Dyskretne modele zjawisk kontaktowych

(1)

Seria: MECHANIKA z. 91

XIII MięDZYNARODOWE KOLOKWIUM

"MODELE W PROJEKTOWANIU I KONSTRUOWANIU MASZYN"

13th INTERNATIONAL CONFERENCE ON

"MODELS IN DESIGNING AND CONSTRUCTIONS OF MACHINES"

25-28.04.1989 ZAKOPANE

Wiesław OSTACHCWICZ Marek KRAWCZUK

Instytut Maszyn Przepływowych PAN,Gdańsk Wydział Budowy Maszyn(Politechnika Gdańska

DYSKRETNE MODELE ZJAWISK KONTAKTOWYCH

Streszczenie. W pracy przedstawiono modele zjawisk kontaktowych, które zastosowano w statycznej i dynamicznej analizie układów mechanicznych. Ciała będące w kontakcie modelowano elementami skończonymi. Na powierzchniach styku wprowadzono punktowe elementy skończone o właściwościach sprężysto-plastycznych.

1. Wstęp

Zagadnienia kontaktowe stanowią istotny problem w technice. W wielu przypadkach decydują o trwałości współpracujących elementów maszyn, a w przypadkach skrajnych wpływają na bezpieczeństwo tych połączeń.

Zagadnienia kontaktowe można podzielić ogólnie na dwa podstawowe typy:

a) zagadnienia statyczne - np: połączenia nitowe, wciskane, cierne.

b) zagadnienia dynamiczne - np: połączenia śrubowe, różnego ro

dzaju prowadnice, łożyska toczne.

Powyższy podział można rozszerzyć o: warunki kontaktu, wpływ temperatury, chropowatość powierzchni, zagadnienia termosprężysto- ści i plastyczności, zjawiska mechaniki pękania,a także reologii materiałów.

2. Dyskretny model statycznego zagadnienia kontaktowego Model rozpatrywanego zagadnienia przedstawiono na rys. 1.

(2)

148 W. Ostachowicz, M. Krawczuk

Założono możliwość odkształceń układu w płaszczyźnie X OY . Stykają

ce się ciała modelowano trójkątnymi, tarczowymi elementami o dwóch stopniach swobody w węźle.

Rys. i. Dyskretny model statycznego zagadnienia kontaktowego.

Fig. 1. A discrete model of statical contact problem.

Na powierzchni styku wprowadzono punktowe elementy skończone, zakładając ich odkształcalność w kierunku normalnym - n oraz stycz

nym - t.

PES posiada własności sprężysto-plastyczne, co pokazano na r y s . 2 .

Rys. 2. Modele własności sprężysto-plastycznych PES:

a) w kierunku normalnym, b) w kierunku stycznym Rys. 2. The models of elastoplasticity properties of PES:

a) in a normal direction, b ) in a tangent direction Sztywność PES w kierunku normalnym obliczamy z zależności:

kzN= ‘cN ( 1- | r r f , - exP(-y3 ^ u)]} (1

gdzie: GAP - założony luz lub zacisk wstępny ciał będących w kontakcie,

(3)

fi - współczynnik wzmocnienia materiału,

AU - odkształcenie PES w kierunku normalnym określone związkiem:

A U - U L ~ Uj + G A P ( 1. 1 )

gdzie: Ui,Uj ~ przemieszczenia normalne węzłów, które łączy PES, Sztywność PES w kierunku stycznym obliczamy z zależności:

'•ZT Á V

( 2 )

gdzie: FN - siła normalna,

p - współczynnik tarcia Coulomba, p> - współczynnik wzmocnienia materiału,

A V - odkształcenie PES w kierunku stycznym określane związkiem:

A V = V L - Vj - P O S (

2

^.

1

⁾

gdzie: Vi ,Vj - przemieszczenia styczne węzłów, które łączy PES, POS - wstępny poślizg w kierunku stycznym.

Macierz sztywności układu f(Ku] ma postać:

[»<

0

] =

IX,] [0 ]

[0 ] [K J

(3)

gdzie: jjK,,] y ¡JKg] - macierze sztywności ciał A i B, które począt

kowo nie kontaktują się ze sobą, tworzone wg ogólnie znanych metod, np.: Cl).

Do macierzy ¡JKU] dodajemy macierz sztywności PES - w postaci:

[KpJ - Ć _{r = l}D C ] ⁽⁴⁾

gdzie: P - numer PES,

V - liczba PES modelujących strefę kontaktu.

Macierz [K pEs] jest wypełniona zerami, z wyjątkiem bloków [ m ']ma33cyc:h postać:

(4)

150 W. Ostachowicz, M. Krawczuk

[ « ] -

■Vr' _ZN o k

o (r)

ZT

(5)

Statyczne zagadnienie kontaktowe sprowadza się do rozwiązania równania (6):

f c H ł M f)

⁽

⁶

⁾

gdzie: [8<1~ macierz sztywności ciał będących w kontakcie z uwzględnieniem macierzy sztywności PES,

{cj.}- wektor współrzędnych uogólnionych,

|jp|- wektor sił zewnętrznych.

Rozwiązując równanie (6) w pierwszym kroku iteracji pomijamy macierz [ lKp£S] . W następnym kroku uwzględniamy macierz [iK , którą obliczamy wykorzystując obliczony w pierwszym kroku wektor współrzędnych uogólnionych { CJ }

3. Dyskretny model dynamicznego zagadnienia kontaktowego

Dyskretny model dynamicznego zagadnienia kontaktowego przedsta

wiono na rys. 3. Do modelowania układu użyto identycznych elementów jak w przypadku statycznego zagadnienia kontaktowego. Układ obcią

żono stałymi co do wartości siłami poprzecznymi F¿ ( i ** 1,...

i zmiennymi okresov/o siłami wzdłużnymi PK ( k = 1, L) . W wyniku drgać wzdłużnych w niektórych PES-ach noże wystąpić stan poślizgu, w innych zaś adhezji, lub też we wszystkich PES-ach może wystąpić stan jednolity (np. adhezja).

Rys. 3. Dyskretny model dynamicznego zagadnienia kontaktowego Fig. 3. A discrete model of dynamie contact problem

Dynamiczne zagadnienie kontaktowe sprowadza się do rozwiązania równania ruchu w postaci:

(5)

( M + ¿ c o [ C ] ) { c j } = - {f}

gdzie: [K] - macierz sztywności tworzona wg zasad podanych w rozdziale 2,

[iHl LCl - macierze bezwładności,tłumienia tworzone wg zasad podanych w literaturze, np. [2],

\Cj, } - wektor współrzędnych uogólnionych,

|ipj- wektor sił zewnętrznych, cj - częstość wymuszeń,

L = v ^ T .

4. Opis programu rozwiązującego dynamiczne zagadnienia kontaktowe Schemat blokowy programu komputerowego przedstawiono na rys.4 . W programie DYN podajemy parametry fizyczne i geometryczne układu, a więc wymiary przekroju poprzecznego, długości elementów, moduł Younga, liczbę Poissona, gęstość materiału, współczynnik tarcia Coulomba,a także liczbę elementów skończonych NE, liczbę elementów punktowych NPES, współczynniki sztywności PES w kierunku normalnym i stycznym. Ponadto podajemy amplitudy i częstości sił wymuszają

cych. Tworzymy kolejno macierze charakterystyczne elementów,a na ich podstawie macierze globalne [HI • Wektor { F } zawiera amplitudy obciążeń zewnętrznych układu. Następnie obliczamy macie

rze sztywności PES w kierunku normalnym, stycznym wg zasad opisa

nych w punkcie 2. i dodajemy do globalnej macierzy sztywności.

Określamy amplitudy drgań wymuszonych układu W , które oblicza program SOLVG,który opracowano według procedury Gaussa i przysto

sowano do rozwiązywania liniowych równań algebraicznych o współ

czynnikach zespolonych. Proces obliczeń trwa do momentu,gdy współ- c zynnik eps nie będzie przekraczał założonej toleracji wyników

er •

(6)

15.? W. Ostachovíicz, M. Krawczuk

PROGRAM DIN

fPWiMICiev tlZTCZNŁ i geometryczneukładu

< E 2 D

Tworzeniemacierzv |

£ Lg ME »TU

TW O R Z E N IE G L O B A L N Y C H

macierzyukłado

'Tt oR Z Em iE w' E <t o«a

OBClAZÊtâ {f}

NE - Liczba elementów

N PE5 - U c z b a P £ S

LTEg- numer kroku iterocji

<}i - przemieszczenie i- tego wfZia

raot* i i jaŁE-LTEg-H )S=

-lr - v ^ O

TWORZENIE MAClŁRZYŁZTYWNOiCi PES W lOERUUCb NO<!MAWYtt[V]

OBLICZANIE WEK-TX oRA Sił W KIERUNKI) NORMALNYM W PE5 {fu}

"TWORZENIE MACIE6ZY SZTYWNtóli PŁS W klERPijkU STYCZNYM [IKst.]

'"Gorzenienacieczysztywność ÜK]‘L¡K]* LKnp3 + LKsp]

• i ~...

Rozwiązanie rbwnania .(M-w2Drt]+ico[<r]}foHfl

... i

ai'.LTfcg-i) iyilLTŁ B.)

tak I WYDRUK IVYNIK0W|

/sto\ Rys. 4. Schemat blokowy programu komputerowego Fig. 4. The general scheme of the computer program».

L I T E R A T U R A

[1] K.J.BATHE, E.L.WILSON: Numerical method in finite element analy

sis, Prentice Hall Englewood Cliffs 1976.

[2] O.C.ZIENKIWICZ: Metoda elementów skończonych. Arkady, Warszawa 1972.

£IICKPETHHE iJOAEJDI K0I11AKTH0Ü 3AJIAHH

? e 3 lo m e

B paCoTe npenciaBJieHO MOfleJiH KOKiaKTHoii sa^a^n, Koiopue npm.ieHHo b cTaTuTOoii a sitHaMiiNHOii aHanH3e MexaiiHTiecKHX yxaaflOB. Teaa Cy^yspie b KOHTaKTe MOneJiapoBaHO KOHegHHMH DJieueHTaua. Ha KOHTaxiHux nonep- XH0C5.7X BBefleHO TOMHHe SJieMeHTH, O SJiaCTHVHO-njldCTHLiHKX CBOñCTBaX.

DISCRETE MODELS OF CONTACT PROBLEM S u m m a r y

The paper presents models of a contact problems which were used tn a statical and dynamical analysis of structures. The real bodies were modeled by finite elements. On the surfaces between the contact oodles were introduces the point elements. These elements modeled elasto-plastic properties.

płynęło do Redakcji 15.XII.1988 ri

Recenzent: dr inż. W. Kaliński