GEOFIZYKA STOSOWANA – wykład 6

GEOFIZYKA STOSOWANA – wykład 6

Sejsmika refleksyjna

W sejsmice refleksyjnej mierzy się czas dojścia do odbiornika fali odbitej od granicy dwóch warstw różniących się twardością akustyczną

Jest stosowana głównie do badania sekwencji skał osadowych o niewielkim kącie upadu. Zmiany prędkości fal z głębokością są w takim przypadku dużo bardziej znaczące niż poziome zmiany prędkości związane ze zmianami facjalnymi poszczególnych sekwencji.

Podstawowy model sejsmiki refleksyjnej zakłada istnienie przedziałów głębokości o charakterystycznych prędkościach fal, tzw. prędkościach interwałowych, które mogą być stałe wewnątrz homogenicznej jednostki geologicznej lub uśrednione w interwale zawierającym więcej niż jedną jednostkę geologiczną. Prędkość interwałowa może więc być równa:

i i i

V z

= τ

gdzie: z_i - miąższość i-tej warstwy

τ_i - czas potrzebny fali na przejście przez warstwę lub:

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

⋅

=

= n

k k n

k

k k n

k k n

k k i

V Z

V

1 1

1 1

τ τ τ

gdy interwał głębokościowy obejmuje n warstw.

Pojedyncza pozioma granica odbijająca

0 A

A’

α α α α

x/2 x

x/2 x

czas dojścia fali z punktu 0 do A lub A’ jest równy:

( ) V

z x

V z x x

t

2 2

2 2

4 4

2 ⋅ + = +

=

z

Równanie można także przedstawić w postaci kanonicznej:

4 1

4

2 2

2

2

− =

z x z

t V

Jest to równanie hiperboli symetrycznej względem osi czasu której wierzchołek ma współrzędne:

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ = =

V t z

x

H 2

, 0

: _{0 0}

Równanie

2 2 2

0 2

V t x

t = + lub:

12 2 2

2 1

0

0 2 1 2

1 ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎥ =

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ +⎛

= z

x V

z Vt

t x t

( ) ( ) ( ) ( ) _...

!

1 ...

... 1

! 2 1 1

1

− − + +

+

− + +

+

=

+ y

n

n a

a y a

a ay a

y

i przyjmując

Korzystając ze wzoru:

z x t

V y x

2 2

1 ¹²

02 2

2 ⎟⎟⎠ =

⎞

⎜⎜⎝

= ⎛ α =

równanie hodografu można rozwinąć w szereg potęgowy:

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛ ⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

= ...

2 8 1 2

2 1 1

4 2

0

z

x z

t x t

Jeśli długość rozstawu jest dużo mniejsza od głębokości granicy (x>>z) wówczas można zaniedbać wyrazy wyższych rzędów.

Otrzymamy wtedy przybliżoną zależność:

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

≈

2

0

0 2

1 1

Vt t x

t

będącą równaniem paraboli. Oznacza to, że dla małych x hiperbola może być przybliżona wycinkiem paraboli.

t(x)

x

x

x -x

t

t

t

Δt

ΔT

Na podstawie ostatniego równania możemy zdefiniować następujące pojęcie:

2 0 2 2

2 V t x t x

t

t

−

≈

− Δ =

zwane przesunięciem (moveout) oraz poprawkę kinematyczną (normal moveout - NMO) :

2 0 2

0

2

) ( )

( V t

t x x

t x

T

= − =

Δ

Dla płytszych granic trzeba uwzględnić trzeci człon szeregu, wówczas:

4 03

4

2 0 2

8 ) 2

( t V

x t

V x x

T

= −

Δ

Poprawka kinematyczna ΔT jest funkcją odległości detektora, prędkości fali oraz głębokości zalegania granicy odbijającej.

Wyznaczenie tej wartości z hodografu pozwala na obliczenie prędkości fali:

a następnie głębokości zalegania granicy :

2 Vt

Z =

) ( 2t₀ T x V x

Δ

≈

Model wielowarstwowy z poziomymi granicami

W modelu wielowarstwowym odbicie zachodzi na granicy każdej warstwy. Dla rozstawów pomiarowych małych w porównaniu z głębokością granicy odbijającej hodograf nadal ma postać hiperboli, jednak prędkość fali dla układu wielowarstwowego zastępuje się prędkością średnią lub w dokładniejszych metodach interpretacji prędkością średniokwadratową:

12

1 1

2

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

=

∑

∑

=

= n

i i n

i

i i RMS

V V

τ τ

τ_i – czas przejścia fali przez i-tą warstwę

a poprawka kinematyczna ΔT:

t(x)

x

rzeczywisty hodograf hiperbola

( )

RMS

n

V

z t x

12 2 2

+ 4

≈

Odchylenie rzeczywistego hodografu od hiperboli zwiększa się ze wzrostem x. Dla x<<z czas dojścia fali odbitej od n-tej granicy zalegającej na głębokości z jest w przybliżeniu równy:

n RMS

n

V t

T x

0 2

= 2

Δ

Na podstawie wartości ΔT_n można wyznaczyć prędkość średniokwadratową dla serii n warstw. Wyznaczając V_RMS dla sąsiednich granic odbijających można wyznaczyć prędkości interwałowe:

12

1 2 1 2 1

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

= −

−

−

− n n

n n n

n

t t

t V t

V V

Indeksy n i n-1 oznaczają czas dojścia i prędkość średniokwadratową fal odbitych od n-tej i n -1-szej granicy.

Pojedyncza nachylona granica odbijająca

W przypadku nachylonej granicy odbijającej w równaniu hodografu występuje dodatkowy człon zależny od kąta upadu granicy δ.

( )

V

xz z

t x

+ 4 + 4 sin δ

=

Równanie hodografu w postaci kanonicznej:

( ) ₁

cos 4

sin 2

cos

4

2 2

2

2

2

− + =

δ δ

δ z

z x

z

t

V

δ

t(x)

+x X

-x

t(+x) t(-x)

ΔT

Wierzchołek hiperboli jest przesunięty w kierunku przeciwnym do kierunku zapadania granicy.

Uproszczone równanie hodografu ma postać:

( )

02 2 2

0

2

sin 1 4

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡ +

+

≈ V t

xz t x

t δ

t

t

Można zdefiniować poprawkę dynamiczną upadową:

V x x

t x

t

T

δ

Δ = ( + ) − ( − ) = ^{2 sin}

Dla małych kątów upadu (sinδ ≈ δ) możemy obliczyć kąt upadu:

x T

V

2 δ = ^⋅ Δ

Potrzebną w tym wzorze prędkość obliczamy używając uśrednionej poprawki kinematycznej (NMO)

2

2 ) (

)

(

0

t x

t x

T t + + − − Δ =

0

2t0 T V x

≈

Δ

Metody interpretacyjne stosowane w sejsmice refleksyjnej

A. Metoda Greena (model dwuwarstwowy z poziomą granicą)

Po podniesieniu stronami do kwadratu równania hodografu otrzymuje się:

2 2 2

2 2

2

2 2

4 1 4

V x z

V V

z

t x + = +

=

Na wykresie w układzie x² – t² zależność ta przedstawia

prostą, której nachylenie jest równe 1/V², a przecięcie z osią czasu (x=0) zachodzi dla:

2 2 2

0

4 V t = z

więc z wykresu możemy wyznaczyć prędkość fali oraz głębokość granicy

Odczytując z sejsmogramu czasy dojścia fali do poszczególnych geofonów nanosimy je na wykres, a następnie metodą najmniejszych kwadratów dopasowujemy linię prostą do punktów doświadczalnych. Stosując tą metodę minimalizujemy błędy wyznaczenia czasu dojścia i jednocześnie uśredniamy zróżnicowanie prędkości wywołane niejednorodnością ośrodka.

x

t

t

Metodę Greena można stosować także do układów wielowarstwowych zastępując prędkość interwałową w równaniu hodografu prędkością średnią.

B. Metoda Dixa (model wielowarstwowy z poziomymi granicami)

które możemy przekształcić rozkładając prawą stronę:

∑

∑

=

i

i i n

i

i

RMS

V

V

1 2 1

2

τ τ

Wychodząc z cefinicji prędkości średniokwadratowej możemy zapisać równanie hodografu fali odbitej od n-tej granicy:

n n n

i i RMS

n n n

i

i i n

i i

RMS

V V V V

V

τ τ τ

τ

τ

1 2

1 2 1

2 1

2

1

+

= +

= ∑ ∑

∑

=

−

=

= ⁻

gdzie

∑

∑

−

=

−

=

− 1

1 1

1 2

1 n

i

i n

i

i i RMS

V

V

τ

τ

Rozwiązując równanie względem V_n otrzymujemy:

n

n

i i RMS

n

i i RMS

n

n

n V

V

V

τ

τ

τ ∑

∑

=

= ⁻

−

=

1

1 2

1 2

2 ¹

Jeśli czas potrzebny na przejście fali od punktu wzbudzenia do i-tej granicy i ponownie do punktu wzbudzenia oznaczymy przez t_0i wówczas:

2

1 0

0

−

=

i

t τ t

Ostatecznie:

2

0 1

n n

i

i

= t

∑

Łatwo zauważyć że:

τ

1

1 1

0 0

2 0 2 0

2

−

−

−

−

= −

n n

n n

n n

t t

t V

t

V

V

Prędkości V²_RMSn i V²_RMSn-1 wyznaczamy z nachylenia prostych na wykresach w układzie x²- t² przyjmując, że równanie hodografu fali odbitej od n-tej granicy ma postać:

2

2

2 2

4

RMSn

n

V

h t = x +

oraz głębokość n-tej granicy refleksyjnej:

Uwzględniając zależność t_n od czasów t_0n i t_0n-1 można na podstawie prędkości interwałowych wyliczyć miąższość n-tej warstwy:

2

1 0

0

−

=

n

t V t

z

∑

−

=

i

n n

i n

t V t

h

1

1 0 0

2

Ograniczenia metody Dixa

Jeśli wykreślimy zależność x2 – t2 dla fali odbitej od n-tej granicy refleksyjnej, punkty doświadczalne nie będą układać się na linii prostej. Odchylenie od prostej będzie tym wyraźniejsze im większa będzie długość rozstawu geofonów.

Aby wyznaczyć V

należy w tym przypadku wyznaczyć nachylenie linii stycznej do hodografu dla x → 0.

x

t

Skuteczność metody Dixa można sprawdzić na modelu ośrodka wielowarstwowego. Wyznaczenie prędkości interwałowej i głębokości granic odbijających dla coraz niższych warstw jest coraz mniej dokładne. Dokładność interpretacji maleje także ze wzrostem długości rozstawu pomiarowego. Linie proste dopasowywane na wykresie ze wzrostem długości rozstawu charakteryzują się niższym nachyleniem (większą

prędkością fali). Prowadzi to do nadinterpretacji zarówno prędkości fali jak i głębokości granic.

Metoda Dixa jest jednak skuteczniejsza i

dokładniejsza dla modeli wielowarstwowych niż

metoda Greena, w której uśrednia się prędkość a

nie jej kwadrat.

A. Metoda t

/t

Metody interpretacyjne stosowane w sejsmice refleksyjnej dla nachylonych granic odbijających

M δ R

z h

x G

P

Q

Dla wyznaczenia równania hodografu fali refleksyjnej możemy wykorzystać punkt Q, zwany urojonym punktem wzbudzenia stanowiący obraz punktu wzbudzenia, gdy granica odbijająca

działa jak zwierciadło płaskie.

Odległość wzdłuż łamanej PMG zastępujemy długością odcinka QMG, którą obliczamy z twierdzenia cosinusów:

(QG)

= (PQ)

+ (PG)

– 2 (PQ)·(PG) cos (90- δ ) gdzie: PQ = 2z PG = x QG = l

skąd: l

= 4z

+ x

– 4zxsin δ

Czas przejścia fali po drodze PMG będzie równy:

( ) V

zx z

x x

t =

+ 4

− 4 sin δ

Jest to równanie hiperboli, której wierzchołek jest przesunięty

względem x = 0.

x

t(x)

X t

t

Aby wyznaczyć położenie wierzchołka należy znaleźć minimum funkcji t(x).

( )

sin 0 2

sin 4

2 2

sin 4

2

sin 4

4

2 2

2 2

2 2

2 2

− =

=

−

=

−

=

− +

=

t V

z x

dx dt

zx dx x

t dt V

zx dx x

t V d

zx z

x t

V

δ

δ δ

δ

Rozwiązaniem równania jest:

δ

sin

min

2 z

x =

Rozwiązanie to wstawiamy do równania hodografu podniesionego stronami do kwadratu :

( )

[ ] ^{( ) ( )} ( )

2 2 2

2

2 2

2 2

2 2 2

min

sin 1

4 sin

4 4

sin sin

2 4 4

sin 2

V z

V z z

V

z z z

x z

t = δ + − δ δ = − δ = − δ

( )

V x z

t

t 2 cos δ

min

min

= =

Dla x=0 hodograf przyjmuje wartość:

( ) V t z

t 2

0

= 0 =

Łącząc obie zależności można wyznaczyć kąt δ:

0 min 0

min

cos arccos t t t

t = δ ⇒ δ =

Kierunek upadu warstwy określamy na podstawie znaku x

. Jeśli oś X jest zorientowana zgodnie z kierunkiem wznoszenia się granicy wówczas x

ma wartość dodatnią.

Miąższość warstwy możemy przeliczyć na głębokość zalegania granicy pod punktem wzbudzenia:

δ δ

δ ^{cos sin 2}

sin 2

min

min

z x

h x oraz

z = = =

Znając t

oraz z możemy wyliczyć prędkość fali w warstwie:

δ

sin 2

0

min

0

t

x t

V = z =

Aby móc zastosować metodę t

– t

należy w pomiarach

stosować rozstaw obustronny z centralnie ulokowanym punktem

wzbudzenia.

B. Metoda x

– t

Jeśli dla obustronnego rozstawu naniesiemy wartość t(x) na wykres x

– t

wówczas w przypadku granicy nachylonej otrzymamy dwie gałęzie:

x

t

W tym przypadku można do interpretacji wykorzystać linię będącą sieczną obu gałęzi wykresu.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

8 2 2

sin 4

4 sin

4 4

V z t x

V

z x z

x V

z x z

x x t

x t

= +

+

− +

+ +

−

− +

= − + +

− β β

Równanie siecznej:

2 2 2

2

4

V z t = x +

Sieczna reprezentuje hodograf fali odbitej od poziomej granicy,

której głębokość jest równa odległości rzeczywistej, nachylonej

granicy od punktu wzbudzenia.

Z nachylenia siecznej możemy wyznaczyć prędkość a następnie z wartości t

dla siecznej głębokość granicy z.

Podstawiając te wartości do równania hodografu t(x) fali odbitej od nachylonej granicy dla określonego punktu odbioru x możemy wyznaczyć kąt nachylenia δ:

zx t V x

z z

x zx

t V z

x

4 4

4 sin 4

2 2 2

2 2

2

+ − = + −

δ =

C. Metoda czasu Δ T

Odstęp czasowy pomiędzy czasem dojścia w punkcie x oraz –x : ΔT

= t

– t

Wychodząc z równania hodografu dla nachylonej granicy:

( )

V xz z

t_x x

12 2

2 + 4 − 4 sin

δ

=

oraz zależności:

V t 2 z

0

=

dokonujemy przekształcenia:

⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜ ⎝

⎛ + −

=

− +

=

02 2 2 2

2 0

2 02

2 2 2

sin 1 4

sin 4

t V

xz t x

t

V t xz

V t x

x x

δ

δ

otrzymując:

12 2

2

0

4

sin

1 4 ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + −

= z

xz t x

t

δ

Ograniczamy szereg tylko do dwóch pierwszych wyrazów:

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ ⎟⎟ +

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ −

⎟⎟ −

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ −

+

= ...

4

sin 4

8 1 4

sin 4

2 1 1

2

2 2

2 2

0 z

xz x

z xz t x

t_x

δ δ

zV xz t x

z t xz t x

t

4

sin 4

8

sin

4

0 2 0

2 0

δ

δ = + −

+ −

=

i obliczamy ΔT

:

( ) ( ) ( ) ( )

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ − − −

+

⎟⎟ −

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ + − +

+

=

−

=

Δ _{+ −}

zV x z t x

zV x z t x

t t

T_{D x x}

4

sin 4

4

sin

4 ²

0 2

0

δ δ

V

T

= − 2 x sin δ

Δ

Dla granicy nachylonej nie ma jednego czasu ΔT

, możemy jednak zdefiniować

zV t x

t T

t

4 2

2

− =

= +

Δ

T

Δ

Przyjmując za x długość połowy rozstawu równą „l” otrzymujemy układ trzech równań:

zV T l

V T l

V t z

N D

4

sin 2

2

2 0

= Δ

−

= Δ

=

δ

t(x)

X t

t

-x 0 +x

ΔT

T

Δ

z których wyliczyć możemy V, z oraz δ, a w dalszej kolejności głębokość h granicy odbijającej pod punktem wzbudzenia

wyznaczając z hodografu fali odbitej t

, ΔT

i ΔT