CZAS PRACY: 120 MINUT

CZAS PRACY: 120 MINUT

LICZBA PUNKTÓW DO UZYSKANIA: 50 ZADANIA ZAMKNIĘTE

W zadaniach od 1. do 26. wybierz i zaznacz jedyną poprawną odpowiedź.

Zadanie 1. (1 punkt)

Wskaż nierówność, która opisuje przedział zaznaczony na osi liczbowej.

A. B. C. D.

Zadanie 2. (1 punkt)

Miesięczna opłata za parking była równa 150 zł. Po podwyżce opłaty o 20% nowa wysokość opłaty to

A. 152 zł B.153 zł C.170 zł D. 180 zł

Zadanie 3. (1 punkt) Liczba jest równa

A. B. C. D.

Zadanie 4. (1 punkt)

Liczba jest równa

A. B.1 C. D.

Zadanie 5. (1 punkt)

Dziedziną wyrażenia jest suma przedziałów

A. C.

B. D.

Zadanie 6. (1 punkt)

Rozwiązaniem nierówności jest przedział

A. B. C. D.

Zadanie 7. (1 punkt) Wyrażenie jest równe

A. B. C. D.

Zadanie 8. (1 punkt) Wskaż liczbę przeciwną do , gdy

A. B. C. D.

Zadanie 9. (1 punkt)

Liczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej . Wynika stąd, że

A. B. C. D.

Zadanie 10. (1 punkt)

Z faktu, że funkcja liniowa jest malejąca, wynika, że

A. B. C. D.

Zadanie 11. (1 punkt)

Funkcja jest określona wzorem .

Liczba miejsc zerowych funkcji jest równa

A. 0 B.1 C.2 D. 3

Zadanie 12. (1 punkt)

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Prosta, która jest osią syme- trii tej paraboli, ma równanie

A. B. C. D.

Zadanie 13. (1 punkt)

Wykres funkcji kwadratowej ma dwa punkty wspólne z prostą o równaniu

A. B. C. D.

Zadanie 14. (1 punkt)

Do zbioru rozwiązań nierówności należy liczba

A. 5 B.1 C.—1 D. —5

Zadanie 15. (1 punkt)

Iloczyn wszystkich rzeczywistych pierwiastków równania jest równy

A. —360 B.—40 C.40 D. 360

Zadanie 16. (1 punkt)

Ciąg trójwyrazowy jest rosnącym ciągiem geometrycznym. Wynika stąd, że

A. B. C. D.

Zadanie 17. (1 punkt)

W ciągu arytmetycznym dane są i . Różnica tego ciągu jest równa

A. 6 B.2 C.—2 D. —6

Zadanie 18. (1 punkt)

Dane są długości boków i trójkąta prostokątnego ABC o kącie ostrym (zo- bacz rysunek). Wtedy

A.

B.

C.

D.

Zadanie 19. (1 punkt)

Różnica miar dwóch sąsiednich kątów w równoległoboku jest równa 80^o. Kąt rozwarty tego równoległoboku ma miarę

A. 120^o B. 125^o C. 130^o D. 135^o

tg 1 D 2 tgD 2 tg 4

D 82 tg 8

D 82

A C

B

8

4 á

D 4

BC 8 AC

6 2

3 8 a

 

an a

4 x 3, 5

x 3

x 2,5

x



^{4, 2 , 9x}





^x4



^x2



^x5

 

^x29



⁰



x7



x4



!0

2 y 4

y 6

y 8

y

 

7



5



² 3 f x  x 

6 3 x

3 x x  6

x 

 

² 6 11 f x x  x f

 

2

4 dla 2

5 dla 2

x x

f x x x

 d 

®­¯  ! 



f



4;



m f

4 3 m

m 



; 3



m f 

  

³



⁴

f x m x

5 m 1

m 1

m  5

m 

  

²



³

f x m x 6

5 6

5 3

10 10

3

:12 2 x 3 x

5 6

2 x 5x3

5x6 10x3

10 6 2 x



^{ f4;}





^{ f2;}





^{f ; 2}

 

f ; 4



2 2

3 x x

 



^{f; 0}

   

^{‰ 0; 2‰2;f}

 

f  ‰  f; 2

 

2;





f  ‰ ; 2

 

2; 0

  

‰0;f



f; 2

 

‰2;f



2

2 x x

log 216

log 156

1 2

6 6

log 18 log 3

75 3

72

71 5

716 5 4 4

7 ˜ 7

4 2

x 

4 2

x  6 2

x  2 6

x 

6 x

0 2

1 Wtorek 19 kwietnia 2011 Gazeta Wyborcza wyborcza.pl

4 Gazeta Edukacja

Sprawdź, czy zdasz!

Matura

Poziom podstawowy

Maturzysto! Obowiązkowy egzamin z matematyki coraz bliżej. Dziś drukujemy próbny test przygotowany przez naszych ekspertów. Jutro – angielski i niemiecki na poziomie podstawowym

R E K L A M A

Próbna matura 2011

matematyka

30462591

D

Zadanie 20. (1 punkt)

Promień koła opisanego na kwadracie jest równy 8 cm. Wynika stąd, że pole tego kwadratu jest równe

A.16 cm^{2 B.}64 cm^{2 C.}128 cm^{2 D.} 256 cm²

Zadanie 21. (1 punkt)

Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej o równaniu jest równy

A.2 ^{B. C. D.}

Zadanie 22. (1 punkt)

Punkty , są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu ABCD.

Promień koła wpisanego w ten kwadrat jest równy

A.5 ^{B. C.}10 ^D.

Zadanie 23. (1 punkt)

Środek okręgu o równaniu ma współrzędne

A. B. C. D.

Zadanie 24. (1 punkt)

Graniastosłup ma 10 wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa

A.20 ^B.18 ^C.15 ^D.9

Zadanie 25. (1 punkt)

Średnia arytmetyczna pięciu liczb, z których pierwsza jest równa 3, a każda następna jest o 2 większa od poprzedniej jest równa

A.6 ^B.7 ^C.8 ^D.9

Zadanie 26. (1 punkt)

Ze zbioru liczb wybieramy losowo jedną liczbę. Jeśli poznacza prawdo- podobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 3, to

A. B. C. D.

ZADANIA OTWARTE

Zadanie 27. (2 punkty)

Rozwiąż nierówność .

Zadanie 28.(2 punkty)

Rozwiąż równanie .

Zadanie 29. (2 punkty)

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej xprawdziwa jest równość .

Zadanie 30. (2 punkty)

Oblicz najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale .

Zadanie 31. (2 punkty)

Punkt E leży na boku BC prostokąta ABCD, i (zobacz rysunek).

Wykaż, że .

Zadanie 32. (2 punkty)

Wyznacz równanie prostej zawierającej wysokość CD trójkąta ABC, gdy ,

, .

Zadanie 33. (4 punkty)

Dane są punkty , , . Wykaż, że trójkąt ABC jest prostokątny i wyznacz równanie okręgu opisanego na tym trójkącie.

Zadanie 34.(4 punkty)

Suma trzech liczb będących kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu arytmetycznego jest rów- na 12. Jeśli do pierwszej liczby dodamy 2, do drugiej 5, a do trzeciej 20, to otrzymamy trzy kolej- ne wyrazy ciągu geometrycznego. Wyznacz te liczby.

Zadanie 35. (4 punkty)

Wysokość walca jest o 6 dłuższa od średnicy jego podstawy, a pole jego powierzchni całkowi- tej jest równe 378 . Oblicz objętość tego walca.S



^{12, 8}



C 

 

^{4, 6}

 

^{0, 0} B A



1, 3



C 

 

3,8 B

 

1, 6 A AED EDC

BAE‘ ‘

‘

A B

C D

E

EzC EzB

 

^{2 6 11} 0;1 f x x  x

6 64 16 3

x  t x

3 2

3 4 12 0

x  x  x

2 2 15 0

x  x t

1 p!3 1

p 3 1

p 4 1

p4

^

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

`



2,3



S 



2, 3



S 



^{4, 6}



S 



4, 6



S 

2 2 4 6 2010 0

x y  x y 5 2 10 2



^{5, 2}



B 



^{3, 4}



A 

1

2 1

2

2

2 3

y x

1

Dokończenie – s. 6

Próbna matura z matematyki • Gazeta Edukacja 5

wyborcza.pl Gazeta Wyborcza Wtorek 19 kwietnia 2011

30659579

R E K L A M A

ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH

WSKAZÓWKI DO ROZWIĄZYWANIA NIEKTÓRYCH ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH

Zadanie 8. (1 punkt)

Obliczając wartość liczby x, otrzymujemy:

.

Dwie liczby przeciwne to takie liczby, których wartości bezwzględne są takie same, ale różnią się znakiem. Na osi liczbowej leżą one w tej samej odległości od punktu 0, ale po jego przeciwnych stronach, np.

Liczbą przeciwną do jest liczba .

Zadanie 12. (1 punkt)

Oś symetrii paraboli przechodzi przez jej wierzchołek i jej równanie ma postać x = p, gdzie p jest pierwszą współrzędną wierzchołka. Obliczamy pierwszą współrzędną pwierzchołka para-

boli o równaniu :

. Odp. Równanie osi symetrii jest postaci .

Zadanie 15. (1 punkt)

Pierwiastki równania odczytujemy wprost z jego postaci iloczynowej.

Są to liczby: . Ich iloczyn jest równy .

Zadanie 20. (1 punkt)

Średnica okręgu opisanego na kwadracie jest jednocześnie jego przekątną.

Pole kwadratu obliczamy ze wzoru .

Zadanie 22. (1 punkt)

Promień r okręgu wpisanego w kwadrat jest równy połowie długości boku tego kwadratu, stąd ^{1 1} 8² 6² 5.

2 2

r AB 

2 2 2

128 cm 2 r r

P ˜

40 4,2, 5

3 x 

6 3

2 2

p b a

  

 

x x²6x11 f

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

3 x 

x 10

3 10

3

0 1

-2 -1 -3

-4 2 3 4 x

2 10 2 13 3 x ˜

ODPOWIEDZI I SZKIC ROZWIĄZAŃ

Nr zad . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 Odp . C D C B B D C A C A C B D A B B C D C C D A D C B B

y

1 Wtorek 19 kwietnia 2011 Gazeta Wyborcza wyborcza.pl

6 Gazeta Edukacja • Próbna matura z matematyki

Zadanie 25.(1 punkt)

Obliczamy średnią arytmetyczną liczb: 3, 5, 7, 9, 11.

Średnia arytmetyczna .

ODPOWIEDZI I SZKIC ROZWIĄZAŃ ZADAŃ OTWARTYCH

Zadanie 27. (2 punkty) Szkic rozwiązania

,

,

Odpowiedź: .

Zadanie 28. (2 punkty)

, ,

Odpowiedź: , ,

Zadanie 29. (2 punkty)

Przekształcamy nierówność równoważnie .

Ostatnia nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x, co należało udowodnić.

Zadanie 30. (2 punkty)

Funkcja kwadratowa przyjmuje najmniejszą wartość dla , aw przedziale jest malejąca.

Wynika stąd, że najmniejszą wartością funkcji w przedziale

jest .

Odpowiedź: .

Zadanie 31. (2 punkty)

Przedłużamy prostą DE do przecięcia z prostą AB w punkcie F.

 

1 6 f

 

1 6 0;1 f



f 3 0;1

x

 

² 6 11 f x x  x

2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

x y

 

²

6 3 6 3 3

64 16 16 64 0 8 0

x  t x œx  x  t œ x  t

3 2

2 2x

x 

1 3

x 

3 2

2 2 x

x 

1 3

x 



x3



x2



x2



0



^x



³

 

^x

 

^24



⁰



2 3 4 3 0

x x  x

3 3 2 4 12 0

x  x  x



^{; 3 5;}



x f  ‰ f



^{; 3 5;}



x f  ‰ f

2 5

1 3 x

x 

2 2 15 0

x  x t

3 5 7 9 11 35

5 5 7

    Dokończenie ze s. 5

INFORMACJA DLA OGŁOSZENIODAWCÓW

REKLAMA:

22 555 63 77 22 555 63 76

Gazeta Edukacja

17 ^maja

wtorek

ogólnopolski dodatek Gazety Wyborczej

30657613 30656651

30667604

R E K L A M A

– kąty naprzemianległe.

Kąt AED jest kątem zewnętrznym trójkąta AFE, stąd , co należało udowodnić.

Zadanie 32. (2 punkty)

Prosta zawierająca wysokość CD trójkąta ABC to prosta prostopadła do prostej AB, przecho- dząca przez punkt C. Prosta AB ma równanie , a prosta zawierająca wysokość CD ma rów-

nanie .

Odpowiedź: .

Zadanie 33. (4 punkty)

, , , stąd

Na podstawie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa stwierdzamy, że trójkąt ABC jest prostokątny, a odcinek BC jest jego przeciwprostokątną. Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym to środek przeciwprostokątnej, apromień R to połowa długości przeciwprostokątnej.

, Równanie okręgu jest następujące .

Odpowiedź: Równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC jest postaci .

Zadanie 34.(4 punkty)

Kolejne trzy wyrazy rosnącego ciągu arytmetycznego możemy zapisać w postaci

, gdzie . Z warunku wynika, że i ciąg arytme-

tyczny jest postaci oraz .

Ciąg jest geometryczny, możemy więc zapisać

równanie (z własności ciągu geometrycznego):

, czyli , które ma dwa rozwiązania , . Druga odpowiedź, czyli , spełnia warunki zadania i liczby będące wyrazami ciągu arytme- tycznego to 1, 4, 7.

Odpowiedź: 1, 4, 7.

Zadanie 35. (4 punkty)

Oznaczmy: r – promień podstawy walca, h – wysokość walca, wtedy Pole powierzchni całkowitej Pctego walca zapisujemy następująco:

.

Z warunków zadania zapisujemy równanie z niewiadomą r:

, oraz .

Po wykonaniu przekształceń otrzymujemy równanie , którego rozwiązaniami są liczby ; . Pierwsza liczba nie spełnia warunków zadania, więc promień podstawy

, a wysokość walca .

Obliczamy objętość V walca: . Odpowiedź: V Sr h² 980S.

2 980

V Sr h S 20

h 7

r

2 7

1 9 r

r 

2 2 63 0

r  r 0

r!

 

2Sr22Sr˜2r6 378S

 

2 2 2 2 6

PC Sr  Sr˜ r

2 6

h r

2 3

r

2 3

1 21r r 

2 18 63 0

r  r

  

92 6r 24r



^{4 r 2, 4 5, 4  r 20}

 

^{6r, 9, 24r}



0 r!



4r, 4, 4r



4 a r 2 12

a a   r a r 0

r!



a a, r a, 2r





x8

 

² y1



² 65



x8

 

² y1



² 65

2 65



^{8, 1}



R

S 

2 2 2

AB AC BC

2 260

2 BC 208

2 AC 52 AB

2 y  x 2 y  x

5 y x EDC BAE BFE BAE

AED ‘ ‘ ‘ ‘

‘

EDC EFB ‘

‘

A B

C D

E

F á

á

1

wyborcza.pl Gazeta Wyborcza Wtorek 19 kwietnia 2011

Próbna matura z matematyki • Gazeta Edukacja 7

D

D

Partner radiowy

Dziś w Faktach RMF MAXXX, jak trudno maturzystom powtarzać materiał w gorączce przedświątecznych przygotowań.

Jakie sposoby na szybką naukę mają maturzyści? Posłuchaj w Faktach RMF FM!

30657507

INFORMACJA DLA OGŁOSZENIODAWCÓW

9 ^maja

poniedziałek

Studia MBA i podyplomowe

sekcja w Gazecie Praca

Ewa Maruszak 22 555 63 77 Aleksander Pieczara22 555 63 76

30657618 30629010

30660951

R E K L A M A