Kwadrat sumy i różnicy - wzory skróconego mnożenia
1. Cele lekcji
a) Wiadomości Uczeń zna:• zasady redukcji wyrazów podobnych,
• sposób mnożenia sum algebraicznych,
• wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy,
• wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.
b) Umiejętności Uczeń potrafi:
• wskazać wyrazy podobne,
• wykonać redukcję wyrazów podobnych,
• wykonać mnożenie sum algebraicznych
• zastosować wzory skróconego mnożenia na kwadrat sumy i kwadrat różnicy.
2. Metoda i forma pracy
Ćwiczenie, praca z całą klasą, praca indywidualna.
3. Środki dydaktyczne
Durydiwka S., Łęski S., Od Pitagorasa do Euklidesa, podręcznik do matematyki dla kl. 2 gimnazjum, ADAM, Warszawa 2000.
4. Przebieg lekcji
a) Faza przygotowawcza
1. Nauczyciel prosi, aby uczniowie przypomnieli, jak mnożymy sumy algebraiczne. Na tablicy zapisany jest iloczyn:
(
2x+3) (
⋅ 5x+4)
=2. Wskazany uczeń wykonuje obliczenia, pozostali słuchają. Poza sposobem mnożenia sum algebraicznych uczeń przypomina także:
• co to są wyrazy podobne,
• na czym polega redukcja wyrazów podobnych.
b) Faza realizacyjna
1. Nauczyciel zapisuje na tablicy kolejny iloczyn:
(
x+3) (
⋅ x+3)
=Uczniowie zauważają, że jest to iloczyn tych samych czynników, zatem można go zapisać:
( x + 3 )2 =
(
x+3) (
⋅ x+3)
=2. Wskazany uczeń wykonuje mnożenie na tablicy.
(
x+3) (
⋅ x+3)
= x2 +3x+3x+32 = x2 +6x+9Zatem otrzymaliśmy równość:
( x + 3 )2 = x2 + 6x + 9
3. Uczniowie zapisują temat lekcji oraz w podobny sposób wykonują obliczenia jeszcze kilku przykładów (podręcznik - zad.4.1.a str.64).
4. Uczniowie zauważają prawidłowość, że potęgowanie sumy algebraicznej można wykonać z pominięciem mnożenia i redukcji wyrazów podobnych.
Uogólniają spostrzeżenia zapisując wzór:
( a + b )2 = a2 +2ab + b2 lub jeszcze ogólniej:
5. Uczniowie zapisują w zeszycie wzory symbolicznie oraz słownie:
6. Uczniowie wykonują podpunkt b zad.4.1.str.64 stosując poznany wzór skróconego mnożenia.
7. Nauczyciel zapisuje na tablicy następny iloczyn:
(
2y−4) (
⋅ 2y−4)
=Uczniowie ponownie zauważają, że jest to iloczyn tych samych czynników, zatem można go zapisać:
( 2y – 4 )2 =
(
2y−4) (
⋅ 2y−4)
=8. Wskazany uczeń wykonuje mnożenie na tablicy.
(
2y−4) (
⋅ 2y−4) ( )
= 2y 2 −8y−8y+42 =4y2 −16y+16Zatem otrzymaliśmy równość:
( 2y - 4 )2 = 4y2 – 16y + 16
9. Uczniowie wykonując mnożenie obliczają przykłady z podręcznika - zad.4.2.a str.65.
10. Uczniowie zauważają prawidłowość, że potęgowanie różnicy algebraicznej można wykonać z pominięciem mnożenia i redukcji wyrazów podobnych.
Uogólniając spostrzeżenia uczniowie zapisując wzór:
( a - b )2 = a2 -2ab + b2 lub jeszcze ogólniej:
( + ) 2 = 2 +2 + 2
( – ) 2 = 2 – 2 + 2
Kwadrat sumy dwóch dowolnych wyrażeń jest równy kwadratowi pierwszego wyrażenia, plus podwojony iloczyn pierwszego wyrażenia przez drugie, plus kwadrat drugiego wyrażenia.
11. Uczniowie zapisują w zeszycie wzory symbolicznie oraz słownie:
12. Uczniowie wykonują podpunkt b zad.4.2.str.65 stosując powyższy wzór skróconego mnożenia.
c) Faza podsumowująca
1. Powtórzenie materiału dotyczącego wzorów skróconego mnożenia.
2. Nauczyciel zadaje zadanie domowe.
5. Bibliografia
Durydiwka S., Łęski S., Od Pitagorasa do Euklidesa, podręcznik do matematyki dla kl. 2 gimnazjum, ADAM, Warszawa 2000.
6. Załączniki
a) Zadanie domowe Podręcznik:
• zad.4.1.c str.64 – podnieś do kwadratu sumy,
• zad.4.2.c str.65 – podnieś do kwadratu różnice.
7. Czas trwania lekcji
45 minut
8. Uwagi do scenariusza
Zad.4.1.a oraz 4.2.a – uczniowie rozwiązują samodzielnie, a następnie poszczególni czytają efekty końcowe swojej pracy.
Zad.4.1.b oraz 4.2.b – wskazani uczniowie rozwiązują kolejne przykłady na tablicy, pozostali w zeszytach.
Kwadrat różnicy dwóch dowolnych wyrażeń jest równy kwadratowi pierwszego wyrażenia, minus podwojony iloczyn pierwszego
wyrażenia przez drugie, plus kwadrat drugiego wyrażenia.
