Analiza przebiegu procesu iteracyjnego w metodzie kolejnych stanów nieustalonych z wykorzystaniem schematu Godunowa

(1)

ZESZYTY NAUKOWS POLITBSHNIKT rfl.^BgTR.1 Seria: ENERGETYKA z. 8 7

1984 806

Tadeusz CHMIELN1AK Andrzej MISIEWICZ

Instytut Maszyn 1 Urządzeń Energetycznych Politechnika Śląska

ANALIZA PRZEBIEGU PROCESU ITERACYJNEGO W METODZIE KOLEJNYCH STAN(iw NIEUSTALONYCH Z WYKORZYSTANIiM SCHEMATU GODUNOWA

Streszczenie; Przedstawiono wyniki obliczeń parametrów przepływu wewnątrz elementarnego oczka dla schematu zaproponowanego w [•].

Pozwalają one ocenić zbieżność i dokładność procesu lteracyjnego.

1. Wprowadzenie

Dążenie do zwiększenia obciążenia wieńców łopatkowych maszyn wirniko

wych spowodowało wyraźny wzrost zainteresowania badaniami przepływów tra

nsonic znycb w kanałach międzyłopałkowych. Do rozwiązania ustalonego zada

nia prostego teorii palisad najczęściej stosuje się metody oparte na ana

lizie pomocniczego zadania początkowo-brzegowego (metody ustalania) t “P.

1 , 2 ] lub metody oparte aa! zastosowani^ zróżnicowanych w zależności od ro

dzaju przepływu operatorów różnicowych (metody relaksacji) [ np. 3], Bardziej szczegółowy przegląd metod wchodzących w skład niniejszego opra

cowania przedstawiono w artykule Iii; Przedmiotem analizy w pierwszej gru

pie metod są całkowe i różniczkowe postacie praw zachowania dla przepływu wirowego płynu nielepkiego. Umożliwia to z większym lub mniejszym przyb

liżeniem ( w zależności od przyjętego sposobu budowy różnicowego zadania początkowo-brzegowego) rozpatrywanie zjawisk falowych w przepływie o zró

żnicowanej intensywności. W drugim przypadku rozpatruje się liniowe lub pełne równanie potencjału prędkości. Taki stan uniemożliwia dokładną dys

kusję zjawisk falowych o dużej intensywności, chociaż dla obeonie rozpa

trywanych parametrów przepływów w kanałach maszyn przepływowych ( zwłasz

cza ekspansyjnych) błędy są nieznaczne [ np. &].

Analiza różnych sposobów budowy algorytmów rozwiązania zadania począt

kowo—brzegowego sugeruje, że metoda Godunowa i Jego współpracowników (6]

charakteryzuje się najpełniejszym odzwierciedleniem fizycznej istotyjprze

pływów transonicznych. Jest ona jednak przez to bardziej złożona.Y nlnią)- szyu opracowaniu przedstawiono pewne badania szczegółowe ułatwiający wy

bór algorytmów służących do określenia parametrów przepływu na konturach obszarów elementarnych ( oczkach siatki) .

(2)

Uzyskane wyniki mogą być wykorzystywane do optymalizacji algorytmu obli

czeń przepływów palisadowych.

2. Podstawowy układ równań

Przepływ wirowy płynu nielepkiego opisuję równaniami zachowania masy, pędu i energii w postaci całkowej

r=ft ^ S d f f l + f § * d “ 0

~ j v a a ( P t j v ) v d ( j S ) = o ( i )

SŁ Tl

j E d Ł ( E + p) v d ( 2 n ) = O

Śl l

gdz i e :

i2> - elementarna powierzchnia,

T - kontur zewnętrzny elementarnej powierzchni,

e - energia wewnętrzna,

U - jednostkowy wektor normalny do konturu.

Celem zamknięcia powyższego układu równań należy je uzupełnić równaniem stanu

p - p ( ę • e ) (2)

Przeprowadzając dyskretyzację układu równań ( 1) dla zagadnienia płaskiego otrzymujemy układ równań różnicowych [ T ] s

V k

rk+1 - fk - - L L . f £ f ? ( f ) n d l

■ u * ] ^{p n + ę}^- ^{% 7}y / a - \ / ( E ♦ p) v

(3)

gdzie:

co - powierzchnia elementarnego oczka siatki,

C - granioa zewnętrzna elementarnego oczka siatki o powierzchni u, c ląg indeksów (lj = .£, 2) identyfikujący oczko siatki,

N - liczba prostoliniowych odcinków granicy zewnętrznej oczka.

W schemacie różnicowym (3) konieczne jest wyznaczenie wartości parametrów przepływu na konturze oczka. Jedną z metod jest metoda zaproponowana przez Godunowa i jego współpracowników [6] oparta na rozwiązaniu jednowymiarowe

go zadania Rienanna rozprzestrzeniania się fal wzdłużnych generowanych różnicą parametrów w dwóch sąsiednich oczkach. W wyniku rozwiązania otrzy

mujemy układ zależnośoi pozwalający wyznaczyć metodą lteraoyjaą parametry

(3)

Analiza przebiegu procesu... ____Ć2 o k ła d a fa lo w e g o indukow anego n a g r a n ic y o czk a [ 6 , 8]

( i) ) ( k ♦ 1) p( ‘ . ♦ ( k - 1) p ( i - i ) dJ ■ " \ --- ^ 2 --- ^ S j <»pn * > V

( i - D ( 4 a)

- . . , k - i . 1 “ p nn / p 1 • . C ‘ "D .

J * 1 *2 “ 2k k PJ S j --- ( i - i ) 11 k s i ( p pn < P ^ 1 - < pp n ' / P j ) 2k

p pn " 'f < ppn 1- ) m t d 2 i _ ł) p i + d i ( 1-1). p 2 * d l ( ‘" ‘I d 2( ^

( v Ł - Yg)] Ą d t( 1~ 1^ ♦ d 2( 1_1)) ( 4b)

V H <d i v l + d 2v 2 + p l - p ^ d l + d 2)

Związki (4) analizuje się ostatecznie w postaci [9]1

V = [ ^ ( l - i)ppn( i - l)

. k-i ‘ - » i - i f _

* " "3E T k + I T 7 2 k Ik^ITTzk ( 5' zi-i ( 1 " z i-i • >

ei-l = ppn * p l + p 2>

vp n ,ppn “ wart0^ć prędkości iciśnienia w obszarze między układem fal rozchodzących się i. kierunku*n l ~ n .

W przypadku występowania słabych ijawlsk falowych ogólne rozwiązanie noż

na zastąpić przybliżeniem akustyczny^ w postaci:

. ,

1 P1

+ p2 Si + $2 łi = d 2 - i k r 2 xx d

Pl 4 P? V 1 • v2

Ppn “ - S - * " d ' W L < 6)

pn 2 2 d

(4)

68 T. Chmiełnlak, A Mlalewloz

3. Zakres obliczeń

Do obllczeii przyjęto dwuwymiarowe pojedyncze oozko prostokątne (rys.l).

Na obrzeżu i we wnętrzu, którego zadano warunki zbliżone do przepływu w kanale międzyłopatkowym ostatnich stopni turbin parowych.

Nieciągłość parametrów przyjęto między punktem 0 1 2 . Natomiast w punktach ₁, 3 i 4 w kolejnych iteracjach przyjmowane by

ły wartości poszczególnych funkcji równe wartościom w punkcie 0. Rozważane były na

stępujące trzy przypadki:

- vQ < a, v„ < a - rys. 2ab - v Q < a , v 2 > a - rys. 3ab - vQ > a, v 2 > a - rys. lab

W ramach tych obliczeń sprawdzono zmianę błędu względnego ciśnienia i energii z li

czbą iteracji. Równocześnie dla zadanych przedziałów czasowych DT określano warto

ści błędu względnego ciśnienia w dwóch kolejnych iteracjach.

4. Wnioski

Analizując przedstawione wyniki obliczeń można stwierdzić, że różnice między analizowanymi schematami ( zal. 5 i 6'j zarysowują się przy przepły

wie okołodżwiękowym i naddźwiękowym, zwłaszcza gdy gradient ciśnienia jest znaczny (większy od 30

%

wartości ciśnienia w punkcie 0) , Przy niewielkich zmianach ciśnień nie stwierdzono różnic w wynikach obliczeń między pełnym

1

uproszczonym schematem Godunowa (rys. 2a, b) . Natomiast w pozostałych przypadkach po około 10 iteracjach błąd względny ciśnienia dla obu przed

stawionych schematów jest identyczny (rys. 3a, 4a) . Jest to następstwem faktu obniżania się wartości ciśnienia w punkcie 0, a co za tym idzie-ob

niżeń ia gradientu ciśnienia między punktami 0-2. Należy tu podkreślić, że różnice zaznaczają się szczególnie wyraźnie w przypadku zmiany energii, dlatego też za kryterium dokładności należy uznać stałość energii w całym obszarze obliczeniowym. n n ^

Równocześnie z przebiegu krzywej £— — = i ( DT) , ( rys. 5), wynika celo

wość dokładnego przestrzegania kryteFium stabilności procesu

DT < min r*... ... — ( 7j

^ i max (Yj'-*- a, - a) '

Dla wartości zbyt małych proces może być wolnozbieżny i w związku z ty®

błędy zaokrągleń mogą istotnie wpływać na dokładność obliczeń. Przy bada

niach wpływu kroku czasowego na przebieg procesu lter^cyjnego stwierdzono, Rys. i. Postać elementarnego

oczka przyjętego do obliczeń

(5)

Analiza przebiegu procesu.. 69 pfi _ pn-1

,n-1

^•10

• pełny schemat ( 5 ) x schemat uproszczony { 6 )

8 10 12 iteracje Bys.2a.Błąd względny ciśnienia dla

przypadku v Q a, v 2 <C a

Hys.2b. Błąd względny energii dla

,n-l

* •

K • pełny schemat

(5

)

x schemat uproszczony(6 l

8

10 12 iteracje Rys.3a.Błąd względny ciśnienia dla

przypadku v # < a, y 2 's > a - .n - 1

Rys.

12

10

8

6

A • 2

pn _ pn

• j M " “ '10

• petny schemav I S ) x schemat u proszczo ry(S)

2 A 6 8 10 12 itenocje

Rys.4a. Błąd względny ciśnienia dla przypadku v 0 > a, T 2 > a .

12 10

8

6

A 2

Rys

3b. Błąd względny energii dla przypadku vQ < a, v 2 > a E°- E""1 ..-z

• — • 10 *

* ^n-1

* ! i * » *

2 A 6 8 10 12 iteracje ,4b. Błąd względny energii dla

przypadku r0 > a, Wj > a.

(6)

Z2_

A. Chmielniak, A. Misievio:

Hys.5. Przyrost wartości funkcji f leznoścl od kroku czasowego.

DTf l = 0,002861 według kryte-

riua stabilności palisadowych,

te przy OT dobranym z kryteria«

stabilności ( 7) po około 70 1«

teracjach wartość błędu bezwz

ględnego ( pn - p n_1 ) była mnie

jsza od 1 %:

Na podstawie przedstawionych wyników należy stwierdzić, te rozwiązanie przepływu transonl- cznego metodą iteracji po cza

sie przy wykorzystaniu schematu Godunowa z wykorzystaniem algo

rytmu (5) lub (6) jest procesei wolnozbieżnym.

Zaletą metody, Jak jut wcześ - niej stwierdzono, Jest możll - wość uzyskania dobrej dokładno

ści w analizie przepływu z sil

nymi zjawiskami falowymi, a tak

ie możliwość sprawdzania waru

nku Kuty-Żukowskiego w badaniach

LITERATURA

£l] Couston M . : Time Marching Finite Area Method. VKI Lect.Ser.84, 1976.

[2] Sokolovskij G. A . , Gniesln V. I . : Rasćet smesannyoh tecenlj v resetkach turbomasln. Naukovaja Dumka, Kijev, 1981.

[3] Morman E.M., Cole J . D . : Calculation of Plane Steady Transonic Flows.

A1AA Journal, Vol. 9, No 1, 1971.

[4] Chmielniak T. : Metody rozwiązania zadania prostego dla przepływu tra- nsonicznego w palisadach łopatkowych, ZN Politechniki śląskiej, seria Energetyka z.86, Gliwice 1984.

£5] Dodge P.R.: Transonic Relaxation, VKI Lecture Ser. 84, 1976.

£6] Godunov S.K,, Zabrodin D.V., Prokopov G . P . : Raznostnaja slstema dlja dvumiernych nlestacionarnych zadać gazovoj dinamikl i rasćet obtieka- nija s otosedśej udarnoj voinoj. Żurnal Vycislitielnoj Hatematiki i Matematiceskoj Fiziki, Nr 6, 1961.

£7] Chmielniak T. , Misiewicz A. : Przegląd i charakterystyka metod obli

czeniowych przepływów transonicznych. Algorytm obliczeń metodą kolej

nych stanów nieustalonych. Praca niepublikowana. Instytut Maszyn 1 0- rządzeń Energetycznych Politechniki Śląskiej, Gliwice 1983.

£8] Godunov S.K.: tfislennoje resenlje mnogomlernych zadać gazovoj dina&l- ki, Nauka, Moskva 1976.

£9) Dorfman L.A.

s

fflslennyje metody v gazodlnamike turbomalin. Energija, Leningrad 1974.

(7)

Analiza- przeblegu prooeaa.. 71

AHAJM3 HTEPAUHOHHOrO IiFOUECCA METOJiH /GTAHAB JMBAHHH ITPH KC DOJIb30BAHHB CXEMH rQitfHOBA

T • 8 B M e

B paCoie npexcxaBxeao pe3yju>xaxn pac^teia Teresas tepea sxeneHxapayx a s e t a y xxa. o xeuu npexciaBjieHoit s [6] , Ha ocsoBe b t h x pesyx&taxoa npoBexe- h o oneH Ky x o b b o c x b b c x o x h j i o c x b npGnecca.

ANALISIS OF RUNING OF THE ITERACION TIME-MARCHING METHOD WITH USING GODUNOW SCHEME

S u ■ ■ a r y

Results of calculation parameters of the flow in elementary mesch for scheme presented in j6j is given. The accuracy and the convergence of the time-marching method coud be estimated.