego

Suma momentów działających na masy w układzie (razem z momentami sił bezwładności) jest równa 0.

M

φ1 φ2

I ¨φ₁+ k(φ₁− φ₂) = M (t) (7) k(φ₁− φ₂) − b( ˙φ₂) = 0 (8)

1 s

1 s

1 s 1

I

1 b

+ k

+ -

+

+

-

(https://www.mathworks.com/help/physmod/simscape/physical-modeling.html)

Układy elektryczne Układy. mechaniczne postępowe Układy mechaniczne obrotowe

Q ładunek x przesunięcie φ kąt obrotu

i prąd v prędkość ω prędkość kątowa

U napięcie F siła M moment siły

L indukcyjność m masa I moment bezwładności

R opór b współczynnik tłumienia

C⁻¹ pojemność⁻¹ k stała sprężystości

źródło prądowe wymuszenie kinetyczne

źródło napięciowe siła wymuszająca

transformator idealny dźwignia przekładnia

transformator

idealny sumujący dźwignia sumująca przekładnia planetarna

zamknięta pętla węzeł

węzeł zamknięta pętla

połączenie równoległe połączenie szeregowe

połączenie szeregowe połączenie równoległe

Cztery ostatnie wiersze - graf obwodu elektrycznego i równoważnego mechanicznego są do siebie dualne.

m2

m1

k₁ b₁ b₂

k₂

k3

b₃ F2

v₀







m₁x¨₁+ b₁x˙₁+ k₁x₁+ b₂( ˙x₁− ˙x₂) = 0

m₂x¨₂+ k₂x₂+ b₂( ˙x₂− ˙x₁) + k₃(x₂− x₃) = F₂ b3( ˙x3− v₀) + k₃(x₃− x₂) = 0

(9)

L₁

I₁ L₂ I₂

+−

U2

I₃

R₃

C2

C1

R₁ R₂ C₃ I₀







L1I˙1+ R₁I1+_C¹

1

RI1dt + R₂(I₁− I₂) = 0 L₂I˙₂+_C¹

2

R I₂dt + R₂(I₂− I₁) + _C¹

3

R(I₂− I₃)dt = 0 R3(I₃− I₀) +_C¹

3

R(I₃− I₂)dt = 0

(10)

Układ elektryczny równoważny układowi mechanicznemu ludzkiego ucha

(https://en.wikipedia.org/wiki/Impedance analogy)