Saria: AUTOMATYKA z. 61 * Nr kol. 701
Bożena PALUCHIEWICZ
MODELE MATEMATYCZNE DWUFAZOWEGO ASYNCHRONICZNEGO SILNIKA WYKONAWCZEGO PRZYOATNE DO ANALIZY NUMERYCZNEJ
Streszczenie. W pracy przedstawiono przekształcenie klasycznego modelu matematycznego dwufazowego asynchronicznego silnika wykonaw
czego do postaci umożliwiającej analizę numerycznę oraz przykład liczbowy. Jest to pierwszy etap rozwiązywania zagadnienia syntezy konstrukcji silnika. Analiza numeryczna prov/adzona jest przy zasto
sowaniu wyspecjalizowanego języka do modelowania układów ciągłych na maszynie cyfrowej. Przykład obliczony jest dla modeli matema
tycznych, w których zmiennę niezależną jest w jednym przypadku prąd i płynęcy w uzwojeniach, a w drugim przypadku liniozwoje ęi>.
1 . W s t ę p
Zadanie syntezy konstrukcji elektromechanicznych przetworników energii polega na znalezieniu związków między konstrukcję przetwornika a właści
wościami dynamiki. Tak rozumiana synteza pozwala na wyznaczenie najlep-*
szych wg pewnego przyjętego kryterium cech konstrukcyjnych przetwornika przy wymaganych właściwościach dynamicznych i ograniczeniach technologicz
nych. Proponowana metodyko syntezy składa się z kilku etapów, z których schemat pierwszego - modelowanie matematyczne przedstawiony został na ry
sunku 1.
I 1
1
| PLANOW ANY I
EKSPERYMENT ł-
| NA MODELU
_____ I
I I[r e d u k c j a I l ic z b y cech Ikonstrukcyjnych {
¡BILANS lOSOWYj
Rys. 1. Schemat blokowy pierwszego etapu syntezy
Użyteczny do celów syntezy model matematyczny obiektu powstaje w opar
ciu o obserwacje zebrane będż w czasie jego normalnej pracy (eksperyment bierny), będż w trakcie pracy przy określonej zmianie pewnych jego cech (eksperyment czynny). Obiektem jest w tym przypadku dwufazowy asynchro
niczny silnik wykonawczy z wirnikiem puszkowym. Eksperyment bierny Jest nieprzydatny [i, 2 ] do budowy takiego modelu. Prowadzenie zaś eksperymen
tu czynnego na rzeczywistym silniku Jest praktycznie niemożliwe. Więżę się
/
136 B. Paluchicwicz
ono bowiem z budowę dużej liczby (kilkudziesięciu) maszyn o różnych ce
chach konstrukcyjnych. Wykorzystano więc metodę eksperymentu maszynowego.
W pracach prowadzonych między innymi w Moskiewskim Instytucie Energe
tycznym, Moskiewskim Instytucie Lotnictwa i Instytucie Automatyki Poli
techniki Ślęskiej £2, 3. 4, 5] zaproponowano metodę badania obiektu drogę prowadzenia eksperymentu nie na obiekcie rzeczywistym, a na jego modelu matematycznym na maszynie matematycznej. Wymagane jest więc przekształce
nie znanego w literaturze klasycznego modelu matematycznego do postaci przydatnej do analizy oraz wybór metody analizy. Rozwięzaniu właśnie tych problemów poświęcony jest niniejszy artykuł. Przedstawiony Jest w nim mo
del i analiza dwufazowego asynchronicznego silnika wykonawczego z wirni
kiem puszkowym (DAS) na przykładzie silnika typu SAK-2A [9].
2. Model klasyczny
Równania opisujęce zjawiska przetwarzania energii w dwufazowych maszy
nach asynchronicznych stanowię układ nieliniowych równań różniczkowych niestacjonarnych [6, . Współczynnikami w tych równaniach sę tzw. para
metry elektryczne - indukcyjności i rezystancje. Równania te dla silnika przedstawionego na rysunku 2 powstaję po przyjęciu 3zeregu założeń upra- szczajęcych [ćj i można je przy pomocy transformacji Stanley's sprowadzić do postaci układu równań o stałych współczynnikach.
6
Rys. 2. Schemat ideowy dwufazowej maszyny asnychronicznej
Klasyczny model DAS w zależności od przyjęcia prądu bądź liniozwoi za zmienną niezależną ma następujące postaci:
- gdy zmienną niezależną jest prąd "i"
■ ' ' . - ' ’ ■ ■ l - ' i ' ■ ■
di3 dir
Vq T ^ T f * ^ T f
di5 dir
0 " L 3 r U T + p|- S r Ci:)r i 3 + R r i j + U r - g g + p b r"(i)r 1 ^ ( 1 )
di3 di1"
„ , sr r.s , 3r q , r,,r.r o r r ,r a O = -L pco ld + L -g^- - pL O) ig + R lq + L - g g
m -i dd)r sr /.r.s .r^Si
—3tT "/pL (idŁq r q d ' - gdy zmiennę niezależnę sę liniozwoje
va L r Rs , s d fd L3r R3 „,,r d - — ¡ r ł d + 1 ? — s“ ^ d
* # * s * d4 * <*>
-i5-«-; - * A f - t ; * - s ,
M ’ 3 - EV ‘ (t d “C " ‘t o t d 5 gdzie:
'if - liniozwoje,
i,v - prąd i napięcie elektryczne, C0r - prędkość kątowa wirnika,
p - liczba par biegunów, L - indukcyjność,
R - rezystancja,
138 B. Paluchlewlcz
H g - moment elektromagnetyczny, 0 - moment bezwładności wirnika,
M - moment obrotowy doprowadzony z zewnętrz, . s. r , e r s2
m « L L — (L i Indeksy górne:
s - stojan, r - wirnik, indeksy dolne:
q - uzwojenie DAS w osi q, d - uzwojenie DAS w osi d.
Każdy ze współczynników występujących w układach równań fi) i (2) można przedstawić przy pomocy cech konstrukcyjnych silnika takich jak: długość szczeliny, wirnika"i stojana, grubość puszki wirnika itd. Zmieniając od
powiednio cechy konstrukcyjne zmienia się wartości współczynników równań.
Analiza równań pozwala zaś na określenie wpływu tych cech konstrukcyjnych na wybrane właściwości dynamiki.
3. Metody analizy modelu
Analizę modelu matematycznego DAS można przeprowadzić między innymi następującymi metodami:
- modelując równania na maszynie analogowej,
- rozwiązując układ równań różniczkowych jedną z metod numerycznych na maszynie cyfrowej,
- wykorzystując wyspecjalizowane języki do modelowania układów ciągłych na maszynie cyfrowej.
Wybór jednej z tych metod jako narzędzia analizy zależy przede wszystkim od celu jaki w zadaniu został postawiony jak również od możliwości jakimi dysponuje prowadzący badan.ia. Wydaje się, że najbardziej racjonalną meto
dą prowadzenia eksperymentu maszynowego jest wykorzystanie wyspecjalizo
wanego języka do modelowania układów ciągłych. Do opracowania przykładu posłużono się językiem^ X3AB [8j. Oęzyk ten przeznaczony jest do analizy układów określonych schematami blokowymi podobnymi do stosowanych w mode
lowaniu na maszynie analogowej. Modeluje on SUMR - sumatory, MULT - mul- tiplikatory, INTG - integratory, NEGT - negacje oraz funkcje SINE - sinus i COSN - cosinus.
W pierwszym rzędzie należało więc przekształcić układy równań (l) i (2) do postaci dogodnej do modelowania a następnie zbudować schemat blo
kowy reprezentujący każdy z układów równań.
3.1. Model przydatny do analizy numerycznej
Najbardziej dogodnę do modelowania w języku X3AB postacię równań róż
niczkowych Jest przedstawienie ich w postaci układu równań różniczkowych 1-go rzędu (równań stanu). Przykładowo przekształcony został, układ rów
nań (2) do postaci (2') a zbudowany na Jego podstawie schemat blokowy przedstawia rysunek 3
» V3 _ tüüü.^>3 t q- m 'q
LsrR3
— 4,rm T q
L8rRr .1.0 L8« r „,.r _.r,.r
-a? ■ s — f d — — (2 )
dc¿T M pLar
“ 3t ° 3 +
gdzie:
v s = Vs sin cot - napięcie wzbudźenia q mq
v d = Vmd 003 u>t ” sterowania.
Rys. 3. Schemat blokowy układu równań (2')
140 [3. Paluchlewicz
Na Schemacie występuję bloki określajęce funkcję wg której obliczany S
jest wynik. Specjalna instrukcja pozwala na powtarzanie obliczeń dla roż
nych zestawów danych przy niezmienionym schemacie blokowym. Wyniki można wyprowadzać w postaci wykresów i tablic. Poniżej przytoczony został frag
ment programu (obliczenie *i|)^) napisany w Języku X3AB na podstawie schema
tu blokowego z rysunku 3.
COMMENT DASW PSI PATCH DATA
MULT 1 TIME O CONS 1 SUMR 1 MULT 1 CONS 2 COSN 1 SUMR 1
MULT 2 COSN 1 CONS 4 MULT 4 INTG 2 CONS 3 SUMR 2 MULT 2 MULT 4 MULT 3 INTG 1 CONS 5 SUMR 3 SUMR 2 MULT 3 INTG 1 SUMR 3
4. Analiza pracy PAS
4.1. Przykład
Dany Jest dwufazowy asynchroniczny silnik wykonawczy z wirnikiem pusz
kowym typu SAK-2A, którego budowę przedstawia rysunek 4, o następujęcych parametrach znamionowych U = 20/20 V/V, f = 400 Hz, P = 0, 6W, 1 = 0,5 A, z « 300, p = 3. Obliczone z dańych cech konstrukcyjnych parametry elek
tryczne [6, ll] maję wartości: Lr = 0,766.10 2 H, R r = 0,125,102 fi, , L8 = 0,147.1Q-1 H, R s = 0 ,331.10^H , Lsr = 0,752.10“2 H, a moment bez-
— 5 2 •
władności 0 « 0,169.10 Nm3 . Wielkościami wyjściowymi sę prędkość kę- towa cor (t) 1 moment Mq(t) po załączeniu silnika przy biegu Jałowym i obciążeniu znamionowym, a ich przebieg przedstawiony Jest na rys. 5.
Oo przeprowadzenia analizy wykorzystano model (2* ), odpowiadający mu achemat przedstawiony na rysunku 3 oraz opisujący go program w Języku X3AB.
W celu uzyskania wartości ustalonych prędkości kątowej i momentu obli
czenia zostały przeprowadzone w czasie TL ■< 0,7s (T^ - czas liczenia) z wydrukiem (o T^ » 0,01s (T^ krok wydruku)(rysunek 5a). Ponieważ na ry
sunku tym nie Jest widoczny początkowy stan nieustalony wykonano dodatko
we obliczenia w czasie T^ » 20 ms z wydrukiem w T^ > 0,5 ms (rysunek 5b), ale i wówczas przebiegi momentu są mało czytelne.
umożliwia wygenerowanie funkcji y 8^ coscut
umożliwia obliczenie wartości *tj;^
_
Rys. 4. Scheinet stojana i puszki silnika SAK-2Á
V. ■
ur[itXłMj
Rys. 5a. Przebiegi ct>r (t) i M (t) dla biegu Jałowego silnika Tj = 0,7 s, Tw = 0,01 s
142 B. Paluchiewicz
I600C'02
<OOOE-OJ
aoooE-a
ocooco
Rys. 5b. Przebiegi a)r (t) i dla biegu Jałowego 3ilnika
T, ■ 20 ms, T « 0,5 ras /
J. w
Na rysunku 6 przedstawiono przebiegi cor (t) i P r z Y znamiopowym obciążeniu silnika. Stany ustalone odczytywano są z rysunku 6 3(1^ »0,7 s,
= 0,01 3), natomiast początkowy stan nieustalony z rysunku 6b (T^ =
= 7 , 2 ms, T = 0 , 1 ms). Z porównania przebiegów z rysunkiw 5b i 6b wi- dać Jak istotnym czynnikiem wpływającym na przejrzystość wyników jest właściwy dobór kroku drukowania.
Z przeprowadzonej dla dwóch stanów pracy analizy silnika wynikają na
stępujące wnioski:
- maksymalny moment M 0 w stanie nieustalonym przekracza kilkakrotnie wartość ustaloną M ,
- czas ustalenia się prędkości kątowej silnika zależy od obciążenia zna
mionowego 1 wynosi 0,33464 8 (a dla wartości 1/2 -0,33424 s) a względny czas ustalania się U>r przy biegu Jałowym do czasu ustale
nia się to r w stanie obciążenia równy jest 0,9053,
- ponieważ Jest to Idealizowany model DAS bez uwzględnienia tarcia i przy przyjęciu założeń [6] nie Jest zaskoczeniem, że uzyskana prędkość ką
towa (rys. 5a) ma wartość bliską prędkości synchronicznej.
4.2. Wnioski
Dokonując oceny zaproponowanego modelu matematycznego dwufazowego ,a- synchronicznego silnika wykonawczego przydatnego do analizy numerycznej można stwierdzić, ż e :
- modele (l) i (2) są wygodne do obliczeń numerycznych przy wykorzystaniu Języka X3A8,
•jeot-a
\
Rys.
5 * 3 3 3
é a * a 3
/(rod/»]
5 a a s i? s fi
é 6 £ . c c 6 i? ¿
*(«»} *•
i. Przebiegi oir (t) i M (t) przy znamionowym obciążeniu silnika ä - T, - 0,7 s, T * 0,01
1 W b - T, 7.2 ms. T 0,1 ma
144 O. Paluchlewicz
- Język X3AB umożliwia wykonanie obliczeń z dowolną zadaną przez użytkow
nika dokładnością,
- wyniki obliczeń otrzymane przy wykorzystaniu modelu (l) i (2/ porównano w celu kontroli między sobą i z wynikami uzyskanymi z rozwiązania ukła
dów równań metodą Rungego-Kutty czwartego rzędu i stwierdzono praktycz
ną identyczność wyników,
- kryterium wyboru modelu (l) czy (2) jest celem postawionego zadania, De- żeli stanowią go jedynie np. moment i prędkość kątowa, to bardziej eko
nomiczny Jest model (2) (wymagana mniejsza objętość pamięci i prawie 2-krotnie mniejszy czas obliczeń). Oośli natomiast ważne są również war
tości prądów w uzwojeniach, to należy korzystać z modelu (l),
- dodatkową zaletą tak skonstruowanego modelu z programem jest to, że uzy
skuje się graficzną postać wyników w dowolnie wybranej skali czasu u- możliwiajęcej czytelny kształt rysunku w zależności od wymagań użytkow
nika .
Reasumując, przedstawiony model matematyczny i program Jest prostym narzędziem pozwalającym w krótkim czasie przeprowadzić wszechstronną ana
lizę pracy DAS, Należy Jednak przypomnieć, że model i program są etapem pośrednim na drodze do zaproponowania użytecznego do celów syntezy modelu silnika i b£dą służyć do prowadzenia eksperymentu maszynowego. Następny etap budowy modelu użytecznego został przedstawiony w £lO].
LITERATURA
[1] Kacprzyński B . : Planowanie eksperymentów. Podstawy matematyczne WNT, Warszawa 1974.
[2] Ivobotenko B.A., Ilinkslj N.F., Kopyłow D.P.: Płanirovanie eksperi- menta v elektromechanikę. Energija. Moskwa 1975.
[3] Marecki F . : Metodyka syntezy dynamiki dwufazowego holonomicznego sil
nika indukcyjnego. Praca doktorska. Gliwice 1975.
[4] Modeli elektromechanićeskich ustrojstw i sistem v zadacach sinteza.
Elektricestwo nr 3, s. 36-40, 1973.
[5] Kowalowski H . , Marecki F. , Sobień 0, : Osobliwości badania układów dy
namicznych metodą modelowania cyfrowego w zastosowaniu do automatyza
cji prac projektowo-konstrukcyjnych. Prace VI KKA, t. 1, s. 595, Po
znań 1974.
[6] Habiger E . : Silniki dwufazowe wykonawcze, WNT Warszawa 1977.
[7] Kopyłow I.P. : Elektromechaniczne przetworniki energii. PWN, Warszawa 1978.
[8] Instrukcja X3AB EMC ODRA 1304 Oprogramowanie. Dęzyk do modelowania układów ciągłych.
£9] Dokumentacja techniczna silnika typu SAK-2A.
[10] Paluchiewicz B. : Wykorzystanie bilansu losowego do wyznaczenia domi
nujących z punktu widzenia dynamiki cech konstrukcyjnych DAS. Zeszyty Naukowe Pol. Sl. Automatyka z. 61
[llj Łopuchina E.M., Soraichina G.S.: Proektirovanie asinchronnych mikro- maSin z połym rotorom. Energlja, Moskva 1968.
Złożono w red. 17.06.80 r. Recenzent
W formie ostatecznej 15.04.81 r. Rrof> dr hgb> inż> Zygmunt Bajorek
MATKMATHHECKHE M0HEJ1H JpyX$A3M0r0 ACttHXFOHHOrO flBHrATEJIfl npurojmoro ¡¡jm ujwpoBoro ahajihsa
V e 3 K5 m e
B C T a T b e p a c c w a T p H B a e T C H n p e o 6 p a 3 0 B a n n e KAaccHHecKoit MaTeiiaTmjecKoif m o -
^Byxii)a3Horo a c H H x p O H H o r o A B H r a T e A H k B H A y n03B0AHK>meMy H a n p o B e A e H H e i m ^ p o B o r o a H a j m s a , a Taitxe ipt^poaoft npiiuep. 3 t o « B A s e i c a n e p B u M 3 T a n o M p e - m e H H H B o npoca. C H H T e a a K O H C i p y K U H H ABHraTeJia. UzippoBoa a H a x H 3 ocymecxBAfieTCA n p H n p H M e H e H H H c n e u H a j i H 3 H p o B a H H o r o a 3 H K a a o M O A e A H p o B a H n a n e n p e p u B H o r o k o h - x y p a n a 3BM. IlpHMep b h h h c a g h a a h MaieMaTHHecKOii m o a c a h , b xoTopoii H C 3 a B n c H - Moii nepev-eHHoa H B X H e i c a o a h h p a 3 i o k npoTexaioAHii b ofiMoiKax, a bo b t o p o m c A y n a e BOTOKOcii e n A e H H e n[> .
/
MATHEMATICAL MODELS OF TWO-PHASE SERVO MOTORS SUITABLE OF A NUMERICAL ANALYSIS
S u m m a r y
The paper presents both a conversion of a classic mathematical model of a two-phase servo motor into a form enabling a numerical, analysis and a very numerical example. It is the first stage in solving the problem of a motor construction synthesis. A numerical analysis is carried out using a specialized computer language for a continuous systems modelling. An example is calculated for mathematical models where, in the first case a current in windings is an independents variable and in the other case, a flux linkage n/7 plays this role.
