Seria: BU D O W N IC TW O z. 93 N r kol. 1514
Rafał K R ZY W O Ń ’ Politechnika Śląska
NOŚNOŚĆ ŚCISKANYCH ELEMENTÓW ŻELBETOWYCH A KRYTERIA ZNISZCZENIA BETONU
Streszczenie. P ow szechnie, przy określaniu nośności elem entu żelbetow ego, stosow ane są kryteria zniszcze
nia w jednoosiow ym stanie naprężenia. W obliczeniach nośności elem entu zginanego lub m im ośrodow o ściska
nego pomija się w pływ sil tnących. T o podejście przyjm ow ane je s t ja k o aksjom at naw et przypadkach, w których mamy do czynienia z oczyw istym złożonym stanem naprężenia. W pracy przedstaw iono przykładow e analizy prostego w spornika żelbetow ego poddanego jed n o czesn em u obciążeniu m om entem zaginającym , siłą o sio w ą i tnącą. O bliczenia w ykonano z w ykorzystaniem MES, bazując na sprężysto-plastycznym m odelu m ateriałow ym z prawem izotropow ego w zm ocnienia / osłabienia. N aw et w tak prostych przypadkach m ożem y obserw ow ać wpływ złożonego stanu naprężenia na no śn o ść elem entu.
ULTIMATE LOAD CAPACITY OF COMPRESSED RC MEMBERS REFERRING TO FAILURE CRITERIA OF CONCRETE
Summary. T he uni-axial failure criteria are in com m on use in estim ation o f ultim ate load capacity o f rein
forced concrete m em bers. T he shear is neglected w hile considering the load capacity o f m em bers subjected to flexure or eccentric com pression. T his approach becam e a nearly axiom and is applied even in case o f apparently complex stress state. A nalysing a sim ple reinforced concrete cantilever subjected to com bined action o f bending moment, axial and shear force the ultim ate load capacity w as determ ined. C alculation based on elasto-plastic material model w ith associated, isotropic hardening/softening rule proved, that even in so sim ple case o f plain stress state, ultim ate load capacity should not be determ ined on the base o f one uni-axial strength characteristic only.
1. Wstęp
Zazwyczaj obliczenia nośności konstrukcji żelbetow ych są w ykonyw ane z w ykorzysta
niem sprężysto-idealnieplastycznego m odelu m ateriałow ego. Bardziej realistyczny opis śro
dowiska, jakim je s t żelbet, daje nam model sprężysto-plastyczny z prawem osłabienia. Jest on przedstawiony w Eurokodzie 2, ale dotychczas rzadko stosow any w praktyce. W ostatnich latach obserw ujem y duży rozwój modeli konstytutyw nych opartych na tym m odelu. W tej części zaprezentow any zostanie skrótow y opis m odelu m ateriałow ego oraz pakietu progra
mów M A FEM opracow anych w K atedrze Inżynierii Budow lanej P olitechniki Śląskiej i w y
korzystanych do w ykonania prezentow anych w dalszej części referatu obliczeń.
* Opiekun naukow y: Dr hab. inż. Stanisław M ajew ski, prof. PŚ1.
Rys. 1. Pow ierzchnia zniszczenia: a) przekrój dew iatorow y, b) przekrój południkow y Fig. 1. F ailure surface: a) deviatoric section, b) m eridian section
2. O pis m odelu m ateriałowego
Z achow anie takich m ateriałów ja k beton, kam ień, grunt m oże być realistycznie opisane poprzez zastosow anie sprężysto-plastycznego m odelu m ateriałow ego ze stowarzyszonym izotropow ym praw em w zm ocnienia/osłabienia. Pow ierzchnia zniszczenia w przestrzeni na
prężeń zdefiniow ana poprzez naprężenie głów ne a m = 7 , , intensyw ność naprężenia
er = y f J J i kąt Lodego 0 została schem atycznie zaprezentow ana na rysunku 1.
K rzyw a jej południka składa się z trzech części: linii prostej w części środkowej ( d c < a m < d , ), kołowej nasadki w części rozciąganej ( o m > d , ), kołowej nasadki w części ściskanej ( c m < d c). Przekrój dew iatorow y stanow i krzyw a znajdująca się pom iędzy trójką
tem R ankina i okręgiem D ruckera-Pragera (W iliam & W arnke, 1974).
P ow ierzchnia zniszczenia je s t określona poprzez charakterystykę w ytrzym ałościow ą mate
riału. D la betonu je st to w ytrzym ałość na jednoosiow e rozciąganie / , oraz na jedno-, dwu- i trójosiow e ściskanie f c, f cc, f ccc.
• G łów na część tej pow ierzchni (prosty południk) je s t dana wzorem:
gdzie a i p - param etry zależne od charakterystyki w ytrzym ałościow ej, Y - funkcja od
kształcenia, 0 - kąt Lodego.
Ft = o - ( f i - 3 a a m)Ypg = 0 , tan& 1 ( , tanG )
— r = --- + --- 1 --- T = —
( 1)
Parametry a i ¡3 dla południka rozciągania obliczam y ze wzorów:
( 2 )
gdzie f c, f cc, f , - odpow iednio w ytrzym ałość betonu w stanie jedno-, dw u- i trójosiow ego ściskania.
• Zamykające nasadki w strefie rozciąganej i ściskanej zdefiniow ane są następująco:
gdzie c są w spółrzędnym i środka okręgu, r oznacza prom ień, a indeksy t , c odpow iadają odpowiednio rozciąganej i ściskanej strefie. W spółrzędne środków okręgów oraz w ielkość ich promieni są tak dobrane, aby były one styczne do odpow iednich południków . Dodatkow o założono, że południk ściskania c, = 0 i c c przecina kierunek naprężeń głów nych w punkcie f ccc. Założenie to fizycznie określa param etr f ccc ja k o w ytrzym ałość betonu w trójosiow ym
stanie naprężenia hydrostatycznego, jakk o lw iek je s t to raczej tylko m atem atyczny param etr określony na podstaw ie ekstrapolacji w yników trójosiow ych badań betonu.
Dwuparametrowe izotropow e praw o w zm ocnienia-osłabienia określa ew olucję pow ierzch
ni zniszczenia. Pierw szy z tych param etrów K t je s t obliczany ja k o pierw iastek kw adratow y plastycznej części drugiego niezm iennika dew iatora stanu odkształcenia. Funkcja plastyczno
ści Y dana je st wtedy wzorem:
gdzie C2, C 3 i C4 są stałym i m ateriałow ym i.
Funkcja plastyczności w ynosi Y = 1 dla te, = 0 i m aleje do C4 po pojaw ieniu się nieod
wracalnych odkształceń postaciowych. Pow oduje to zm niejszenie kątów nachylenia południ
ków powierzchni zniszczenia.
Drugi param etr osłabienia k 2 je s t określony jako plastyczna część odkształcenia objęto
ściowego. Po uw zględnieniu tego param etru m aksym alne naprężenie głów ne dane je s t w zo
rami:
( 3 )
Y = C4 + (C3 - C4) e x p ( - C2k,), ( 4 )
f - f ■
J CCC j CCC,! dla k2 < O,
fc c c = 0 001 + f c c c i exp ( - Cik 2 ) dla K 1 > O •
(5)
D w uparam etrow e praw o osłabienia pow oduje kurczenie się pow ierzchni granicznej poprzez zm niejszanie w artości f ccc zależnie od plastycznej części odkształcenia objętościowego oraz poprzez zm niejszanie kąta pom iędzy kierunkiem naprężeń głów nych a południkiem po
w ierzchni zniszczenia zależnie od nieodwracalnej części odkształceń postaciowych.
Podsum ow ując, w łaściw ości m ateriałow e są w m odelu m ateriałow ym zdefiniowane po
przez 10 param etrów :
• param etry w ytrzym ałościow e dla betonu: f c, f cc, f ccc oraz / , ,
• param etry zw iązane z odkształceniem : początkow e w artości £, i v i oraz maksymalne odkształcenie w jednoosiow ym stanie naprężenia e c ,
• param etry osłabienia: C2, C 3 oraz C4.
Poprzez określenie w szystkich param etrów w ytrzym ałościow ych przez wytrzymałość w jednoosiow ym stanie naprężenia f c m ożem y zredukow ać ilość param etrów do 8. Większość z tych param etrów m ożna w yznaczyć podczas prostych testów laboratoryjnych. Pewne pro
blem y pojaw iają się podczas próby określenia param etrów w zm ocnienia/osłabienia. Pomocne w tym przypadku m o g ą okazać się obliczenia porów naw cze elem entów , dla których znane są dokładne w yniki testów laboratoryjnych.
3. O program ow anie
W obliczeniach w ykorzystano opracow any przez Stanisław a M ajew skiego pakiet progra
m ów M A FEM . G łów ny program liczący je s t oparty na iteracyjno-przyrostow ej procedurze z w ykorzystaniem m etody elem entów skończonych. Elem enty betonowe s ą m odelowane jako 8-w ęzłow e elem enty sześcienne z 24 stopniam i swobody. Zbrojenie je s t reprezentowane przez elem enty liniowe rozciągnięte pom iędzy w ęzłam i siatki elem entów sześciennych. Dla zbrojenia zastosow ano idealnie sprężysto-plastyczny model m ateriałow y. Sprężysto- plastyczny model betonu z prawem izotropowego osłabienia został szczegółow o przedsta
w iony w poprzednim punkcie.
4. Analiza m im ośrodow o obciążonego pręta żelbetow ego
Zazwyczaj do analiz prostych elem entów w płaskim stanie naprężenia używ ane są dw u
wymiarowe w ersje program ów liczących. W przedstaw ianym przykładzie zastosow ano pro
gram umożliwiający trójw ym iarow e analizy w złożonym stanie naprężenia. O bliczany żelbe
towy wspornik poddany został jednoczesnem u oddziaływ aniu m om entu zginającego, siły osiowej i siły tnącej. Przeprow adzono analizy dla różnych kom binacji m om entu zginającego i siły osiowej z jednoczesnym w pływ em siły tnącej lub bez tego wpływu.
0.3 N
0.7N
I
■S
3012
I
Rys. 2. Siatka podziału n a elem enty skończone oraz schem aty obciążenia Fig. 2. Finite elem en t’s m esh and local schem es
Wymiary belki w raz z zaznaczonym zbrojeniem przedstaw iono na rysunku 2. Belka zo
stała podzielona na 480 sześciennych elem entów. A by uniknąć lokalnych zniszczeń w części bezpośrednio obciążonej na obu końcach belki, cztery ostatnie kolum ny elem entów zastąpio
no elementami o identycznej odkształcalności, ale zw iększonej w ytrzym ałości. Poniżej przed
stawiono przyjęte charakterystyki betonu:
• wytrzymałości na ściskanie: f c = - 3 3 .8 M Pa, f cc = - 3 9 . 5 MPa, f cc = -1 8 2 0 0 MPa,
• wytrzymałość na rozciąganie: f t = 3.03 M Pa,
• początkowy m oduł sprężystości i m oduł Poissona Ei = 26250 M P a , v = 0.20
• maksymalne odkształcenie podczas ściskania e c = -0 .0 0 2 2 ,
• parametry osłabienia: C2 = 1428,5712 , C3 = 0 .8 0 , C4 = 0.05 .
Bazując na testach laboratoryjnych przyjęto następujące charakterystyki stali zbrojeniowej:
• wytrzymałość na ściskanie / rozciąganie f y = ±421 MPa,
• moduł sprężystości E s = 1 9 7 0 0 0 MPa.
Założono takie przyrosty obciążenia, aby zniszczenie następow ało w 15-20 kroku.
Rys. 3. W ykres interakcji dla analizow anego elem entu Fig. 3. U ltim ate load capacity o f analysed elem ent
R ezultaty obliczeń przedstaw iono na rysunku 3. N a w ykresie interakcji każdy punkt od
pow iada nośności przekroju dla pewnej kom binacji siły osiowej i m om entu zginającego.
W szystkie punkty połączone linią odpow iadają w artościom w yznaczonym dla obciążenia bez w pływ u siły tnącej (V = 0 ) . K ształt krzywej interakcji otrzym any w w yniku analiz potwier
dza przydatność zastosow anego oprogram ow ania i m odelu m ateriałow ego, je s t wyjątkowo zgodny z w ykresem określonym w edług norm ow ych w arunków nośności granicznej. Wyniki analiz z udziałem siły ścinającej przedstaw iono na w ykresie w postaci punktów z zaznaczoną w artością siły V . W iększa ilość tych punktów znajduje się w ew nątrz obszaru ograniczonego krzyw ą interakcji. O znacza to, że naprężenie styczne w yw ołane siłą poprzeczną zmniejsza nośność przekroju. K ilka punktów znajdujących się na osiach w spółrzędnych odpowiada przypadkom zniszczenia dla zerowych wartości siły osiowej lub m om entu zginającego. Moż
na zauw ażyć, że im w yższa wartość siły tnącej, tym szybciej następuje zniszczenie. Dwa punkty zn ajd u ją się nieco poza obszarem ograniczonym krzyw ą interakcji. Ich umiejscowie
nie je s t spow odow ane dyskretnym charakterem analizy. O bciążenia są przykładane w róż
nych przyrostach i czasam i procedura w skazująca zniszczenie odbyw ające się na granicy dwóch kroków w ykazuje je dopiero w kroku w yższym . Procedura ta je s t niezależna od zało
żonych m ateriałow ych kryteriów zniszczenia. Sum uje ona w yniki obliczeń dla wszystkich elementów w obszarze w którym spodziew ane je s t zniszczenie i na tej podstaw ie decyduje o wyczerpaniu nośności analizow anej belki. Z tym i samymi przyczynam i je s t zw iązany niezbyt gładki kształt krzyw ej interakcji. Różnice pom iędzy nośnością elem entu analizow anego z lub bez udziału siły tnącej m o g ą być prosto w ytłum aczone na rysunku pow ierzchni zniszczenia dla w ykorzystanego w program ie m odelu m ateriałow ego betonu. Przekrój południkow y ta
kiej powierzchni przedstaw iono na rysunku 4. Ścieżka naprężeń dla niezerow ej w artości siły tnącej przyrasta znacznie szybciej, prędzej osiągając pow ierzchnię zniszczenia.
Rys. 4. Przekrój p o łudnikow y pow ierzchni zniszczenia z zaznaczeniem ścieżek naprężeń Fig. 4. M eridian section o f the failure surface and stress paths
5. Podsumowanie
Pominięcie w pływ u trójosiow ego stanu naprężenia i założenie w obliczeniach jed n o o sio wych kryteriów zniszczenia m oże być przydatne w wielu praktycznych zastosow aniach, je d nakże nawet w przypadku płaskiego stanu naprężenia w spólne oddziaływ anie sił osiow ych i poprzecznych m oże zm ienić rzeczyw istą nośność analizow anego elem entu. U proszczenia te są, niestety, także stosow ane podczas analiz elem entów w trójosiow ym stanie naprężenia, gdzie może to prow adzić do znacznie w iększych błędów. Przykładem m oże być chociażby przebicie. Z aprezentow ane w yniki analizy w ykazują przydatność zaprezentow anego opro
gramowania do analiz przestrzennych elem entów w złożonym stanie naprężenia.
L ITER A TU R A
1. M ajew ski S.: Elasto-Plastic D ouble-Cap-M odel for Structure-Subsoil Interaction Pro
blem s, A rchiw um Inżynierii Lądow ej, W arszawa 1994, tom XL, z3/4, 487-506.
2. W iliam K.J., W arnke E.P.: Constitutive model for the triaxial behaviour of concrete, IA B SE Sem. o f C oncrete Structures Subjected to Triaxial Stresses, B ergam o, Italy 1995.
3. M ajew ski S. W andzik G. K rzyw oń R.: N um eryczna i dośw iadczalna w eryfikacja pakietu program ów M A FEM do obliczania m etodą M ES konstrukcji żelbetow ych i rozwiązywa
nia problem ów w spółpracy budowli z podłożem , XLV K onferencja naukow a Krynica 1999, tom 2, K onstrukcje Betonow e, s. 167-174.
Recenzent: Prof, dr hab. inż. M ichał Knauff
A b s tr a c t
The uni-axial failure criteria are in com m on use in estim ation o f ultim ate load capacity of reinforced concrete m em bers. The shear is neglected while considering the load capacity of m em bers subjected to flexure or eccentric com pression. A nalysing a sim ple reinforced con
crete cantilever subjected to com bined action o f bending m om ent, axial and shear force the ultim ate load capacity was determ ined. Calculations were made using software package M A FE M with im plem ented elasto-plastic m aterial model with associated, isotropic harden
ing/softening rule. M ajew ski developed material model and software. Even in so simple ele
m ents w ith plain stress state, ultim ate load capacity should not be determ ined on the base of one uni-axial strength characteristic only. C om bined action o f normal and shear stress changes significantly the load capacity. It is showed on figure no 3. Points representing non
zero shear force are situated inside the interaction diagram . It means, that the shear force de
crease the load capacity o f the element.
