Wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów

Wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów

Musimy znać wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów.

Tomasz Lechowski Batory 2LO 4 czerwca 2019 2 / 14

Wzory

sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α sin(α − β) = sin α cos β − sin β cos α cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β

Proste konsekwencje tych wzorów: sin(2α) = 2 sin α cos α

cos(2α) = cos²α − sin²α = 2 cos²α − 1 = 1 − 2 sin²α

Jeśli te konsekwencje nie są dla Was jednak proste, to proszę mi o tym powiedzieć na lekcji - wyjaśnimy.

Wzory

sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α sin(α − β) = sin α cos β − sin β cos α cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β

Proste konsekwencje tych wzorów:

sin(2α) = 2 sin α cos α

cos(2α) = cos²α − sin²α = 2 cos²α − 1 = 1 − 2 sin²α

Jeśli te konsekwencje nie są dla Was jednak proste, to proszę mi o tym powiedzieć na lekcji - wyjaśnimy.

Tomasz Lechowski Batory 2LO 4 czerwca 2019 3 / 14

Wzory

sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α sin(α − β) = sin α cos β − sin β cos α cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β

Proste konsekwencje tych wzorów:

sin(2α) = 2 sin α cos α

cos(2α) = cos²α − sin²α = 2 cos²α − 1 = 1 − 2 sin²α

Jeśli te konsekwencje nie są dla Was jednak proste, to proszę mi o tym powiedzieć na lekcji - wyjaśnimy.

Wzory

Udowodnimy jeden ze wspomnianych wzorów. Pozostałe można będzie już łatwo wyprowadzić przez odpowiednie podstawienia.

Udowodnimy: cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β

Tomasz Lechowski Batory 2LO 4 czerwca 2019 4 / 14

Wzory

Udowodnimy jeden ze wspomnianych wzorów. Pozostałe można będzie już łatwo wyprowadzić przez odpowiednie podstawienia. Udowodnimy:

cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β

Dowód

Oznaczmy na okręgu jednostkowym kąt α + β.

Wtedy cos(α + β) to współrzędna x punktu P_α+β. Obliczymy długość odcinka P0Pα+β.

Tomasz Lechowski Batory 2LO 4 czerwca 2019 5 / 14

Dowód

Oznaczmy na okręgu jednostkowym kąt α + β.

Wtedy cos(α + β) to współrzędna x punktu P_α+β. Obliczymy długość odcinka P0Pα+β.

Dowód

Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa:

|P₀P_α+β|² = (1 − cos(α + β))²+ sin²(α + β)

Otrzymujemy:

|P₀P_α+β|² = 1 − 2 cos(α + β) + cos²(α + β) + sin²(α + β) = 2 − 2 cos(α + β)

Tomasz Lechowski Batory 2LO 4 czerwca 2019 6 / 14

Dowód

Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa:

|P₀P_α+β|² = (1 − cos(α + β))²+ sin²(α + β) Otrzymujemy:

|P₀P_α+β|² = 1 − 2 cos(α + β) + cos²(α + β) + sin²(α + β) = 2 − 2 cos(α + β)

Dowód

Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa:

|P₀P_α+β|² = (1 − cos(α + β))²+ sin²(α + β) Otrzymujemy:

|P₀P_α+β|² = 1 − 2 cos(α + β) + cos²(α + β) + sin²(α + β) = 2 − 2 cos(α + β)

Tomasz Lechowski Batory 2LO 4 czerwca 2019 6 / 14

Dowód

Obróćmy teraz nieco nasz trójkąt:

Oczywiście trójkąt się nie zmienił, więc czerwony odcinek ma tę samą długość, czyli

|P₀Pα+β| = |P−αPβ|

Dowód

Obróćmy teraz nieco nasz trójkąt:

Oczywiście trójkąt się nie zmienił, więc czerwony odcinek ma tę samą długość, czyli

|P₀Pα+β| = |P−αPβ|

Tomasz Lechowski Batory 2LO 4 czerwca 2019 7 / 14

Dowód

Obliczmy |P−αP_β|².

|P_−αPβ|² = (cos β − cos(−α))²+ (sin(−α) − sin β)² Otrzymujemy:

|P_−αP_β|²= cos²β − 2 cos β cos(−α) + cos²(−α)+ + sin²(−α) − 2 sin(−α) sin β) + sin²β =

=2 − 2 cos β cos α + 2 sin β sin α

Dowód

Obliczmy |P−αP_β|².

|P_−αPβ|² = (cos β − cos(−α))²+ (sin(−α) − sin β)²

Otrzymujemy:

|P_−αP_β|²= cos²β − 2 cos β cos(−α) + cos²(−α)+ + sin²(−α) − 2 sin(−α) sin β) + sin²β =

=2 − 2 cos β cos α + 2 sin β sin α

Tomasz Lechowski Batory 2LO 4 czerwca 2019 8 / 14

Dowód

Obliczmy |P−αP_β|².

|P_−αPβ|² = (cos β − cos(−α))²+ (sin(−α) − sin β)² Otrzymujemy:

|P_−αP_β|²= cos²β − 2 cos β cos(−α) + cos²(−α)+

+ sin²(−α) − 2 sin(−α) sin β) + sin²β =

=2 − 2 cos β cos α + 2 sin β sin α

Dowód

Otrzymaliśmy ostatecznie:

2 − 2 cos(α + β) = 2 − 2 cos β cos α + 2 sin β sin α

Czyli:

cos(α + β) = cos β cos α − sin β sin α

Tomasz Lechowski Batory 2LO 4 czerwca 2019 9 / 14

Dowód

Otrzymaliśmy ostatecznie:

2 − 2 cos(α + β) = 2 − 2 cos β cos α + 2 sin β sin α Czyli:

cos(α + β) = cos β cos α − sin β sin α

Podsumowanie

W kilku miejscach tego dowodu zastosowane zostały dosyć szybkie przejścia. Ambitniejsze osoby proszę, by spróbowały dokładnie zrozumieć ten dowód, a w razie wątpliwości wyjaśnimy je na zajęciach.

Tomasz Lechowski Batory 2LO 4 czerwca 2019 10 / 14

Zastosowanie

Obliczmy sin 105^◦.

sin(105^◦) = sin(45^◦+ 60^◦) =

= sin 45^◦cos 60^◦+ sin 60^◦cos 45^◦=

=

√2 2 ×1

2 +

√3 2 ×

√2 2 =

=

√2 +√ 6 4

Zastosowanie

Obliczmy sin 105^◦.

sin(105^◦) = sin(45^◦+ 60^◦) =

= sin 45^◦cos 60^◦+ sin 60^◦cos 45^◦=

=

√2 2 ×1

2 +

√3 2 ×

√2 2 =

=

√2 +√ 6 4

Tomasz Lechowski Batory 2LO 4 czerwca 2019 11 / 14

Zastosowanie

Obliczmy cos₁₂^π.

cos π

12 = cos(π 3 −π

4) =

= cosπ 3cosπ

4 + sinπ 3 sinπ

4 =

=1 2×

√2 2 +

√3 2 ×

√2 2 =

=

√2 +√ 6 4 Wynik ten był do przewidzenia, gdyż:

sin 105^◦= sin7π

12 = sin(π 2 + π

12) = cos π 12

Zastosowanie

Obliczmy cos₁₂^π.

cos π

12 = cos(π 3 −π

4) =

= cosπ 3cosπ

4 + sinπ 3 sinπ

4 =

=1 2×

√2 2 +

√3 2 ×

√2 2 =

=

√2 +√ 6 4

Wynik ten był do przewidzenia, gdyż: sin 105^◦= sin7π

12 = sin(π 2 + π

12) = cos π 12

Tomasz Lechowski Batory 2LO 4 czerwca 2019 12 / 14

Zastosowanie

Obliczmy cos₁₂^π.

cos π

12 = cos(π 3 −π

4) =

= cosπ 3cosπ

4 + sinπ 3 sinπ

4 =

=1 2×

√2 2 +

√3 2 ×

√2 2 =

=

√2 +√ 6 4 Wynik ten był do przewidzenia, gdyż:

sin 105^◦= sin7π

12 = sin(π 2 + π

12) = cos π 12

W razie jakichkolwiek pytań, proszę pisać na T.J.Lechowski@gmail.com.

Tomasz Lechowski Batory 2LO 4 czerwca 2019 13 / 14