Part I Wst˛ep

(1)

Astronomia sferyczna

Wykład 6: POMIARY REKTASCENSJI I DEKLINACJI Astrometria absolutna

Tadeusz Jan Jopek

Instytut Obserwatorium Astronomiczne, UAM

Semestr II

(Uaktualniono 2015.04.07)

Obserwacje astrometryczne

Part I

Wst ˛ep

1 Obserwacje astrometryczne Pocz ˛atki obserwacji pozycyjnych Instrumenty historyczne i współczesne

Zainteresowanie człowieka astronomi ˛a si ˛ega trwa od ponad 6000 lat.

Na tej sumeryjskiej ilustracji oprócz innych szczegółów widzimy równie˙z wizerunek ciał niebieskich.

Pierwsi staro˙zytni astronomowie poło˙zenia ciał niebieskich wyznaczali za pomoc ˛a obserwacji heliakalnych.

Obserwowane obiekty znajdowały si ˛e wówczas w pobli˙zu horyzontu.

Hipparchos z Nikei (190 PC - 120 PC).

Przypisuje mu si ˛e konstrukcj ˛e pierwszych instrumentów astronomicznych (astrolabium, kwadrant).

W jego epoce, precyzja obserwacji pozycyjnych wynosiła ok. 1200”

sekund łuku.

Europejska astrometria okiem nieuzbrojonym

Tycho Brahe (1546–1601) Wyznaczył poło˙zenia ok. 1000 gwiazd. Precyzja obserwacji 15-35”.

Europejska astrometria okiem nieuzbrojonym

Jan Heweliusz (1611–1687) Opracował katalog 1564 gwiazd.

Precyzja obserwacji 10-20”.

(2)

Narodziny astrometrii południkowej

Ole Romer (1644–1710) Był pionierem współczesnych instrumentów przej´sciowych, które zdominowały astronomi ˛e pozycyjn ˛a na wiele lat.

Koło południkowe w obserwatorium Babelsgerg (Pocztam-Berlin)

Koło południkowe NAO w Mitaka, Japonia

Pawilon instrumentu przej´sciowego

Carlsberg meridian circle

Roque de Los Muchachos Observatory: [http://www.ast.cam.ac.uk/~dwe/SRF/camc.html]

Teleskop zenitalny (Obserwatorium Campidoglio, Rzym)

Astrolabia Danjone

Koło południkowe Redukcja obserwacji

Part II

Klasyczne narz ˛edzia przej´sciowe

(3)

2 Koło południkowe

Monta˙z koła południkowego Zasada obserwacji

3 Redukcja obserwacji

Bł ˛edy koła południkowego i ich usuwanie Usuwanie bł ˛edów instrumentalnych

Instrument przej´sciowy

Keplerowska luneta umocowana jest prostopadle, na sztywno do poziomej ruchomej osi osadzonej na ło˙zyskach.

Ruch osi umo˙zliwia zmiany nachylenia lunety w płaszczy´znie jednego wertykału. Monta˙z instrumentu jest monta˙zem typu horyzontalnego bez osi azymutalnej.

O´s poziom ˛a zwykle ustawia si ˛e wzdłu˙z linii wschód-zachód, co pozwala na obserwacje przej´s´c ciał niebieskich przez południk miejscowy.

Koło południkowe: zasada obserwacji (1)

δ h φ

0 1

S E

N

W

P Z

φ

G

G Z

A B

δ W

O´s pozioma lunety usytuowana jest wzdłu˙z linii wschód-zachód, luneta mo˙ze porusza´c si ˛e w płaszczy´znie południka miejscowego PZS.

Lunet ˛e nastawia si ˛e tak by obserwowany obiekt G znalazł si ˛e w polu widzenia okularu lunety.

Pomiar momentu czasu T przej´scia obiektu przez południk daje rektascensj ˛e α obiektu, która jest równa momentowi T wyra˙zonemu w skali czasu gwiazdowego.

Odczyt koła wysoko´sci h, przy znanej szeroko´sci φ pozwala na

wyznaczenie deklinacji δ obiektu.

G Z

A B

δ

W

Obraz gwiazdy przemieszcza si ˛e wzdłu˙z nitki poziomej, nitka rozdwaja obraz gwiazdy co gwarantuje precyzyjny pomiar wysoko´sci obiektu.

W wyniku ruchu dobowego gwiazda przecina nitki pionowe.

Rejestrowany jest moment czasu przej´scia przez ka˙zd ˛a nitk˛e pionow ˛a.

Warto´s´c ´srednia momentów przej´scia brana jest jako moment przej´scia gwiazdy przez południk miejsca obserwacji.

Narz ˛edzie południkowe z Obserwatorium w Besancon (Fr)

Obserwacja pozycyjna za pomoc ˛a koła południkowego sprowadza si ˛e do rejestracji momentów przej´s´c gwiazdy przez układ pionowych nitek okularu lunety (tzw. metoda oka i ucha) oraz do odczytu koła wysoko´sci instrumentu.

Wielko´sci obserwowane za pomoc ˛a koła południkowego W wyniku obserwacji mamy czas gwiazdowy T przej´scia obiektu przez nitk˛e ´sredni ˛a. Uzyskany z u´srednienia odczytów zegara

obserwatoryjnego.

Warto´sci T odpowiada poprawka zegara ∆T wyznaczona poprzez porównanie zegara z radiowymi sygnałami czasu UT. Poprawk˛e uzyskamy porównuj ˛ac miejscowy czas gwiazdowy CGMobliczony w oparciu o czas gwiazdowy w Greenwich CG, z czasem wskazywanym przez zegar obserwacyjny:

∆T = T − CGM=T − CG+ λ

λto długo´s´c geograficzna miejsca obserwacji, znana a priori na moment obserwacji, która niestety nie jest znana z wystarczaj ˛ac ˛a dokładno´sci ˛a.

W wyniku obserwacji znamy tak˙ze wysoko´s´c h obiektu na moment T co przy znajomo´sci szerok´sci stacji φ oraz poprawki d koła podziałowego wysoko´sci daje deklinacj ˛e obiektu.

Zatem do dyspozycji mamy obserwowane α⁰, δ⁰obiektu

α⁰=T + ∆T ; δ⁰= (h + φ − 90^◦) +d = D + d (1)

Bł ˛edy monta˙zu i konstrukcji koła południkowego

000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111

0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 0000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111111111111111111111111

c Os optyczna lunety nie jest prostopadla do osi instrumentu.

Os nie jest równolegla do horyzontu i nie lezy wzdluz linii wschód zachód.

Blad kolimacji

Blad ustawienia montazu

Orientacja osi wysoko´sciowej koła południkowego

P Z

Horyzont

Rownik W a m 90−n 90−b a)

N S

b)

90−m 90+a

W’

90−b 90−φ

W’ 90−n

O´s instrumentu nie le˙zy na linii E-W. Jej przedłu˙zenie przebija sfer ˛e w punkcie W⁰. Niewła´sciw ˛a orientacj ˛e osi okre´slaj ˛a małe k ˛aty a, b lub w układzie równikowym m, n. W przybli˙zeniu małych k ˛atów mamy

m = a sin φ + b cos φ

n = b sin φ − acosφ (2)

(4)

Usuwanie wpływ bł ˛edu kolimacji i ustawienia monta˙zu w α⁰, δ⁰(1)

90−δ’

90−

δ

90−δ’

90−

δ

W E

P

Z

W’

X 90+c

τ

S horyzont rownik a)

m 90−n

b)

W’

P

90−n

O X

90 c

90−m+τ

Przej´scie gwiazdy X przez nitk˛e ´sredni ˛a nastapiło o τ za wcze´snie. Z wzoru cosinusów dla boku 90^◦+c, w przybli˙zeniu małych k ˛atów interwał τ wynosi τ = α − α⁰=m + n tan δ + c sec δ (3) Jest to formuła Bessel’a, stosujemy j ˛a dla kulminacji górnych gwiazd.

Poniewa˙z δ ≈ δ⁰mo˙zemy w tym wzorze za δ podstawi´c δ⁰.

90−δ’

90−

δ

90−δ’

90−

δ

W E

P

Z

W’

X 90+c

τ

S horyzont rownik a)

m 90−n

b)

W’

P

90−n

O X

90 c

90−m+τ

Ró˙znic ˛e δ − δ⁰uzyskuje si ˛e w nieco bardziej zawiły sposób. W trójk ˛acie W⁰PX z wzoru cosinusów mamy

sin δ = − sin n sin c + cos n cos c sin δ⁰ Podstawiamy δ = δ⁰+ ∆,

sin(δ⁰+ ∆) =sin δ⁰cos ∆ + cos δ⁰sin ∆ = − sin n sin c + cos n cos c sin δ⁰

sin(δ⁰+ ∆) =sin δ⁰cos ∆ + cos δ⁰sin ∆ = − sin n sin c + cos n cos c sin δ⁰ Rozwijamy funkcje trygonometryczne z k ˛atami n i c w szeregi pot ˛egowe, bior ˛ac jedynie po dwa pierwsze wyrazy

sin δ⁰cos ∆ + cos δ⁰sin ∆ =

= −

n −1

6n³

c −1

6c³

+

1 −1

2n²

1 −1

2c²

sin δ⁰ odrzucaj ˛ac wyrazy rz ˛edu wy˙zszego ni˙z drugi ze wzgl ˛edu na n i c, otrzymamy

sin δ⁰cos ∆ + cos δ⁰sin ∆ = −nc + sin δ⁰−1

2(n²+c²)sin δ⁰ a po podzieleniu stronami przez sin δ⁰b ˛edzie

cos ∆ + cot δ⁰sin ∆ =−nc sin δ⁰+1 −1

2(n²+c²)

Gdy ∆ = δ − δ⁰jest dostatecznie małe to 1 + ∆ cot δ⁰ = −nc

sin δ⁰+1 −1 2(n²+c²)

∆ = − nc

cos δ⁰−1

2(n²+c²)tan δ⁰ δ⁰− δ = 0.5 (n²+c²)tan δ⁰+nc sec δ⁰ Poniewa˙z w rozwini ˛eciu u˙zywano radianów, przej´scie do jednostek praktycznych wymaga wprowadzenia dodatkowych czynników

δ⁰− δ = 225⁰⁰sin 1⁰⁰[0.5 (n²+c²)tan δ⁰+nc sec δ⁰] (4) Równania (3), (4) wyprowadzono dla normalnych przej´s´c gwiazd przez południk. S ˛a one wa˙zne tak˙ze dla górnych kulminacji gwiazd okołopolarnych.

Jednak dla kulminacji dolnych trzeba wprowadzi´c pewne modyfikacje.

Odpowiedni wzór Bessel’a ma wtedy posta´c

τ = α − α⁰=m − n tan δ − c sec δ (5) Tutaj α⁰musi by´c traktowana jako miejscowy czas gwiazdowy plus 12 godzin

Usuwanie wpływ bł ˛edu kolimacji i ustawienia monta˙zu (5)

Równania (3), (4) pozwalaj ˛a na uwolnienie obserwowanych warto´sci rektascensji i deklinacji z podstawowych bł ˛edów instrumentalnych o ile bł ˛edy te s ˛a znane.

Wyznaczenie bł ˛edów koła południkowego wymaga obserwacji gwiazd. Poniewa˙z bardzo po˙z ˛adan ˛a jest ci ˛agła kalibracja instrumentu dlatego wyznaczanie tych bł ˛edów, zaleca si ˛e wprowadzi´c jako integraln ˛a cz ˛e´s´c programu obserwacji gwiazd.

Redukcja na miejsce widome Ruch ziemskich biegunów

Part III

Miejsce widome i ruch ziemskich biegunów

4 Redukcja na miejsce widome Miejsce widome

5 Ruch ziemskich biegunów Ruch biegunów

Wpływ ruchu biegunów na poprawki koła południkowego

Redukcja na miejsce widome (1)

Warto´sci obserwowane współrz ˛ednych równikowych ciał niebieskich, poprawione na bł ˛edy instrumentalne stanowi ˛a fundamentalne warto´sci rektascensji i deklinacji.

Normaln ˛a praktyk ˛a jest dalsza redukcja obserwacji do poło˙ze ´n widomych, co wymaga to wprowadzenia poprawek na refrakcj ˛e, aberracj ˛e dobow ˛a i paralaks ˛e geocentryczn ˛a.

W przypadku obserwacji południkowych wyra˙zenia na te poprawki daj ˛a si ˛e wyra´znie upro´sci´c. Np. kład ˛ac w formułach na aberracj ˛e dobow ˛a

d α = α⁰− α = (ρω cos φ⁰/c) sec δ cos t d δ = δ⁰− δ = (ρω cos φ⁰/c) sin δ sin t

k ˛at godzinny t = 0, ω = 2π/doba gwiazdowa, ρ = a — ´sredni promie ´n równikowy Ziemi, wpływ aberracji na współrz ˛edne równikowe wyrazi si ˛e nast ˛epuj ˛aco

d α = 0.^s0213 cos φ sec δ

d δ = 0. (6)

(5)

Aberracja w rektascensji ma posta´c podobn ˛a do poprawki z powodu kolimacji instrumentu w formule Bessel’a — oba efekty s ˛a proporcjonalne do sec δ.

Mo˙zna zatem poł ˛aczy´c je obie w jedn ˛a poprzez podstawienie

c^∗=c − 0.^s0213 cos φ (7)

Poprawka z tytułu refrakcji atmosferycznej ma zwykle najwi ˛eksz ˛a warto´s´c.

Refrakcja zmniejsza odległo´s´c zenitaln ˛a pozostawiaj ˛ac bez zmian azymut.

Zatem, skoro południk obserwatora jest jednocze´snie kołem wertykalnym, refrakcja zmieniaj ˛ac deklinacj ˛e nie zmienia momentu czasu przej´scia przez południk. Wyznaczony np. z tablic refrakcji, k ˛at refrakcji R trzeba zatem odj ˛a´c od zmierzonej warto´sci deklinacji. Dla kulminacji pomi ˛edzy biegunem i zenitem nale˙zy zmieni´c znak poprawki.

Paralaksa geocentryczna, jest w przypadku obserwacji gwiazd zawsze do pomini ˛ecia.

Wszystkie poprawki mo˙zna wł ˛aczy´c do równa ´n obserwacyjnych koła południkowego.

Niech (α⁰, δ⁰)b ˛ed ˛a współrz ˛ednymi obserwowanymi poprawionymi na bł ˛edy czasu i odczytu koła podziałowego; niech (α, δ) oznaczaj ˛a współrz ˛edne widome gwiazdy, wówczas z dokładno´sci ˛a do małych rz ˛edu drugiego

α = α⁰+m + n tan δ⁰+c^∗sec δ⁰

δ = δ⁰− R (8)

Równania te mo˙zna udokładni´c wł ˛aczaj ˛ac człony drugiego rz ˛edu.

Dla obiektów z Układu Słonecznego mo˙ze si ˛e okaza´c koniecznym wł ˛aczenie paralaksy geocentrycznej. W warunkach obserwacji południkowych poprawka paralaktyczna w rektascensji wynosi zero, natomiast obserwowan ˛a deklinacj ˛e trzeba powi ˛ekszy´c o

∆δ =ρ r sin (φ⁰− δ)

gdzie ρ — geocentryczna odległo´sć obserwatora, r — geocentryczna odległo´sć obiektu, φ⁰— geocentryczna szeroko´sć obserwatora. Znak poprawki zmieniamy je´sli obserwowana kulminacja gwiazdy wypadła mi ˛edzy biegunem i zenitem.

Precesyjny ruch biegunów niebieskich

Precesyjny ruch biegunów to zjawisko wywołane wpływem czynników zewn ˛etrznych na wiruj ˛ac ˛a spłaszczon ˛a Ziemi ˛e.

Ruch ziemskich biegunów

Czynniki wewn ˛etrzne jak elastyczno´s´c ziemskiej bryły, zmienno´s´c rozkładu mas we wn ˛etrzu Ziemi ... indukuj ˛a dodatkowe zmiany poło˙zenia osi obrotu Ziemi wzgl ˛edem jej powierzchni. Zjawisko to nosi miano ruchu ziemskich biegunów.

Ruch ziemskich biegunów

Ruch biegunów po powierzchni Ziemi nie wpływa na poło˙zenie biegunów ´swiata, zatem nie powoduje zmian rektascensji i deklinacji gwiazd.

Wpływa jednak na proces redukcji obserwacji wykonanych za pomoc ˛a instrumentów przej´sciowych. Jest tak gdy˙z monta˙z teleskopu ustawiony jest wzgl ˛edem powierzchni Ziemi, a to oznacza, ˙ze na skutek ruchu skorupy ziemkiej cały zbiór gwiazd jest przesuwany wzgl ˛edem instrumentu.

W rezultacie, z powodu ruchu biegunów zmieniaj ˛a si ˛e niektóre stałe instrumentalne narz ˛edzia.

Ruch ziemskich biegunów, przyczyny (1)

Kształt Ziemi mo˙zemy przybli˙zy´c za pomoc ˛a elipsoidy obrotowej (elipsoida figury).

Osie tej elipsoidy niemal pokrywaja si ˛e z kierunkami osi ziemskiej elipsoidy momentów bezwładno´sci. Kierunki A,B,C.

Wzgl ˛edem osi C Ziemia posiada najwi ˛ekszy moment bezwładno´sci.

Bryły bardzo ch ˛etnie wiruj ˛a wokół osi zgodnych z kierunkami osi ich maksymalnego momentu bezwładno´sci.

Jednak o´s ruchu wirowego Ziemi nie pokrywa si ˛e z kierunkiem osi C jej najwi ˛ekszego momentu bezwładno´sci.

Ta drobna w rzeczywisto´sci niezgodno´s´c o k ˛at αpowoduje przemieszczenia rotacyjnego bieguna po powierzchni Ziemi.

Energia rotacji Ziemi jest nieco wi ˛eksza ni˙z byłoby to konieczne w przypadku rotacji wokół kierunku osi C. Nadwy˙zka energii jest proporcjonalna do α.

Wynikaj ˛aca st ˛ad para sił (moment skr ˛ecaj ˛acy) usiłuje ustawi´c o´s rotacji Ziemi tak by pokryła si ˛e z osi ˛a C. W efekcie mamy zło˙zony ruch bieguna rotacyjnego wokół bieguna figury Ziemi.

Konsekwencj ˛a tego zjawiska s ˛a zmiany współrz ˛ednych geograficznych punktów na powierzchni Ziemi.

Gdyby Ziemia była swobodnie wiruj ˛ac ˛a brył ˛a sztywn ˛a, odchylenie bieguna rotacji od osi figury Ziemi spowodowałoby jednostajny ruch kołowy bieguna chwilowego P wokół bieguna figury P0z okresem 305 dniowym.

Ze wzgl ˛edu na plastyczno´s´c Ziemi okres ten uległ silnemu wydłu˙zeniu (okres 428 dniowy (Chandlerowski) jest zmodyfikowanym okresem swobodnego ruchu wirowego Ziemi).

Składowa roczna ruchu biegunów, jest składow ˛a wymuszon ˛a narzucon ˛a przez ulegaj ˛ace ci ˛agłej zmianie warunki geofizyczne.

(6)

Biegun chwilowy P i biegun figury P0

E

γ

λ=0 P 180+Γ

S x

N Γ λ₀=0

P₀

W y

1961.0 1962.01961.5 1960.5

1959.0 1958.0

1958.5

1962.5 1960.0 1959.5 1963.0

+x−0.1’’−0.2’’

0.1’’

0.2’’

0.3’’

0.4’’

0.3’’

0.2’’

0.1’’

+y

−0.1’’

−0.2’’

Punkt P oznaczachwilowy biegunrotacji, P0jest jego ´srednim poło˙zeniem nazywanym niezbyt trafniebiegunem ziemskiej figury. Biegun figury jest stałym punktem na powierzchni Ziemi. Amplituda przemieszczenia γ punktu P wzgl ˛edem P0wynosi około 0.⁰⁰5, co na powierzchni Ziemi odpowiada odległo´sci bliskiej 15 m. Wschodnia długo´s´c Γ punktu P najcz ˛e´sciej zwi ˛eksza si ˛e, czyli biegun chwilowy obiega P0antyzegarowo. Jest to ruch bardzo zło˙zony ale jego główne składowe s ˛a znane, okresy 428 dniowy i roczny.

Poło˙zenie bieguna chwilowego P wzgl ˛edem bieguna figury P0

E

γ

λ=0 P 180+Γ

Sx

N Γ λ

0=0 P0

W y

Poło˙zenie P wzgl ˛edem P0okre´slane jest we współrz ˛ednych prostok ˛atnych (x , y ), przy czym o´s x skierowana jest wzdłu˙z południka zerowego, o´s y wzdłu˙z południka o λ = 270^◦

x = γ cos Γ

y = −γ sin Γ (9)

Warto´sci x , y s ˛a publikowane z pewnym opó´znieniem, przez Mi ˛edzynarodow ˛a Słu˙zb ˛e Rotacji Ziemi na minione momenty czasu.

Współrz ˛edne geograficzne wzgl ˛edem bieguna P i bieguna P0(1)

E

γ

λ=0 P 180+Γ

S x

N Γ λ₀=0

P₀

W y

Z powodu ruchu biegunów zmienia si ˛e szeroko´s´c i długo´s´c danego miejsca obserwacji. (λ0, φ0)s ˛a geograficznymi współrz ˛ednymi obserwatora wzgl ˛edem bieguna figury, natomiast (λ, φ) wzgl ˛edem bieguna chwilowego.

Definicja szeroko´sci wzgl ˛edem P jest prosta, ale nieco uwagi wymaga okre´slenie zerowego południka dla bieguna P.

Na rysunku widzimy, ˙ze dla P południk zerowy wybrano tak, by styczna w P le˙z ˛aca w płaszczy´znie tego południka biegła równolegle do stycznej w P0

le˙z ˛acej w płaszczy´znie zerowego południka figury Ziemi. Obydwa południki przecinaj ˛a si ˛e gdzie´s na równiku, a wi ˛ec południk zerowy bieguna P nie musi przechodzi´c przez punkt odniesienia w Greenwich.

Widzimy te˙z, ˙ze południk o długo´sci Γ, jest wspólny dla obu systemów.

Obserwator znajduje si ˛e w ´srodku sfery, jego zenit Z b ˛edziemy traktowali jako punkt stały. Interesuj ˛a nas zmiany astronomicznej szeroko´sci i długo´sci d φ, d λ wywołane ruchami bieguna P.

Mamy P0Z = 90^◦− φ0, PZ = 90^◦− φ.

Koło małe PQ przecina łuk P₀Z pod k ˛atem prostym. P₀Q = d φ = φ − φ₀.

Traktuj ˛ac trójk ˛at P0PQ jako płaski mamy

d φ = P₀P cos(QP₀P) = P₀P cos ZP₀P

P₀P = γ, P₀Z jest południkiem o długo´sci λ₀, a P₀P jest południkiem o długo´sci Γ. Zatem ZP₀P = λ₀− Γ, st ˛ad

d φ = γ cos (λ₀− Γ) (10)

Z drugiej strony, PZ jest południkiem o dłudo´sci λ, PP0południkiem o długo´sci (180^◦+ Γ), oba wzgl ˛edem bieguna P.

St ˛ad k ˛at sferyczny

P0PZ = 180^◦− (λ − Γ), a formuła czterocz ˛e´sciowa zastosowana do trójk ˛ata sferycznego P0ZP daje

cos γ cos (180^◦− (λ − Γ)) = sin γ cot (90^◦− φ) − sin (λ − Γ) cot (λ0− Γ) Ze wzgl ˛edu na małe warto´sci k ˛ata γ, w przybli˙zeniu mo˙zna napisa´c

γtan φ sin (λ0− Γ) = sin (λ − Γ) cos (λ0− Γ) − cos (λ − Γ) sin (λ0− Γ) a korzystaj ˛ac ze znanych to˙zsamo´sci trygonometrycznych mamy

d λ = λ − λ0= γtan φ sin (λ0− Γ) (11)

Je´sli w równaniach

d φ = γ cos (λ₀− Γ)

d λ = λ − λ₀= γtan φ sin (λ₀− Γ)

zastosujemy wzory na sum ˛e, ró˙znic ˛e sinusa i cosinusa oraz wykorzystamy zwi ˛azki

x = γ cos Γ y = −γ sin Γ

wówczas chwilowe długo´s´c i szeroko´s´c geograficzne dane s ˛a jako φ = φ0+x cos λ0− y sin λ0

λ = λ0+ (x sin λ0+y cos λ0)tan φ (12)

Wpływ ruchu biegunów na poprawki koła południkowego

Ruch biegun P nie wpływa na bł ˛ad kolimacji narz ˛edzia. Odległo´s´c zenitalna punktu W⁰, zachodniego ko ´nca osi poziomej instrumentu równie˙z si ˛e nie zmieni, bowiem zało˙zyli´smy, ˙ze zenit obserwatora jest nieruchomy.

Przemieszczenie bieguna zmniejszy jednak wszystkie zachodnie azymuty, w tym stał ˛a azymutaln ˛a narz ˛edzia o k ˛at N₀N, czyli

da = −P₀ZP K ˛at ten łatwo otrzyma´c z trójk ˛ata sferycznego P0ZP. Stosuj ˛ac wzór sinusów i przybli˙zenie małych k ˛atów dostaniemy

da = −γ sin (λ₀− Γ) sec φ

A za pomoc ˛a wzoru d λ = λ − λ₀= γtan φ sin (λ₀− Γ) otrzymamy

da = −d λ csc φ (13)

Wpływ ruchu biegunów na poprawk˛e zegara

Zmiana w długo´sci d λ musi jeszcze zosta´c uwzgl ˛edniona w poprawce zegara, za pomoc ˛a którego mierzono moment przej´scia gwiazdy przez południk instrumentalny. Bł ˛ad poprawki zegara wynosi

d (∆T ) = d λ.

Wychodz ˛ac z równania Bessela τ = α − α⁰=m + n tan δ + c sec δ, za pomoc ˛a zwi ˛azków (2), jego odpowiednikiem ze stałymi a, b b ˛edzie

α −T = ∆T + a sin (φ − δ) sec δ + b cos (φ − δ) sec δ + c sec δ a po zró˙zniczkowaniu

d (α − T ) = d λ + da sin (φ − δ) sec δ Po podstawieniu wzoru (13) b ˛edziemy mieli

dT = −d λ cot φ tan δ (14)

Jest to zmiana momentu przej´scia gwiazdy przez południk spowodowana ruchami biegunów ziemskich. Zmiana w szeroko´sci obserwatora, powoduje zmian ˛e w odczycie deklinacji z koła podziałowego.

(7)

Instrument południkowy

Koło południkowe ma sporo zalet, np. pozwala na wyznaczenie (α, δ) wszystkich gwiazd widocznych na horyzoncie obserwatora gdy tymczasem inne instrumenty maj ˛a pewne ograniczenia ze wzgl ˛edu na deklinacj ˛e.

Obserwacje południkowe w zasadzie bezpo´srednio daj ˛a rektascensj ˛e i deklinacj ˛e.

Własno´s´c t ˛e okre´slamy mianem pomiarów absolutnych.

Dlatego jeszcze w połowie XX stulecia a nawet pó´zniej, koło południkowe było podstawowym narz ˛edziem słu˙z ˛acym do wyznaczania absolutnych pozycji gwiazd.

Obserwacje te stanowiły baz ˛e do tworzenia fundamentalnych katalogów gwiazd.

Koło wertykalne Astrolabia Danjona FZT

Part IV

Inne instrumenty absolutne

6 Koło wertykalne Koło wertykalne

7 Astrolabia Danjona Astrolabia Danjona

8 FZT

Fotograficzny teleskop zenitalny (FTZ)

Koło wertykalne: zasada obserwacji (1)

horyzont X

rownik W z 90−φ Z

90−δ

N S δ=φ

P H

Instrument przej´sciowy mo˙ze pracowa´c nie tylko w południku miejscowym. Inny wariant, to instrument zorientowany osi ˛a poziom ˛a wzdłu˙z lini północ-południe.

Jednak taki instrument przej´sciowy pozwala na obserwacje gwiazd o deklinacjach wył ˛acznie z przedziału [0, φ].

Tylko takie gwiazdy maj ˛a po dwa przej´scia przez pierwszy wertykał. W momentach przej´scia rejestrowany jest miejscowy czas gwiazdowy. ´Srednia z dwóch przej´s´c jest równa rektascensji gwiazdy.

Koła podziałowe pionowe instrumentu wertykalnego pozwalaj ˛a na pomiar odległo´sci zenitalnej z w momencie przej´scia. Połowa interwału czasu mi ˛edzy kolejnymi przej´sciami równa jest k ˛atowi godzinnemu H opdowiadaj ˛acemu przej´sciu przez pierwszy wertykał.

Koło wertykalne: zasada obserwacji (2)

horyzont X

rownik W z 90−φ Z

90−δ

N S δ=φ

P H

Je´sli punkt X b ˛edzie poło˙zeniem gwiazdy w momencie jej zachodniego przej´scia przez pierwszy wertykał, wówczas z trójk ˛ata sferycznego PZX i wzoru sinusów mamy

cos δ = sin z csc H (15) Z wzoru cotangensowego zastosowanego do trójk ˛ata PZX wyznaczymy szeroko´s´c astronomiczn ˛a obserwatora

cos φ = tan z cot H (16)

Bł ˛edy instrumentalne s ˛a takie same jak dla koła południkowego, ale poprawki jakie trzeba wprowadzi´c do obserwacji s ˛a znacznie bardziej skomplikowane.

Jedyn ˛a przewag ˛a koła wertykalnego jest mo˙zliwo´s´c niezale˙znych pomiarów szeroko´sci obserwatora.

Inne instrumenty przej´sciowe

Koło południkowe ma pewne wady, jedn ˛a z istotniejszych jest mechaniczne ugi ˛ecie lunety, co wi ˛a˙ze si ˛e z niestało´sci ˛a poprawek instrumentalnych.

Zmiany poprawek mog ˛a by´c nieistotne dla małych odległo´sci zenitalnych ale dla du˙zych ju˙z niestety nie. Z powodu elastyczno´sci monta˙zu narz ˛edzia pojawiaj ˛a si ˛e wówczas bł ˛edy systematyczne, a zwi ˛azane z nimi poprawki s ˛a trudne do wyznaczenia.

Dlatego zaprojektowano narz ˛edzia innego typu, pozwalaj ˛ace równie˙z na absolutne pomiary poło˙ze ´n ciał niebieskich z wysok ˛a precyzj ˛a. S ˛a to bezosobowa astrolabia Danjona i fotograficzny teleskop zenitalny (w skrócie FTZ).

W przypadku FTZ mo˙zliwe jest obserwowanie gwiazd jedynie na niedu˙zych odległo´sciach zenitalnych.

Astrolabi ˛e Danjona mo˙zna obraca´c wokół osi azumutalnej, ale obserwacje wykonuje si ˛e zawsze na tym samym almukantaracie o odległo´sci zenitalnej równej np. 30^◦, co skutecznie oddala niebezpiecze ´nstwo zmiennego bł ˛edu ugi ˛ecia narz ˛edzia.

Astrolabia Danjona. Egzemplarz z obserwatorium w Greenwich.

Zasada obserwacji za pomoc ˛a astrolabii Danjona (1)

S’

S Zenit

Horyzont rteciowy

Ekran Promienie od gwiazdy

120 S’

S30

z>30

z=30

z<30 S S’

S’

S

Astrolabia składa si ˛e z równobocznego szklanego pryzmatu ustawionego jednym bokiem prostopadle do horyzontu. W okularze narz ˛edzia obserwowane s ˛a dwa obrazy tej samej gwiazdy, jeden bezpo´sredni po odbiciu od wewn ˛etrznej dolnej płaszczyzny pryzmatu, drugi odbity od zwierciadła rt ˛eciowego i górnej płaszczyzny pryzmatu. Gdy odległo´s´c zenitalna gwiazdy wynosi 30^◦w okularze obserwujemy koincydencj ˛e obu obrazów.

(8)

90−φ X

S 30 P

Z

horyzont N

H X’

90−δ

Gwiazda mo˙ze by´c obserwowana za pomoc ˛a tego instrumentu tylko wtedy gdy w wyniku ruchu dobowego przechodzi przez almukantarat 60^◦.

Nakłada to na mo˙zliwe do obserwacji obiekty warunek φ + 30^◦> δ > φ −30^◦. Gwiazda musi dokona´c dwóch przej´s´c przez almukantarat, jedno wschodnie drugie zachodnie wzgl ˛edem południka obserwatora.

Sredni moment czasu z dwóch momentów przej´scia daje rektascensj ˛e´ gwiazdy; połowa interwału czasu pomi ˛edzy przej´sciami daje k ˛at godzinny H odpowiadaj ˛acy odległo´sci zenitalnej 30^◦.

90−φ X

S 30 P

Z

horyzont N

H X’

90−δ X – obserwowana gwiazda. Z trójk ˛ata PZX , ze wzoru cosinusów mamy

cos z =√

3/2 = sin φ sin δ + cos φ cos δ cos H Je´sli znana jest szeroko´s´c, dokonujemy podstawienia

tan F = cot φ cos H (17) co we wcze´sniejszym równaniu pozwala wyeliminowa´c cos H

√3/2 = sin φ sec F sin(δ + F )

Deklinacj ˛e obliczymy jako δ =arcsin√

3/2 cos F csc φ

− F (18)

Ze wzgl ˛edu na niejednoznaczno´s´c funkcji arcsin, równanie to ma dwa rozwi ˛azania. Na rysunku odpowiadaj ˛a one poło˙zeniom oznaczonym przez X i X⁰. Zwykle nietrudno jest wybra´c rozwi ˛azanie wła´sciwe.

Schemat astrolabii zautomatyzowanej

Fotograficzny teleskop zenitalny – zasada działania (1)

FTZ składa si ˛e z horyzontalnej soczewki objektywowej, z oprawy na klisze fotograficzne (umieszczonej tu˙z pod soczewk ˛a), oraz z ciekłego lustra rt ˛eciowego.

Po odbiciu od lustra rt ˛eciowego obraz gwiazdy rejestrowany jest na kliszy fotograficznej.

Wa˙zn ˛a cech ˛a tego narz ˛edzia jest to, ˙ze na emulsji fotograficznej le˙zy punkt w ˛ezłowy soczewki objektywu. Zmmieniaj ˛ac odległo´s´c powierzchni rt ˛eci otrzymujemu na kliszy zogniskowane obrazy gwiazd.

Takie rozwi ˛azanie doskonale eliminuje bł ˛edy ustawienia i kolimacji narz ˛edzia.

Podczas ekspozycji oprawa z klisz ˛a jest przesuwana prostopadle do osi optycznej teleskopu. Przy czasach na´swietlania kliszy od 10-20 sekund, technika ta pozwala na uzyskanie punktowych obrazów gwiazd.

Rejestrowany jest równie˙z moment czasu odpowiadaj ˛acy ´srodkowi interwału eksponowania kliszy.

Pełna obserwacja wymaga czterech ekspozycji. Po ka˙zdej ekspozycji, oprawa z klisz ˛a obracane s ˛a o 180^◦i w rezultacie cztery obrazy danej gwiazdy tworz ˛a na kliszy równoległobok, przykładowo pokazany na rysunku powy˙zej.

Gdyby kamery FTZ w czasie obserwacji nie obracano o 180^◦, pomijaj ˛ac niewielkie zakrzywienie, cztery obrazy le˙załyby na linii prostej. Ze wzgl ˛edu na obroty, jedynie odcinki X1X3i X2X4odzwierciedlaj ˛a ruch dobowy sfery.

Przy obrocie kliszy dokładnie o k ˛at 180^◦, odcinki s ˛a do siebie równoległe. W czasie obracania FTZ, punkt zenitu Z na kliszy pozostaje nieruchomy. Jest on jednakowo odległy od odcinków X1X3i X2X4.

Ustalmy w dowolnym mmiejscu kliszy układ współrz ˛ednych o osi x równoległej do odcinków X₁X₃.... Niech (x_i,y_i)b ˛ed ˛a współrz ˛ednymi punktów X_i, i=1,2,3,4, a t₁,t₂,t₃,t₄b ˛ed ˛a momentami czterech ekspozycji gwiazdy.

Znaj ˛ac skal ˛e kliszy (znamy odległo´s´c X1X3na kliszy oraz interwał (t3− t1)odpowiadaj ˛acy ruchowi dobowemu od X1do X3), mo˙zemy współrz ˛edne w jednostkach liniowych zamieni´c w k ˛atowe.

Zauwa˙zmy, ˙ze y1=y3,y2=y4.

Niech (x₀,y₀)b ˛ed ˛a współrz ˛ednymi obrazu zenitu Z miejsca obserwacji. Współrz ˛edna x₀ jest nieznana ale y₀mo˙zemy wyznaczy´c z formuły

y₀=0.5 (y₁+y₄) =0.5 (y₂+y₃) Odległo´s´c mi ˛edzy równoległymi odcinkami X1X3i X2X4równa jest dwukrotnej odległo´sci zenitalnej gwiazdy w momencie przej´scia przez południk obserwatora, st ˛ad

φ − δ =0.5 (y1− y4) =0.5 (y2− y3) (19)

Zatem znaj ˛ac szeroko´s´c miejsca obserwacji mo˙zemy obliczy´c deklinacj ˛e gwiazdy.

(9)

K ˛at godzinny gwiazdy w momencie t₁wynosi (x₀− x1)(pomijamy zakrzywienie ´sladu gwiazdy na kliszy), a w t4, ze wzgl ˛edu na odwrócenie kliszy wynosi (x4− x0).

A zatem w momencie 0.5(t1+t4)k ˛at godzinny jest równy 0.5(x4− x1).

Wykorzystuj ˛ac wszystkie cztery obrazy gwiazdy, ´sredni moment obserwacji wyliczamy jako

t₀=0.25 (t₁+t₂+t₃+t₄) (20) przy czym warto wyrazi´c go w czasie gwiazdowym.

Odpowiadaj ˛acy momentowi t₀´sredni k ˛at godzinny wynosi

H₀=0.25(x₄− x1+x₃− x2) (21) Rektascensj ˛e obserwowanej gwiazdy wyliczamy ze znanej formuły

α =t₀− H0 (22)

Ze wzgl ˛edu na niewielkie odległo´sci zenitalne najwi ˛eksz ˛a zalet ˛a FTZ jest zredukowanie do minimum wpływu refrakcji. Wad ˛a natomiast jest niewielki zakres deklinacji gwiazd (mniej ni˙z 1^◦), jakie mo˙zna tym narz ˛edziem w danym miejscu obserwowa´c.

Mimo, ˙ze s ˛a to narz ˛edzia precyzyjniejsze, ani astrolabium Danjona, ani FTZ nie nadaj ˛a si ˛e do wyznaczenia rektascensji i deklinacji dla wi ˛ekszego, rozległego zbioru gwiazd.

Mog ˛a one natomiast dokładnie powi ˛aza´c poło˙zenia rozrzucone po całej sferze i wykry´c bł ˛edy w katalogach fundamentalnych opracowanych w oparciu o obserwacje południkowe.

Doskonale nadaj ˛a si ˛e do wyznaczania zmian szeroko´sci i czasu w miejscu obserwacji, nie tylko wynikaj ˛acych z ruchów bieguna ale tak˙ze powodowanych nieregularno´sci ˛a ruchu wirowego Ziemi.

Figure:Instrument przej´sciowy (Alt Azimuth Airyego) z Obserwatorium w Greenwich.

[http://atschool.eduweb.co.uk/bookman/library/ROG/ROG08.HTM]

Poczatek wykładu