Włodzimierz JANKĘ Jacek JOCHYMEK Politechnika Koszalińska
PÓŁANALITYCZNE ALGORYTMY ROZPLOTOWE DO ODTWARZANIA PRZEBIEGÓW CZASOWYCH
Streszczenie. Operacja rozplotu znajduje zastosowanie między innymi do odtwarzania przebiegów czasowych w trakcie pomiarów dynamicznych, jednak proste algorytmy rozplotowe są na ogół źle uwarunkowane numerycznie. W pracy omówiono rodzinę półanalitycznych rekursywnych algorytmów rozplotowych, stosowanych w przypadku typowej odpowiedzi impulsowej systemu pomiarowego o postaci sumy przebiegów eksponencjalnych.
SEMI-ANALYTICAL DECONVOLUTION ALGORITHMS FOR DETERMINATION OF TIME-DOMAIN SIGNALS
Summary. Deconvolution operation can be used for determination o f input signals o f measurement systems. Simple deconvolution algorithms are numerically complex and can be unstable. The family of semi-analytical deconvolution algorithms presented in the paper shows very good numerical stability and effectiveness.
1. WPROWADZENIE
W trakcie pomiarów wielkości szybkozmiennych inercja systemu pomiarowego nie pozwala na bezpośrednie wyznaczenie poszukiwanego przebiegu i konieczne jest jego odtworzenie za pomocą odpowiedniej procedury matematycznej. Ograniczając rozważania do przebiegów ciągłych i jednowymiarowych oraz do przypadku, gdy system pomiarowy jest liniowy, możemy zapisać relację między mierzonym sygnałem x(t) a rejestrowaną odpowiedzią systemu pomiarowego y(t) za pomocą splotu:
/
y(t)= jx (v)h (t-v)d v . (1)
Rejestrowany przebieg y(t) odpowiada poszukiwanemu sygnałowi x(t) jedynie w przypadku, gdy odpowiedź impulsowa systemu pomiarowego h(t) jest impulsem Diraca, co w dziedzinie częstotliwości oznacza nieskończenie szerokie pasmo przenoszenia. Ze względu na ograniczone pasmo realnego systemu pomiarowego wyznaczenie szybkozmiennego przebiegu x(t) dla znanych przebiegów y(t) i h(t) wymaga operacji rozplotu. Operacja ta jest jednak źle uwarunkowana numerycznie i wymaga stosowania złożonych zabiegów matematycznych [1+4] niezależnie od tego, czy jest przeprowadzona w dziedzinie czasu, czy wiąże się z przejściem w dziedzinę transformat Laplace’a. Podstawowym mankamentem procedur rozplotowych jest wrażliwość otrzymanego wyniku na wszelkie zakłócenia przebiegów y(t) i h(t).
Odpowiedź impulsowa obszernej klasy systemów dynamicznych stanowi sumę przebiegów eksponencjalnych. Dla takiego przypadku możliwe jest stosowanie specjalnych procedur rozplotowych, wywodzących się z rekursywnej formuły splotowej [5], o bardzo dobrej odporności na zakłócenia. Omawiane w tej pracy półanalityczne algorytmy rozplotowe jedno- i wielokrokowe należą do tej klasy algorytmów.
2. PÓŁANALITYCZNE ALGORYTMY JEDNO-1 WIELOKROKOWE
Przy założeniu eksponencjalnego przebiegu h(t):
K t) = Y j hM gdzie: M O = H, exp(-a,/) (2)
1=1
można przedstawić zależność (1) w postaci:
L t
X 0 = £ .V ,( 0 gdzie: y ,(t)= Jx(v)/i,.(i- v)dv, (3)
/=1 -oo
przy czym próbki yn i przebiegu yj(t) są powiązane rekursywną formułą splotową [5,6]:
y*., = iy»-!,/ + - v ) d v . (4)
'.-i
Po aproksymowaniu przebiegu x(v) dla v e(tn_i, tn) wielomianem:
x(v) = f i w y (5)
r=0
i analitycznym obliczeniu całki w równaniu (4) otrzymuje się:
R
y*J = h y n -lj + Y a CrX»-r ■ (6)
r=0
Zależność (6) można traktować jako rekurencyjny algorytm obliczania splotu. Jego uogólnieniem jest algorytm wielokrokowy (dla prostoty zapisu pominięto indeks „i” w dalszych zależnościach):
R, R2
yn = 2 X > V lt + Z « r * „ - r ■ (7)
k = 1 r=0
Uzasadnienie zależności (6), (7) oraz wzory na współczynniki <J>, c, b, a podano w pracy [7].
Zależności (6) i (7) mogą być przekształcone w formuły rozplotowe przez wyznaczenie z nich próbek xn. Przyjmując np. wartość R=0 lub R=1 w zależności (6) otrzymuje się jednokrokowe algorytmy rozplotowe rzędu zerowego lub pierwszego [8]:
dla R=0 xm = ± f a - 4 y . _ , ) = ^ -+ ^ ■ (8)
Co
dla R=1 x„ = — (y„ - . (9)
O
Algorytmy rzędu pierwszego i wyższych, w których do obliczenia n-tej próbki przebiegu x(t) wykorzystuje się poprzednie próbki tego przebiegu, okazują się niestabilne numerycznie [8].
Algorytmy rozplotowe wyprowadzone z formuły wielokrokowej [7] dla R2=0 wyrażają się wzorami:
dlaR i=2 xn = — ( y n - b iy n_i - b 2y n_2) , (10) o.
dla R,=3 xn = — - V n-, ~ biyn- 2 - V » -s) . (11)
dla Ri=4 xn = — (y„ - ó,yn_, - b2y n^ - b,yn_, - b Ąy„_4) . (12)
Eksperymenty numeryczne oparte na powyższych algorytmach omówiono w punkcie 3.
3. EKSPERYMENTY NUMERYCZNE
W badaniach przyjęto następującą procedurę postępowania. Założono postać funkcji Xw(t) traktowaną jako wzorzec oraz postać funkcji h(t). Obliczono analitycznie funkcję splotu y(t) = xw(t)*h(t), do której dodano zakłócenia o rozkładzie normalnym. Tak otrzymaną f i k c j ę yz(t) P° spróbkowaniu przyjęto jako daną wejściową dla analizowanych algorytmów.
Otrzymano postać funkcji x0(t), którą następnie porównano ze wzorcem, wyciągając stąd wnioski o jakości algorytmu.
Wykonano serię obliczeń, spośród których wybrano reprezentacje zilustrowane na rysunkach 1 i 2. Na rysunku 1 przedstawiono przebiegi czasowe błędu chwilowego xw-x0 dla trzech algorytmów wielokrokowych rzędu 1*3. Założono funkcję wzorcową xw(t)=sint, odpowiedź impulsową h(t)=5exp(-2t)+3exp(-t), długość kroku czasu 5=0.2s, ilość próbek n=50. Dodatkowo wprowadzono zakłócenia funkcji splotu y(t) o rozkładzie normalnym i amplitudzie 5% maksymalnej amplitudy wzorca xw(t).
• r r o r
Time
Rys. 1. Zależność błędu chwilowego od czasu trzech algorytmów wielokrokowych dla x(t)=sint, h(t)=5exp(-2t)+3exp(t), 5=0.2s
Fig. 1. Dependence o f the instantaneous error upon the time o f three multi step algorithms Dla każdego przypadku wyznaczono błąd średniokwadratowy dla przedziału czasu (2*10) s, który dla kolejnych algorytmów wynosi: W/1:cti=0,01 195; W/2:ci2=0,01229;
W/3:ct3=0,01239. Jak widać, w miarę wzrostu rzędu algorytmu nieznacznemu zwiększeniu ulega wartość błędu.
Na rysunku 2 przedstawiono kompleksowo zależność błędu średniokwadratowego a od długości kroku czasu 8 dla algorytmu jednokrokowego opisanego zależnością (8) i wielokrokowych rzędu 1-h3 opisanych zależnościami (10), (11), (12). Długość kroku czasu zmieniano w zakresie (0-^0,6) s ze skokiem 0,01 s.
error
5.0E-02
4.0E-02
3.0E-02
2.0E-02
1.0E-02
O.OE+OO
0.00 0.06 0.12 0.18 0.24 0.30 0.36 0.42 0.48 0.54 0.60 time step
Rys. 2. Zależność błędu średniokwadratowego od długości kroku czasu dla x(t)=sint, h(t)=5exp(-2t)+3exp(t)
Fig. 2. Dependence o f the mean-square error upon the length o f time step
Wykresy te otrzymano dla takich samych danych jak dla rys.l. Dla założonego poziomu zakłóceń algorytmy wielokrokowe wykazują większy błąd średniokwadratowy w porównaniu z algorytmem jednokrokowym na całym odcinku czasu, zwiększający się w miarę wzrostu długości tego kroku. Podobne wnioski otrzymano dla innych typów przebiegu wzorca Xw(t).
4. PODSUMOWANIE I WNIOSKI
W artykule przedstawiono wybrane klasy algorytmów rozplotowych mogących mieć zastosowanie do odtwarzania przebiegów czasowych w trakcie trwania pomiarów dynamicznych. Zaprezentowano wyniki badań serii pomiarów dla różnych postaci wymuszenia, spośród których przedstawiono wybrane reprezentacje, dla których jako funkcję wzorcową przyjęto przebieg sinusoidalny.
Rodzina algorytmów pólanalitycznych dla wieloeksponencjalnego charakteru odpowiedzi impulsowej cechuje się małą złożonością obliczeniową, a przede wszystkim dobrą stabilnością numeryczną, co pozwala uniknąć problemów rachunkowych występujących w przypadku algorytmów klasycznych [1,2, 4],
LITERATURA
1. Riad S.M .: The Deconvolution Problem: An Overview. Proc.IEEE vol.74 (1986) No. 1, p.82.
2. Gans W.L.: Calibration and Error Analysis o f a Picosecond Pulse Waveform Measurement System at NBS. Proc.IEEE, vol.74 (1986) N o .l, p.86.
3. Morawski R.Z.: Metody odtwarzania sygnałów pomiarowych (rozprawa habilitacyjna). Warszawa 1989.
4. Dyka A.: Liniowa filtracja rozplotowa względem sygnałów o skończonym czasie trwania, Zeszyt Naukowy Politechniki Gdańskiej nr 444/1989, p. 1-86.
5. Lin S., Kuh E.S.: Transient simulation o f lossy interconnects based on the recursive convolution formulation. IEEE Trans., Nov.1992, CAS-39, (11), p.879.
6. Jankę W., Blakiewicz G.: Semi-analytical recursive algorithms for convolution calculations. IEE Proc.- Circuits,Devices Syst., V o l.l4 2 ,N o 2, April 1995, p. 125.
7. Blakiewicz G., Jankę W.: Algorytmy splotowe jako sposób symulacji systemów dynamicznych w dziedzinie czasu. Politechnika Gdańska, Raport Naukowy, 1996.
8. Jankę W., Jochymek J.: Semi-Analytical Algorythms for Deconvolution Calculations. Systems Analysis, Control and Design, SYS’95, BRNO, July 3-5 1995.
Recenzent: Dr hab. inż. Jerzy Jakubiec, prof. Pol. Ś1.
Wpłynęło do Redakcji dnia 24 października 1996 r.
Abstract
During the measurements of fast signals, the output signal y(t) o f a measurement system differs from the true signal x(t) to be measured, because of the limited bandwidth o f the system. In the time domain, the observed (output) signal y(t) of the measurement system is a convolution o f measured (input) signal x(t) and the system pulse response h(t). For the determination o f the time dependence of the input signal, assuming the knowledge of the system pulse response, the deconvolution operation should be performed.
Simple deconvolution algorithms in the time or frequency domain are numerically complex and can be unstable at the presence o f any disturbation, noises or measurement errors.
The pulse response h(t) of real systems can be represented as the sum o f exponentially decaying terms. For such a case, the recursive convolution formula can be used for the representation o f the convolution in sampled form. The semi-analytical version o f the recursive convolution formula can be used as a base for the family o f the highly effective deconvolution algorithms. In the paper, several variants o f the semi-analytical deconvolution algorithms are presented and compared. Apart from the presentation o f the mathematical formule for the particular algorithms, the series of the numerical experiments are performed and discussed. The influence of the disturbation o f the observed signal y(t) on the results of deconvolution calculations is analysed with the special attention. It is shown that the zero- order one-step deconvolution algorithm gives the best results o f the input signal determination.
