MODELOWANIE ZJAWISK KONTAKTOWYCH W ŁOŻYSKU SKOŚNYM
METODĄ ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH
Jan Kosmol
1a, Paweł Lis
1b1Katedra Budowy Maszyn, Politechnika Śląska
ajkosmol@polsl.pl
Streszczenie
Obliczenia oporów ruchu w łożysku tocznym wymagają informacji o oddziaływaniach pomiędzy kulką i bież- niami łożyskowymi w strefach kontaktowych. Istniejące modele obliczeniowe nie zapewniają wystarczającej do- kładności, ponieważ nie uwzględniają wpływu prędkości obrotowej na opory ruchu. Współczesne, komercyjne programy klasy Ansys umożliwiają modelowanie zjawisk kontaktowych, wykorzystując dostępne modele kontak- towe. W analizowanym przypadku wzięto pod uwagę model Frictional, który umożliwia modelowanie zarówno tarcia jak i przemieszczeń kulki względem bieżni pierścieni. W programie Ansys można symulować występowanie sił odśrodkowych wynikających z ruchu obiegowego kulki oraz sił żyroskopowych wnikających z ruchu obrotowego kulki wokół własnej osi i z jej ruchu obiegowego. Program Ansys pozwala obliczać siły (reakcje) występujące w strefach kontaktowych. Te siły, wraz ze współczynnikiem tarcia tocznego, pozwalają na oszacowanie momentu oporów ruchu łożyska w funkcji prędkości obrotowej i napięcia wstępnego łożyska. W referacie przedstawiono przykładowe wyniki takich badań dla wybranego łożyska tocznego skośnego.
Słowa kluczowe: łożysko skośne, opory ruchu, MES
MODELLING OF CONTACT EFFECTS IN BALL BEARING USING FINITE ELEMENT METHOD
Summary
Calculation of ball bearing resistance needs information about reactions in contact zone. Having such infor- mation and taking into account a coefficient of rolling friction the designer can calculates the resistance motion of a bearing. The contact forces depend on rotational speed and on preload of bearing. The rotational speed influ- ences on centrifugal force and gyroscoping force. Professional finite element codes like Ansys makes possible to simulate contact effects in ball bearing using exited models of contact. We have used the Frictional model which enables to model friction and displacements of balls. Ansys makes possible to calculate the influence of centrifugal and gyroscopig forces caused by the ball while turn round the inner ring and turn round own axis on the forces in contact zones. The paper presents examples of results obtained from our simulation as an influence of rotational speed and preload on forces in contact zones and resistance motion of a bearing calculated on such forces.
Keywords: ball bearing, resistance of movement, FEM
1. WSTĘP
Rozwój obróbki ubytkowej w kierunku tzw. szybko- ściowego skrawania HSC (High Speed Cutting) wymusza znaczące zmiany w konstrukcji obrabiarek, które mają umożliwiać prace z wyraźnie większymi prędkościami obrotowymi, kilkanaście, a czasami i kilkadziesiąt tysię- cy obr/min oraz prędkościami ruchów postępowych, sięgających 30 - 60 m/min i więcej. Ponadto maszyny
takie muszą charakteryzować się wyraźnie lepszymi parametrami dynamicznymi, tzn., wysokimi przyspiesze- niami ruchów w stanach przejściowych. Jedną z istot- niejszych konsekwencji wyższych parametrów kinema- tycznych jest wzrastająca ilość ciepła, jaka powstaje w ruchowych parach kinematycznych. Wzrost prędkości obrotowej skutkuje wzrostem mocy strat (N =M
ωwrzeciona, gdzie: Nstrat jest stratami mocy, Moporów jest momentem oporów ruchu, ωwrzeciona jest prędkością kątową), i zmianami sił w strefach kontaktu elementów tocznych z pierścieniami łożyskowymi (wzrost prędkości obrotowej przyczynia się do wzrostu sił odśrodkowych i żyroskopowych od wirujących elementów tocznych), które wpływają na moment oporów ruchu. W literaturze [1] dostępne są analityczne modele obliczeniowe oporów ruchu łożysk tocznych, które bazują głównie na modelu Palmgrena. Model ten nie uwzględnia wpływu prędkości obrotowej na opory ruchu, dlatego może być stosowany w zakresie niższych prędkości obrotowych. Dla wyższych prędkości konieczne jest oszacowanie oporów ruchu od sił odśrodkowych i żyroskopowych. Obliczanie oporów ruchu wymaga informacji o siłach pomiędzy kulkami a bieżniami pierścieni i o współczynniku tarcia tocznego.
W literaturze [1], [4], [5] dostępne są modele analityczne, które pozwalają oszacować wartości sił kontaktowych w funkcji napięcia wstępnego łożyska i jego prędkości obrotowej (prędkości pierścienia wewnętrznego lub zewnętrznego). Przyjmując, że siły tarcia tocznego w strefach kontaktowych są proporcjonalne do sił kontak- towych, można oszacować opory ruchu na drodze anali- tycznej. Takie oszacowanie będzie obarczone błędem doboru współczynnika tarcia tocznego. Ponadto, jak wykazują badania eksperymentalne [2], wyniki nieko- niecznie pokrywają się z wynikami obliczeń analitycz- nych.
Badania numeryczne, np. metodą elementów skoń- czonych, stwarzają możliwość uwzględnienia tarcia ślizgowego przy wyznaczaniu oddziaływań pomiędzy kulkami i bieżniami łożyska w strefach kontaktowych.
Współczesne komercyjne programy do obliczeń MES dostarczają bogatego wyboru modeli kontaktowych, w których istnieje możliwość uwzględnienia tarcia śli- zgowego. Dlatego wydaje się zasadne, aby przeprowadzić stosowne badania numeryczne i porównać otrzymane wyniki z wynikami badań analitycznych i eksperymen- talnych. Taki też jest główny cel niniejszego artykułu.
2. MODEL GEOMETRYCZNY ŁOŻYSKA DLA POTRZEB MES
Badania numeryczne przeprowadzono w systemie Ansys dla łożyska skośnego typu FAG 7OB13-E-T-P4. Jest to łożysko jednorzędowe, o średnicy zewnętrznej 100 mm i wewnętrznej 65 mm, szerokości 18 mm, liczbie kulek 19 i kącie działania 250. Model geometryczny CAD łożyska przedstawiono na rys. 1.
Z uwagi na dużą liczbę płaszczyzn i osi symetrii do badań symulacyjnych metodą elementów skończonych można było użyć modelu bardzo uproszczonego, jak na rys. 2a i rys. 2b.
Rys. 1. Model CAD łożyska tocznego skośnego Dla ułatwienia procesu zagęszczania siatki elementów skończonych wyodrębniono, w sposób geometryczny, te obszary, w których występują zjawiska kontaktowe, tj.
obszar kontaktu kulki z bieżnią pierścienia zewnętrznego i z bieżnią pierścienia wewnętrznego. Na Rys. 2a i Rys. 2b można te obszary wyraźnie dostrzec. Dla takiego modelu geometrycznego, uwzględniając zagęsz- czenie siatki w obszarach kontaktu, liczba elementów skończonych i tak przekroczyła 150 tyś., przy czym wielkość elementu w strefie zagęszczonej wyniosła 0,1- 0,15 mm a w pozostałych strefach ok. 0,5 mm. Widok modelu łożyska po wygenerowaniu siatki ES przedstawia Rys. 2c. Przyjęto, że wszystkie elementy łożyska mają takie same właściwości materiałowe jak stal łożyskowa ŁH 15, znajdująca się w bazie materiałowej Ansysa.
a) b) c)
Rys. 2. Model geometryczny łożyska: a) i b) dla potrzeb MES, c) widok po meszowaniu (c)
3. WARUNKI OBCIĄŻENIA MODELU I WARUNKI BRZEGOWE
Definiując warunki brzegowe modelu ES, odebrano stopnie swobody tylko w kierunku prostopadłym do powierzchni (rys. 3a). Takie założenie jest bliskie stano- wi rzeczywistemu w odniesieniu do płaszczyzn czoło- wych łożyska (rys. 3a) ale nie w odniesieniu do po- wierzchni walcowych pierścienia zewnętrznego i we- wnętrznego. Ciasne pasowanie pierścienia zewnętrznego
łożyska w gnieździe łożyskowym (rys. 3b) i pierścienia wewnętrznego na czopie wałka (rys. 3b) powoduje powstanie sił tarcia, które znacząco ograniczają ewentu- alne przemieszczenia osiowe obu pierścieni. Odebranie stopni swobody tym pierścieniom tylko w kierunku normalnym do tych powierzchni jest dużym uproszcze- niem modelu ES. W płaszczyznach wynikających z symetrii odebrano stopnie swobody w kierunku nor- malnym do nich (płaszczyzna C na rys. 3c).
a) b) c)
Rys. 3. Warunki brzegowe dla potrzeb MES: a) dla płaszczyzny czołowej (płaszczyzna B), b) dla powierzchni walcowej, c) dla płaszczyzny symetrii podziału łożyska (płaszczyzna C)
Warunki obciążenia modelu łożyska dobrano sto- sownie do celu badań, tj. do oceny wpływu napięcia wstępnego oraz wpływu prędkości obrotowej na siły kontaktowe. W modelu ES napięcie wstępne zamode- lowano w postaci ciśnienia działającego na płaszczy- znę czołową pierścienia zewnętrznego (rys. 4a). Ruch obrotowy pierścienia wewnętrznego, a tym samym
wirowania kulek wokół osi łożyska i ruch obrotowy kulek wokół własnej osi wywołuje powstanie dwóch sił: odśrodkowej i żyroskopowej. Obie te siły znacząco wpływają na siły w strefach kontaktowych. Na rys. 4a pokazano przykładowe usytuowanie wektora siły w strefie kontaktu kulki i pierścienia zewnętrznego.
a) b)
Rys. 4. Sposób modelowania obciążeń: a) napięcia wstępnego, b) siły działającej na kulkę w strefie kontaktu kulki z bieżnią pierście- nia zewnętrznego
W systemie Ansys, dla zamodelowania sił odśrodko- wych lub żyroskopowych, trzeba zdefiniować prędkość obrotową i położenie osi obrotu. Prędkość wirowania kulek
nm obliczono następująco:
+
+
−
=
m o k
m i k
m d
α cos n D
d α cos n D
n 1 1
2
1 (1)
Natomiast dla obliczenia prędkości obrotowej kulek wokół własnej osi skorzystano z formuły [1]:
( )
+
−
−
=
m k m
k i o k m
k d
D d
n D n D
n d α cosα
cos 1 1
2 (2)
gdzie:
nm - prędkość wirowania kulek wokół osi łożyska, ni, no - prędkości obrotowe pierścienia wewnętrznego i zewnętrznego łożyska,
Dk - średnica kulki,
dm - średnia średnica łożyska, α - nominalny kąt działania łożyska,
n - prędkość obrotowa kulki wokół własnej osi.
4. MODEL KONTAKTOWY
Ponieważ celem badań jest wyznaczenie sił występu- jących pomiędzy kulką a bieżniami łożyska, to przyjęcie określonego modelu kontaktu tych elementów jest zagadnieniem pierwszoplanowym. Przyjęto nieliniowy, sprężysty model Hertza, w którym związek pomiędzy odkształceniami kontaktowymi a siłami normalnymi można przedstawić następująco:
32 o o o
32 i i i
δ K Q
δ K Q
⋅
=
⋅
= (3)
gdzie:
Qi, Qo - siły w strefie kontaktu kulki z bieżnią we- wnętrzna i zewnętrzną,
δi, δo - odkształcenia kontaktowe, Ki, Ko - sztywność kontaktowa.
Do modelowania strefy kontaktowej metodą nume- ryczną przyjęto dostępny w systemie Ansys model kontaktu Frictional, który umożliwia uwzględnienie zarówno tarcia jak i poślizgu kulki w kierunku stycznym względem bieżni łożyskowych. W modelu tym należy
zadeklarować wartość współczynnika tarcia oraz tzw.
współczynnika sztywności zamiast wartości sztywności.
Jego wartość dostrojono tak, aby uzyskać jak najlepszą zgodność wyników z badaniami eksperymentalnymi.
Ponadto należało dokonać wyboru algorytmu oblicze- niowego. Przyjęto algorytm AugmentedLagrange. Waż- nym parametrem modelu kontaktowego jest obszar, w którym program (Ansys) szuka kontaktu pomiędzy zdefiniowanymi powierzchniami. W Ansysie jest to Pinball Region. Przyjęto jego wartość na poziomie 0,3, co oznacza poszukiwanie najbliższego kontaktu w obsza- rze kuli o promieniu 0,3 mm.
5. WYNIKI SYMULACJI
5.1. WPŁYW NAPIĘCIA WSTĘPNEGO
Na rys. 5a przedstawiono przykładowy rozkład na- prężeń redukowanych Misesa dla napięcia wstępnego 1000N a na rys. 5b zależność pomiędzy maksymalnymi wartościami naprężeń a napięciem wstępnym łożyska w osiach X, Y i Z.
a) b)
Rys. 5. Przykładowy rozkład naprężeń: a)graficzna prezentacja dla napięcia wstępnego 1000N, b) zależność maksymalnych wartości od napięcia wstępnego modelu łożyska
Naprężenia koncentrują się w skrajnych obszarach kontaktu kulki z bieżniami, natomiast zależność między maksymalnymi wartościami naprężeń a napięciem wstępnym jest zbliżona do liniowej. Naprężenia w osi Z są o ok. 60-70% większe niż w osiach X i Y.
Z punktu widzenia celu badań najistotniejszy jest wpływ napięcia wstępnego na wielkość oddziaływań (sił) w strefach kontaktu. Dlatego na rys. 6 pokazano zależ- ność wielkości tych sił w obszarze kontaktu kulki z bieżnią zewnętrzną (Qo) i wewnętrzną (Qi) od napięcia wstępnego. Praktycznie siły kontaktowe na obu bież- niach są takie same, co jest zgodne z teorią i są propor- cjonalne do napięcia wstępnego. Dla rozpatrywanego przykładu łożyska skośnego można przyjąć, że 1N napię- cia wstępnego wywołuje 0,0487 N siły kontaktowej.
Taką relację pomiędzy napięciem wstępnym a siłami kontaktowymi można wziąć do obliczeń oporów ruchu
łożyska, spowodowanych napięciem wstępnym łożyska skośnego.
Rys. 6. Zależność sił kontaktowych od napięcia wstępnego modelu łożyska: Qo, Qi - siły kontaktowe pomiędzy kulką a pierścieniem zewnętrznym i wewnętrznym
5.2. WPŁYW PRĘDKOŚCI OBROTOWEJ Prędkość obrotowa łożyska (pierścienia wewnętrzne- go) i kulki wywołuje pojawienie się siły odśrodkowej i siły żyroskopowej. Na rys. 7a pokazano wpływ siły
odśrodkowej (prędkości obrotowej) oraz napięcia wstęp- nego na maksymalne naprężenia redukowane, a na rys.
7b na przemieszczenie całkowite w strefach kontaktu.
a) b)
Rys. 7. Wpływ prędkości obrotowej (siły odśrodkowej) na: a) maksymalne naprężenia redukowane, b) całkowite przemieszczenia w strefach kontaktu
Wartości liczbowe naprężeń przewyższają te, które spowodowane zostały napięciem wstępnym, ale dla prędkości powyżej 12000 obr/min. Poniżej tej prędkości naprężenia nie ulegają znaczącym zmianom.
Przemieszczenia całkowite maleją wraz ze wzrostem prędkości (do ok. 8000-14000 obr/min), a następnie
rosną. Wartości liczbowe przemieszczeń dla przykłado- wego łożyska wynoszą 4-6 µm.
Na rys. 8 pokazano wpływ prędkości obrotowej (siły odśrodkowej) na siły w strefach kontaktowych ze- wnętrznej (a) i wewnętrznej (b).
a) b)
Rys. 8. Wpływ prędkości obrotowej (siły odśrodkowej) na siły kontaktowe pierścieni: a)zewnętrznego, b) wewnętrznego Na podstawie rys. 8 można stwierdzić, że prędkość
obrotowa znacząco wpływa na siły kontaktowe w strefie pierścienia zewnętrznego, natomiast praktycznie nie wpływa na siły kontaktowe w strefie pierścienia we-
wnętrznego. Tak wyznaczone siły kontaktowe mogą być podstawą do obliczenia momentu oporów ruchu w funkcji prędkości obrotowej i napięcia wstępnego.
a) b)
Rys. 9. Wpływ prędkości obrotowej (sił żyroskopowych) na: a) maksymalne naprężenia redukowane, b) całkowite przemieszczenia
Podobny sposób postępowania zastosowano do oceny wpływu sił żyroskopowych na siły kontaktowe.
Na rys. 9 przedstawiono wpływ prędkości obrotowej (sił żyroskopowych) na naprężenia redukowane i na całkowite przemieszczenia w strefach kontaktowych.
Przebiegi na rys. 9a są bardzo podobne do rys. 7a.
Podobny wniosek można sformułować pod adresem przemieszczeń (porównaj rys. 9b i rys 7b).
Na rys. 10 przedstawiono wpływ prędkości obro- towej (siły żyroskopowej ) na siły w strefach kontak- towych. Rys. 10a przedstawia siły kontaktowe
w strefie pierścienia zewnętrznego, a rys. 10b, w strefie pierścienia wewnętrznego. W przeciwieństwie do wpływu siły odśrodkowej siła żyroskopowa przyczynia sie do wzrostu sił kontaktowych w obu strefach kon- taktowych. Przyrost tych sił ma jednak miejsce dopie- ro przy wysokich prędkościach obrotowych. Dla prędkości mniejszych można wstępnie założyć, że prędkość obrotowa (siły żyroskopowe) nie wpływa znacząco na siły kontaktowe w obu strefach kontak- towych.
a) b)
Rys. 10. Wpływ prędkości obrotowej (siły żyroskopowej) na siły kontaktowe pierścieni: a) zewnętrznego, b) wewnętrznego
6. PODSUMOWANIE
W artykule przedstawiono wyniki badań symula- cyjnych zjawisk kontaktowych, jakie zachodzą podczas współpracy kulki z bieżniami łożysk skośnych. Analiza była przeprowadzona metodą elementów skończonych.
Przeprowadzone badania potwierdzają możliwość wyznaczania sił (oddziaływań), jakie powstają w strefach kontaktowych kulki z bieżniami łożysk. To stwarza możliwość oceny oporów ruchu łożyska, wywołanych siłami tarcia tocznego po przyjęciu współczynnika tarcia. Możliwa jest ocena ilościowa wpływu napięcia wstępnego łożyska oraz prędkości obrotowej łożyska (pierścienia wewnętrznego) i pręd- kości obrotowej kulek wokół własnej osi na siły kon- taktowe. Stwierdzono, że wpływ prędkości obrotowej
na siły kontaktowe jest znaczny, ale dopiero przy wysokich prędkościach obrotowych (w badanym łożysku powyżej 12000 obr/min). Dla prędkości niższych, przy wstępnym oszacowaniu oporów ruchu łożyska, wpływ ten można pominąć. Ten wniosek może potwierdzać zasadność powszechnego stosowania formuły Palmgrena [1] dla obliczania oporów ruchu łożysk tocznych, w której nie występuje parametr prędkości obrotowej. Jednakże dla wrzecion szybko- bieżnych, w obrabiarkach HSC, prędkości obrotowe nierzadko przekraczają kilkanaście, a i kilkadziesiąt tysięcy obr/min, i wówczas formuła Palmgrena pro- wadzi do zbyt dużych błędów. Co ważne, opory ruchu są wówczas zaniżone.
Literatura
1. Harris T., Kotzalas M.: Rolling bearing analysis.5th ed. Essential Concepts of Bearing Technology. Tay- lor&Francis Group, London, 2013, p.371.
2. Kosmol J., Chwieduk P.: Doświadczalne wyznaczanie oporów ruchu łożyska skośnego. „Modelowanie Inżynierskie”
2014, nr 51, t. 20, s.42- 47.
3. Lis P.: Badania modelowe łożyska skośnego metodą elementów skończonych. Praca dyplomowa. Gliwice: Pol. Śl., 2014.
4. Liao N.T., Lin J.F.: Ball bearing skidding under radial and axial loads. “Mechanism and Machine Theory” 2002, 37, p. 91-113.
5. Antoine F., Abba G., Molinari A.: A new proposal for explicit angle calculation in angular contact ball bearing.
“Journal of Mechanical Design” 2005, Vol. 128 (2), p. 468- 478
