Problem szeregowania zadań z minimaksową funkcją celu

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚL ĄSKIEJ Seria: A U T O M A T Y K A z. 64

________ 1982 Nr kol. 736

Czesław SMUTNICKI

Instytut Cybarnatyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej

PROBLEM S Z ER EG OW AN IA ZADAŃ Z MI NI MA KS OW Ą FUNKCD^ CELU

)

S t r e s z c z e n i e . W pracy rozważany jest problem kolejnościowy gniaz­

dowy z maszynami równoległymi i ogólnę minimaksowę funkcję celu.

Przedstawiono pewne własności problemu oraz algorytmu rozwięzania.

Sformułowany algorytm pozwala automatyzować podejmowanie decyzji zwięzanych z harmonogramowaniem zadań w dyskretnych procesach p r o­

dukcyjnych .

1. WPROWADZENIE

Współczesne procesy produkcyjne charakteryzuję się coraz większym s t o p ­ niem automatyzacji w zakresie optymalnego sterowania procesem i op t y m a l ­ nego podejmowania decyzji. W przypadku harmonogramowania zadań w dy s k r e t ­ nych procesach produkcyjnych problem automatyzacji staje się szczególnie trudny ze wz ględu m.in. na brak efektywnych algorytmów optymalizacyjnych rozwięzujęcych odpowiednie problemy dyskretna. Występujęce zwykle w pr ak­

tyce problemy, nawet w najprostszych, de terministycznych przypadkach, sę NP-zupełne. Fakt ten w istotny sposób ogranicza możliwości zastosowania- znanych metod optymalizacyjnych. Użycie metod dokładnych (P D, B - a n d - B , P C L ) nie daje pełnej gwarancji wyznaczenia rozwięzanla optymalnego w zadanym z góry (rozsędnym) czasie. Zwykle przeszkodę w otrzymaniu pozytywnego rezul­

tatu jest duża wy mi ar ow oś ć praktycznego problemu. Z kolei użycie metod heurystycznych zapewnia szybkie uzyskanie rozwięzanla lecz tylko pr zy bl i­

żonego, zaś algorytmy przybliżone o zagwarantowanej dokładności znane sę tylko dla nielicznej klasy problemów. Z tego też względu prowadzone sę stale badania poszczególnych klas problemów szeregowania, majęce na celu wykorzystania poznanych własności do poprawy istniejęcych lub konstrukcji nowych algory tm ów rozwięzywania.

W pracy przedstawiono sformułowanie, pewne własności oraz algorytm roz- więzania zagadnienia kolejnościowego gniazdowego z równoległymi maszynami 1 z ogólnę minimaksowę funkcję celu. Zagadnienie to zawiera jako szcz eg ól­

ne przypadki zagadnienia kolejnościowe z funkcjami celu typu C „ . L

»na x max Taax* ^max 1 i n n 8 * D -*-a podanego zagadnienia sformułowano algorytm roz- więzania oparty na schemacie metody podziału i ograniczeń, wykorzystuję- cy eliminacyjne własności cięgu krytycznego [4j,[s], Skonstruowany a l g o ­ rytm zapewnia otrzymanie rozwięzanla optymalnego oraz łęczy w sobie po­

1 1 6 Cz. Srautnickl

zytywne włas no śc i obliczeniowa zarówno algorytmów dokładnych, Jak i przy­

bliżonych.

2. SFORMUŁOWANIE PROBLEMU

Zagadnienie kolejnościowe gniazdowe z równoległymi ma sz yn am i postaci n / m / 3 , % ■ > 1 , mk > 1 , RT/ h naxx ^ sformułowane Jest następujęco. Dane sęt

(i) zbiór ni ep odzielnych operacji N - | 1 , 2 , . . . ,n|,

(ii) zbiór ma sz yn różnych typów M » | l , 2 , . . . , a j pr ze zn ac zo ny ch do wy­

konywanie tych operacji, .

(iii) zbiór typów tych maszyn T ■ |l,2,... ,t }, ___

(iv) czasy .wykonywania operacji p iJc (i ■ l,n, k * l,m), p ^ >. 0, p ^ - - Jest czasem wy ko ny wa ni a operacji i-tej na maszynie k-tej.

(v) relacja RT reprezentująca wy mo gi porządku te ch no lo gi cz ne go wykony­

wania operacji RT c N x N (graf relacji RT Jest acykliczny )j < i , J > * RT pocigga, że op eracje i-ta musi być zakońc zo na przed rozpoczęciem operacji J-teJ.

(vi) najw cz eś ni ej sz y termin rozpoczęcia realizacji w s zy st ki ch operacji to . tQ > O (zwykle tQ - O),

(vii) na jw cz eś ni ej sz y pożędany termin rozpoczęcia realizacji operacji i-tej na ma szynie k-tej, r ^ >■ O (i » l,n, k ■ l,m),

(viii) najpóź ni ej sz y pożę da ny termin zakończenia realizacji operacji i taj na maszynie k-taj, di k ^ ° “ ł *"' k '

Za kł ad a sił, żet

(a) w zbiorze ma sz yn M istnieję rozłęczne podzbiory ma sz yn Jednego typu (gniazda), tzn. istnieje rozbicie zbioru M na po dz b i o r y M k S M, pa- rami rozłęczne i wy cz er pu ję ce

rf1 - M, M*1 h M^ - 0, k j J, k . J e T ,

U

(b) w zbiorze operacji N istnieję rozłęczne podzbiory operacji, któ­

re mogę być w y ko ny wa ne pr zy użyciu maszyn Jednego typu, tzn. istnieje roi bicie zbioru N na podzbiory N C N parami rozłęczne i wy cz er pu ję ce1/

U

Symbol klasyfikacyjny przyjęto zgodnie z

[2J.

Problem szer eg ow an ia zadań... 117

(c) każda operacja ze zbioru może być wy ko ny wa na tylko przy uży­

ciu dokładnie jednej maszyny ze zbioru M J , j « T , co pociąga za sobą, że wielkości Pj^» fik» ^ik 8 ? określone tylko dla par ws ka źn ik ów i,k ta­

kich, że i « N-*, k t , j c T (rys. l),

/

(d) W y k o n y w a n i e operacji nie może być przerywane,

(e) każda ma szyna k c M może wykonywać co najwyżej Jedne operację w dowolnej chwili czasowej.

Wprowadzono następujące oznaczenia zmiennych i

- termin rozpoczęcia realizacji operacji i-tej, i e N , CŁ - termin zakończenia realizacji operacji i-tej, i e N ,

f»(i) - numer maszyny, która realizuje op erację i-tą (Jeśli i e to

¿J(i)e mV j ( T ) ,

E ik " raax[0 , r ik “ S i] “ przyspieszenie wykonywania operacji i-tej,p^zy wykonywaniu op eracji na maszynia k-tej, i c N ^ , . k « M ^ , J t T ,

T i(< m o a x j o - dikJ “ opóźnienia w y k o ny wa ni a operacji i-tej,p-rz.y w y ­ konywaniu operacji na maszynie k-tej, i e , k e j e T,

Dodatkgwo dane sąt

(ix) funkcje h n ^ S i ) określająca koszt zw iązany z rozpoczęciem rea­

lizacji op eracji i-tej na maszynie k-tej w terminie S^- (ieN-), k e , J * T ) j za kłada się, że funkcje ^ i k ^ i ^ d3j9 o i ? przedstawić w formie»

hi k < V “ 9ik(E ik> * fik<T ik> ( 2 . 1 )

118 Cz. Smutnicki

gdzie; EJ^k^-Lk^ “ niemalejęca funkcja argumentu E ik oraz f¿k^T ik^ “ nie"

malejąca funkcja argumantu T i k , i e N-*, k t M ^ , J e T (rys. 2).

rikoe*ik fik <*ik .

Rys. 2. Różne postacie funkcji ^i k (S^)

Problem szeregowania postaci n/m/3, X > 1 , m* > 1 , RT / h max polega na wy zn ac ze ni u wartości zmiennych S^.jifi), i = l,n mi nimalizujących funk­

cję celu w postaci:

h = max max

przy ograniczeniach:

S + p

1*1(1 )-•« S < i , J > e RT.

' o ^ 5 ! 1=1 ,n

(2.3)

(2.4)

(*ł(i) -*1(J>) = > (S± + PjLfct(i) ^ Sj) 'Cf (Sj + i. j 6 N k ,

¿1(1). *t(j)« H1', k t T , (2.5)

E ik = max|o,rik-SiJ . i e N ^ . k e M^ , J e T (2.6)

T ik = max jo,Si+pik-dikJ , i 6 , k e r+J, j e T (2.7)

jl(i)6MJ, i € N J , J « T . (2.8)

Problem szeregowania zadań.. 119

Funkcja celu (2.2) przedstawia sobą maksymalny koszt spośród kosztów wykonywania wszystkich operacji związanych z przyspieszeniem i sp óźnie­

niem operacji. Ograniczenie (2.3) reprezentuje wymaganie kolejności reali­

zacji operacji związane z istnieniem porządku technologicznego (relacja RT). Ograniczenie (2.4) wyznacza najwcześniejszy moment rozpoczęcia wszystkich operacji. Ograniczenia kolejnościowe (2.5) określa, że jeśli dwie operacje i,j są realizowane na tej samej maszynie p ( i ) = £l(j), to

"realizacja operacji i-tej poprzedza realizację operacji j-tej" albo od­

wrotnie. Warunek (2.5) zapewnia, że operacja realizowana na tej 9amej ma­

szynie muszą być uszeregowane i nie mogą być realizowane jednocześnie.

Ograniczenia (2.6)-(2.7) wyrażają związek mi ęd zy zmiennymi Si oraz Eik i T ^ . Ograniczenie (2.8) wy znacza zbiór dopuszczalnych wartości dla zm i e n ­ nych ¡i (i) oraz zapewnia, że każda operacja i e jest wykonywana przy użyciu dokładnie jednej maszyny ze zb io ru , dla każdego j e T.

W zależności od wy boru postaci funkcji k e ] e T możemy otrzymać zbiór szczególnych problemów szeregowania z różnymi funk­

cjami celu. Tak więc przyjmując»

rik = O = di k , fl k (x) = x, i e N J , k e , j e T (2.9)

otrzymujemy problem poeteci n/ra/O, % > 1 , m^ > 1 , RT/ Craax* tzn. za g a d ­ nienie kolejnościowe gniazdowe z równoległymi maszynami z kryterium mak­

symalnego czasu zakończenia wszystkich operacji. Przyjmując z kolei

d ik “ °' fi k (x) = *' 9 i k (x)

O X “ O

, i e N J , k e j ą t (2.10)

<»= x > 0

otrzymujemy problem postaci n/ra/O, ri > 0 , i ^ l , mw > l , L tzn. za­

gadnienie kolejnościowe gniazdowe z równoległymi maszynami, z różnymi cza­

sami dostępności operacji i z kryterium maksymalnego czasu zakończenia wszystkich operacji. Podobnie, zakładając odpowiednią po'St-tf? funkcji gi k (t), fl k (l) można otrzymać zagadnienie z funkcjami calu typu Lraaxi T , f i inne.

max max

Zagadnienia kolejnościowe tego rodzaju mogą wystąpić w procesach che­

micznych lub procseach przetwórstwa spożywczego, w których surowce, pół­

produkty lub produkty zmieniają swoje własności w czasie trwania procesu (dojrzewają, ulegają rozkładowi, starzeją się). Mogą pojawić się również w procesach me talurgicznych związanych z nagrzewaniem i chłodzeniem ele­

mentów.

W literaturze znane są tylko nieliczne rezultaty szczególne dotyczące zagadnień tego typu. W pracy [3 ] Sidney przedstawił rozwiązanie szczegół-

120 Cz. Smutnlckl

nago przypadku problemu J a d n o m a s z y n o w e g o , przyjmujęc g1:L(x ) » g ( x ), fi;l ■

= f (x ) i i » 1 ,n oraz ( r ^ r j ) t c X d j ^ d j ). Z kolei w pracy £l] przed­

stawiono pewne własności oraz algorytm rozwiązania problemu kolejnościowe- go taśmowego (flow~shop) przy założeniach g . ^ * ) “ 9 Cx )» a f(x )>

i » l.n. i

v

3. PEWNE WŁASNOŚCI PROBLEMU n / m / 0 , f 1, m ^ l , RT /bmax ORAZ ME TODY RO ZW IĄZYWANIA

W celu określenia pewnych włas no śc i problemu n/m/0, T" l,mw ^ l , R T / h max k wp ro wa dz on o następująca pojęcia i oznaczenia. Zmiennę ¿i(i) spełniajęcę ograniczanie (2.8) będziemy vi dalszym cięgu nazywać przydziałem operacji l - t a 1 . We kt or jl » Qi(1),ji(2 ) fi(n)]T taki, że dla każdego i « N J , {i(i)eM-*, j e T, bę dziemy nazywać przydziałem o p o r a d l do m a s z y n . Zbiór JO. - jjX = [¿i(l),^(2),....ji(n)]T | i e N^, ¿i(i)e j e T | będziemy nazywać zbiorem dopuszczalnych p r z y d z i a ł ó w . Niech ji będzie pewnym przydziałem.

Wówczas

N k^ » | i e N | ^ ( i ) - k | - 1 , (3.1)

określa zbiór operacji realizowanych na maszynie k-tej (przy przydziale

¿z)'# Kolejność realizacji operacji ze zb ioru *^kji może być ok reślo­

na permutację operacji postaci

\ ...

gdzie:

V“ card(V ohiZ 3i'(li)6 ^V

Wektor permutacji Jt = okreóla kolejność realizacji ope­

racji na każdej maszynie. Zbiór wszystkich takich we kt or ów permutacji (dla danego fi ) oznaczmy przez 17^. Niech ¿Z « II będzie pewnym przydziałem, zaś Jt « E L n i e c h będzie pewnym wekt or em permutacji określajęcym kolejność rea­

lizacji operacji na każdej maszynie (dla tego przydziału). Wówczas zbiór p o s t a c i :

° { S “ [S 1'S2 ...+ PiíI(i)S S j ' < i *J > € R T ,

Problem szeregowania zadań... 121

, 0 « v 1 6 " ł X ( J ) + % ( j ) ^ k( J »

J a 1.2,,.. 1, JFk (J ) ^k£i# k * l,n | (3.2)

okroiła dopuszczalno momenty rozpoczęcia wykonywania wszyst ki ch operacji 1 c N (dla danego ¿lejfloraz Zauważmy, ża zbiór spełnia ogra­

niczenia (2.3)-(2.5).

Zgodnie z powyższym rozwiązaniem problemu (2.2)-(2.8) polega na w y z n a ­ czeniu wa rt oś ci £L* e M , s ‘ e takich, że

H (u*,Tt*»S*) « min min min . H(u,

3

? « •* 5 s v

gdzie

. Hm a x (iI'3t'S) ’ m a x 1^ 1<nm a x [9iii(i){Eiix(i)),fi ^ ( i ) (Ti ^ ( i ) )] (3,4)

oraz wielkości T i^(i)

99

Ko rz ys ta ją c ze w z or ów (3.3)-(3.4) za pr oponowano trójstopniowe de ko mp o­

zycję problemu (2.2)-(2.8). IV dalszym cięgu przedstawiono rozwiązanie pro­

blemów częściowych powstałych.po zd ek om po no wa ni u (3.3).

A. Zadanie dolnego poziomu. Należy wyznaczyć

H (¿I.jĆ.Ś*) » min H ( ^ , f , S ) , S e n „ , ¿i < JVl. (3.5)

r

W celu rozwiązania tego problemu posłużono się modelem grafowym. Niech

¿IcJR będzie pewnym przydziałem, zaś ji s 11^ niech będzie pewnym wektorem permutacji operacji (dla danego eJft). Wówczas kolejność realizacji wszyst­

kich operacji można przedstawić w postaci grafu skierowanego G ^ » < V , A > , gdzie V ■ { vi ,V2 * ** **V n } 303t zbiorem wier zc ho łk ów grafu odpowiadajęcych poszczególnym operacjom, zaś A Jest zbiorem łuków grafu reprezentują­

cych wymagania kolejności realizacji operacji. Zbiór A można przedsta­

wić Jako A ■ A U A. , gdzie A - | < V ,V > | < i , J > s R T 1 Jest zbiorem

0 k=l k f 0 I 3 >

¡łuków stałych grafu, zaś A^ “ (;j)' Vjj (j+i)':>| J “ ł , 2 , ***'nk^i"1 ' 5 C ^ ( j ) s N ^ j jest zbiorem łuków kolejnościowych ( d ys ju nk ty wn yc h) zw iąza­

nych z k-tą maszyną (rys. 3). Dodatkowo, każdemu wi er zchołkowi 1/ ^1 / gra­

fu przypisana została liczba równa P^i^jL)' będąca obciążeniem wierz­

chołka.

122 ( Cz. Smutnicki

?

1 f ^ 5 3

43

** U

Rys. 3. Przykład problemu n / m / O . t f ^ l , m > 1 , RT/h

(N = |l,2,3,4j, M = { 1 .2 ,3 }. T - { 1 .2 }, M 1 = { l , 2 }, M2 » {3 }. N 1 «

= {l,2}. N2 = {3.4})

a) graf kolejności realizacji operacji dla ¿1 = [l,l,3,3j oraz ¿3 «

■ f3ii»*2'5C3 ]' 9dzie «* <1 ,2 >, JL2 » ¡3, 1C3 ■» < 3 , 4 > j zaznaczono łukl ze zbioru A q (— — ) oraz łuki ze zbiorów A fc( — ), b) diagram Gantta z roz­

wiązaniem zadania dolnego poziomu

Niech dalej d £ < d ^ , d 2 ,...,dg> będzię cięgiem liczb takim, że : (a) dj t il,2,...,nj, j = l.s oraz

(b) istnieje w grafie G „ droga łęczęca wi er zc ho łk i V. ,V. ...V. .

“ 1 2 s

Oznaczmy przez D^ zbiór wszystkich cięgów dowolnej dł ug oś ci .s pe łn ia­

jących wa runki (a)-(b), zaś przez Ouii(i»j) zbiór wszystkich cięgów d t °^łjC< dowolnej długości, spełniających dodatkowo,warunek dj - i, dQ » J (zbiór tych cięgów Jest wy zn a c z o n y przez zbiór wszyst ki ch dróg w grafie G^jj łączących wierzchołki oraz ) Oznaczmy dodatkowo przez 10 zbiór postaci

10 = j< i, j> | O ^ ( i . j )

4

(tzn. w grafie G ^ istnieje droga łącząca wi er zchołki V Ł i Vj ).

Problem szeregowania zadań.. 123

Zdefiniujmy wielkości!

s

V i , 3 ) = rii i( i) -d j. ti (j )+ ( i i j ) X kol pd# (dk )' < i - J > e I J -

^ (3.7)

Zauważmy, że suma występująca we w z or ze (3.7) może być interpretowana ja­

ko najdłuższa droga łącząca wi er zchołki V i oraz V , w grafie G «.(i za-J Ii 31

wierajęca te wierzchołki). Ł

Następujące twierdzenie określa minimalną wartość funkcji celu (3.3) w rozwiązaniu problemu dolnego poziomu.

Twierdzenie 3.1 /

Niech fx e JA , Jt e O d b ę d ę odpowiednio przydziałem oraz wektorem permuta- cji. Wówczas zachodzi!

Hm a x (?*S 'Ś*> “ raax[max< i . j > 6 IO a ifi(i)(ai j * )‘*

“ ? J > « M fd ^ J ) (ti J ),Fn>a>c(r S ) ] ( 3 ‘8)

gdzie j

8

F„.*(F.5) * * ^ k, 1 pV (<,k > > < 3 -9)

żaś wielkości a * j » t*j 85 optymalnymi wartościami z m i e n n y c h ( w y z n a c z o ­ nymi z rozwiązania podproblemów pomocniczych postaci:

min raax[gi u ( i ) (8i j ^ fj u ( j ) (ti J )] (3-10) ij * IJ r

e ^ + tAj = A ^ ( i , j ) (3.11)

a ij,t±j > O (3.12 )

dla k a ż d e g o ' < i , j > e 10.

dowód twierdzenia 3.1 pominięto ze względu na długość.

Niech G n = < V , A > będzie grafem kolejności realizacji wszystkich o p e­

racji, i e N . Oznaczmy przez T^iG^jj) = |j i< V i'vj'> 6 A j " zbi°r na stęp­

ników operacji i-tej oraz przez T ^ ( G jj) ” |j | < V j , V i > e A j - zbiór po­

przedników operacji i-tej. Wyznaczmy wielkości

124 Cz, Smutnickl

w max[w|g1 ^f.Ś*)| . i £ N. (3.13)

* — M

Następująca wł as no ść określa optymalne terminy rozpoczęcia oper ac ji S «

" t Si ' S2 ' * * * ,SnP^' w y2noczone Pfzez rozwiązanie problemu dolnego poziomu.

Własność 3.1

Niech^iEjyi, 3T e {"l^będę odpowiednio przydziałem oraz w e k t or em pormuta- cji. Niech i i , i * N będę wi el ko ś c i a m i określonymi wzorom (3.13). Wów­

czas zachodzi:

(i) S* o n a x [*o,ri£i(i) “ E iJ 'r* i ^G^łJ£^ " i € N * i3. 14)

(li) S* - max[mox ^ (8« ♦ p ^ ^ , ),, r± ( l ) -fi±], J * r i {G^JC) .

r i l G p r f t * ' l f i N « (3.15)

Oowód własności 3.1 wy ni ka z dowodu tw. 3.1.

B. Zadanie środkowego poziomu. Na le ży wyznaczyć

Problem ten w ogólnym przypadku Jest NP-zupałny. W konstrukcji algorytmu tego zagadnienia (opartego na schemacie podziału i ograniczeń) wykorzysta­

no pawne w ł as no śc i przedstawiona poniżej.

Niech £ e J/l % « fl będę od po wi ed ni o przydziałem oraz w e k t o r e m permuta- cji. Cięg u « < u 1 ,u2 ,... ,ug > na zywamy cięgiem krytycznym (dla danych Ji i Jt). Jeśli:

(e) Hm a x ^ ' * ' ® * ^ “ Fm a x ^ ' ^ oraz u * D ^,JT 3ast ci9 9 i a m » któr y maksy­

malizuje prawę st ro nę wz o r u (3.9) lub:

(b) * max <i.j>€ia 9iu(i)(0i1) ’ 9 « 13 i*fi(i*) i * /*

(o** J

<lub Hm a x £ ' * ' S *> " V i > (ti j ) “ fV ( 1 )(^ 3))

oraz ^ « 0 ^ ^ Jest cięgien poetaci:

u * < i ^ # *dg t • • • , # (u ■ ^ i *d ^ f««# , d ^#j>)

rruulam szer eg ow an ia zadań... 125

gdzie < d 1 ,d2 ,... ,ds>.e 0 ^ ( 1 * . j*) K d j , d 2 ,... . d ^ « 0 ^ ( 1 , J )) jest cię­

glem m a ks ym al iz uj ąc ym sumę se wz or ze (3.7).

Blokiem no ma szynie k-tej nazywamy maksymalny po dciąg częściowy dv ^ ■ - < d v idv + 1 . • . • ,d > cięgu krytycznego, spełniający warunek u(dy )»u(dv + 1 )»

■ ... » u(dy).

Łotwo zauważyć, że w czasie wy ko ny wa ni a op eracji z bloku na maszynie k-taj maszyna wy ko nu je te operacja bez przestoju.

Na st ęp uj ąc e twierdzenie określa eliminacyjne włas no śc i ciągu. kryt yc zn e­

go.

Tw ie rd ze ni a 3.2

Niech będzie pewnym przydziałem, zaś e {l^nlech będzie pewnym wektorem permutacjl. Oeżell istnieje we kt or permutacji ^ « n ^ t a k l , ż e :

Hm a x £ # * > < H . a x (^ - § “ )' 5 * * ł V (3<17)

to w f> przynajmniej Jedna operacja dla przynajmniej Jednego bloku z 7C po­

przedza pierwszą lub występuje za ostatnię op erację tego bloku.

Dowód tw ie rd ze ni a Jest analogiczny do do wodów twierdzeń eliminacyjnych przedstawionych w pracach

Ola rozwlęzania problemu środkowego poziomu za st os ow an o me to dę podzia­

łu i ograniczeń, z mieszanę strategię podziału, wy ko rzystujęcę eliminacyj­

ne włas no śc i cięgu krytycznego. Niech óf s fi będzie pe wnym poczętkowym w e k­

torem permutacji. Ogólna idea m e to dy polega na generowaniu, począwszy od ćf, cięgu w e k t o r ó w permutacji 31 a D l° każdego we kt or a Jt z cięgu wy z n a ­ czana Jest opty ma ln a wartość rozwiązania, pr oblemu dolnego poziomu HB a x (ii»

3t,S*), S * « S ^ - o r a z ciąg krytyczny u « D ^ . Nowe we k t o r y permutacji 11^, otrzymuje się z pewnego wektora Jt e cięgu po pr ze z przesuwanie opera­

cji w blokach. Zastosowano w tym przypadku 'schemat przesuwania operacji na pozycję pierwszą lub ostatnię w bloku (szczegółowy opis sc hematu można zna­

leźć w pracach [

2

4

cesem pr ze gl ąd u drzewa w e k t or ów permutacji Jte przy czym dolne ograni­

czenie w a r t o ś c i funkcji celu problsn,u n/m/3, i. > l.mjj > 1 'RT/ hnax stwarza dodatkowe mo żl iw oś ci eliminacyjne. Ola rozważanego za ga dn ie ni a dolne o- graniczenie w y zn ac zo no poprzez relaksację możliwości wykonawczych maszyn, relaksację funkcji kosztów op eracji or az relaksację relacji poprzedzeń.

126 Cz. Smutnlcki

C. Zadanie górnego poziomu. Należy wyznaczyć

= min^ H(£,S**,S**), , 5 * e n ^ *

(3.18)

Probiera ten jest rozwięzywany przez przegląd zbioru JA, z eliminację rozwiązań (podzbiorów r o z w i ę z a ń ) za poraocę dolnych ograniczeń oraz dodat­

kowych kryteriów eliminacji. Kolejność przeglądania elementów zbioru .M, Jest określona przez lokalną oceną zmiany wartości funkcji celu przy zmia­

nie przydziału jednej operacji.

4. POOSUMGrYANIE

Zaproponowany algorytm Jest trójpoziomowym algorytmem powstałym przez złożenie algorytmów rozwiązania problemów opisanych w punkcie 3, A,B.C.

Na poziomie dolnym rozwiązywany Jest problem o złożoności wielomianowej 0 ( n 4 ). Algorytm poziomu środkowego Jeat algorytmem podziału i ograniczeń z cofaniem i wymaga zastosowania algorytmu heurystycznego do wyznaczania rozwiązania początkowego of e 11^. Podobnie algorytm górnego poziomu.

Z opisu podanego w p. 3 pracy wynikają następujące włas no śc i algorytmu:

- algorytm Jest algorytmem dokładnym, tzn. wyznacza rozwiązanie globalnie o p t y m a l n e ,

- możliwa Jest współpraca algorytmu z dowolnymi algorytmami przybliżonymi (heurystycznymi ) j rozwiązanie przybliżone jest poprawiane w kolejnych krokach algorytmu dokładnego,

- w każdym kroku algorytmu znane Jest pewne rozwiązenie dopuszczalne, - możliwe jest przerwanie pracy algorytmu w dowolnym m o m e n c i e > aktualnie

dostępne rozwiązanie może być uznane za rozwiązania suboptymalna.

Podane cechy umożliwiają zastosowanie skonstruowanego algorytmu w w i ę k ­ szości automatycznych systemów podejmowania decyzji, jak również w sy st e­

mach decyzyjnych czasu rzeczywistego.

LITERATURA

[1] AC HU TH AN N.R., GRABOWSKI 0., SI ONEY 0.8.: Optimal Flow-Shop Scheduling with Earliness and Tardines3 Penalties, Opsearch, nr 4, 1981.

[2] GRABOWSKI 0.: Uogólnione zagadnienie optymalizacji kolejności opera­

cji w dyskretnych systemach produkcyjnych. Prace Naukowe ICT PWr.Ser.

Monografie, nr 9, Wrocław, 1979.

Q3] S I ON EY 3 . B . : Optimal Single - machine Scheduling with Earliness and Tardiness Penalties, Opns Res., vol. 25, 1977, ss. 62-69.

Problem szeregowania z a d a ń . . 127

[4] SMUTNICKI C. : Zagadnienie optymalizacji sekwencji operacji w dy skret­

nych systemach produkcyjnych z kryterium minimalno-kosztowym. Praca doktorska. Raport Serii PRE, nr 2/81, Wydawnictwo Politechniki W r o ­ cławskiej Wr ocław 1981.

[5] SMUTNICKI C. : Metodo "cięgu krytycznego" w zagadnieniach kolejnościo- wych z minimaksowę funkcję calu. Zeszyty Naukowo AGH, Elektryfikacja 1 Mechanizacja Górnictwa i Hutnictwa, z. 146, Kraków 1981.

R e z e n z e n t : Dr inż. Franciszek MARECKI

Wpłynęło do Redakcji 15.05.1982 r.

nPOBJIEMA HEP0Ä0BAHHH 3AJUH G MHHHMAKC0B04 4>yHKUHEd UEJIH

P e 3 K) u e

B c i a T t e n p e ^ c T a B J i e H O n i e s A O B y n n p o ó z e u y H e p e A O B a H H a o n e p a m i i i c n a p a z - u a n m H a u H h o Ó m e B M H H H M a K C o B o i f ( p y H K i t H e f t p e j i H . B o t o m c j i y u a e ( p y r n c p H a nejiH n p e A c i a B j i a e T c o ó o i ł w a K C H u a j i h H u i i m T p a i ) 3a y c i c o p e H H e h j i h o n o3A a H n e B c e x o n e p a u H ü . I I o K a3a H o n e c K o j i b k o c b o H c t b s i o i ł n p o Ó a e u i i . O n H c a H O o ó ą y z i u p , e a p e m e - uhh b B H A e a z r o p H T M a . B a e A S H H H f i a i r o p u T u u o x e i Ó u T b n p v i n e H e H b H e c K O J i b K H x a B T O M a i H H e C K H X C H C T e u a X n p H H S T H H p e m e H H Ü B A H C K p e T H H X n p0H3B0A C T B e H H Ł t X C H -

cteuax.

THE PROBLEMS OF 008 SCHEDULING WITH MINIMAX GOAL FUNCTION

S u m m a r y

In the paper the job-shop problem with parallel machines and general tlnimax goal function is considered. In the presented case the goal func­

tion is the maximum of earliness or tardiness penalties. Soma properties

°f the problem are shown and the general idea of solution algorithm is described. The proposed algorithm can be used in automatic decision - ma­

king systems in discrete production processes.