Jednomaszynowy problem szeregowania zadań o zmiennych wartościach

(1)

ZESZY TY N A U K O W E POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Seria: A U TO M A TY K A z. 134

2002 N r kol. 1554

A leksander BACHM A N , A dam JANIAK, Tomasz KRYSIAK Politechnika W rocławska

JEDNOMASZYNOWY PROBLEM SZEREGOWANIA ZADAŃ O ZMIENNYCH WARTOŚCIACH

S treszczenie. W pracy rozpatrzono jednom aszynow y problem szeregowania, w którym wartości zadań są opisane potęgow ą funkcją zależną od czasów zakończenia ich wykonywania. Rozpatrzono kryterium m aksymalizacji sumy wartości zadań.

A nalizow any problem został przeformułowany w taki sposób, że zam iast m aksym alizacji sumy wartości zadań, optymalizowanym kryterium je st m inim alizacja sum y strat ich wartości. Określono złożoność obliczeniow ą ogólnej w ersji problem u w ykorzystując transform ację z Problem u Podziału. D la szczególnych przypadków badanego problem u wykazano szereg własności określających optymalne rozwiązanie.

SINGLE MACHINE SCHEDULING PROBLEM WITH JOB VALUES DEPENDENT ON THEIR COMPLETION TIMES

S u m m ary . The paper deals w ith a single machine scheduling problem w here job values are characterized by an exponential function dependent on the com pletion tim e o f jo b execution. M axim ization o f the total values is considered as an optim ization criterion. However, to sim plify the considerations, we reform ulate the problem so that the total lost o f jo b values should be m inimized. W e prove that the general version o f the problem stated above is NP-hard. The pro o f is done from the w ell known Partition Problem . W e construct som e optim al algorithms w hich solve special cases o f the general problem in polynomial time.

1. Wprowadzenie

W teorii szeregow ania zadań, prawie w szystkie kryteria optymalizacji s ą opisane jako funkcje zależne od czasów zakończenia wykonywania zadań. O znacza to, że czas zakończenia wykonyw ania zadania je st jednym z podstaw owych param etrów określających wkład danego zadania do funkcji kiyterialnej. Często w praktyce w kład danego zadania do funkcji kryterialnej należy traktować jako jego wartość. Dotychczas w literaturze naukowej

(2)

34 A. Bachm an, A. Janiak, T. Krysiak

rozw ażano głównie m odele z liniow ą funkcją opisującą zależność wartości zadania od czasu zakończenia jego wykonywania, tzn. l| | ^ w f i , . W spomniany problem je st wielomianowo rozw iązywalny w czasie O(nlogn) [4] poprzez uszeregowanie zadań w niemałejącym porządku w edług współczynników p t / wt . W pracy [7] zaproponowano zupełnie inne kryterium opisujące jakość optymalizowanego procesu. W prowadzono tam bowiem potęgowy m odel opisujący zm ianę wartości zadania w zależności od m om entu zakończenia jego wykonywania. Praktyczne uzasadnienie takiego m odelu m ożna znaleźć opisując proces odzyskiw ania części zamiennych z produktów zaawansowanych technologicznie (np.

wysłużonego sprzętu komputerowego lub samochodów), które ze względu na swój wiek, bądź przepracow any czas, nie nadają się do dalszej eksploatacji jako całość lub ich dalsza eksploatacja je s t zw iązana z wysokim ryzykiem powstania awarii. Rozpatrywane wysłużone produkty nie nadają się do pracy jako całość, ale niektóre ich podzespoły są je sz c z e sprawne, w miarę now oczesne i m ogą zostać wykorzystane jako części zamienne w produktach nowszej generacji. W obec powyższego, pojawia się tutaj problem odzyskania sprawnych podzespołów (części) z wysłużonych produktów. Głównym kryterium branym pod uwagę w tego typu działalności je st zapotrzebowanie na podzespoły (części), które w pływ a bezpośrednio na ich wartość rynkową. W artość rynkowa natom iast je st zw iązana z m om entem , kiedy te podzespoły będą dostępne do dalszego wykorzystania. Okazuje się bowiem , że w spom niana wartość rynkowa poszczególnych podzespołów (części) m aleje potęgowo w czasie. Co więcej, tempo spadku wartości je st inne dla każdego podzespołu.

Celem optym alizacji procesu dem ontażu je st znalezienie takiej kolejności rozm ontowywania produktów , dla której sum a wartości uzyskanych podzespołów je st ja k największa. Liniowe i kw adratow e funkcje opisujące zm ianę wartości zadania (badane m.in. w [1], [5] oraz [6]) nie nadają się do m odelow ania powyżej opisanego procesu. Zmiany wartości zadań w tym procesie najlepiej charakteryzuje funkcja potęgowa.

W ogólności, om awiane powyżej różne przypadki funkcji opisującej zależność wartości zadania od czasu zakończenia jego wykonywania m ożna opisać jako v((C ,).

W m odelu tym m ieszczą się zarówno rozw ażane ju ż przypadki funkcji liniowej, czy kwadratowej, ja k i nowe m odele (np. funkcje potęgowe, czy też funkcje dyskretne).

W niniejszej pracy rozważany będzie m odel opisany przez funkcję potęg o w ą za pom ocą której m ożna dobrze scharakteryzow ać proces dem ontażu produktów zaawansowanych technologicznie. W celu uproszczenia analizy model wartości zadania vf(C,) został

(3)

Jednom aszynow y problem szeregowania zadań.. 35

przedstawiony jako różnica pom iędzy jego w artością początkow ą a funkcją straty. Dzięki temu przeform ułow aniu kryterium maksymalizacji sumy wartości zadań zostało zastąpione kryterium m inim alizacji sumy strat ich wartości.

D alsza część pracy je s t zorganizowana następująco. Rozdział 2 zaw iera dokładne sform ułowanie rozpatrywanego problem u. W rozdziale 3 wykazano N P-trudność ogólnej wersji badanego problem u, natom iast w rozdziale 4 wykazano szereg własności określających optymalne rozw iązania dla jego szczególnych przypadków. W rozdziale 5 zawarto krótkie podsum owanie uzyskanych wyników oraz przedstaw iono dalsze kierunki badań.

2. Sformułowanie problemu

D any je s t zbiór n niezależnych i niepodzielnych zadań dostępnych w chw ili / = 0 , które m ają być wykonywane na pojedynczej maszynie. D la każdego zadania dany je st czas jego wykonyw ania p , , jego wartość początkowa z ,( 0) oraz funkcja straty w ,(/) określająca

wielkość straty wartości zadania w m omencie t. Zakładamy, że

a) w artość początkow a zadania wynosi z,(0 )= Z ,D , gdzie Z/ oznacza rzeczyw istą wartość rynkow ą zadania (Z/ je st dodatnią liczbą całkowitą), natom iast D oznacza pew ien dodatni w spółczynnik korekcyjny zapewniający dodatnią w artość zadania w czasie całego procesu realizacji zadań,

b) funkcja straty w ,(t) je st zdefiniow ana jako w ,(f) = v ,t° ', gdzie Vj oraz a-, oznaczają odpowiednio stratę wartości zadania na jednostkę czasu oraz współczynnik straty;

parametry v( oraz a,- są dodatnimi liczbami wymiernymi; łatwo zauważyć, że strata wartości zadania liczona w m om encie t = 0 je st rów na 0.

Biorąc pod uwagę założenia podane powyżej, m ożem y zdefiniować ogólne wyrażenie charakteryzujące wartość zadania w chwili t

Zakładam y, że w artość zadania z ,(i) je st dodatnia w każdej chwili t procesu realizacji zadań, w obec tego następujące ograniczenie pow inno być spełnione z ł (i) = Z (D - v /i ‘'' > 0

z, (z)= z, (0) - w, (i) = Z f i - v / ‘ .

( 1 )

= max a, oraz

(4)

36 A. Bachman, A. Janiak, T. Krysiak

vmlx = m axM „ v ,, otrzymujemy dodatnią wartość zadania w każdej chwili t procesu realizacji zadań.

Problem rozpatrywany w niniejszej pracy polega na znalezieniu takiego uszeregow ania zadań n (tj. kolejności wykonywania zadań na pojedynczej m aszynie), dla którego sum a wartości zadań w mom encie zakończenia ich wykonywania je st maksymalna, tzn.:

( X ; .i Z/r(/)(£*(/)) = S / - i z*(/)(0) ~ S ,-.i w*(/)(^*(o)) max >

gdzie Cj.(J) oznacza czas zakończenia wykonania zadania zajm ującego pozycję i-tą w uszeregow aniu n. Powyższe kryterium je st równoważne minim alizacji sumy strat wartości zadań w yznaczonych w m om entach zakończenia ich wykonywania

E > .w(C *o> = Z mW 3 3 ? - » m i n . (3) M odel wartości zadania zdefiniowany jako (1) różni się znacząco od definicji m odelu wartości zadania, który został podany w [7]. Różnica polega na tym, że w pracy [7] model wartości zadania został opisany jako m alejąca funkcja potęgowa, natom iast w niniejszej pracy m odel w artości zadania je st opisany jako różnica pom iędzy stałą w artością początkow ą zadania a rosnącą funkcją straty jego wartości. Zgodnie z trójpolow ą notacją a \( Ą y w prow adzoną w pracy [3], rozpatrywany tutaj problem je st oznaczony jako i| .

3. Złożoność obliczeniowa

W niniejszym rozdziale wykażemy, że NP-zupełny Problem Podziału [2] je st w ielom ianowo transform owalny do decyzyjnej wersji (DV) problem u sform ułowanego w rozdziale 2. Problem Podziału (PP) je st zdefiniowany następująco:

P P : Dany je st zbiór X = {x,,x2,...,x„,} zawierający m dodatnich liczb całkowitych, dla

których zachodzi = 2 B . Czy istnieje podział zbioru X na dwa rozłączne podzbiory X i o ra z 26, taki, że x, =

(5)

Jednom aszynow y problem szeregow ania zadań.. 37

T w ierd zen ie 1. Problem l| | ^ v fC°' je st NP-trudny nawet dla przypadku z dw om a różnymi współczynnikami straty a,.

Dowód. D la zadanej instancji PP skonstruujemy instancję problem u l| | ^ V;C " '.

W problem ie DV je s t n - m + 1 zadań, wśród których je st m zadań podziału oraz jedno zadanie dodatkowe. Parametry zadań są dane następująco:

Pi=x i> v ,= x ,; a ,= 1; i = p c = B ; = 1 /4 ; ae = 2.

Pokażemy, że PP posiada rozw iązanie w tedy i tylko wtedy, gdy istnieje rozwiązanie dla skonstruowanej powyżej instancji problem u l| | 2 V/C°' z następującą w artością kryterium

(PP => DV) Załóżm y, że istnieje podział zbioru X na dwa rozłączne podzbiory X i oraz X 2 taki, że zachodzi Z ,« .* x, = '£ JxeX x, = B . N iech J ; oraz J 2 oznaczają zbiory zawierające zadania utw orzone odpowiednio na podstawie elem entów z podzbiorów X i oraz X2. Załóżmy, bez straty ogólności, że zbiory J i oraz J2 zaw ierają odpowiednio k oraz m -k zadań ( 0 < k < m ). R ozw iązanie dla problem u l| vlC “‘ je st dane przez uszeregow anie, w którym w pierwszej kolejności m aszyna wykonuje (w dowolnej kolejności) zadania ze zbioru Ji, następnie zadanie dodatkowe, a następnie zadania ze zbioru J 2 (rów nież w dowolnej kolejności). W artość kryterium dla takiego uszeregowania, obliczona na podstaw ie w zoru (3), wynosi:

11 k k 11 n i k \ a •

/

k

\

n

Z W ^ o = Ż A w I X < / > + Z ^ « > Z v*u>+ v< p . + Y , P m + \ P . + Z v*(m

/-I /»I jm i /-* + 2 j - i \ i” i J \ M // - * + 2

Ze względu na to, że p , = x s oraz v, = x t , w artość powyższego wyrażenia je st równa

// ni I

**E v«wc«m=IX + ZIX;+VJ A +Z/**

_/-I _i=l lśi< jini ^ /

+PcTxr

*1 * * 1

(4)

Z przyjętego założenia Z x ^ x' = Z , e^ = J® wynika, że wyrażenie (4) je st równe

wymaganej wartości y = 2 + Z uac;*»*'*; + 2 B l '

(6)

C P P => _'DV) Załóżm y teraz, że dowolny podział zbioru X na dw a rozłączne podzbiory X / oraz X 2 daje Y X—Jx,zXx 1 , * Y „ *—tx,i*Xi • W obec tego zachodzi Y „ x , = B - X ¿-Jx,cXl 1 oraz ' ^ ixtX x, = B + A , gdzie X je st pew ną dodatnią liczbą całkowitą. W yrażenie (4) określa w artość kryterium dla dowolnego uszeregowania zadań, utworzonego na podstaw ie podziału X na dw a rozłączne podzbiory X 2 oraz X 2. Zatem, przy założeniu braku rozw iązania dla PP otrzym ujem y

( V'

E v«wc *w = Z * 2 + 1l x‘x j+ vr p . + 2 > / + p . I * ,

/■I M 1 SJ<Jim y

= J *,2 + ^ x ixJ + i ( S + 5 - Z ) 2 + 5 ( 5 + Z)

I - I \ ś i < j ś * l *

= E * ? + Z ^ + 2 -b2 + 7 ;i2 = 32+ 7 ^ > 3 2-

/ -i lfl<ys»i 4 4

Z pow yższego wynika, że brak rozw iązania dla PP sprawia, że problem DV rów nież nie posiada rozwiązania. Zatem, problem DV posiada rozwiązanie w tedy i tylko w tedy, gdy PP posiada je również.

4. Wielomianowo rozwiązywalne przypadki

W niniejszym rozdziale wykażemy, że pewne szczególne przypadki problem u sform ułow anego w rozdziale 2 m ożna rozw iązać optymalnie za pom ocą algorytm ów o złożoności w ielom ianowej. Algorytmy, które m ożna skonstruować na podstaw ie wykazanych poniżej własności, opierają się na prostych procedurach sortow ania i wybierania. Złożoność obliczeniow a każdego z tych algorytmów je st równa O(nlogn).

W łasn o ść 1. U szeregow anie zadań według niemalejących wartości ich czasów wykonywania Pj (reguła SPT) daje optymalne rozwiązanie dla problem u l| |]T C , “ .

D ow ód. Załóżm y, że dane s ą dwie perm utacje n oraz i t \ Perm utacja n ’ pow stała z perm utacji 7t poprzez zam ianę zadań na pozycjachy-tej orazy+l-szej. Załóżmy nie wprost, że perm utacja 7t, w której zachodzi p„u) > p*Uti), je st optymalna. Łatwo zauważyć, że w obu permutacjach

(7)

Jednom aszynow y problem szeregowania zadań.. 39

tylko czasy zakończenia zadań z pozycji y-tej s ą różne. Różnica funkcji kryterialnych otrzym anych dla obu perm utacji wynosi

f j - \ y f j - i ^

= Z # u o + P*u) “ 2 Pad + P*u*o

k'-'

i-i / - i

Z Nałożenia p rU) > p , Ut]) wynika, że powyższy rezultat je st dodatni. Zatem, w rozważanym przypadku uszeregow anie zadań w edług niemalejących wartości ich czasów wykonywania Pj jest optymalne.

W łasn o ść 2. Optym alne rozw iązanie dla problem u l| p,. = y? | Z (-'°' m ożna wyznaczyć poprzez uszeregow anie zadań według nierosnących w artości a,-.

D owód. Załóżm y, podobnie ja k w dow odzie W łasności 1, że dane s ą dwie perm utacje n oraz 7t’, które ró żn ią się m iędzy sobą tylko zadaniam i uszeregowanym i na pozycjach y-tej oraz y+1- szej. Załóżm y nie w prost, że perm utacja n je st optymalna i że nie wszystkie zadania są uszeregow anie w edług nierosnących wartości ait tzn. następująca nierówność je st spełniona a„0) < a , U) + X = a„u+1), gdzie X je s t pew ną dodatnią liczbą. Różnica pomiędzy funkcjami kryterialnymi otrzym anymi dla obu permutacji je st równa

Z Q ; > - ¿ c ; - 1 = [(; + \ ) p \ " '" ' - [ j p ] - “« - [( y + \ ) p \ ‘U)

/-l /-I

= [ ( ; +p>p\,{" ( [ ( / + i ) p r - 1 ) - \ j p \ ‘w (Li p \ - i)

Powyższy rezultat je st dodatni, poniew aż zachodzi [(y + l)p ]“' li’ > \ j p \ ' u) oraz [(y + \ ) p \ > \ j p f . Zatem, perm utacja n nie może być optymalna, a to oznacza, że dow odzona w łasność je st prawdziwa.

W łasność 3. D la problem u 1 p, > \,a , = 1, / e {l,...,n}\{e},

a e e Z +, i = e, , w optymalnym uszeregow aniu, zadanie e poprzedza wszystkie pozostałe zadania, które są uszeregowane według niem alejących wartości ich czasów wykonywania pj (reguła SPT).

D ow ód. Jeżeli a c = l , w tedy pow yższa w łasność w ynika z W łasności 1. W obec tego, wystarczy pokazać, że W łasność 3 je st również spełniona dla dowolnej wartości at s Z t większej od 1. Załóżmy, że dane są dwie perm utacje n oraz n \ W permutacji n zadanie e

(8)

zajm uje pozycję /-tą , natom iast w permutacji n ’ pozycję pierwszą. K olejność wykonywania pozostałych zadań w obu perm utacjach je st taka sama. Załóżm y nie wprost, że perm utacja 7t je st optymalna. Różnica pom iędzy wartościam i funkcji kryterialnych otrzymanymi dla obu perm utacji w yraża się następująco:

j- 1 /«I

Korzystając ze w zoru na dw um ian Newtona, pow yższe wyrażenie możemy zapisać jako:

Z ^{r °.m}

^*<o Z-t *V) ~

^{_ V}

jL

f \ f

/-i 'a. v U.

P.

-P ° ‘ ~ U ~ X)Pc

i-1

=\

^V)

fj-l

+ a .

at - 1

km 2

^ .V Z ł

/-I

a . - k

~Y pv)*

\ i . i

Otrzymany rezultat je st dodatni, poniew aż zachodzi 'p*V)j' P< > 0 ~ 1 ) / V Zatem, w optym alnym uszeregow aniu dla rozpatrywanego problem u zadanie e zajm uje pierw szą pozycję. W obec tego perm utacja n nie m oże być optymalna. K olejność wykonywania pozostałych zadań opisuje reguła SPT, co wynika z W łasności 1.

5. Podsumowanie

W niniejszej pracy rozpatrywano jednom aszynow e problem y szeregow ania zadań o zm iennych w artościach. W artość zadania w chwili t je st określona jako różnica pom iędzy w artością początkow ą zadania a funkcją straty obliczoną w tej chwili t. W niniejszej pracy przyjęto potęgow ą funkcję straty wartości zadania. Rozw iązanie problem u polegało na w yznaczeniu kolejności w ykonywania zadań na pojedynczej maszynie, dla którego sum a strat wartości w szystkich zadań je st m inimalna. Wykazano, że ogólny przypadek rozpatrywanego problem u je st NP-trudny. W dow odzie N P-trudności wykorzystano Problem Podziału. Dla szczególnych przypadków rozpatrywanego problem u wykazano szereg w łasności charakteryzujących rozw iązanie optymalne.

(9)

Jednom aszynow y problem szeregowania zadań... 41

LITERATURA

1. D ella Croce F., Szw arc W ., Tadei R., Baracco P., D i Tullio R.: M inim izing the w eighted sum o f quadratic com pletion on a single machine, N aval Research Logistics, vol. 42,

1995, s. 1263-1270.

2. Garey M. R, Johnson D. S.: Com puters and Intractability: A Guide to the Theory o f N P- com pleteness, Freeman: San Francisco, 1979.

3. G raham R. L., Law ler E. L., Lenstra J. K., Rinnooy Kann A. H. G.: Optim ization and approxim ation in sequencing and scheduling: a survey, Annals o f Discrete M athem atics, vol. 5 ,1 9 7 9 , s. 287-326.

4. Sm ith W. E.: V arious optim izers for single-stage production, N aval Res. Legist. Quart., vol. 3, 1956, s. 59-66.

5. Szwarc W ., Posner M. E., Liu J. J.: The single machine problem w ith a quadratic cost function o f com pletion tim es, M anagem ent Science, vol. 34, No. 12,1988, s. 1480-1488.

6. Tow nsend W.: The single m achine problem w ith quadratic penalty function o f com pletion times: a branch-and-bound solution, M anagem ent Science, vol. 24, No. 5, 1978, s. 530-534.

7. V outsinas T. G., Pappis C. P.: Scheduling jo b s w ith values exponentially deteriorating over tim e, R aport Techniczny Uniwersytetu w Pireusie, 2000.

Recenzent: Prof. dr hab. inż. Jerzy K lam ka

A b stra c t

The paper deals with a single m achine scheduling problem w here jo b values are characterized by an exponential function dependent on the com pletion tim e o f jo b execution.

M axim ization o f the total values is considered as an optim ization criterion. However, to simplify the considerations, w e reform ulate the problem so that the total lost o f jo b values should be m inim ized. W e prove that the general version o f the problem stated above is NP- hard. The p ro o f is done from the well know n Partition Problem. W e construct some optim al algorithms w hich solve special cases o f the general problem in polynomial tim e. The application exam ple o f the problem investigated in the paper describes the utilization process o f some used up products. These products cannot be used any m ore because o f the one o f the following reasons: the risk o f their utilization is relatively big, they do not satisfy some requirem ents (e.g. com puters are too slow) or sim ply some o f their com ponent parts are already broken. It means that these products cannot be used as a w hole device, how ever som e o f their com ponents can be utilized as spare parts in som e new products (e.g. com puters o f a

(10)

new generation). Thus, in this situation, the problem o f disassembling products into the com ponents appears. The order in which the products are disassembled depends on the dem and for som e particular com ponents. However, dem and for the com ponents is directly connected w ith their values. Finally, the com ponent values depend on the m om ent w hen they are available for utilization. Our objective is to find an order o f disassem bling the products so that the sum o f the values o f the obtained com ponents is maxim ized. In the problem described above, an exponential function characterizes the change o f the com ponent value w ith respect to the m om ent w hen it is available for utilization.