Z ESZ Y T Y N A U K O W E P O L IT E C H N IK I Ś L Ą S K IE J Seria: B U D O W N IC T W O z. 93
2001 N r kol. 1514
M agdalena A T A M A N * P olitechnika W a rs z a w sk a
ANALIZA DYNAMICZNA BELKI POD INERCYJNYM OBCIĄŻENIEM RUCHOMYM
S t r e s z c z e n ie . P r z e d m io te m p ra cy j e s t a n a liz a d y n a m ic z n a b e lk i s w o b o d n ie p o d p a rtej o b c ią ż o n e j r u c h o m y m punktem m a te r ia ln y m , p o r u s z a ją c y m s ię z e s t a łą p r ę d k o śc ią . B e lk a m o d e lo w a n a j e s t j e d n y m s t o p n ie m s w o b o d y . W za d a n iu u w z g lę d n io n o w p ły w tłu m ie n ia .
DYNAMIC ANALYSIS OF BEAM UNDER INERTIAL MOVING LOAD
S u m m a r y . T h e p a p e r d e a ls w ith d y n a m ic a n a ly s is o f s im p ly su p p o r te d b e a m u n d er in e r tia l lo a d . T h e c o n centrated m a s s is m o v in g w it h c o n s ta n t v e l o c it y a lo n g o n e - d e g r e e - o f - f r e e d o m b e a m . V is c o e l a s t i c d a m p in g o f beam is ta k e n in to a c c o u n t in th e a n a ly s is . F o r c e d and fr e e v ib r a tio n s a re c o n s id e r e d . N u m e r ic a l e x a m p le s are p resen ted in th e p a p er.
1. Wstęp
A n a liz u ją c z a g a d n ie n ie belki sw o b o d n ie p o d p artej o b ciąż o n ej ru ch o m y m p u n k tem m ate
rialnym , p o ru sz a ją c y m się ze s ta łą p rę d k o ś c ią w y p ro w a d z o n o m e to d ą a n a lity c z n ą ró w n an ie ruchu d rg a ją c e g o b elk i. D o ro z w ią z a n ia teg o lin io w eg o ró w n a n ia ró ż n iczk o w eg o o zm ien n y ch w sp ó łc z y n n ik a c h za sto so w a n o p ro g ram M ath em atica. Z a p o m o c ą teg o sam ego o p ro g ra m o w a n ia w y k o n a n o ró w n ie ż p rz y k ła d y o b lic z e n io w e , w w y n ik u k tó ry ch u zy sk an o u g ię c ia d y n a m ic z n e b elk i p rzy ró ż n y c h w a rto śc ia c h p ręd k o ści i ró żn y ch p ro p o rc ja c h w arto ści m asy o b c ią ż e n ia in e rc y jn e g o do m asy k o n stru k c ji. P o n ad to p rz e p ro w a d z o n o an a liz ę d rgań sw o b o d n y ch ro z w a ż a n e j k o n stru k cji.
* O p ie k u n n a u k o w y : P rof. d r hab. inż. W acław S zczęśn iak .
2. Drgania belki modelowanej jednym stopniem swobody wymuszone ruchomym, skupionym obciążeniem inercyjnym
R o z p a tru je m y b e lk ę sw o b o d n ie p o d p a rtą (rys. 1), o d łu g o ści / i szty w n o ści na zg in an ie E J , o b c ią ż o n ą ru c h o m y m p u n k tem m a te ria ln y m o m asie M , p o ru sz a ją c y m się ze s ta łą
p rę d k o ś c ią v . M a s a belki M h je s t sk u p io n a w środku je j ro zp ięto śc i. A n alizu jem y , zatem
układ o je d n y m sto p n iu sw o b o d y z n iew iad o m y m u g ięciem śro d k a belki w
2 J , w y w o ła- ny m ru c h o m y m o b c ią ż e n ie m sk u p io n y m . Z ak ła d a m y , że w u k ła d z ie w y stę p u je tłu m ie n ie w i- sk o ty c z n e w e d łu g m o d elu Teologicznego K e lv in a -V o ig ta .
Z g o d n ie z ry su n k ie m 1 p o sz u k iw a n e u g ięcie d y n a m ic z n e belki w śro d k u ro zp ięto śc i w y ra zim y z n a n y m w zo rem k o rz y sta ją c z zasad y su p erp o zy cji:
' /
2 J = - S u (Bb+ R ) + ( P - B ) S l0, (2.1)
g dzie:
B. = M , — — - siła b ezw ład n o ści belki, d 2w
* d r
P = M g - cię ż a r ru ch o m ej m asy, , d 2w
B = M -
dr siła b ezw ład n o ści d ’A le m b e rta ru ch o m ej m asy M
dw . .
R = c - siła tłu m ien ia.
dr
D alej w p racy p rz y jm u je m y m odel b elk i R en au d o ta, w w yn ik u czeg o d ru g a p o ch o d n a d 2w
d r2
je s t p o c h o d n ą m a te ria ln ą o p is a n ą w zorem :
v = const,
A naliza d y n a m ic z n a belki. 19
x = vt
P = M g
w ( x , t ) = f ( t ) s i n ^
w ( x , t ) = f ( t ) sin n x
R = c — dw dt
n ik
d i2
S = k w \ 2 > t
£= — 5 ,, = ——
/ 11 4 8 E 7
d 2w
d r dr2 dxdt a* 2
* = 1 4 8 E / n * E J 21
. ~ . TtX _ . 7tVt
®I0 — I sin . ~ I s,n ~~j~
R y s. 1. S c h e m a t b e lk i o j e d n y m s to p n iu s w o b o d y p o d r u c h o m y m o b c ią ż e n ie m in e r c y jn y m F ig . 1. O n e - d e g r e e - o f - f r e e d o m b e a m u n d er in e r tia l m o v in g lo a d
Z a k ła d a ją c ro z w ią z a n ie z a d a n ia w p o staci fu n k cji
v{x,t)= /( f ) s in — , (2.3)
siłę b e z w ła d n o śc i ru c h o m e g o o b c ią ż e n ia B , z g o d n ie z w zo ram i R e n a u d o ta (2.1) i (2.2), m o ż e m y z a p is a ć w n a stęp u jącej fo rm ie
R ó w n a n ie ru ch u m asy M h w środku belki (2.1), po u w zg lęd n ie n iu (2 .3 ) i (2 .4 ) o ra z w zo ró w na p rz e m ie s z c z e n ia je d n o s tk o w e :
« 1 3 2 / 3
d „ = ■ , , 5.» = 5 n sin — v t = 5 ,, sin TT«?,
4 8 E J n E J l "
m a p o sta ć (2 .5 )
, / v 2 P
/ ( , ) = - IK E J7 7 M g - M /(/)sin 7 t£ + 2 / ( r ) y c o s 7 i ^ - sin kE, + (2.5) - -T T T k ; ,/ (')+ c /(r)], przy x = ^~.
K Ł J 2*
Z a k ła d a ją c , że sk u p io n a w śro d k u belki m asa M b = ^ m l = , ró w n an ie (2 .5 ) m ożem y, po p ro sty ch p rz e k sz ta łc e n ia c h , z a p isać następ u jąco :
( 4 (iW,, + M sin2 K%)f(t)+ — — s i n2;r<!;+c / ( / ) +
' V
g d zie m je s t m a s ą je d n o s tk o w ą belki.
D alej w p ro w a d z a m y n a stęp u jące ozn aczen ia:
P = — - b e z w y m ia ro w y w sp ó łczy n n ik m asy, m l
n E J k v . 2 ,
~ 2 p sln *5 / ( / ) = A ijęsin^ , (2.6)
1
I96EJ rc2 [EJ,, , , . . . „ .
(0 = (Oh = - r - - l --- = -5- , — - cz ę sto sc drgań w ła sn y c h belki o je d n y m stopniu l \ m l \ m
sw o b o d y .
R ó w n a n ie ru ch u d rg a ją c e g o b elk i, po p o d zielen iu go stro n am i p rz e z M h , m o żem y teraz zap isać w n a stęp u jącej postaci:
' 2jtv .2£ V « . s-2.
r-
- /3 sin2 Tri / ( / ) = 2fig s in tt/;. (2.7) (l + 2)3 s in27^ ) / ( f ) + | “ /3 sin 2 ^ + ^ j / ( t ) +W y m ia re m fu n k c ji / ( i ) je s t [m ], fu n k cji / ( ? ) [m /s], a fu n k cji f ( t ) [m /s2].
P o w p ro w a d z e n iu b ezw y m ia ro w ej fu n k cji / , ( £ ) = , ( wlln, s i n — ) o raz w spół-
2
2 v2
c z y n n ik a k~ = — — 7 , ró w n a n ie ru ch u (2.7) zap isu jem y w p o sta c i b ezw y m ia ro w ej l co
w n a stę p u ją c y sposób:
jc2 (l + 2/3 sin2 nĘ, ) C* + (2 k k 2P sin 2tcĘ,+ a ) ^ ^ + (l - 2 k 2P k 7 sin2 nE, )/, (¿;) = sin kE, , (2.8)
d ę d£
Analiza d y n a m ic z n a belki. 21
2 M g ? k*EJ
gdzie, f sm = — -— — - u g ię c ie sta ty c z n e w śro d k u ro z p ię to śc i belki,
2cv k c „ 2 n c „ y.
-<5, -> 5, = --- = 2n t¡ ,
— i * - ” 1 ” I ,
m l co n m lc o
5 , o z n a c z a lo g a ry tm ic z n y d e k re m e n t tłu m ien ia.
R ó w n an ie (2 .8 ) j e s t ró w n a n ie m lin io w y m ró ż n ic z k o w y m d ru g ie g o rzęd u o zm ien n y ch w spółczynnikach. P o n ie w a ż d o ty c h c z a s n ie j e s t z n a n a m e to d a a n a lity c z n a je g o śc isłe g o ro z wiązania, ró w n a n ie to ro z w ią z u je m y n u m e ry c z n ie k o rz y sta ją c z p ro g ram u M ath em atica.
3. Drgania swobodne belki
Po zjec h an iu ru ch o m ej m asy z k o n stru k c ji, b e lk a w y k o n u je d rg a n ia sw o b o d n e o p isan e rów naniem ró ż n ic z k o w y m (3 .1 )
/ ( 0 + ^ / ( ' ) + ® 7 ( 0 = o . (3 .D
m l
R ozw iązanie ró w n a n ia (3 .1 ) w e w sp ó łrz ę d n y c h b e z w y m ia ro w y c h m a n a s tę p u ją c ą postać:
(3.2) / i ( Ś ) = e l'S" A c o s ć o - ć ; + f i s i n o l - ć ; ,
l v v
gdzie: ¿o = -J(Q2 - h 2 = (0^ \ ~ ę 2 - j e s t c z ę s to ś c ią drg ań sw o b o d n y c h tłu m io n y c h ,
c c
2 h — --- —> h — — ,
M h m l
£ = — • 1 0 0% = — • 1 0 0% - liczb a tłu m ien ia.
P o n iew aż a n a liz u je m y u g ięcie w śro d k u ro zp ięto śc i b elk i ( w, = / , s i n ~ ) > fu n k cje / , orazK
/ , s ą so b ie ró w n e, je ś li £ = 1. Z atem w aru n k i p o c z ą tk o w e , k tó re m usi sp e łn ia ć fu n k c ja u g ię
cia / , w ch w ili z ja z d u m asy z k o n stru k c ji ( £ = 1), za p isu je m y w postaci:
% , = 4 = > o raz (3 -3)
K o rzy stając z w a ru n k ó w (3 .3 ) o ra z z ró w n ań (2 .8 ) i (3 .2 ) w y z n a c z a m y stałe c a łk o w a n ia A i B . P o n ie w a ż ró w n a n ia ru ch u (2 .8 ) n ie m o ż n a ro z w ią z a ć a n a lity czn ie, u k ład ró w n ań (3.3) ro zw iązu jem y n u m e ry c z n ie p o słu g u ją c się p ro g ram em M a th e m a tic a .
4. Przykład obliczeniowy
P rzy k ład o b lic z e n io w y b elk i sw o b o d n ie p o d p artej m o d elo w an e j je d n y m sto p n iem sw o b o dy o b cią ż o n e j sk u p io n ą, ru c h o m ą m a s ą w y k o n an o za p o m o c ą p ro g ram u M ath em atica. W o b liczen iach p rz y ję to n a stęp u jące d an e liczbow e:
• d łu g o ść b e l k i - / = 6 m ,
J^CT
• m a sa je d n e g o m etra belki - m = 141 — , m
• m o d u ł Y o u n g a - E - 2.1 • 10" P a ,
• m o m e n t b e zw ład n o ści p rz e k ro ju belki J = 68 7 4 • 10~7 m 4 .
• p ręd k o ść ru ch o m ej m asy v = c o n s t .
W y n ik i u zy sk a n o p rzy ró żn y ch w arto ściach p ręd k o ści v , w sp ó łczy n n ik a ¡5 i w s p ó łc z y n n ik a tłu m ie n ia £ . W ielk o ść ru ch o m ej m asy M p rzy jęto zg o d n ie z w zorem
13 = — -. R e z u lta ty p rz e d sta w io n o w fo rm ie w y k re só w ugięć śro d k a belki, zaró w n o M m l
w p rzy p ad k u d rg ań w y m u szo n y ch , ja k i drgań sw o b o d n y c h po zje ź d z ie ruchom ej m asy z belki.
R y s. 2. U g i ę c i e d y n a m ic z n e ś r o d k a b e lk i p rzy (3 = 0 . 5 , Ç = 0 % , f, < 1 - d rg a n ia w y m u s z o n e , i, > 1 - d rg a n ia s w o b o d n e
F ig . 2 . D y n a m ie d e f le c t io n o f b e a m m id d le p o in t (3 = 0 . 5 , Ç = 0% , Ç < 1 - fo r c e d v ib r a tio n s , Ç > i - f r e e v ib r a tio n s
Analiza d y n a m ic z n a belki.. 23
Rys. 3. U g ię c ie d y n a m ic z n e ś r o d k a b e lk i p r z y P = 1 .5 , ę = 0 % . £ < 1 - d r g a n ia w y m u s z o n e , i, > I - d r g a n ia s w o b o d n e
Fig. 3. D y n a m ie d e f le c t io n o f b e a m m id d le p o in t 0 = 1 .5 , ę = 0 % , % S 1 fo r c e d v ib r a tio n s , ¡ ; > 1 - fr e e v ib r a tio n s
S
Rys. 4. U g ię c ie d y n a m ic z n e ś r o d k a b e lk i p r z y 0 = 2 . 0 , Ç = 0% , i; < 1 - d r g a n ia w y m u s z o n e , Ł, > I - d r g a n ia s w o b o d n e
Fig. 4 . D y n a m ie d e f le c t io n o f b e a m m id d le p o in t 0 = 2 . 0 , Ç = 0 % , Ç < 1 - i, < 1 fo r c e d v ib r a tio n s , i, > i - fr e e v ib r a tio n s
R ys. 5. U g ię c ie d y n a m ic z n e ś r o d k a b e lk i p rzy p r ę d k o śc i o b c ią ż e n ia v = 5 0 — , ę = 0 % . £ < 1 - d r g a n ia w y m u
s z o n e , \ > I - d rg a n ia s w o b o d n e
F ig . 5 . D y n a m ie d e f le c t io n o f b e a m m id d le p o in t, lo a d v e l o c it y v = 5 0 — , £ = 0 % , \ < 1 fo r c e d v ib r a tio n s .
\ > 1 - f r e e v ib r a tio n s
R y s. 6 . U g i ę c i e d y n a m ic z n e ś r o d k a b e lk i p r z y p r ę d k o ś c i o b c ią ż e n ia v = 1 0 0 — , ę = 0 % , ¡ ; < 1 - d rg a n ia w y m u - s
s z o n e , £ > 1 - d rg a n ia s w o b o d n e
F ig . 6 . D y n a m ie d e f le c t io n o f b ea m m id d le p o in t, lo a d v e l o c it y v = lOO— , £ = 0 % , £ < 1 fo r c e d v ib r a tio n s ,
£ > 1 f r e e v ib r a tio n s
-1 . 5
- l
-0 . 5
0 . 5 1 1 . 5 2
R y s. 7 . U g ię c ie d y n a m ic z n e ś r o d k a b e lk i p rzy p = 1.5 i ę = 7 . 5 % , £ £ l - d rg a n ia w y m u s z o n e , £ > 1 - d rg a n ia s w o b o d n e
F ig . 7 . D y n a m ie d e f le c t io n o f b ea m m id d le p o in t, p = 1.5 i ę = 7.5% , £ £ 1 fo r c e d v ib r a tio n s , £ > 1 fr e e v ib ra tio n s
R y s. 8. W p ły w t łu m ie n ia n a u g ię c ie d y n a m ic z n e b e lk i, £ < 1 - d rg a n ia w y m u s z o n e , £ > 1 - d rg a n ia s w o b o d n e F ig . 8 . D a m p im g in f lu e n c e fo r d y n a m ie d e f le c t io n o f b e a m , ę ś 1 fo r c e d v ib r a tio n s, ę > 1 fr e e v ib r a tio n s
A naliza d y n a m ic z n a belki. 25
Rys. 9 . U g i ę c i e d y n a m ic z n e ś r o d k a b e lk i p rz y v = 100 — i Ç = 5 % , Ç < 1 - d rg a n ia w y m u s z o n e , Ç > 1 - d rg a n ia s
s w o b o d n e
Fig. 9 . D y n a m ie d e f le c t io n o f b ea m m id d le p o in t, v = 1 0 0— i Ç = 5 % , £, < 1 - fo r c e d v ib r a tio n s . \ > I fr e e v i-
S
b r a tio n s
5. Wnioski
N a p o d sta w ie o trz y m a n y c h w y n ik ó w w id ać, że isto tn e zn a c z e n ie w ro z w ią z y w a n y m zad a
niu m a z a ró w n o p rę d k o ść , j a k i w ie lk o ść w sp ó łc z y n n ik a P . W p racy nie p rz e d s ta w io n o p o ró w n an ia z b e lk ą o m a sie ró w n o m ie rn ie ro z ło ż o n e j, ale j a k w s k a z u ją o b lic z e n ia , w p rzy p ad k u ugięć w y n ik i p ra k ty c z n ie p o k ry w a ją się z e so b ą, je ś li u w zg lę d n im y je d e n w y ra z szereg u w ro zw iązan iu a n a lity c z n y m . N ie m n ie j je d n a k , j a k w y n ik a z ro z p ra w y [2], w p ły w w y ższy ch często ści i p o sta c i d rg ań w ła sn y c h n a u g ię c ia śro d k a b elk i j e s t n ie z n a c z n y (o k o ło 2% ).
D alszy m i e ta p a m i a n a liz y b ę d z ie u w z g lę d n ie n ie zm ien n ej p ręd k o ści o b c ią ż e n ia , ró żn y ch m odeli p o d ło ż a sp rę ż y ste g o , m o d eli tłu m ie n ia lin io w eg o i n ie lin io w e g o , w p ły w u u m ia rk o w a nie d u ż y c h u g ię ć (n ie lin io w o ść g e o m e try c z n a ), a ta k ż e zm ien n ej g ru b o ści, szty w n o ści i m asy belki.
Z a d a n ie m a isto tn e zn a c z e n ie p rzy te sto w a n iu d u ży ch sy ste m ó w k o m p u tero w y ch .
L IT E R A T U R A
1. B o jib n ep A-B., MopraeBCKHii A .E.: O ¿WHaMHuecKOM bosæchctbmm noflBHWHoü H arpy3KH n p n ô o jib u w x CKopocrax ztBHweHHH. HccjieaoBaHHa n o T eopnn copyw eH uti.
X II MocKBa, 1963, CTp. 21-42.
2. M o p r a e B C K H H A .E ., K a p n o B J l .n ., H h k h th h r.d>.: 0 6 H c c ji e a o B a tt H H B ejiH H H H bi A H H a M H n e c K o ro B0 3 fleiłcT B H H n o ą B t n K H o ii H a r p y 3 KH c y n eT O M B b i c u i n x rpM OHMK.
H c c ji e a o B a H H H n o T e o p n n c o o p y w e m i n , B b in . 1 6 , 1 9 6 8 , c. 15-24.
3. K alisk i S., D ż y g ad ło Z ., S to la rz L ., W ło d a rc z y k E.: D rg an ia i fale w ciałach stałych, P W N , W a rs z a w a 1966.
4. S z c z ę śn ia k W .: In ercy jn e o b c ią ż e n ia ru c h o m e n a b elk ac h . P race n au k o w e, b u d o w n ictw o z. 112, W y d a w n ic tw a P o lite c h n ik i W a rsz a w sk ie j, W a rs z a w a 1990.
5. S zc z ę śn ia k W .: W y b ran e z a g a d n ie n ia b e le k i p o w ło k p o d d an y ch in ercy jn y m o b c ią ż e n io m ru ch o m y m . P ra c e n au k o w e, b u d o w n ic tw o z. 125, W y d a w n ic tw a P o lite c h n ik i W a r
sz a w sk ie j, W a rs z a w a 1994.
6. A ta m a n M „ S zc z ę śn ia k W .: D y n am ik a b elek c ią g ły c h po d o b c ią ż e n ie m ru ch o m y m . P ra
ce N a u k o w e P o lite c h n ik i R a d o m sk ie j, z. 2, R ad o m , 2000, s. 1-22.
7. Z b ic ia k A ., S zc z ę śn ia k W .: R u ch o m e o b c ią ż e n ia b e z in e rc y jn e na belce m o d elo w an ej je d n y m sto p n ie m sw o b o d y . IV K o n fe re n c ja K o m p u te ro w e S y stem y W sp o m a g a n ia N a u ki, P rzem y słu i T ra n sp o rtu - T ran sC o m p , Z a k o p an e 2 0 0 0 , s. 4 4 1 -4 5 0 .
R ecen zen t: D r hab. inż. Z b ig n iew Z em b aty
A b s tr a c t
T h e p a p e r d eals w ith th e sim p ly su p p o rted b eam , m o d elled w ith o n e d eg re e o f freedom . T h e b e a m is su b je c te d to th e c o n c e n tra te d m ass m o v in g w ith co n sta n t v elo city . T h e K elvin- V o ig t m o d el o f d a m p in g , the in flu en ces o f v elo city and m ass m a g n itu d e are co n sid ered . T he d iffe re n tia l e q u a tio n o f b e a m m o tio n is an aly tically ed u c e d an d n u m e ric a lly so lv ed w ith the aid o f M a th e m a tic a 4 .0 . T h e d y n am ic d e fle c tio n s o f b e a m in case o f v a rio u s v e lo c itie s, p facto rs an d d a m p in g c o e ffic ie n ts are show n.
