O pewnym problemie drgań pręta kołowego przy wymuszeniu stochastycznym

ZESZYTY NAUKCWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ

S eria : MECHANIKA z . 36 Nr k o l. ?33

1968

ERNEST CZOGAŁA

Katedra Dynamiki Układów Mechanicznych

0 PEWNYM PROBLEMIE DRGAŃ PRĘTA KOŁOWEGO PRZY WYMUSZENIU STOCHASTYCZNYM

S t r e s z c z e n ie . Przeanalizow ano lin io w e za gad n ien ie drgań p r ę ta kołowego p rzy wymuszeniu stochastyczn ym .

Zagadnienie rozwiązano p o słu g u ją c s i ę t e o r i ą k o r e la c j i.

Otrzymano śred n ie kwadratowe o d ch y len ia i fu n k cje k o r e la ­ c j i p rzem ieszczen ia promieniowego i momentu gnącego przy z a ło ż e n iu " b iałeg o szumu".

1 . Drgania wymuszone harm onicznie w u j ę c iu determ inistycznym W ażniejsze oznaczen ia:

R - promień krzywizny p r ę ta ,

<o - długość kątowa p r ę ta ,

c

A - p o le p rzek roju p r ę ta , E - moduł s p r ę ż y s t o ś c i,

I .. moment bezw ładności p rzekroju p r ę ta względem o s i o b o ję tn e j,

q - g ę s to ś ć m a te r ia łu p r ę ta ,

w (« f,t), v (« p ,t) - promieniowa i sty c z n a składowa wektora p rze­

m ie sz cz e n ia ,

q * (« f,t), p * (< f,t) - promieniowa i sty c z n a składowa o b c ią ż e n ia .

Równaniami wyjściowymi d la powyższych rozważań będą r ó żn iczk o ­ we równania równowagi p r ę ta kołowego

A E /0> . Qw^ El/fó^w (^2v^ ^{. _ * „}

M 3 (U1)

E I/i£w Q_v^ ą ę/9v » *

" 7 V

^ 7 ® f ł , ł ’

wyprowadzone d la prętów sła b o zakrzywionych o p rzekroju zwartym i s t a ł e j k rzyw iźn ie 1/R .

Przy pewnych z a ło ż e n ia ch u p raszczających [ 3 ] , W oraz pom ija­

ją c o b c ią ż e n ie s ty c z n e (p* = 0 ) układ (1 .1 ) sprowadza s i ę do jed ­ nego równania

El O2 /Q2 . -i '2 , □* f i -1

~ ~ T — 9 + 1 , W » 0 * 3 * U • 2 J

R

J e ż e l i założym y, że p r ę t spoczywa na podłożu sprężystym (o d z ia ­ ła n iu obustronnym i w spółczynniku k ) oraz uwzględnimy lin io w e t ł u ­ m ien ie drgań ( z e s t a ł ą h ) , t o o b c ią ż e n ie promieniowe o k reślo n e

j e s t wzorem

q* = q - kw - - 2 h | j , (1.3)

g d z ie ś q ( ^ ,t ) oznacza o b c ią że n ie zewnętrzne (c z y n n e ).

Wykonując tran sform ację Laplace*a na ostatn im równaniu o tr z y ­ muje 3 i ę

SI R4

d2 /d 2 „ N2] - , d2w , 2 d2w d2w

— s<—-s- + 1 ) w + k — p + “ 7 + 2hp — 2 =

-dy d<^r J dttf d<f

* ~ ~ |^A§(pf(f) + K(ff)) + 2h m(«f) + q | (1.4)

O pewnym p r o b l e m i e drgań p ręta k o ło w e g o p r z y w y m u s z e n i u . , . ________71

g d z ie i

w ( f ,p ) — w(<f>,t) q((ptP) q ( f » t )

f(tp) . m(<f) m w(<p,0) g(tp) - ^1 *4 ^

N a stęp n ie wykonano na równaniu (1 * 4 ) skończoną tran sform ację F ouriera z pom inięciem dodatkowych członów tra n sfo rm a ty .

P om in ięcie t o j e s t uzasadnione w dwóch przypadkach zamocowania końców p r ę ta j zamocowanie przegubowe (tran sfo rm acja sin u sow a) i sztywne z m ożliw o ścią przesuwu bez obrotu (tran sform acja c o s in u - sowa)

^ ( P ) + ^ ( P f n + Sn ) + 2h® / * — \ Wn (P ) " KtT I 3--- 2--- * '

A^i"1 ) + k 4 ^P + 2he

R

D la n - t e j formy drgań otrzymano:

q^(p) + ¿ g (p fn+ gn ) + 2hsBŁ

"»CfP) - £1^2 . , }2 + ^ p2 + 2fap { o m p . j f

g d z ie :

Symbol

fsin/yp

[cos ¿

1

leży we wzorze przyjąć sin^x zaś dla sztywnego utwierdzenia cos

W dalszym ciągu rozpatrujemy drgania ustalone pręta. Z uwagi na założoną liniowość układu warunki początkowe nie mają wpływu na charakter drgań ustalonych, dlatego można przyjąć

Ponadto podstawiamy k ł-ccE.

Obciążenie założono jako zmieniające się w czasie harmonicznie

Dla obciążenia jednostkowego zapisanego przy pomocy dystrybucji

otrzymuje się funkcję wpływu Greena} uwzględniając, że dla obcią­

żeń harmonicznych p — itu mamy

f = g_ = m = 0.

n “ii n

<5 ^{- Diraca}

(1.6)

n(f»«P-,» ) ^ )2+lJ -^uF+i2hiC0S^n eiwt-2_ i s i n ^ l

yo l COS^ l Il c o 3 < W }a2* W \ ( 1. 9)

O pewnym p r o b l e m i e d r g a ń p r ę t a k o ło w e g o p r z y w y m u s z e n iu .. . ________7 3

lu ft 2 psin p.n

k°

<D

[cos {J.n j lub

^ 2 f j - X ” (1-10)

n Ag

gdzie:

w n " - 1 )2 + 1] *

Dla dowolnego obciążenia harmonicznego n-ta foima przemieszcze­

nia promieniowego określona jest następująco f o

Wn(«f,t) =

J

2 . Wariancja przemieszczenia promieniowego

Wyznaczenie funkcji korelacji dla nr-tej formy drgań

Obliczając moduł wyrażenia (1.11) otrzymuje się charakterystykę amplitudową dla n-tej formy drgań. Obciążenie przyjęto jako sta­

cjonarną, ergodyczną funk­

cję losową czasu o wartości oczekiwanej równej 0.

Przyjmując obciążenie umiejscowione w punkcie tp^ = Tf będzie

Rys. 1

) = ?0 <K<p1-ip)» (2.1 ) gdzie: ? jest stałym de-

O

terministycznym współczynni­

kiem uwzględniającym 'wymiar.

Oznaczając charakterystykę częstotliwościową przez H (io^<p) manty n

sin^Tfj)

[cos s i n ^ l

cos [ (2.2)

Posługując się znaną formułą dla wariancji przy znanej gęstości spektralnej [i]

■foo +°°

%(<?) - / Sw (aJ,<f)dw = / |hw (co,<f)j 2 S (w)do* (2.3)

«/ n «7 n ii

otrzymano

/P \2 . 's in 2 's i * Ą y p

( - 2 . ) ± J 2 M

2

1 oro cos ^

,c o s ^ i + 00

S (cu)doJ

Si ( 2 . 4 )

gdzie %n o h/A^OŁL^

Przyjmując wymuszenie w postaci "białego szumu" tzn. stałą gęs­

tość widmową w pewnym zakresie częstotliwości [-aj,, cuj całka (2.4) sprowadzi się do postaci

+U>r-

P J s i n 2 ^ ) isin r Sq (w) dw

^ 1 °°* V y j W ¿ v p } /

S

Zakładając, że tłumienie w układzie jest małe, układ ton speł­

nia rolę filtru wąskopasmowego (^(charakterystyka częstotliwoś­

ciowa ma ostre maksimum w pobliżu częstości drgań własnych) w prze­

dziale ajp+Aaj](rys. 2).

O pewnym p r o b l e m i e d r g a ń p r ę t a k o ło w e g o p r z y w y m u s z e n iu .. . ________7 5

Rys. 2

Decydujący wkład w całkę (2.4 ) wnosi obszar bliski oj^, zatem granicę górną całkowania można rozszerzyć do «>, gdyż funkcja po­

za przedziałem

[ain

Aw« - A

J

Wykonując całkowanie otrzymano

/p \2 sin2^ śin2M n <f

(

W , g l

S

3C_Jn

~ V ( 2. 6 )

Średnie kwadratowo odchylenie przemieszczenia promieniowego wynosi

' "sin^ v ? cos^nf _o 2_

%

a l n u y n

cos^ipj (2.7)

Funkcję korelacji dla n-tej formy drgań wyznacza się wykonując na gęstości spektralnej przemieszczenia promieniowego transforma­

cję Fouriera [5] +00

f -w (<p,o)) e^^dcu. ( 2.

K . _

(f)

Przy założeniu "białego szumu" jak wyżej i wykonaniu w ostatnim wzorze transformacji Fouriera otrzymuje się

- t e )

Podstawiając

6"

f M 3T 4

S A Va*/ 2 a / Vn*o

s in ^ 008V nY>

s in /xTif 008V n^

otrzymuje się

Kw ( f ) » O -2 e” ° C^ o s ( 3 r + ^ s i n ^ l r l j ( 2 . 1 0 )

i ostatecznie

"n

.( ! a f i

V Ąo/ 2

4 fSin0^

cos2^.‘M *

w r

x ^{eV t l r l}

n v t ' ' « ' 2 « v rn >o w J

(cos r + - 5 = 3 l n It I ). (2. 11)

Łatwo zauważyć, że przyjmując w (2.11) V »0 otrzymujemy za­

leżność (2.6), co jest sprawdzeniem zależności

K* (0) - W2(f) * S2,

gdzieś <?2 je st również wariancją w (2 . 1 0 ) ,

O pewnym p r o b l e m i e d r g a ń p r ę t a k o ło w e g o p r z y w y m u s z e n iu .. . 7 7

3 , W ariancja momentu zgin a ją ceg o 1 je g o funkcja k o r e la c j i

P rzy z a ło ż e n iu warunku n i e ś c i ś l i w o ś c i p r ę ta moment z g in a ją c y wyra­

ża s i ę wzorem

EI/^w t %

M - - — ■ + w ). ( 3 .1 )

Wobec powyższego d la it- te j formy momentu zg in a ją cego przy wymu­

sz e n iu harmonicznym otrzymuje s i ę

\°0

t ó - 1 > * * " * § - / ’ W ■

„ . J Ł ^ ' ¡ W

s i n ^

COS

s i n ^ l

c o s ¿ y p J

^ ecE [ O i - 1 >* * 1] 2ho> .

+ ^ F

-O ,2

( 3 . 2 ) Podstawiając q(<p) = S («f-«^ ) otrzymuje się funkcję Greena

Rn(f ,<f,t) - M<1 )(f)ejiurt

El e1“*

s i n ^ ' lcos ^ n * J l i

%R2 (w2-oF ) 4 2hw ,1

~

( 3 .3 ) O czyw iście przy dowolnym um iejscow ieniu o b c ią że n ia

?o

M ^ep.t) .

J

^ ( f l ) " p 0 ^{( 3 . 5 )}

i b io rąc moduł w yrażenia (3 * 4 ) otrzym uje s i ę

( 2

P0 ĘI n~ ^ ó lC0S ^ A OOS

W i

r2 V ( ^ - 2 )2 + 4

Porównując w yrażenia ( 3 . 5 ) oraz ( 2 . 2 ) otrzymano z a le ż n o ść ( 3 . 5 )

|Hj^ (cu,«(>)| - “ ź ^ n “1 ) | HW Cw» f ) |* ( 3 . 6 )

Wobec powyższego w yrażenia na w arian cję i funkcję k o r e la c j i róż­

n ią s i ę ty lk o w spółczynnikiem (E l )^ . ( 'f' i w r e z u lt a c i e , przy z a ło ż e n iu ja k poprzednio " b ia łe g o szumu", otrzymuje s i ę

~ 2 , , ! o i -i81“ iS lD - ¿VPl ( B i l 2 , 2 . \2 y qn 7 l

^ ¿ l 00“ f t y i t » “ ( “. i i P * ' 2 ^ 0

oraz śr e d n ie kwadratowe o d ch y len ie momentu

Z ° 2_ S i „ 2 , i \ | * \ K / ^ t H 8111^

V n ‘

7 ^ » V 2 ^ l c08i“n’ł,j lcos fVf

Dla f u n k c ji k o r e la c j i otrzymano w yrażenie

( 3 .8 )

[cos ^ nTpJ [cos ¿ y e j r 4 n

x e

V .

^ ( c o s r + - ^ - e i r u ^ i i ^ l r l ) . ( 3 . 9 ) H

O pewnym p r o b l e m i e d r g a ń p r ę t a k o ło w e g o p r z y w y g n a z e n i u . . . ________7 9

J e ż e l i wzajemna k o r e la c ja między poszczególnym i formami drgań j e s t równa zeru lu b mała [ i ] , [ 2 j t o o s ta te c z n a w artość w a r ia n c ji j e s t równa sumie w a r ia n c ji n -ty c b form drgań zarówno d la przem ie­

szczeń jak i d la momentu

’ (,p> * G t t ; ) ^ i “ V nv ° s W * t ^ ’ (3 ,1 0 )

s i n - CO«2 U Y

s i n M c o s2 ¿JL^

( 3 .1 1 ) 4 . Przykład

Do o b lic z e ń p r z y ję to p r ę t kołowy o d łu g o ś c i kątcwej i m asie je d n o st­

kowej A g - 1 . P r z y ję to

- I 100

K v ~ -

Założono s t a ł ą g ę s to ś ć sp e k tr a ln ą wymuszenia w z a k r e sie c z ę s t o ­ ś c i od -3 0 0 ( r a d /s e k ) do +300 (r a d /s e k )t

S ■ 1 .

Ze względu na niem ożliw ość o b lic z e n ia w spółczynnika tłu m ie n ia d la każdej formy osobno ze znanych w ła śc iw o śc i m a te r ia łu , p r z y ję to w artość t e j l i c z b y d la każdej formy jednakową 4 n * 0 ,0 1 .

Wyniki d la pierw szych 5 form drgań zestaw iono w t a b li c y

n 1 2 3 4 5

•

% h >2 - ■ ’] 1 0 ,0 3 1 ,6 8 0 ,5 150,1 2 4 0 ,0

3 to 2

n

| 3 1 ,6 1 7 7 ,2 715 1800 3700

V »»(fV P 0 7 .9 2 n ni 1 A D001

s i n ^ ^{u 9} o • Jf ULWfif

COS ¿ 1 J ) cos /xn«f

Vb£ («p)/p or2

1 3 ,8 A A 6 ,5 5 ,0 5

s i n ¿ x jp s i n / y p U o o e ^ co s ¿ y p

Jak wynika z przytoczonych wyników t a b li c y d la przykładu c y fr o ­ wego śr e d n ie kwadratowe o d ch y len ie przem ieszczeń m aleje dość szyb­

ko ze wzrostem numeru formy drgań. Wyższe formy wpływają w ięc już bardzo mało na c a łk o w ite śred n ie kwadratowe o d c h y le n ie , k tóre j e s t sumą śr ed n ic h kwadratowych odchyleń (p rzy p o m in ięciu k o rela ­ c j i między poszczególnym i formami d rgań ).

O pewnym p r o b l e m i e d rgań p r ę t a k o ło w e g o p r z y w y m u s z e n i u . . .________81

LITERA WRA

[1 ] Random V ib r a tio n , V ol. 2, Chept, 1 , S.H . C randall ( e d ) , th e Technology P r e ss and John \7 ile y and Sons, N.Y. 1959.

[2] B o to tin W.W.s S t a t i s t i c z e s k i j e metody w s t r o i t i e l n o j mechani- k i e . I . L . S . , Moskwa 1965, s . 140-150.

[3] Skalm iorski B .: Problemy s t a t y k i i dynami k i powłok walcowych użebrcwanych, Zeszyt Naukowy P o l . Ślą seL ej Nr 75, s . 2 0 -2 6 . [4] S k alm ierski B .j Zagadnienie lep k osp rężystego p r ę ta kołowego na

podłożu lepkoeprężystyni, Rozprawy I n ż y n ie r s k ie 2 ,1 3 (1 9 6 5 ).

[53 Pugaczew W .S.: T eoria f u n k c j i przypadkowych i j e j zastosow an ie do zagadnień sterow an ia autom atycznego, MON, 1960.

[ 6 ] Lyon R.H .t Response o f a N on lin ea r S tr in g t o Random E x c ita t io n . J . A cou st. S o c. Amer., v . 32, No. 8 , 1960.

[7 ] Swiesznikow A .A ,: Podstawowe metody fu n k c ji losow ych, PWN, War­

szawa, 19 6 5, s . 79-153.

o npoEJiEME kojiebahmA Kpyrjioro c t e p o t w

n?M CTOXAUTVPiECKOM B03flEfiCTBHH

? e 3 d u e

B p a O o r e p a c c s a T p e H Ł i JiHHeîlHMe 3 a T y x a n z » e KOJiedaHHH n p a C T O x a - CTKwecsoM B 0 3 jefłcT B M H c i t j i . r i p o f i j i e u a p e c j e n a n p a n o u o z K K O p p e ^ a - Ukohho# T e o p H H . O n p e z e a e H O c p e ^ H n i ł K E a x p a T n p o r a ô a h H 3 m 6 aK > -

mero i i o u e H T a n p a y c a gbhh " d e c o r o ’J i y a a " .

PROBLEM OP VIBRATIONS OF THE CIRCULAR BAR BY THE RANDOM FORCING

S u m m a r y

A linear damping vibrations of the circular bar under the random excitation by loading have been presented in this paper.

The problem has been solved by using the correlation theory.

The mean square deviation and the correlation function for radial dislocation mid bending moment by "white noise" assumption have been obtained.