Wyznaczenie współczynnika przewodzenia
ciepła
Spis oznaczeń i skrótów A – absorpcyjność materiału c – prędkość światła
ms ,cp – ciepło właściwe
kgK J ,Cc – stała Stefana-Boltzmanna 5,67 2 4
K m
W
Cc ,
e – gęstość emisji własnej ciała doskonale czarnego c
mW2 ,E – energia fali elektromagnetycznej
J ,E – zaabsorbowana energia fali elektromagnetycznej odbitą A
J , E – przepuszczona energia fali elektromagnetycznej P
J ,E – odbita energia fali elektromagnetycznej R
J , F – powierzchni przewodzenia
m2 ,gx – strumień masy
s kg ,g – przyspieszenie ziemskie
sm2h – stała Plancka 6,626071034
Js ,
i – intensywność emisji o danej długości fali c
mW3 ,k – stała Boltzmanna 1,380651023
KJ , P – transmisyjność materiałuR – refleksyjność materiału T – temperatura
K ,w – prędkość strugi płynu
ms , q – strumień objętości v
sm3
,
Q – strumień ciepła przewodzonego przez pole
W ,a – współczynnik wnikania ciepła
mW2K , – długość fali
m , – współczynnik przewodzenia ciepła
mK W , – współczynnik liniowego oporu hydraulicznego,
– emisyjność ciała,
– czas
s , – lepkość kinematyczna
s m2,
– gęstość płynu
mkg3 ,1. Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z pojęcia przewodzenia ciepła na przykładzie układu szeregowego przegród płaskich. Należy zbadać charakterystykę układu pomiarowego i wyznaczyć współczynnik przewodzenia ciepła dla wybranego materiału. Wyniki porównać z wartościami literaturowymi.
2. Wstęp teoretyczny
2.1. Wstęp teoretyczny
Przekazywanie ciepła (wymianą ciepła) zachodzi wszędzie, gdzie istnieje różnica temperatury. Jej wartość decyduje o intensywności procesu, natomiast sam kierunek przebiegu zjawiska jest determinowany przez drugą zasadę termodynamiki. Zgodnie z nią energia w postaci ciepła jest przekazywana od ciała o wyższej temperaturze do ciała o temperaturze niższej, przy czym wymiana ta podlega prawu zachowania energii. Przyjmując, że dwa ciała są odizolowane od otoczenia, to ich układ będzie zwiększał swoją entropię w dążeniu do równowagi termodynamicznej, czyli sytuacji w której nie występuje przepływ ciepła oraz wszystkie parametry stanu są stałe i jednakowe w każdym punkcie leżącym w obrębie osłony kontrolnej układu. W ogólniejszym przypadku, przy występowaniu wewnętrznych źródeł ciepła, braku wymiany czynnika z otoczeniem oraz brakiem izolacji, po odpowiednio długim czasie dojdzie do ustalonego przepływu ciepła pomiędzy oboma ciałami.
W tym stanie sumaryczna energia dostarczona z zewnątrz do jednego z ciał jest równa ciepłu oddanemu otoczeniu oraz drugiemu ciału, a pole temperatur w obrębie układu pozostaje niezmienne w czasie.
Dokładny ilościowy opis przekazywania ciepła zależy od stanu skupienia ciał tworzących układ, zakresu temperatur oraz rodzaju materiałów w których proces przebiega. Zależnie od tych czynników można rozróżnić trzy sposoby wymiany ciepła: konwekcję, promieniowanie i przewodzenie, przy czym często występują dwa lub trzy mechanizmy równocześnie.
2.2. Przekazywanie ciepła przez konwekcje
Konwekcja zachodzi wyłączenie w cieczach i gazach, wymiana energii odbywa się w niej dzięki mieszaniu się strug albo drobin o różnej temperaturze. Zależnie od przyczyny ruchu płynu konwekcję dzieli się na wymuszoną, gdy przepływ strugi wynika z działania sił zewnętrznych oraz swobodną, kiedy powstaje samoczynnie w skutek działania sił wyporu, wynikających z różnic gęstości. Często spotykanym zagadnieniem jest wymiana ciepła na styku płynu z ciałem stałym, wtedy ma miejsce równocześnie konwekcja oraz przewodzenie ciepła występujące warstwie przyściennej cieczy.
Rysunek 2.2.1. Schemat wymiany ciepła na styku płynu z ciałem stałym, e – oznacza warstwę przyścienną w której występuje przewodzenie ciepła.
Podstawowym prawem opisującym konwekcji jest prawo Newtona:
a T
q (2.2.1)
gdzie q - gęstość strumienia ciepła przewodzonego przez pole
W , - temperatura strugi płynu
K , T - temperatura powierzchni przegrody
K , a - współczynnik wnikania ciepła
mW2K . Przy czym współczynnik wnikania ciepła jest funkcją wielu parametrów, między innymi prędkości strugi, gęstości płynu, ciepła właściwego, lepkości, współczynnika przewodzenia ciepła dla płynu oraz wymiaru charakterystycznego dla danego przepływu. Do dokładniejszego opisu konwekcji wykorzystuje się cztery główne równania: wymiany ciepła (połączenie prawa Fouriera i Newtona), przewodzenia ciepła (równanie Fouriera i Kirchchoffa), ruchu płynu (Naviera-Stokesa) i ciągłości strugiRozwiązanie powyższych równań dla konkretnego zagadnienia przepływu ciepła wymaga określenia warunków: geometrycznych (opływanie ciała, przepływ wewnątrz kanału, wielkość i kształt obszaru przepływu), fizycznych (właściwości ciała stałego, płynu, rodzaj przepływu – laminarny, turbulentny, burzliwy), granicznych (parametry przepływu na styku ścianki z płynem) oraz opisujących zmianę warunków w czasie. Z powodu złożoności problemu jednoczesnej wymiany ciepła oraz ruchu cieczy, rozwiązania analityczne są znane dla nieznacznej liczby przypadków. W praktyce wykorzystuje się obliczenia numeryczne jak także wzory empiryczne, których stosowalność jest określona poprzez zakresy odpowiednich liczb kryterialnych.
2.3. Przekazywanie ciepła przez promieniowanie
Przekazywanie ciepła przez promieniowanie opiera się na zjawiskach absorpcji i emisji fotonów przez ciała o temperaturze wyższej od zera bezwzględnego. W tym mechanizmie nie występuje konieczność kontaktu ciał uczestniczących w wymianie ciepła, co pozwala na transport energii na duże odległości, a także uniezależnia wartość emisji od obecności innych ciał. Strumień przekazywanej energii zależy tylko od rodzaju materiałów, stanu ich powierzchni oraz różnicy temperatur. Ostatni czynnik odgrywa kluczową rolę, ponieważ zgodnie z prawem Stefana-Boltzmanna wyemitowana przez ciało moc rośnie proporcjonalnie do czwartej potęgi temperatury. Dlatego dla niskich temperatur często można zaniedbać wymianę ciepła przez radiację jako pomijalnie małą, natomiast dla wysokich temperatur ma ona decydujące znaczenie.
Gdy fala elektromagnetyczna o energii E pada na powierzchnię ciała ulega rozdzieleniu na część zaabsorbowaną -E , odbitą -A E i przepuszczoną -R E . Zgodnie z zasadą zachowania P energii:
P R
A E E
E
E (2.3.1)
Rysunek 2.3.1. Schemat mechanizmu oddziaływania fali elektromagnetycznej z ciałem stałym.
Po podzieleniu obu stron równania (2.3.1) przez E uzyskuje się mieszczące się w zakresie 0 -1 współczynniki: absorpcyjności - A, refleksyjności - R oraz transmisyjności -
P. Warto zauważyć, że powyższe współczynniki w ogólności zmieniają się wraz z długością fali promieniowania, jednak często stosowanym uproszczeniem jest używanie ich średnich wartości, czyli modelu ciała doskonale szarego.
P R A
1 (2.3.2)
Do opisu ilościowego promieniowania wykorzystuje się model ciała doskonale czarnego dla którego jest spełniony warunek: A1. Zgodnie z prawem Plancka intensywność emisji ciała doskonale czarnego wyraża się wzorem:
1 exp
1 exp
2
5 2
1 5
2
T C C kT
hc h ic c
(2.3.4)
gdzie i - intensywność emisji c
mW3 , -długość fali
m , T - temperatura
K , C , 1 C - 2 stałe wyznaczone doświadczalnie, c - prędkość światła, k - stała Boltzmanna, h - stała Plancka. Poniżej przedstawiono spektralny rozkład intensywności emisji dla kilku temperatur:Rysunek 2.3.2. Wykres intensywności emisji ciała doskonale czarnego od długości fali dla temperatur z zakresu 550-1000K
By uzyskać bardziej użyteczną w obliczeniach wielkość, całkuje się wyrażenie (2.3.4) po długości fali otrzymując strumień energii emitowanej z jednostki powierzchni ciała:
4 0
T d
i
ec c c
(2.3.5) przy e c - gęstość emisji własnej ciała doskonale czarnego
m2W ,
4 2
10-8
67 ,
5
W m K
c - stała Stefana-Boltzmanna. Powyższy wzór można stosować również do ciał doskonale szarych po wprowadzeniu pojęcia emisyjności , czyli stosunku emisji powierzchni szarej do emisji jaką miałaby ta sama powierzchnia przy tej samej temperaturze, gdyby zachowywała się jak powierzchnia doskonale czarna. Wzór przyjmuje postać:
T4
e
e c c (2.3.6)
Przy uwzględnieniu prawa Kirchhoffa stwierdzającego, że emisyjność powierzchni jest równa jej absorpcyjności można otrzymać równanie (2.3.7) używane często w praktyce do obliczania wymiany ciepła pomiędzy dwoma płaszczyznami o temperaturach T , 1 T , 2 powierzchni wymiany F oraz współczynniku wymiany energii promienistej 1 12.
2 4
4 1 2
1 2
1 q T T
q c (2.3.7)
Wzór (2.3.7) opisuje ogólny przypadek przekazywania ciepła w układzie dwupowierzchniowym zamkniętym, ponieważ współczynnik 12 zawiera w sobie informacje o wzajemnej konfiguracji powierzchni. Dla układu dwóch równoległych ścianek przyjmuje wartość:
1
2 1 2
1 1 1 1
(2.3.8)
2.4. Przekazywanie ciepła przez przewodzenie
Wymiana ciepła przez przewodzenie występuje wewnątrz ciała stałego lub płynu poprzez dyfuzję swobodnych elektronów lub drgania stykających się cząstek bez ich makroskopowego ruchu. Wartość gęstości strumienia ciepła q charakteryzuje prawo Fouriera:
n T n
q T
n
0
lim (2.4.1)
gdzie T opisuje funkcje temperatury od położenia w kierunku n zdefiniowanym jako wektor prostopadły do izotermy, o odwrotnym zwrocie względem gęstości strumienia ciepła
q, a to współczynnik przewodzenia ciepła.
Rysunek 2.4.1. Schemat definiujący kierunek n względem izoterm i gęstości strumienia ciepła.
Współczynnik przewodzenia jest własnością fizyczną danego materiału, określającą jego zdolność do wyrównywania energii wewnętrznej i w ogólności zależy wielu czynników. Do najważniejszych z nich należy temperatura, struktura ciała, a także dla części substancji ciśnienie oraz wilgotność. W praktyce w często używa się stałego współczynnika przewodzenia dla uśrednionych parametrów pracy lub jego aproksymacji liniowej względem temperatury co pozwala uprościć obliczenia kosztem dokładności. Wartość mieści się w bardzo szerokim zakresie od 5103mKW dla rozrzedzonych gazów nieorganicznych do
mK 4 W
10
2 dla miedzi w 20K,. Typowe wartości współczynnika dla wybranych grup substancji przedstawiono na wykresie.
Rysunek 2.4.2. Wykres zakresów współczynników przewodzenia ciepła dla wybranych grup materiałów.
2.4.1. Ustalony przepływ ciepła przez przegrodę płaską
Podstawowym, modelowym zagadnieniem jest przypadek przepływu ciepła przez przegrodę płaską. Rozkład temperatury wewnątrz materiału można otrzymać na podstawie równania Fouriera:
T
T a1
2 (2.4.1.1)
gdzie a oznacza dyfuzyjność cieplną zdefiniowaną jako:
cp
a . Przy warunkach ustalonego T 0 oraz jednowymiarowego 2
2 2
x
T T
przepływu ciepła, równanie (1.4.1.1) przyjmuje postać
2 0
2
x
T (2.4.1.2)
Rozwiązaniem powyższego równania różniczkowego jest funkcja liniowa.
D x C
T (2.4.1.3)
Z warunków brzegowych w postaci temperatur na powierzchni ścianki:
2
0 1
T x
T
T x
T
(2.4.1.4)
otrzymuje się wzór na temperaturę wewnątrz przegrody w funkcji położenia.
2 1 1
T T T x
x
T
(2.4.1.5)
gdzie oznaczenia są zgodne z rysunkiem 2.4.1.1
Rysunek 2.4.1.1. Rozkład temperatury przy ustalonym przepływie ciepła przez przegrodę płaską.
Podstawiając równanie (2.4.1.5) do prawa Fouriera uzyskuje się zależność strumienia ciepła od współczynnika przewodzenia, temperatur na brzegach przegrody, jej grubości oraz powierzchni:
2 1 2
1
1 T T
x T T T x
q T
x
(2.4.1.6)
Po zdefiniowaniu oporu przewodzenia ciepła w postaci:
R (2.4.1.7)
Widoczna staje się analogia przewodzenia ciepła do prawa Ohma, w której opór cieplny odpowiada oporowi elektrycznemu, różnica temperatur – napięciu, a gęstość strumienia ciepła natężeniu prądu.
R
T
q T1 2 (2.4.1.8)
R
I U (2.4.1.9)
Podobnie jak w elektrotechnice przy połączeniu szeregowym natężenie prądu jest stałe, tak w przewodzeniu, strumień ciepła przenikający przez układ przegród ułożonych szeregowo jest taki sam dla każdej ścianki. Z tej zależności wynika prawo spadków temperatur (2.4.1.10) oraz opór zastępczy przewodzenia ciepła (2.4.1.11).
Z n i
i i
R T T R
T T R
T T R
T
q T
1 1
2 3 2 1
2
1 (2.4.1.10)
n
i i
i n
i i
Z R
R
1
1
(2.4.1.11)
Rysunek 2.4.1.2. Rozkład temperatury przy ustalonym przepływie ciepła przez grupę przegród płaskich ułożonych szeregowo.
W rzeczywistości można zauważyć spadki temperatur w czasie przepływu ciepła pomiędzy stykami różnych ścianek. Wynika to z termicznego oporu kontaktowego, który powstaje w skutek istnienia cienkiej warstwy płynu pomiędzy nierównymi powierzchniami materiałów.
Rysunek 2.4.1.3. Rzeczywisty rozkład temperatury przy ustalonym przepływie ciepła przez grupę przegród płaskich ułożonych szeregowo oraz spadek temperatury pomiędzy ściankami.
W celu wyeliminowania tych spadków stosuje się substancje termoprzewodzące w postaci past lub elastycznych podkładek dopasowujących się kształtem do nierówności. W zależności od rodzaju współczynnik przewodzenia stosowanych materiałów waha się w zakresie 0,5-30
mK
W . Natomiast spadek temperatury na kontakcie tak połączonych ze sobą przegród jest od 20 do 103 razy mniejszy niż w przypadku powietrza.
2.4.2. Nieustalony przepływ ciepła przez przegrodę płaską
Okres po którym powstanie ustalony przepływ ciepła zależy głównie od pojemności cieplnej i współczynnika przewodzenia rozważanych materiałów. W technice czasy te mogą się znacznie od siebie różnić, od kilkudziesięciu sekund dla grotu lutownicy po okres kilkunastu dni dla kotłów energetycznych. Często wyznaczenie w sposób analityczny zależności pomiędzy położeniem, czasem, a temperaturą jest niemożliwe, znane są rozwiązania tylko dla niezbyt złożonych zagadnień. Punktem wyjścia jest równanie Fouriera (2.4.1.1), które dla przypadku nieustalonego przepływu ciepła przez ściankę, przyjmuje postać:
, 1 ,
2
2 T x
a x
x
T (2.4.2.1)
Wynik w postaci funkcji spełniających to równanie otrzymuje się poprzez metodę rozdzielenia zmiennych, w której zakładamy, że szukana funkcja jest iloczynem funkcji składowych zależnych od różnych zmiennych.
x, f1
x f2T (2.4.2.2)
Po podstawieniu do wyjściowego wzoru (1.4.2.1)
1 2
2 2 1
2 1 f x f
a x
f x
f (2.4.2.3)
2
2 1 1 2 2
1 f
x a f x
x
f f (2.4.2.4)
2
2 2
1 2
1
1
1 f
af x
x f x
f (2.4.2.5)
oraz przyjęciu 2 jako wartości lewej i prawej strony równania (2.4.2.5),
21 2 1
2 1
x f x
x
f (2.4.2.6)
2
2 21
f f
a (2.4.2.7)
uzyskuje się dwa równania różniczkowe, których rozwiązanie można otrzymać po scałkowaniu.
x A
x
f
x B
x
f1 cos lub 1 sin (2.4.2.8)
a
f2 exp 2 (2.4.2.9)
Dla ogólności obliczeń f1
x przyjęto jako f1
x Acos
x
Bsin
x
. W ten sposób funkcję pola temperatury w czasie można określić jako:
x
A
x
B
x a
T n
i
n n n
n
2 1
exp sin
cos
,
(2.4.2.10)
W praktyce dla kolejnych członów sumy, n rośnie na tyle szybko, że bardzo dobrą dokładność uzyskuje się już dla trzech pierwszych wyrazów. Przykład rozkładu temperatury wewnątrz ścianki przedstawia rysunek 2.4.2.1
Rysunek 2.4.2.1. Rozkład temperatury przy nieustalonym przepływie ciepła przez przegrodę płaską.
Wraz z czasem rozkład temperatury wewnątrz ścianki zgodnie z obliczeniami dla przypadku ustalonego przepływu ciepła dąży do linii prostej.
Literatura:
[1] Zbiór zadań z przepływu ciepła, red. Kostowski E., Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2006 [2] Wymiana ciepła, Wiśniewski S., Wiśniewski T., WNT, Warszawa 1994
[3] Termodynamika, Szargut J., PWN,
