Berekening van de snijkrachten bij het snijden van volledig met water verzadigd zand: Basistheorie en toepassingen voor 3-dimensionale mesbewegingen met periodiek variërende snelheden voor, bij het baggeren gebruikelijke, snijdende ontgravingsmiddelen

Berekening van de snijkrachten bij

het snijden van volledig met water

verzadigd zand.

Basistheorie en toepassingen voor 3-dimensionale

mesbewegingen met periodiek variërende snelheden

voor, bij het baggeren gebruikelijke, snijdende

ontgravingsmiddelen.

Sape Andries Miedema,

rl

Berekening van de snijkrachten bij

het snijden van volledig met water

verzadigd zand.

Basistheorie en toepassingen voor 3-dimensionale

mesbewegingen met periodiek variërende snelheden

voor, bij het baggeren gebruikelijke, snijdende

ontgravingsmiddelen.

Berekening van de snijkrachten bij

het snijden van volledig met water

verzadigd zand.

Basistheorie en toepassingen voor 3-dimensionale

mesbewegingen met periodiek variërende snelheden

voor, bij het baggeren gebruikelijke, snijdende

ontgravingsmiddelen.

Proefschrift

ter verkrijging van de graad van doctor aan de

Technische Universiteit Delft, op gezag van de Rector Magnificus, prof.dr. J . M . Dirken, in het openbaar te verdedigen ten

overstaan van een commissie door het College van Dekanen daartoe aangewezen,

op 15 september 1987 te 16.00 uur

door

Sape Andries Miedema, geboren te Giekerk Werktuigbouwkundig ingenieur.

Dit proefschrift is goedgekeurd door de promotor próf.ir. J . de Koning

Samenvatting.

Het doel van het in deze dissertatie beschreven onderzoek, is het ko­ men tot een wetenschappelijk onderbouwd mathematisch model, waarmee de belastingen op drie-dimensionaal bewegende messen, snijdend in met wa­ ter verzadigd zand, bepaald kunnen worden.

De noodzaak tot het mathematisch kunnen beschrijven van de belastin­ gen, optredend op het ontgravingselement van een onder invloed van zeegang bewegend baggerschip, is voortgekomen uit de ontwikkeling van simulatie programmatuur (DREDMO), ten behoeve van het kunnen voorspel­

len van de werkbaarheid van zeegaande baggerschepen, zoals snijkopzui-gers en baggerwielzuisnijkopzui-gers.

Vanuit de oplosmethode van het programma DRETMD worden eisen opgelegd aan de modelvorming van deze belastingea

De modelvorming zelf vindt plaats in een drietal fasen, waarbij de mo­ delvorming binnen iedere fase is geverifieerd met behulp van model-proeven.

In de eerste fase wordt een fundamenteel krachtenmodel afgeleid, geba­ seerd op minimalisering van de specifieke snijenergie.

Het snijproces in met water verzadigd zand wordt gedomineerd door het verschijnsel dilatantie.

Ten gevolge van de dilatantie worden in het zand wateronderspanningen gegenereerd, die bij grote volumereksnelheden de verzadigde waterdamp-spanning kunnen bereiken, er is dan sprake van cavitatie.

Gesproken kan worden van een niet-caviterend en van een caviterend snijproces, hoewel zich hiertussen een overgangsgebied bevindt.

De effecten van traagheidskrachten, waterweerstand, zwaartekracht, adhesie en cohesie worden in de twee-dimensionale theorie meegenomen De tweede fase bestaat uit vereenvoudigde analytische modellen voor het bepalen van de belastingen op een snijkop en een baggerwiel, geba­ seerd op de theorie uit de eerste fase, waarbij slechts het aandeel van de belastingen veroorzaakt door dilatantie is meegenomen.

Uit de analytische modellen voor snijkop en baggerwiel zijn modelre­ gels afgeleid voor het uitvoeren van modelproeven, waarbij de overgang tussen een niet-caviterend en een caviterend snijproces als uitgangs­ punt heeft gediend.

Naast de vereenvoudigde analytische modellen is een numeriek model ontwikkeld, waarbinnen een ontgravingselement met drie-dimensionaal gekromde messen wordt benaderd door een eindig aantal meselementen, waarop de volledige twee-dimensionale snijtheorie kan worden toege­ past.

De modelvorming van de belastingen op een drie-dimensionaal bewegend ontgravingselement, als gevolg van zeegang, wordt in de derde fase ge­ realiseerd, waarbij de analytische modellen uit de tweede fase als uitgangspunt hebben gediend.

Het ontwikkelde model is geschikt voor tijdsdomeinberekeningen en vol­ doet aan de eisen gesteld door de oplosmethode van het programma DREDMO.

Tevens biedt het model de gebruiker de mogelijkheid een reeds gebag­ gerd profiel als uitgangspunt voor een DREDMO-berekening in te voeren. Vergelijking van de ontwikkelde modellen met de resultaten van de uit­

gevoerde modelproeven heeft in het algemeen geleid tot een redelijke tot goede correlatie, waarbij men zich moet realiseren dat:

Modelvorming is het trachten de werkelijkheid te beschrijven zonder de pretentie in zich te hebben de werkelijkheid te zija

Summary.

The aim of the research described in this thesis is to develop a scientifically based mathematical model with which the loads on blades moving in three dimensions and cutting sand which is saturated with; water can be determined.

The need to be able to provide a mathematical description of the loads occuring on the excavating element of a dredging vessel working at sea arose from the development of the simulation program DREEMO.

This program was designed to predict the behaviour of specific.sea­ going dredgers such as cutter suction dredgers and bucket wheel dred­ gers in swel 1.

The numerical methods used in the DREEMO program placed demands on the modelling of these loads.

The modelling itself takes place in three phases, the model formation in each phase being verified with the aid of model tests.

In the first phase a fundamental model of cutting forces based on m i ­ nimising the specific cutting energy is derived.

The cutting process in sand saturated with water is dominated by the phenomena of dilatation.

In consequence of the dilatation, water underpressures are generated in the sand and, with large strain rates these can reach saturated wa­ ter vapour pressure, in which case cavitation occurs.

Cavitating and non-cavitating cutting processes can be distinguished although an intermediate transition 2one between these also occurs. The effects of inertial forces, water resistance, gravity, adhesion and cohesion are included in this two-dimensional theory.

The second phase consists of simplified analytical models to determine the loads on a cutterhead and a dredging wheel based on the theory of the first phase. Only the part of the loading caused by dilatation is included in this phase.

Model rules for the execution of model tests based on the transition between cavitating and non-cavitating cutting processes are derived from the analytical models for the cutterhead and the dredging wheel. In addition to the simplified analytical models, a numerical model has been developed in which an excavating element with three-dimensional curved blades is approached through a finite number of blade elements to which the complete two-dimensional cutting theory can be applied.

The modelling of the loads on a thredimensional moving excavating e-lement, resulting from swell is realised in the third phase, which is based on the analytical models of the second phase.

The model thus developed is suitable for the calculation in the time domain and satifies the demands of the DREEMD program.

The model also permits the user to take an existing dredged breach profile as the starting condition for a calculation with the DREEMO program

Comparison of the models developed with the results of the model tests which have been made has, in general, led to a moderate to good corre­

lation in which it must be realised that:

Modelling is an attempt to describe reality without having any pre­ sumption of being reality.

Inhoudsopgave. Samenvatting. 1 Inhoudsopgave. 3 Inleiding. 7 1. DREIMD. 11 1. 1 Bewegingsvergelijkingen scheepsbewegingea 11 1.2 Oplosmethode bewegingsvergelijkingen. 13 1. 3 Sprongfuncties en het trO probleem 18 2. Twee-dimensionale snijtheorie. 21

2. 1 Procesbeschrijving. 21 2.2 Snijtheorie literatuur. 22 2. 3 Bepaling v a n de onderdruk rond het mes. 27

2. 4 Numerieke waterspanningsberekeningea 32

2. 5 H e t mespunt probleem 34

2. 6 De krachten op het mes. 35 2. 7 Het bepalen van de afschuif hoek B- 39

2. 8 De coëfficiënten at en a2- 47

2. 9 Het bepalen van de coëfficiënten Cj, c2, dj en dg. 55

2. 10 Bepaling van <p en 6 uit snijproevea 81

2. 11 Het effect van een snelheidscomponent evenwijdig aan de 83 mes rand. 2. 12 Slijtage en randeffectea 86 2. 13 Specifieke snijenergie. 88 3. Verificatie snijtheorie. 91 3. 1 Beschrijving proefstand. 91 3. 2 Proef programma. 97 3. 3 Waterweerstand. 97 3. 4 De invloed van de mesbreedte. 98

3. 5 Randeffectea 99 3. 6 Schaal invloeden. 100 3. 7 Vergelijking van de metingen met de theorie. 102

3. 8 Aangrijpingspunt van de snijkracht. 103

3. 9 Verificatie krachten + waterspanningen 200 urn zand. 104 3. 10 Verificatie krachten + waterspanningen 105 um zand. 110

3. 11 Bepalen f en 6 uit de metingea 116

3. 12 Algemene conclusies. 117 4. Analytisch krachtenmodel snijkop. 119

4. 1 Inleiding. 119 4. 2 Vereenvoudigingen en basisvergelijkingea 120

4. 3 Transformatie van de krachten naar het aan de snijkop 123 gerelateerde assenstelsel.

4. 4 Integratie van de momentane snijkrachten en het momentane 125 koppel.

4. 5 De coëfficiënten cgc, cca, Qt en gt t/m g6. 127

4. 6 Vereenvoudiging van de vergel ijkingea 128

4. 7 Specifieke snijenergie. 134

5. Analytisch model voor het baggerwiel. 137

5. 1 Inleiding. 137 5. 2. Het niet-caviterende snijproces. 141

5. 3 Het caviterende snijproces. 145 5.4 Vereenvoudiging van de vergelijkingea 146

5. 5 Specifieke snijenergie. 147 5. 6 Gedeeltelijke cavitatie. 148

6. Model regels. 157

7. Verificatie analytische modellen snijkop en baggerwiel. 163

7. 1 Inleiding. 163 7.2 Proefopstelling snijkopproevea 164

7. 3 Krachten en momenten op de snijkop. 166

7.4 Proefopstelling baggerwielproevea 174 7.5 Mechanische en hydraulische verliezen. 175

7. 6 Aandrijfmomentea . 176

7. 7 Conclusies. 179 8. Numeriek krachtenmodel roterend ontgravingselement 183

(snijkop of baggerwiel).

8. 1 Inleiding. 183 8. 2 Definities. 183 8. 3 Transformaties. 166

8. 4 Snelheidsvectorea 187

8. 5 Schildikte, meshoek en meshoogte. 188 8. 6 Krachten in dicht gepakt met water verzadigd zand. 189

8.7 Transformatie krachten naar ruimtevaste assenstelsel. 190

9. Vergelijking numeriek krachtenmodel met analytische 191 model lea

9. 1 Inleiding. 191 9. 2 Numerieke berekening van de krachten op de schijfbodem- 192

snijkop.

9. 3 Conclusies. 193

10. De drie-dimensionaal bewegende snijkop. 197

ICX'1 Inleiding. 197

10. 2 Het bepalen van de bresvorm en de bresafmetingea 198

10. 3 De invloed van radiale snelheidsvariaties op de snijkop- 200 belastingea

10.4 De invloed van axiale snelheidsvariaties op de snijkop- 204

belastingea ' 10.5 De specifieke snijenergie en conclusies. • ' 206

11. Verificatie belastingen op een drie-dimensionaal 209 bewegende snijkop.

11. 1 Beschrijving van de proef stand. 209

11. 2 De proevea 210 11. 3 Gemeten signalea 211 11. 4 Verwerking meetgegevens. 211

11. 5 Macroscopisch snijgedrag. 214 11.6 Invloedsgroothedea 215 11.7 Conclusies macroscopisch gedrag. 216

11. 8 Verificatie radiale snelheidsvariaties. 216 11. 9 Verificatie axiale snelheidsvariaties. 219

11. 10 Conclusies. 221

12. Conclusies. 225 12. 1 Verificatie twee-dimensional e snijtheorie. 225

12.2 Verificatie snijkop en baggerwiel. 226 12. 3 Verificatie drie-dimensionaal bewegende snijkop. 226

13. Literatuurlijst. 329 14. Symbolenlijst. 233 14. 1 Symbolenlijst algemeea 233 14. 2 Symbolenlijst hoofdstuk 1. 236 14. 3 Symbolenlijst hoofdstuk 8. 237 Bijlagen BI Assenstelsel definities. 239 BI. i Het ruimtevaste assenstelsel (x-as, y-as, z-as). 239

BI. 2 Het aan de ladder gere lateeerde assenstelsel 240 (a-as, s-as, v-as).

BI. 3 Het aan de snijkop gerelateerde assenstelsel 241 (a-as, t-as, r-as).

BI. 4 Het aan het baggerwiel gerelateerde assenstelsel 242 (x-as, y-as, z-as).

BI. 5 Het aan het mes gerelateerde assenstelsel 242 (h-as, v-as, 1-as).

B2 Verdere uitwerking oplosmethode DREDM3. 243

B3 Grondeigenschappen 200 um zand. 247 B4 Grondeigenschappen 105 urn zand. 251

INLEIDING

Het werken in zeegang met snijkopzuigers of baggerwielzuigers stelt baggeraars nogal eens voor problemen, zeker als de golfhoogte meer bedraagt dan een halve meter significant.

Verschillende oplossingsrichtingen kunnen worden aangegeven om te voorkomen dat het baggeren als gevolg van de golfcondities moet worden stilgelegd (down-time).

Men kan overgaan op het gebruik van hefei landen, waardoor de invloed van de golven op het baggerwerktuig wordt geëlimineerd.

De invloed van de golven op de ladder blijft dan echter wel aanwezig. Men kan ook proberen om een deel van de zeegang rond het baggervaar-tuig weg te nemen, door het af te schermen met kunstmatige golfbre­ kers.

Een derde mogelijkheid is, het compenseren van de scheepsbewegingen zodanig dat het ontgravingselement, in dit geval de snijkop of het baggerwiel, er niet of nauwelijks door beïnvloed wordt.

Het computerprogramma DREDMO (dredge in motions) simuleert de bewegin­ gen van een snijkopzuiger in zeegang.

Daarmee kan het een belangrijk hulpmiddel vormen voor de ontwikkeling van deiningscompensatiesystemen (b. v. actief geregelde lieren), maar ook voor het ontwikkelen en ontwerpen van nieuwe baggerschepen voor het buitengaats baggeren.

Een belangrijk voordeel van het gebruik van DREDMO is, dat de belas­ tingen op deelsystemen of onderdelen bepaald kunnen worden, zodat met beter gefundeerde gegevens aan het ontwerpproces kan worden begonnea Het programma, dat door zijn modulaire opbouw ook vrij eenvoudig voor

andere doeleinden gebruikt kan worden (verankerde pontons, semisubmer-sibles), is ontwikkeld binnen de werkgroep Off-shore Techniek van de TH Delft.

Binnen deze werkgroep hebben samengewerkt het Waterloopkundig Labora­ torium te Delft, dat het programma exploiteert, de vakgroep Scheepshy-dromechanica van de afdeling Maritieme Techniek en de O&O groep Grond­ verzet van de vakgroep Transporttechnologie van de afdeling Werktuig­ bouwkunde.

Financiële steun, bij de ontwikkeling van DREDMO, werd verleend door de Vereniging Aannemers Combinatie Baggerbedrijf (VACB), de T. U. Delft en het Waterloopkundig Laboratorium Delft.

Om de bewegingen van schepen te kunnen bepalen zijn in het verleden computerprogramma's ontwikkeld die zijn gebaseerd op een stelsel ge­ koppelde lineaire bewegingsvergelijkingen met de oplossing in het fre-quentiedomeia

Omdat een schip zes graden van vrijheid kent (drie rotaties en drie translaties) moet dus een stelsel van zes gekoppelde lineaire bewe­ gingsvergelijkingen worden opgelost.

De bewegingen van een schip kunnen worden bepaald als responsie op een enkelvoudige regelmatige golf.

Omdat binnen een lineair systeem het superpositiebeginsel gehanteerd kan worden, kan de responsie op een onregelmatige samengestelde golf worden bepaald door superpositie van de responsies van het schip op de enkelvoudige golfcomponenten, waaruit de samengestelde golf is opge­ bouwd.

Voor een baggerschip voldoet deze' oplosmethode echter niet, omdat er zich een aantal sterk niet-lineaire effecten voordoen, die een oplos­ sing van de bewegingsvergelijkingen in het frequentiedomein onmogelijk maken.

In 1962 [13] heeft Cummins bewegingsvergelijkingen opgesteld die een oplossing in het tijdsdomein geven in plaats van in het frequentiedo-meia

Het oplossen van bewegingsvergelijkingen in het tijdsdomein vergt een aanpak die totaal verschillend is van de aanpak in het frequentiedo­ mein.

Dé responsies van een schip op uitwendige belastingen worden nu be­ paald als functie van de tijd en niet als functie van de golffrequen-tie, zoals in het frequentiedomeia

Dit impliceert ook, dat voor de externe krachten naar een andere for­ mulering gezocht moet worden.

De externe krachten dienen een functie te zijn van de verplaatsingen, snelheden en versnellingen van het schip en/of van de tijd.

Om de responsies van een schip gedurende een zeker tijdsinterval te bepalen, moet dit tijdsinterval worden opgedeeld in kleine tijdstap-pen, met een al dan niet variabele intervaltijd.

Iedere tijdstap moeten de bewegingsvergelijkingen iteratief worden op­ gelost, hetgeen zeer veel rekentijd kost.

DRED>K) maakt gebruik van een berekeningsmethode, waarbij een zeer effectieve predictie methode is ontwikkeld om de rekentijd en daarmee de kosten te beperkea

Een van de belangrijkste niet-lineaire effecten bij een baggerschip, is de interactie tussen het ontgravingselement en de grond.

Bij een snijkopzuiger of een baggerwielzuiger is het ontgravingsele­ ment via een ladder verbonden aan het pontoa . .

De bewegingen van de ladder worden ' in sterke mate bepaald door de

reacties van de grond op de bewegingen van het ontgravingselement. Het ontgravingselement kan in drie richtingen in de bres bewegen, na­ melijk:

1. In de verhaalrichting, loodrecht op het langsvlak van het ponton, als gevolg van het verzetten, het slingeren en het gieren van het pontoa

2. Radiaal, in het langsvlak van het ponton, als gevolg van het schrikken, het stampen en het dompen van het ponton en als gevolg van de rotatie van de ladder rond het ladderscharnier.

3. Axiaal, in het langsvlak van het ponton, als gevolg van het schrikken, het dompen en het stampen van het pontoa

Deze drie oscillerende bewegingen moeten worden gesuperponeerd op de normale verhaalbeweging van het ontgravingselement.

Omdat de krachten die de grond uitoefent op het ontgravingselement een functie zijn van de drie oscillerende bewegingen, veroorzaakt het ont­ gravingselement een koppeling tussen de langsscheepse en de dwars-scheepse bewegingen van het pontoa

Deze koppeling is voor een vrijdrijvend schip niet aanwezig.

Een nadere analyse van het gedrag van de grondreacties op het ontgra­ vingselement als gevolg van de oscillerende bewegingen van het ontgra­ vingselement is dus noodzakelijk.

In deze dissertatie zal worden ingegaan op de mathematische modelvor­ ming van de interactie tussen het ontgravingselement en de grond, waarbij als uitgangspunt voor de grond vast gepakt zand is gekozea Met de ontwikkelde krachtenmodel 1en is het mogelijk te belastingen te bepalen op een snijkop en een baggerwiel, bewegend onder invloed van zeegang.

Eerst zal echter worden ingegaan op de predictie, correctie en inte­ gratie methode in DREDMD, waarvan de predictiemethode tijdens het on­

De volgende rapporten, publicaties en programna's liggen ten grondslag aan deze dissertatie.

[32] Journee, J.HJ. & Miedema, & A & Keuning, J. A "Dredmo, A Compu­ ter Program for the Calculation of the Behaviour of a Cutter Suc­ tion Dredger Operating in Irregular Waves".

T. U. Delft & Delft Hydraulics Laboratory, Delft 1983.

[36] Koning, J de & Miedema, & A. & Zwartbol, A , "Soi 1/Cutterhead Interaction under Wave Conditions".

Proc. WODCON X, Singapore, 1983.

[44] Miedema, S. A , "De grondreactiekrachten op een kroonsnijkop die via een ladder is opgehangen in een deiningscompensator".

LaO/81/97, T.H Delft 1981.

[45] Miedema, S. A , "Computerprogramma ter bepaling van de reactie­ krachten op de snijkop, als gevolg van de bewegingen van de snij­ kop".

Stagerapport Waterloopkundig Laboratorium 1981 Delft.

[46] Miedema, S. A , "De modellering van de grondreacties op een snij­ kop en het operationeel maken van het computerprogramma DREDMO. CO/82/125, T.H Delft 1982.

[47] Miedema, S. A , "De interactie tussen snijkop en grond in zee­ gang".

Proc. Baggerdag 19/11/1982, T.H Delft, 1982.

[48] Miedema, S. A , "Principe ontwerp van een deiningsgecompenseerde snijkopzuiger met axiale en radiale compensatie op de snijkop". CO/82/134, T.H Delft 1983.

[49] Miedema, S. A , "Snijkopzuiger voor het buitengaatse baggeren met een deiningsgecompenseerde ladder".

10/83/107, T.H Delft 1983.

[50] Miedema, S. A , "Computersimulatie baggerschepen". De Ingenieur, Dec. 1983. (Kivi/Misset).

[51] Miedema, S. A , "Mathematische modelvorming t. a. v. een snijkopzui­ ger in zeegang".

T.H Delft 1984. (Kivi September 1984), The Netherlands.

[52] Miedema, S. A , "The cutting of densely compacted sand under wa­ ter".

Terra et Aqua No. 28, October 1984 pp. 4-10.

[53] Miedema, S. A , "Dwarsscheepse en langsscheepse deiningscompensa­ tie van een snijkopzuiger".

Proc. Baggerdag 9/11/1984, T.H Delft 1984.

[54] Miedema, S. A , "Mathematical Modelling of the Cutting of Densely Compacted Sand Under Water".

Dredging & Port Construction, July 1985, pp. 22-26.

[55] Miedema, S. A , "Derivation of the Differential Equation for Sand Pore Pressures".

Dredging & Port Construction, September 1985, pp. 35.

[56] Miedema, S. A , "The Application of a Cutting Theory on a Dredging Wheel".

Proc. WODCON XI, Brighton 1986.

[57] Miedema, S. A , "Underwater soil cutting: a study in continuity". Dredging & Port Construction, June 1986, pp. 47-53.

[58] Miedema, S. A , "SAMTEXT & SAMBASE, wetenschappelijk tekstbewer­ kingssysteem voor Personal Computers".

1. DREDM3.

1.1 Bewegingsvergelijkingen scheepsbewegingea

Voor de modelvorming van de interactie tussen het ontgravingselement en de grond, bij in zeegang werkende baggerschepen, is de oplosmethode van de bewegingsvergelijkingen belangrijk.

De keuze tussen frequentiedomein of tijdsdomein en bij de laatste me­ thode de keuze van de predictie-, correctie- en iteratiemethode be­ paalt het al dan niet lineair moeten zijn en het differentieerbaar moeten zijn van het mathematische model.

De bewegingen van schepen kunnen, indien van een lineair systeem spra­ ke' is, berekend worden met de volgende in de scheepshydronautica be­ kende bewegingsvergelijkingen (Gerritsma [16], zie ook bijlage Bi):

6

2 [(Mjk ♦ aJk<u,)).A. ♦ V U O . V . ♦ CJ k.X j] : FR(t) (1.1,

Waarin: M - De massamatrix.

a(u>) - De frequentieafhanke 1 ijke toegevoegde massamatrix.

A - De versnellingsvector.

b(uj) = De frequent ieafhanke 1 ijke dempingsmatrix. V = De snelheidsvector.

C = De hydrostatische veertermenmatrix. X ; De verplaatsingsvector.

F(t) = De exciterende belastingsvector.

Deze vergelijkingen geven de bewegingen van een schip als functie van de golf frequent ie (frequentiedomein).

Van een lineair systeem is sprake bij vrijdrijvende schepen of bij schepen die met een constante snelheid varen.

Zodra een schip een verbinding met de wal of met de zeebodem heeft, zullen niet-lineaire effecten hun intrede doen.

Ook actief geregelde positioneringssystemen kunnen een niet-lineair karakter hebben.

De mate van niet-lineariteit bepaalt of het oplossen van de bewegings­ vergelijkingen, al dan niet door middel van linearisatie, in het fre­ quentiedomein kan geschieden.

Voor sterk niet-lineaire systemen heeft Cummins [13] in 1962 een me­ thode ontwikkeld waarmee de bewegingsvergelijkingen in het tijdsdomein kunnen worden opgelost.

Baggerschepen, snijkopzuigers en baggerwielzuigers in het bijzonder, zijn onder operationele omstandigheden verbonden met de zeebodem door middel van hun ontgravingselement en eventueel hun verankeringssy­ steem.

Met name de verbinding met de bodem via het ontgravingselement intro­ duceert een sterk niet-lineair effect in de bewegingsvergelijkingen. Voor het oplossen van de bewegingsvergelijkingen van baggerschepen in DREEMQ is daarom gekozen voor de, in de scheepshydronautica algemeen toegepaste Cummins vergelijkingen (Keuning & Journee [35] en Wichers

[78] ).

Deze methode leidt tot het volgende stelsel gekoppelde niet-lineaire integrodifferentiaalvergelijkingen van de tweede orde:

2 [(M.. + m.T )-A. + f K., (t-T)-V.(T).dT + C ., -X.] : F, (A.,V.,X

* jk jk' j J jkv j jk jJ kv j' j',X.,t) j

2. 2)

In dit stelsel vergelijkingen kunnen w o r d e n onderscheiden:

1. De versnellingsterm (produkt v a n massa + toegevoegde massa e n versnelling).

2. De dempingsterm als gevolg van potentiaaldemping (convolutie-in-tegraal v a n retardatiefunctie e n shelheidshistorie).

3. D e veerterm (produkt v a n hydrostatische veerterm en verplaatsing). 4. D e uitwendige krachten als functie v a n versnelling, snelheid e n

■ verplaatsing van het schip en v a n de tijd.

De rechterleden uit vergelijking (2.2) zijn niet expliciet op te los­ sen, zodat een implicite oplosmethode toegepast moet worden.

M e t betrekking tot de, in DREEMD, toegepaste oplosmethode kan e e n tweede indeling van de belastingen op het baggerschip w o r d e n gemaakt.

Wanneer de snelheden v a n de snijkopzuiger klein zijn t e n opzichte v a n de orbitaalsnelheden v a n het water, k a n verondersteld worden, dat d e golfkrachten op de snijkopzuiger onafhankelijk zijn v a n de scheepsbe­ wegingen. V o o r windbelastingen geldt eenzelfde veronderstelling.

De potentiaaldemping (convolutieintegraal) is slechts voor een zeer beperkt deel afhankelijk v a n de momentane bewegingen v a n de snijkop­ zuiger. Het belangrijkste deel van d e potentiaaldemping w o r d t bepaald door de snelheidshistorie v a n de snijkopzuiger.

Verankeringskrachten, grondreactiekrachten etc. 'bezitten een meer in­ teractief karakter.

Hiermee wordt bedoeld dat deze belastingen bepaald w o r d e n door d e scheepsbewegingen, terwijl de scheepsbewegingen op hun beurt w o r d e n beinvloed door deze belastingen, zodat iteratief naar éen numeriek e-venwicht gezocht moet worden.

De uitwendige krachten op e e n snijkopzuiger kunnen nu w o r d e n onder­ scheiden in:

1. Momentaan onafhankelijke belastingen, zoals: 1. 1 Golfbelastingen.

1. 2 Windbelastingen

2. Momentaan gedeeltelijk onafhankelijke belastingen, zoals: 2.1 De potentiaaldemping (convolutie-integraal).

3. Momentaan interactieve belastingen, zoals: 3. 1 Hydrostatische veerbelastingen.

3. 2 Visceuze dempingsbelastingea

3. 3 Verankeringsbelastingen (spudpaal of draden). 3. 4 Belastingen uitgeoefend door een drijvende leiding. 3. 5 Belastingen uitgeoefend door e e n positioneringssysteem

3. 6 De interactie tussen de ladder en het ponton; deze w o r d t bepaald door o. a. :

3. 6. 1 Snijbelastingen. 3. 6. 2 Hijsdraadkrachtea 3. 6. 3 Verhaaldraadkrachten.

3. 6. 4 Ladder lager belastingea

De ladder voegt een graad van vrijheid toe aan het systeem, namelijk de rotatie van de ladder rond het ladderscharnier.

Het is mogelijk om de snijkopzuiger als een systeem met 7 vrijheids­ graden te modelleren (Wichers [78]).

In DREDMD is echter gekozen voor de ladder als externe belasting op een ponton met 6 graden van vrijheid (Journee, Keuning & Vis [31] ). Dit maakt het mogelijk dat in DREDMD de laddermodule op eenvoudige wijze op non-actief gezet kan worden, zodat ook andere drijvende con­ structies met het programma doorgerekend kunnen worden

Hierbij kan gedacht worden aan pijpenleggers en kraanschepen

De keuze van de ladder als externe belasting in de bewegingsvergelij­ kingen impliceert echter wel, dat de interactie tussen ladder en pon­ ton ook afhankelijk is van de versnellingen van het ponton, hetgeen consequenties heeft voor de methode waarmee de bewegingsvergelijkingen worden opgelost.

1.2 Oplosmethode bewegingsvergelijkingen.

Het oplossen van een stelsel niet-lineaire bewegingsvergelijkingen in het tijdsdomein houdt, kort samengevat, in:

Het gedurende een zekere tijd, per tijdstap, iteratief oplossen van de bewegingsvergelijkingen, al dan niet met een variabele tijdstap.

Het iteratieproces kan worden ingedeeld in de volgende fasen:

1. Iedere tijdstap wordt eerst de versnellingsvector van de snij-kopzuiger voorspeld, de zogenaamde predictiestap.

2. Door integratie van.de versnellingsvector worden de snelheidsvec­ tor en de verplaatsingsvector bepaald.

3. Aan de hand van de voorspelde bewegingen worden de belastingen op de sni jkopzuiger bepaald.

4. Uit deze belastingen volgt, volgens de tweede wet van Newton, de berekende versnellingsvector.

5. Deze versnellingsvector moet binnen een zekere tolerantie gelijk zijn aan de in de predictiestap bepaalde versnellingvector. 6. Is dit niet het geval, dan zal een nieuwe predictie van de ver­

snellingsvector van de snijkopzuiger gedaan moeten worden en wordt teruggegaan naar stap 2 (het iteratieproces).

Is dit wel het geval, dan kan het evenwicht in de volgende tijd­ stap worden bepaald.

Het iteratieproces is in figuur 1. 1 weergegeven.

Aan de hand van figuur 1. 1 kan gesproken worden van een ingaande (voorspelde) versnellingsvector en een uitgaande (volgens de tweede wet van Newton berekende) versnellingsvector.

Vergelijking (1.2) kan worden gemodificeerd volgens:

£ Aj,u,n,l = V( Fk< AJ , i , n , l > + Fk( t-Aj,i,<n'Vj,i,<n'Xj,i,<n) ) ( 1'3 )

Waarin: N : ( M + m ) " de inverse massa-matrix. u = index voor uitgaande vector.

i = index voor ingaande vector.

n = index waarmee de tijdstap wordt aangegeven.

<n= index waarmee tijdstappen kleiner dan n worden aangegeven. De index 1 geeft de eerste iteratiestap oftewel de predictie­ stap aan.

A

i , n, m

: A

i, n, m-l

+

^ i , n, m

F

n, m

: F

(

A

i , n, m>

v

i , n,

m

x

i , n, ra *•)

\i, n, m

= N - F

n , i

m = m + 1

NEE

l

A

i, n, m "

A

u

1

n, ml

< €

t = n-At

JA

t = (n+l)-At

m = 1

1 Ai , n+i, l

'

1 = Ai , n + ^ i . n + i , 1

Figuur 1. 1: Stroomschema van de oplosmethode van DRECMD met de

predic-tiestap (1), de integrapredic-tiestap (2), het bepalen van de be­

Hiermee wordt een splitsing aangebracht tussen de interactieve- (eer­ ste term rechterlid) en de onafhankelijke belastingen (tweede term rechter 1 id).

De ingaande versnellingsvector wordt impliciet in het rechterlid ge­ noemd, terwijl de uitgaande versnellingsvector in het linkerlid staat. Het iteratieproces is in wezen een nulpuntsbepaling van het verschil tussen de ingaande en de uitgaande versnel 1ingsvectorea In DREDMD is hiervoor de Newton-Raphson methode toegepast, in combinatie met de theta-integratiemethode (Lambert [83], zie bijlage B2 voor een verdere uitwerking). Omdat niet iedere tijdstap of iteratiestap een nieuwe Ja-cobiaanmatrix (afgeleidenmatrix) wordt bepaald, wordt ook wel gespro­ ken van een zogenaamde "modified Newton-Raphson iteratie".

De theta-integratiemethode voorkomt numerieke opslingeringen.

De predictiestap kan ook gezien worden als een nulpuntsbepaling. Het gaat hier echter om het verschil tussen de som van de versnel­

lingsvector uit de voorgaande tijdstap en de effecten op de versnel­ lingsvector veroorzaakt door de onafhankelijke belastingen en het on­ afhankelijke deel van de gedeeltelijk afhankelijke belastingen met de uitgaande versnellingsvector in de huidige tijdstap.

Met andere woorden, de predictiestap kan worden beschouwd als een ite­ ratiestap, mits de tijdsafhankelijke invloeden in de nulpuntsbepaling worden meegenomen. Figuur 1. 2 geeft een indruk hiervan.

Figuur 1. 2: Het iteratieproces met de predictiestap als iteratiestap. In deze figuur is aangegeven het verschil tussen de uit­ gaande en de ingaande versnelling Au- A1 langs de verticale as als functie van de ingaande versnellingsvector A1 langs de horizontale as, voor een drietal tijdstappen.

De toename van de uitgaande versnellingsvector in de predictiestap (de eerste iteratiestap) wordt verkregen door differentiatie van de uit­ gaande versnellingsvector Ay n j uit vergelijking (1. 3) naar de tijd. De indices " j " en "k" zijn' in de volgende vergelijkingen weggelaten, zodat de vergelijkingen geldig zijn voor een systeem met 1 graad van vrijheid.

"n" geeft de tijdstap aan, terwijl de derde index "m" de iteratiestap aangeeft. Indien de derde index wordt weggelaten, is er sprake van een term die gedurende het iteratieproces niet verandert en dus slechts tijdsafhankelijk is.

dA 3,A 3A. 3 „A 3V. 3A 3X. dA 3F"

u •*_{At = At + At + At + At (1. 4)} ' u i »* 2 u i •* u i .* u i . » ,. „•>

dt 3,A. 3t 3„V. 3t 3X. 3t 3F. 3t ï i a ï i i Met, voor een willekeurige variabele a:

3a (1. 5) At 3 t Geeft d = Aa i t : 3 A 3 A 3A 3A

AA . - -iü.AA. , + -Lü.AV. + — - - A X . + —"--AF" (1.6)

u, n, i i, n, 1 i, n 3 X i, n i, n

1 i 2 i 1 1

De eerste term in het rechter lid van vergelijking (1. 6) geeft de ver­ andering van de uitgaande versnellingsvector als gevolg van de ver­ andering van de ingaande versnellingsvector. Deze term bevat dus ook de invloeden van de veranderingen in de snelheidsvector en de ver­ plaatsingsvector als gevolg van de toegepaste integratiemethode.

3,A 3A 3A 3V. dA 3X. 3V.

_Lü-. _ H + _ Ü . _ L + _H._i._L

(1

.

7)

3, A dA. 3V. 3A. a X . 3 V . 3 A.

I l 1 1 1 l i l

De tweede term in het rechten id van vergelijking (1. 6) geeft de ver­ andering van de uitgaande versnellingsvector als gevolg van de ver­ andering van het versnel 1ingsonafhankelijke deel van de ingaande snel­ heidsvector, b. v. het deel van de convolutieintegraal dat bepaald kan worden uit de voorgaande tijdstappen.

Deze term bevat dus ook de invloeden van de verandering van de ver­ plaatsingsvector als gevolg van de toegepaste integratiemethode.

a„A 3A 3A 3X

-iü = _ H ♦ - Ü — L (1.8)

3 V 3V 3X. 3V.

3 l l i l

De derde term in het rechterlid van vergelijking (1. 6) geeft de ver­ andering van de uitgaande versnellingsvector als gevolg van het ver-snellings- en snelheidsonafhankelijke deel van de ingaande verplaat­ singsvector.

De vierde term in het rechterlid van vergelijking (1.6) geeft de ver­ andering van de uitgaande versnellingsvector als gevolg van de ver­ andering van het onafhankelijke deel van de belastingvector.

Substitutie van AAy n j uit vergelijking (1.6) in vergelijking (i. 9) geeft:

3 A 3 A 3A 3A (1. 10) A , + -i-^-AA. 4 + -Ë-H..AV + —--AX + AF" - A. . + AA

u, n-1 . i, n, 1 i, n i, n 3 F i, n i, n-1 i, n, 1 1 i 2 i i l

Dus:

34A 4 3,A 3A 3A AA. , = (1 - - J - ü f1- ^ , - A . < +- i ü . A V +_ Ü . A X . +- Ü - A F " )

i.n.1 d A ' ku,n-l i,n-l fl i, n flX i, n i, n

(1. 11) De versnellingsvector in de predictiestap kan nu bepaald worden met:

A 4 -. A. 4 + AA. . (1. 12) l, n, 1 l, n-1 i, n, 1

Door integratie kunnen nu de snelheidsvector en de verplaatsingsvector worden verkregea

Voor het iteratieproces is een soortgelijke afleiding te makea Vergelijking (1. 3) kan voor het gebruik binnen het iteratieproces ge­ schreven worden als:

6 (1. 13) S A . = N • (F,' (A . . ) + F" (t, A. , V. , X . . ) )

_ j,u, n, m kj k j, ï, n, m' k j, i, <rï j, ï, <n' j, ï, < n " Indien na m-1 iteratiestappen nog geen numeriek evenwicht is bereikt, zal een correctie op de ingaande versnellingsvector moeten worden toe­ gepast en wel zodanig, dat de hiermee berekende uitgaande versnel­ lingsvector gelijk is aan de gecorrigeerde ingaande versnellingsvec­ tor, dus:

A :-A 4 + AA : A. . + AA = A. (1.14) u, n, m u, n, m-1 u, n, m ï, n, m-1 ï, n, m ï, n, m

Na differentiatie van Ay n m uit vergelijking (1.13) naar Ai n m wordt gevonden: 3 A A 4 + "--AA. z A. 4 + AA (1. 15) u,n,m-l i, n, m ï, n,m-l ï, n, m dl i Dus: 3 A AA r (1 L H )- 1. (A 4 - A. 4 ) (1. 16) ï, n, m , ' v u, n, m-1 ï, n, m-1' v '

De vergelijkingen (1. 11) en (1. 16) zijn gelijkvormig.

In tweede term uit het linkerlid van vergelijking (1. 15) kan de uit­ drukking volgens vergelijking (1.7) worden gesubstitueerd.

De nieuwe ingaande vernel 1ingsvector kan nu bepaald worden met:

A. -- A. . + AA. (1. 17)

ï, n,m i, n, m-1 ï, n, m

Wanneer wordt overgegaan naar het stelsel gekoppelde differentiaalver­ gelijkingen moet voor de scalar 1 in de vergelijkingen (1. 11) en

(1. 16) de eenheidsmatrix I worden gesubstitueerd.

Binnen de predictie- en correctie methode worden drie Jacobiaanmatri-ces toegepast, namelijk:

1. - ^ 2. ! ^ U 3 d_\u

3,A . d„V . 3X 1 J, 1 2 J. i J, 1

De consequenties van deze oplosmethode voor de modelvorming van de snijkop/grond interactie zijn:

1. Het mathematische model van grondreacties moet zo opgesteld wor­ den dat de grondreacties een functie zijn van de versnellingsvec­ tor, de snelheidsvector en de verplaatsingsvector.

2. In het mathematische model moeten de grondreacties moet differen­ tieerbaar zijn naar de versnellingsvector, de snelheidsvector, de verplaatsingsvector en naar de tijd, waarbij de afgeleiden conti­ nu moeten zijn en dus geen sprongfuncties mogen bevatten.

De grondreactiekrachten zijn in DREEMD geïmplementeerd als module bin­ nen de laddermodule en worden als externe belastingen op de ladder be­ schouwd.

1. 3 Sprongfuncties en het t=0 probleem

Hoewel de in het voorgaande hoofdstuk genoemde oplosmethode van DREEMD geen sprongfuncties toelaat, is het bij een dergelijk simulatiepro­ gramma onvermijdelijk, dat processen worden meegenomen binnen de mo­ delvorming, waarbinnen zich sprongfuncties kunnen voordoen. Te denken valt hierbij aan de droge wrijving tussen de spudpaal en de spudhou­ ders of het krachtverschi1 over een kabelschijf dat gequantificeerd wordt door het schijfrendement. Een dergelijke sprongfunctie wordt veroorzaakt door het omdraaien van de richting van een kracht als ge­ volg van het omdraaien van de richting van de snelheid. Bij de droge wrijving tussen de spudpaal en de spudhouders gaat het om het

omdraaien van de relatieve snelheid tussen de spudpaal en de spudhou­ ders, terwijl het bij een kabelschijf gaat om het omdraaien van de ro­ tatierichting van de kabelschijf. In voorkomende gevallen worden sprongfuncties benaderd door een functie van de vorm (voor spudwrij-ving): -C- |V | r

Hf-.

F = (1 - e )-F (1. 18) w w, w ' Waarin: Fw w = De werkelijke wrijvingskracht.

Hs = De significante golfhoogte.

u, r De wrijvingscoefficient tussen spud en spudhouders.

De aanwezigheid van de wrijvingscoeff icient u, en de significate golf­ hoogte Hs in de noemer van de exponent, beperkt de maximale steilheid van de resulterende functie.

Hoewel hiermee de sprongfunctie benaderd is door een continue functie, kan het toch voorkomen dat het iteratieproces niet convergeert maar tussen twee waarden van de versnellingsvector heen en weer springt (ping-pong effect). Dit verschijnsel kan ook optreden als gevolg van het in en uit de bres bewegen van de snijkop.

Het invoeren van een relaxatiefactor r in de vorm AAj-r in de verge­ lijkingen (1. 12) en (1. 17) met een waarde van ongeveer 0. 5 voorkomt dit effect. In figuur 1. 3 is dit weergegeven

Op het tijdstip t=0 moeten de bewegingen van het baggerschip bekend zijn In DREDMO is er voor gekozen, dat het schip op t=0 in rust is. Dit betekent echter, dat het statisch evenwicht bepaald moet worden. Gezien de gecompliceerdheid van de modelvorming binnen DREDMD is het vrijwel onmogelijk voor elke bewegingsvergelijking een statisch even­ wicht te bepalen.

Er zijn tijdens de ontwikkeling van DREDMO twee methoden toegepast om het statisch evenwicht te bepalen

In de eerste methode wordt dit evenwicht door DREDMD zelf bepaald, door gedurende een zekere aanlooptijd het schip een evenwicht te laten zoeken. Deze methode vergt echter veel rekentijd, hetgeen op personal computers nog een bezwaar is.

In de tweede methode wordt gebruik gemaakt van een pseudo-evenwichts-situatie, door in stap 4 van het iteratieproces niet met de werkelijke belastingen te rekenen, maar met het verschil tussen de werkelijke be­

lastingen en de belastingen bepaald op t-0. Deze methode kan slechts worden toegepast, dan en slechts dan wanneer de pseudo-evenwichtssi-tuatie vrijwel overeenkomt met het statisch evenwicht.

Figuur 1. 3: Het ping-pong effect en het resultaat van het invoeren van een relaxatiefactor.

In deze figuur is aangegeven het verschil tussen de uit­ gaande en de ingaande versnelling Ay-Aj langs de verticale as als functie van de ingaande versnellingsvector Aj langs de horizontale as, voor het iteratieproces.

2. Twee dimensionale snijtheorie.

Een van de sterk niet-1ineaire effecten in de bewegingsvergelijkingen voor het bepalen van de bewegingen van snijkopzuigers en baggerwiel-zuigers, is de interactie tussen het ontgravingselement en de grond. Een goede beschrijving van het snijproces is essentieel voor een be­ trouwbare simulatie van de scheepsbewegingen, teneinde voorspellingen te kunnen doen met betrekking tot de werkbaarheid en het ontwerp van zeegaande baggerschepen.

Hoewel voor droge grond reeds lang rekenmodellen voor het bepalen van de snijkrachten beschikbaar waren (Hettiaratchi & Reece

[20, 21, 22, 23, 24, 66], Hatamura & Chiiwa [18] etc), is pas in de jaren 70 en 80 uitgebreid onderzoek naar het snijproces in verzadigd zand verricht, bij het Waterloopkundig Laboratorium te Delft (WL, CSB), bij de Technische Hogeschool te Delft en bij het Mineraal Technologisch Instituut (MTI, IHC).

Voor een goed begrip van de, in de literatuurbespreking gebruikte ter­ minologie, zal eerst in worden gegaan op de procesbeschrijving.

2. 1 Procesbeschrijving.

Uit de literatuur is bekend, dat tijdens het snijproces, het zand een volumevergroting ondergaat (fig. 2.1).

n,.k,

Figuur 2. 1: Het snijproces gemodelleerd als een continu proces.

Deze volumevergroting wordt toegeschreven aan dilatantie.

Dit is het veranderen van het poriënvolume als gevolg van afschuiving in het zandpakket.

De toename van het poriënvolume moet opgevuld worden met water. Het toestromende water ondervindt hierbij een zekere weerstand, waar­ door in het zandpakket onderdruk in het porienwater ontstaat.

Dit heeft tot gevolg, dat de korrelspanningen toenemen, zodat ook de benodigde snijkrachten toenemea

De snelheid waarmee het poriënvolume in de dilatante zone toeneemt, de volumereksnelheid, is evenredig met de sni jsnelheid.

Indien de volumereksnelheid groot is, kan de poriendruk de verzadigde waterdampspanning bereiken, er treedt dan cavitatie op.

Een verder toenemende volumereksnelheid zal geen verdere daling van de poriendruk kunnen bewerkstelligen. Dit impliceert, dat ook de snij­ krachten niet verder kunnen toenemen als gevolg van de dilatante ei­

De snijkrachten kunnen echter nog wel toenemen als gevolg van traag-heidskrachten en stromingsweerstand, bij een toenemende snijsnelheid.

Het snijproces kan worden ingedeeld in 5 gebieden met betrekking tot de snijkrachten.

1. Zeer lage snijsnelheden, een quasi statisch snijproces.

De snijkrachten worden bepaald door gravitatie, cohesie en adhe­ sie.

2. De volumereksnelheid is groot ten opzichte van de permeabi1iteit van het zand.

De volumereksnelheid is echter zo klein, dat traagheidskrachten kunnen worden verwaarloosd.

De snijkrachten worden gedomineerd door de dilatante eigenschap­ pen van het zand.

3. Een overgangsgebied, waarbij locaal cavitatie optreed.

Bij een toenemende volumereksnelheid zal het gebied waar cavita­ tie optreedt zich uitbreiden, zodat de snijkrachten nog enigs­ zins toenemen ten gevolge van de dilatantie.

4. Vrijwel overal rond en op het mes treedt cavitatie op.

De snijkrachten nemen niet meer toe als gevolg van de dilatante eigenschappen van het zand.

5. Zeer hoge snijsnelheden.

Het aandeel van de traagheidskrachten in de totale snijkrachten is niet meer verwaarloosbaar, doch substantieel.

2.2 Snijtheorie literatuur.

In de jaren 70 is uitgebreid onderzoek gedaan naar de krachten die op­ treden bij het snijden van zand onder water.

Een sluitende snijtheorie werd in deze periode echter niet gepubli­ ceerd.

Wel zijn er door diverse onderzoekers kwalitatieve relaties afgeleid, waarmee de afhankelijkheid van de snijkrachten met de grondeigenschap­ pen en de mesgeometrie wordt beschreven (Joanknecht [27], van Os

[62, 63] ).

Achteraf is gebleken dat in niet gepubliceerde rapporten ten behoeve van het vertrouwelijk speurwerkprogranma CSB, zoals aangegeven in de referentielijst van [40] reeds de basistheorie voor het snijden van gepakt verzadigd zand ontwikkeld was door van Os.

Vooruitlopend op de werkelijke publicatie is [40] in augustus 1986 door het Waterloopkundig Laboratorium ter beschikking gesteld.

Een proces dat qua waterspanningsontwikkeling veel op het snijden van zand lijkt, is een, met een eenparige snelheid, voortbewegende bres. Meijer en van Os [41] 1976 en Meijer [42,43] 1981/1985 hebben de ber­

gingsvergelijking getransformeerd voor het, met de bres, meebewegende assenstelsel. a2 P ax2

+

a 2 P ey2

V

g l V

c

(2. 1)

In het geval, dat het proces stationair is, wordt de tweede term in het rechter lid gelijk aan nul, dus:

,2 6 P 2 dx + ? d p ? dy P 'g-V

w

6

c

-k de

—

dx (2. 2)

Van Os [62,63] 1977 beschrijft de basisprincipes van het snijproces, waarbij met name wordt ingegaan op het bepalen van de wateronderspan-ningen en het optreden van cavitatie.

Voor het bepalen van de wateronderspanningen, wordt door van Os de on­ getransformeerde bergingsvergelijking gebruikt.

a2 P ax2 + a2P ay2 (2. 3)

De gemiddelde volumereksnelheid moet worden gesubstitueerd in de term 3e/at van het rechterlid.

De gemiddelde volumereksnelheid is het product van de gemiddelde volu-merek van het zandpakket en de snijsnelheid en komt voort uit de volu­ mebalans over de afschuif zone.

Door van Os wordt een kwalitatieve relatie gegeven tussen de wateron­ derspanningen en de gemiddelde volumereksnelheid.

v -h • e

c ï

(2. H)

Het probleem van het oplossen van de bergingsvergelijking voor het snijden van zand onder water is een gemengd randwaarde-probleem, waar­ bij de wateronderspanningen langs de randen bekend zijn (hydrosta­ tisch).

Joanknecht [26, 27] 1973 veronderstelt dat de snijkrachten bepaald wor­ den door de onderdruk in het zandpakket.

Een onderscheid wordt gemaakt tussen het aandeel van de snijkracht veroorzaakt door traagheidskrachten, onderdruk achter het mes en de grondmechanische eigenschappen van het zand.

De invloed van de geometrische parameters geeft de volgende kwalita­ tieve relatie:

F . :: v -h._{ei e i} -b (2. 5)

De snijkracht is evenredig met de snijsnelheid, de mesbreedte en de initiële schildikte tot de tweede macht.

Een verband met het poriengehalte en de permeabi1iteit wordt wel ge­ noemd.

Een relatie tussen de snijkracht en deze grondmechanische parameters wordt echter niet gegevea

Geconstateerd is, dat de snijkrachten toenemen met een toenemende mes-hoek.

In de jaren 80 heeft het onderzoek geleid tot meer kwantitatieve rela­ ties.

In 1984 bespreken van Leussen en Nieuwenhuis [39] de grondmechanische aspecten van het snijproces.

De krachtenmodel 1 en van Miedema [54,57] en Steeghs [72,73] zijn in 1985/86 gepubliceerd, terwijl het CSB (Combinatie Speurwerk Bagger­ techniek) model (van Leussen en van Os [40]), hoewel in de beginjaren 70 bij het Waterloopkundig Laboratorium ontwikkeld (van Os [62, 63] ),

in 1987 zal worden gepubliceerd.

Brakel [5] 1982 leidt een relatie af voor het bepalen van de wateron-derspanningen gebaseerd op, over elkaar rollende ronde korrels in de afschuif zone.

Het hieruit voortvloeiende krachtaandeel is toegevoegd aan het model van Hettiaratchi en Reece [23).

Miedema [52] 1983 heeft de kwalitatieve relaties van Joanknecht [26,27] en van Os [62,63] gecombineerd tot de volgende relatie:

p -g-v 'h.-b-e

F . :: — - — - (2.6)

Cl

k m

Met behulp van deze basisvergelijking zijn rekenmodellen ontwikkeld voor een snijkop en voor een periodiek in de bres bewegende snijkop. De evenredigheidsconstanten zijn empirisch bepaald.

Tevens is uit deze modellen de grondmodule voor het programma DREDMO ontwikkeld (Miedema [36, 47] ).

In de betreffende hoofdstukken zal hierop teruggekomen wordea

Van Leussen en Nieuwenhuis [39] 1984 bespreken de grondmechanische aspecten van het snijproces.

Belangrijk in het snijproces is de manier van afschuiven en de vorm of de hoek van het schuif vlak, cq. schuif zone.

In de literatuur is hiervoor geen eenduidig beeld gevonden.

Snijproeven langs een glasplaat gaven een beeld, waarbij de vorm van het schuifvlak meer in overeenstemming was met de zogenaamde "span­ ningskarakteristieken", dan met de zogenaamde "zero-extension lines". Voor de berekening van de snijkrachten is dan ook de "spanningskarak­ teristieken methode" gebruikt (Mohr-Couiomb bezwijkcriterium).

Voor de berekening van de wateronderspanningen zijn echter de "zero-extension lines" gebruikt, dit zijn lijnen waar de lineaire rek gelijk aan nul is.

Een nadere formulering voor beide berekeningen wordt niet gegeven.

Hoewel het snijproces als twee dimensionaal wordt beschouwd, hebben van Leussen en Nieuwenhuis gevonden, dat de hoek van inwendige wrij­ ving, gemeten bij lage vervormingssnelheden in een triaxiaal apparaat, goed voldoet voor baggerprocessen, hoewel het snijproces kan worden beschouwd als een twee-dimensionaal proces en dus verwacht kon worden dat de hoek van inwendige wrijving bepaald zou moeten worden met een "vlakke vervormingsproef".

Een afdoende verklaring hiervoor werd niet gevondea

Omtrent de waarde van de wrijvingshoek tussen zand en staal is zeer weinig bekend.

De invloed van de initiële dichtheid op de optredende grond/staal wrijvingshoek is niet merkbaar aanwezig, omdat zich over het mes zand met een losse pakking beweegt.

De, op messen, gemeten wrijvingshoeken zijn veel groter dan de, met een adhesie cel gemeten wrijvingshoeken, terwijl ook een afhankelijk­ heid met de meshoek geconstateerd werd.

Met betrekking tot de doorlatendheid van het zand, hebben van Leussen en Nieuwenhuis gevonden dat geen grote afwijkingen van de wet van Dar-cy optreden bij de stroming van water door de poriea

De gevonden afwijkingen zijn in het algemeen kleiner dan de nauwkeu­ righeid waarmee de doorlatendheid in situ kan worden bepaald.

Enige duidelijkheid omtrent de grootte van het gebied, waar ae/at uit vergelijking (2. 5) gelijk aan nul is, wordt verkregen uit de door van Leussen en Nieuwenhuis gepubliceerde figuren.

Uitgegaan wordt van een snijproces waarbij de dichtheid van het zand vergroot wordt in een schuifband met een zekere breedte.

Het ongestoorde zand heeft de initiële dichtheid, terwijl het zand na het passeren van de schuifband een kritieke dichtheid bezit.

Deze kritieke dichtheid bleek goed overeen te komen met de natte kri­ tieke dichtheid van de gebruikte zandsoorten.

Dit betekent dat buiten de schuifband de volgende vergelijking geldt:

a2P

ax2

+ a

2 P

ay2

Voor drie zandsoorten worden waarden voor de verschillende dichtheden gegeven. Differentiatie van de residuele dichtheid als functie van de meshoek wordt niet gegeven.

Een verificatie van de waterspanningsberekeningen wordt gegeven voor een 60° mes met een meshoogte/schildikte verhouding van 1.

Miedema [51, 52] 1984 geeft een formulering voor de bepaling van de wa­ teronderspanningen. De deformatiesnelheid wordt bepaald door het nemen van een volumebalans over de af schuif zone, zoals bij van Os [62, 63]. De deformatiesnelheid is hierbij gemodelleerd als een randvoorwaarde

in de schuifzóne, terwijl de afschuifzone is gemodelleerd als een rechte lijn inplaats van een schuifband zoals bij van Os [62,63] en van Leussen en Nieuwenhuis [39].

De invloed van de waterdiepte op de snijkrachten wordt verklaard. Tevens wordt het krachtenspel op een snijkop verklaard aan de hand van vergelijking (2. 6) en wordt een overzicht gegeven van de mogelijkheden van DREDMO.

Steeghs [72] 1985 ontwikkelt een theorie, voor het bepalen van de vo-lumereksnelheid, waarbij uitgegaan wordt van een cyclische vervorming van het zand in een schuifband.

Dit betekent, dat voor de volumereksnelheid niet een gemiddelde waarde wordt genomen, maar een cyclisch met de tijd variërende waarde, die gebaseerd is op de dilatantie hoek theorie.

Miedema [54, 55] 1985 leidt vergelijkingen af voor de bepaling van de wateronderspanningen en de snijkrachten," gebaseerd op [46,51,52], De wateronderspanningen worden bepaald met de eindige elementen metho­ de. Er wordt ingegaan op de invloed van de doorlatendheid van het ge­ sneden en het ongesneden zand en op de bepaling van de afschuifhoek. De afgeleide theorie is geverifieerd aan de hand van modelproeven. Voor het residuele poriengehalte is op grond van het uitgevoerde on­

Steeghs [72,73] 1985/1966 leidt vergelijkingen af voor het bepalen van de wateronderspanningen volgens een analytische benaderingsmethode. Met deze benaderingsmethode worden de wateronderspanningen bepaald met

een modificatie van de, door van Os [62,63] afgeleide vergelijking (2.4) en de bergingsvergelijking (2.7).

Aangegeven wordt, hoe de snijkrachten bepaald kunnen worden, volgens het krachtenevenwicht van de gesneden schil.

Hierin zijn ook de zwaartekracht, de traagheidskrachten en de onder­ druk achter het mes opgenomen.

Voor de laatste invloedsfactor wordt geen formulering gegeven. Ingegaan wordt op de bepaling van de afschuifhoek.

Enige voorbeelden worden gegeven van de snijkrachten als functie van de snijsnelheid, de waterdiepte en de onderdruk achter het mes.

Een verificatie van deze theorie wordt niet gegeven.

Miedema [56] 1986 ontwikkelt een rekenmodel voor het bepalen van de snijkrachten op een baggerwiel gebaseerd op [54, 55].

In het betreffende hoofdstuk wordt hier op teruggekomen

Tevens zijn nomogrammen gepubliceerd waarmee op eenvoudige wijze de snijkrachten en de afschuifhoek kunnen worden bepaald.

Ingegaan wordt verder op het bepalen van een gewogen gemiddelde per-meabiliteit uit de permeabi1iteit van het ongesneden en het gesneden zand.

Geconcludeerd wordt, op grond van berekeningsresultaten, dat de gemid­ delde permeabi1iteit een goede schatting hiervoor geeft.

Miedema [57] 1986 breidt de theorie uit met adhesie, cohesie, traag­ heidskrachten, zwaartekracht en onderdruk achter het mes.

De methode voor het berekenen van de coëfficiënten voor het bepalen van een gewogen gemiddelde permeabi1iteit wordt behandeld.

Geconcludeerd wordt, dat de toevoegingen aan de theorie, leiden tot een betere correlatie met de proef resultaten.

Van Os en van Leussen [40] 1986 vatten de publicaties van van Os [62, 63] en van van Leussen en Nieuwenhuis [39] samen en geven een for­ mulering van de, in de beginjaren 70, bij het Waterloopkundig Labora­ torium, ontwikkelde theorie.

Ingegaan wordt op de waterspanningsberekening, cavitatie, de gewogen gemiddelde permeabi 1 iteit, de hoek van inwendige wrijving, de grond/-staal wrijvingshoek, de permeabi1iteit, de volumerek en de snijkracht­ en.

Een verificatie wordt gegeven van een waterspanningsberekening en de snijkrachten.

De wateronderspanningen worden bepaald met behulp van de door van Os [62,63] afgeleide vergelijking (2.4).

De waterspanningsberekening is uitgevoerd met de eindige differentie methode, waarbij de dikte van de schuifband gelijk is aan de maaswijd-te van het vierkanmaaswijd-tennet.

De grootte van deze maaswijdte wordt hierin arbitrair verondersteld. Uit een voorbeeld is echter af te lezen, dat de schuifband ongeveer een dikte heeft van 13* van de schildikte.

Ingegaan wordt op de bepaling van een gewogen gemiddelde permeabili­ te it.

2. 3 Bepaling van de onderdruk rond het mes.

Het snijproces kan worden gemodelleerd als een twee-dimensionaal pro­ ces, waarbij een recht mes een laagje zand snijdt (fig. 2. 1).

Het zand wordt gedeformeerd in de afschuifzone, ook wel deformatiezone of dilatantiezone genoemd.

Gedurende deze deformatie verandert het volume van het zand als gevolg van de schuifspanningen in de afschuif zone.

Dit verschijnsel wordt in de grondmechanica dilatantie genoemd. In vast gepakt zand wordt het poriënvolume vergroot als gevolg van de schuifspanningen in de deformatiezone.

Deze toename van het poriënvolume wordt geconcentreerd verondersteld inde deformatiezone, terwijl de deformatiezone is gemodelleerd als een rechte lijn (lijnvormige put).

Er zal water moeten stromen naar de deformatiezone om de vergrootting van het poriënvolume in deze zone op te vullen

Een gevolg van deze waterstroming is, dat de korrelspanningen zullen toenemen en de waterspanningen zullen afnemen Er is dus sprake van wateronderspanningen

Dit betekent, dat de krachten die nodig zijn voor het snijden van vast gepakt zand onder water, voor een belangrijk deel bepaald zullen wor­ den door de dilatante eigenschappen van het zand.

Bij lage snijsnelheden worden de snijkrachten tevens bepaald door de zwaartekracht, de cohesie en de adhesie voor zover deze laatste twee grondmechanische parameters in zand aanwezig zijn.

Wordt met hoge snelheden gesneden, dan zullen de traagheidskrachten in belangrijke mate deel uit maken van de totale snijkrachten

Indien wordt verondersteld, dat het snijproces stationair is, kan de stroming van het water door de poriën van het zand worden beschreven in een, met het mes meebewegend, assenstelsel.

Het bepalen van de wateronderspanningen in het zand rond het mes is dan gelimiteerd tot een gemengd randwaarden probleem

De potentiaaltheorie kan worden gebruikt om dit probleem op te lossen Voor het bepalen van de wateronderspanningen is het noodzakelijk dat er een goede formulering is voor de randvoorwaarde in de afschuifzone. Miedema [52] heeft in 1984 de basisvergelijking voor deze randvoor­ waarde afgeleid.

In 1985 [54, 55] en 1986 [57} is een meer uitgebreide afleiding gepu-bl iceerd.

Indien er van uitgegaan wordt, dat buiten de deformatiezone geen ver­ vormingen plaatsvinden, geldt:

a2P

ax2

+ a

2P

* y2

voor het zandpakket rond het mes.

De randvoorwaarde in de deformatie zone is in feite een specifiek de­ biet (fig. 2.2), dat kan worden bepaald met de volgende hypothese. Voor een zandelement in de deformatiezone, is de vergrootting van het poriënvolume per eenheid van meslengte:

Waarin: e n - n. max ï (2. 10) 1 - n max

Gekozen is voor nmax als residueel poriengehalte op grond van het kun­ nen verklaren van de wateronderspanningen, gemeten bij het laborato­ riumonderzoek. Hierop wordt in hoofdstuk 3 teruggekomen.

Figuur 2. 2: De volumebalans over de af schuif zone.

Het volumedebiet, dat naar het zandelement stroomt is gelijk aan:

3V dx AQ = — = e

at at

Al-sin(B) = e-v •Al-sin(B)

c (2. 11)

Met behulp van de wet van Darcy kan de volgende differentiaalvergelij­ king worden afgeleid voor het specifieke debiet, loodrecht op de de­ formatiezone:

3Q

q = — = q< + q,

ai *i pw-g

_p

_w

_-e

r e-v -sin(B) (2. 12)

De partiele afgeleide 3p/3n is de afgeleide van de wateronderspannin­ gen loodrecht op een rand van het gebied, waarbinnen de wateronder­ spanningen berekend worden (in dit geval de deformatiezone).

In figuur 2. 2 is aangegeven, wat de randvoorwaarden aan de andere ran­ den van dit gebied zija

Op de randen die de begrenzing vormen tussen het zand en het water, is een hydrostatische drukverdeling aangenomea

Dit komt bij verwaarlozing van de hoogteverschillen op het mes, over­ een met een druk gelijk aan nul in de berekening van de wateronder-spanningea

Voor de randen die de begrenzing vormen in het zandpakket is aangeno­ men, dat deze ondoorlaatbaar zijn.

ten worden genormaliseerd door te delen door de dikte van de gesneden schil.

Vergelijking (2. 12) kan in genormaliseerde vorm geschreven worden als: aP dn' + ï ap an'

Pw-e-v(;-e-hi-sin(B)

Met: n' = n/h.

(2. 13)

Deze vergelijking wordt dimensieloos gemaakt door:

ap

an'

p -g-v -e-h/k

w c

ï

max

(2. 14)

Het accent geeft aan, dat een bepaalde variabele of een partiele afge­ leide dimensieloos is.

De volgende dimensieloze vergelijking is nu geldig als randvoorwaarde in de deformatie zone:

ap

an

+ ï

a

P 3n — : sin(B) (2. 15)

De bergingsvergelijking moet ook dimensieloos gemaakt worden, dit le­ vert de volgende vergelijking op:

a2 P ax2 + a2 P ay2

= o

(2. 16)

Omdat het rechterlid van deze vergelijking nul is, is deze vergelij­ king in gelijkvormig aan vergelijking (2. 8).

Met behulp van de bergingsvergelijking en de randvoorwaarden kan de verdeling van de wateronderspanningen in het zandpakket rond het mes worden bepaald.

Omdat de berekening van de wateronderspanningen dimensieloos is, moet voor het bepalen van de werkelijke wateronderspanningen de volgende transformatie uitgevoerd wordea

De werkelijke wateronderspanningen kunnen bepaald worden door integra­ tie van de afgeleide van de wateronderspanningen in de richting van een stroomlijn, over een stroomlijn, dus:

berekend •ds' over een stroomlijn s' (2. 17)

Figuur 2. 3: Stroming van het porienwater naar de afschuif zone.

Met behulp van vergelijking (2. 14) kan hiervoor geschreven worden:

werk

ƒ Ï.«.JÏL

g-v -e-h. s'

apt'

•ds' (2. 18)

as|

Met: s' s/h.

Dit geeft het volgende verband tussen de werkelijk optredende wateron­ derspanningen en de berekende wateronderspanningen:

P • e-v •e-h.

w e c ï

werk berekend (2. 19)

In tabel 2. 1 staan de berekende wateronderspanningen vermeld in rela­ tie tot de meshoek, de afschuifhoek, de meshoogte/schildikte verhou­ ding en de verhouding tussen de permeabiliteit van het ongesneden en het gesneden zand.

Met behulp van vergelijking (2. 19) of vergelijking (2. 14) kunnen te­ vens de bij snijproeven gemeten wateronderspanningen dimensie loos ge­ maakt wordea

Om hierbij onafhankelijk te zijn van de verhouding tussen de initiële permeabiliteit kA en de maximale permeabiliteit km a x moet voor het di-mensieloos maken k,,^ worden vervangen door een gewogen gemiddelde permeabiliteit k^ Hierop wordt in hoofdstuk 2. 8 teruggekomen.

a : 15° ar 30" a = 45° a = 60°

V

h

i

a 1 a 2 a 3 m 1 m 2 m 3 a 1 a 2 a 3 m 1 m 2 m 3 a 1 a 2 a 3 m 1 m 2 m 3 a 1 a 2 a 3 m i m 2 m 3 lci/,(max= 0-30° 0. 156 0. 157 . 0. 158 0. 031 0. 016 0. Oil 0 = 25° 0. 178 0. 179 0. 179 0. 073 0. 049 0. 034 0:20° 0. 185 0. 190 0. 192 0. 091 0. 081 0. 067 0rl5° 0. 182 0. 195 0. 199 0. 091 0. 100 0. 094 37. 5° 0. 168 0. 168 0. 168 0. 033 0. 017 0. Oil 30° 0. 186 0. 187 0. 187 0. 076 0. 049 0. 034 25° 0. 193 0. 198 0. 200 0. 097 0. 082 0. 065 20° 0. 192 0. 204 0. 208 0. 103 0. 106 0. 095 1 45° 0. 177 0. 177 0. 177 0. 035 0. 018 0. 012 35° 0. 193 0. 193 0. 193 0, 078 0. 049 0. 033 30° 0. 200 0. 204 0. 205 0. 104 0. 083 0. 063 25" 0. 200 0. 211 0. 214 0. 112 0. 109 0. 093 V 30° 0. 235 0. 236 0. 237 0. 054 0. 028 0. 019 25° 0. 274 0. 276 0. 277 0. 126 0. 084 0. 059 20° 0. 289 0. 304 0. 308 0. 161 0. 146 0. 120 15» 0. 278 0. 314 0. 327 0. 158 0. 182 0. 174

i/

k

max-37. 5° 0. 262 0. 262 0. 262 0. 059 0. 030 0. 020 30° 0. 291 0. 294 0. 294 0. 133 0. 085 0.059 25° 0. 306 0. 322 0. 325 0. 174 0. 148 0. 116 20° 0. 303 0. 339 0. 350 0. 184 0. 196 0. 176 0. 25 45° 0. 286 0. 286 0. 286 0. 063 0.032 0. 021 35" 0. 308 0. 310 0. 310 0. 139 0. 086 0. 059 30° 0. 325 0. 339 0. 340 0. 187 0. 151 0. 114 25° 0. 324 0. 359 0. 368 0. 205 0. 204 0. 174

Tabel 2. 1: De dimensieloze wateronderspanningen pl m (a)fschuifzone en

P2 m (m)esoppervlak als functie van de meshoek a, de

af-schuifhoek 0, de verhouding tussen de meshoogte hb en de schildikte hj en de verhouding tussen de permeabiliteit van het ongesneden zand k^ en de permeabiliteit van het gesne­ den zand kj^jj, bij een aanloopvlak achter de mespunt met een lengte van O. 2 h^.

2. 4 Numerieke waterspanningsberekeningea

De wateronderspanningen in het zandpakket op en rond het mes zijn nu­ meriek bepaald met behulp van de eindige elementen methode.

Gebruik is gemaakt van een standaard programma pakket (Segal [69] ). Met de in dit pakket voorkomende "subroutines" is een programma ge­ schreven, waarmee de wateronderspanningen berekend en grafisch en nu­ meriek uitgevoerd kunnen wordea

De uitkomst van een dergelijke berekening hangt echter niet alleen af van de fysische modelvorming van het op te lossen probleem, maar ook van de volgende punten:

i. De grootte van het gebied waarbinnen de berekening wordt uitge­ voerd.

2. De grootte en de verdeling van de elementea 3. De randvoorwaardea

De keuze van deze drie punten moet gezien worden tegen de achtergrond van het op te lossen probleem.

Het gaat bij deze berekeningen om de grootte en het verloop van de wa­ teronderspanningen in de afschuifzone en op het mes.

Een variatie van de waarden voor de punten i en 2 mag dus geen invloed hebben op dit gedeelte van de oplossing.

Dit is bereikt door enerzijds het gebied, waarbinnen de berekening plaatsvindt, stapsgewijs te vergroten en anderzijds door de element­

grootte te verkleinen tot de variatie in de oplossing minder dan iv.

was.

Hierbij is de verdeling van de elementen zo gekozen, dat rond de mes­ punt, rond de afschuifzone en op het mes een fijnere verdeling aanwe­ zig was, mede vanwege het mespuntprobleem (hoofdstuk 2. 5).

Een aantal randvoorwaarden volgen uit het fysische model van het snij­ proces, namelijk:

1. De randvoorwaarde in de afschuif zone.

Deze wordt beschreven door vergelijking (2. 15). 2. De randvoorwaarden langs het vrije zandoppervlak.

Onder verwaarlozing van de afmetingen van mes en schil ten op­ zichte van de hydrostatische drukhoogte, waarbij het proces zich afspeelt, kan hiervoor de hydrostatische druk gekozen wordea Omdat het bij deze berekeningen gaat om het verschil van de wa-teronderspanningen met de hydrostatische druk kan als randvoor­ waarde een druk gelijk aan nul gekozen worden

De randvoorwaarden langs de begrenzingen van het gebied waar de bere­ kening plaatsvindt, die zich bevinden in het zandpakket, volgen niet uit het fysische proces. Voor de randvoorwaarde langs deze begrenzin­ gen kan gekozen worden tussen:

1. Een hydrostatische druk langs de begrenzing. 2. De begrenzing als ondoorlaatbare wand.

3. Een combinatie van een bekende druk en een bekend specifiek de­ biet.

Bij het werkelijke proces voldoet geen van deze mogelijkheden

Er zal van buiten het gebied waarbinnen de berekening plaatsvindt wa­ ter door deze begrenzingen stromen. Dit impliceert echter ook, dat de druk langs deze begrenzingen niet hydrostatisch is.

Indien de begrenzingen echter op voldoende afstand worden gekozen van het werkelijke snijproces, mag de keuze van deze randvoorwaarde niet van invloed zijn op de oplossing. Gekozen is voor de begrenzing als ondoorlaatbare wand, hoewel deze keuze arbitrair is.

Figuur 2. 2 geeft een indruk van de grootte van het gebied en de rand­ voorwaarden, terwijl figuur 2.4 een indruk geeft van de elementenver­ deling. Figuur 2.5 laat tenslotte de twee-dimensionale verdeling van de wateronderspanningen zien.

Figuur 2. 5: De verdeling van de wateronderspanningen in het zandpakket rond het mes.

2. 5 Het mespuntprobleem.

Bij de fysische modelvorming van het snijproces is er steeds van uit­ gegaan, dat er sprake was van een scherpe mespunt. Mét andere woorden, dat in de numerieke berekening, vanaf de mespunt een hydrostatische druk kan worden ingevoerd voor de randvoorwaarde langs het vrije zand-oppervlak achter het mes. Praktisch gezien, zal dit echter nooit het geval zijn omdat:

1. De mespunt altijd een zekere afronding zal hebben, zodat niet van een echt scherp mes gesproken kan worden

2. Door slijtage van het mes zal er zich achter de mespunt een vlak-je bevinden, dat aanloopt tegen het zand (vrijloophoek < nul). 3. Indien het zand ook onder de mespunt dilateert, is het mogelijk,

dat het zand na het passeren van de mespunt aanloopt tegen het vrij loopv lak.

4. Achter het mes zal een zekere onderdruk heersen als gevolg van de snelheid van het mes en als gevolg van het snijproces.

Een combinatie van deze factoren bepaalt de verdeling van de water-onderspanningen met name rond de mespunt. De eerste drie van deze fac­ toren kunnen in de numerieke berekening worden meegenomen in de vorm van een extra randvoorwaarde achter de mespunt. Langs het vrije zand-oppervlak achter de mespunt is in de berekening een ondoorlaatbaar

lijnelement aangebracht.

De lengte van dit element is gevarieerd met O. O-hp O. l-hj en O. 2-h,. Uit deze berekeningen is naar voren gekomen, dat met name de

water-onderspanningen op het mes zeer sterk bepaald worden door de keuze van deze randvoorwaarde, dit is in figuur 2. 6 weergegeven.

O 0.1 0.2 0.3 w/h|

Figuur 2. 6a: Het verloop van de wateronderspanningen op het mes als functie van de slijtvlaklengte w.

0.1 0.2 0.3 w/hi

Figuur 2. 6b: Het verloop van de wateronderspanningen in de afschuifzo-ne als functie van de slijtvlaklengte w.

In hoeverre de invloed van de onderdruk achter het mes op de water­ onderspanningen rond de mespunt door deze extra randvoorwaarde kan worden meegenomen in de berekening is moeilijk in te schatten. Aange­