Uwagi o Zasadzie Permanencji Form

Uwagi o Zasadzie Permanencji Form

Jerzy Pogonowski

Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM pogon@amu.edu.pl

KHL 65

Wst¦p

Plan na dzi±

Zasada Permanencji Form (ZPF): cel, kontekst historyczny, argumenty za i przeciw.

Aksjomat rozwi¡zywalno±ci Davida Hilberta.

Dygresja: niektóre uogólnienia poj¦cia liczby.

Analogia: tworzenie systemów logicznych.

Krótka reeksja dydaktyczna.

Do ewentualnej dyskusji: heurystyki w matematyce.

Odczyt przygotowany w ramach projektu badawczego NCN nr 2015/17/B/HS1/02232 Aksjomaty ekstremalne: aspekty logiczne, matematyczne i kognitywne.

Wst¦p Wspomnienia ze szkoªy

Jabªuszka, uªamki, o± liczbowa, wektory, macierze,. . .

Liczby naturalne. Konstrukcja Dedekinda, aksjomatyka Peana.

Liczby caªkowite. Konstrukcja i aksjomatyka Grassmanna.

Liczby wymierne. Konstrukcja algebraiczna i interpretacja geometryczna.

(a, b) ⊕ (c, d) = (ad + bc, bd) (a, b) ⊗ (c, d) = (ac, bd).

W zapisie szkolnym: _b^a +_d^c = ^ad+bc_bd , ^a_b·_d^c = _bd^ac.

Liczby rzeczywiste. Konstrukcje: Hoborskiego, Dedekinda, Cantora.

Aksjomatyka Hilberta.

Liczby zespolone. Konstrukcja Hamiltona, interpretacja geometryczna, reprezentacja macierzowa.

(a, b) ⊕ (c, d) = (a + b, c + d) (a, b) ⊗ (c, d) = (ac − bd, ad + bc).

Inny zapis: (a, b) = a + bi, gdzie i = (0, 1) czyli i ⊗ i = i²= −1

Wst¦p Matematyka XIX wieku

Pocz¡tki matematyki wspóªczesnej

Wybrane wa»ne fakty w historii matematyki XIX wieku:

Powstanie algebry abstrakcyjnej (Gauss, Galois, De Morgan, B. Peirce, Peacock,. . . ).

Nowe systemy geometrii (Poncelet, Šobaczewski, Klein, Riemann,. . . ).

Arytmetyzacja analizy (Cauchy, Weierstrass, Cantor, Dedekind,. . . ).

Aksjomatyczne charakterystyki wa»nych struktur (Grassmann, Peano, Hilbert,. . . ).

Pocz¡tki logiki matematycznej (nurt algebraiczny; Boole, De Morgan, Ch.S. Peirce, Schröder,. . . ).

Odej±cie od tradycyjnych wyobra»e« o matematyce.

Przygotowanie gruntu pod reeksj¦ metateoretyczn¡.

Zasada Permanencji Form George Peacock

George Peacock (17911858)

Peacock sformuªowaª (ju» w 1830 roku) zasad¦, któr¡ nazywaª Principle of Permanence of Equivalent Forms. W rozprawie z 1845 roku zasada ta przyjmuje nast¦puj¡ce sformuªowanie:

Whatever algebraic forms are equivalent when the symbols are general in form, but specic in value, will be equivalent likewise when the symbols are general in value as well as in form. (Peacock 1845, 59)

Algebra miaªaby by¢ nauk¡, która traktuje o kombinacjach dowolnych znaków, rz¡dzonych przez zdeniowane, cho¢ dowolne, prawa.

Ponadto, algebra miaªaby by¢ nauk¡ dedukcyjn¡, tak jak znana dot¡d geometria.

Algebra arytmetyczna: prawdy dotycz¡ce liczb (naturalnych).

Algebra symboliczna: u»yteczne poznawczo zaªo»enia i konwencje.

Zasada Permanencji Form George Peacock

Przykªady praw arytmetycznych

przemienno±¢ a + b = b + a, a · b = b · a

ª¡czno±¢ (a + b) + c = a + (b + c), (a · b) · c = a · (b · c) rozdzielno±¢ a · (b + c) = a · b + a · c

pot¦gowanie a^b+c =a^b·a^c, (a^b)^c =a^b·c, (a · b)^c =a^c·b^c

Wymienione wy»ej prawa zachowuj¡ swoj¡ wa»no±¢ dla liczb rzeczywistych oraz zespolonych.

Algebra arytmetyczna to, wedle Peacocka, a suggesting science dla algebry symbolicznej (tak¡ sugeruj¡c¡ rol¦ mogªy te» peªni¢ inne dyscypliny, np. mechanika).

Algebra arytmetyczna zaczyna od denicji, które okre±laj¡ znaczenie operacji algebraicznych, natomiast algebra symboliczna zaczyna od warunków lub praw, dotycz¡cych kombinacji znaków.

Zasada Permanencji Form Hermann Hankel

Hermann Hankel (18391873)

Zasad¦ permanencji form sformuªowaª tak»e nieco pó¹niej Hermann Hankel (das Princip der Permanenz der formalen Gesetze):

Wenn zwei in allgemeinen Zeichen der arithmetica universalis

ausgedrückte Formen einander gleich sind, so sollen sie einander auch gleich bleiben, wenn die Zeichen aufhören, einfache Grössen zu bezeichnen, und daher auch die Operationen einen irgend welchen anderen Inhalt bekommen. (Hankel 1867, 11)

Hankel podaje denicj¦ poj¦cia liczby: Die Zahl ist der begriiche Ausdruck der gegenseitigen Beziehung zweier Objekte, soweit dieselbe quantitativen Messungen zugänglich ist. (Hankel 1867, 6)

Hankel stanowczo stwierdza, »e po podaniu geometrycznej interpretacji liczb o postaci a + b√

−1 oraz dziaªa« arytmetycznych na takich liczbach nie mo»na ju» mówi¢, »e s¡ one niemo»liwe: maj¡ one tak¡ sam¡ realno±¢, jak liczby caªkowite dodatnie i ujemne.

Zasada Permanencji Form Hermann Hankel

Es hat die Formenlehre nicht allein den engen Zweck, die gewöhnliche arithmetica universalis mit ihren ganzen, gebrochenen, irrationalen, negativen und imäginaren Grössen zu erläutern und streng zu deduciren, sondern sie erweist sich mit ihrem Principe der Permanenz zugleich als eminent fruchtbar für den ganzen Organismus der Mathematik. (Hankel 1867, 12)

Hankel ustaliª, »e ciaªo liczb zespolonych C jest jedynym ciaªem

przemiennym, otrzymanym przez doª¡czenie pierwiastków wielomianów o wspóªczynnikach z C. A zatem uogólnienia wykraczaj¡ce poza C musz¡

skutkowa¢ naruszeniem zasady permanencji (np. prawa przemienno±ci, ª¡czno±ci, itd.). Ten wynik stwierdza zatem swoist¡ zupeªno±¢ C. Ciaªo C jest struktur¡ maksymaln¡ (w±ród liczb wielowymiarowych) w tym

rozumieniu, »e zachowuje najwi¦ksz¡ liczb¦ standardowych praw o liczbach.

C jest maksymalne ze wzgl¦du na »¡dania wyra»one przez aksjomat rozwi¡zywalno±ci Hilberta (zobacz ni»ej) oraz maksymalne jako dozwolone przez zasad¦ permanencji.

Zasada Permanencji Form Argumentacje

ZPF: argumenty za i przeciw

ZPF miaªaby gwarantowa¢ m.in., i» rozwój matematyki symbolicznej (ograniczony jedynie wymogiem niesprzeczno±ci) byªby chroniony przed potencjaln¡ bezsensowno±ci¡, przed wprowadzaniem obiektów

matematycznych o dziwacznych wªasno±ciach, które odbiegaªyby zbyt daleko od standardowych (normalnych, naturalnych) wªasno±ci.

Krytycy: Bertrand Russell, Giuseppe Peano.

Hamilton: algebra ma by¢ nauk¡ o symbolach wyposa»onych w znaczenie, a jej prawa miaªyby by¢ ugruntowane w intuicji.

ZPF jako zasada: teoretycznej racjonalno±ci, praktycznej racjonalno±ci, a tak»e zasada metazyczna i semantyczna. (Toader 2019)

Denicja e^iα =cosα + i sin α jest niejako wymuszona poprzez ZPF, je±li bra¢ pod uwag¦ prawa arytmetyczne (tabela powy»ej) oraz prawa dotycz¡ce ró»niczkowania. (’iki¢ 1984, Needham 1997)

Zasada Permanencji Form Argumentacje

Meir Buzaglo: The Logic of Concept Expansion

During the nineteenth century, when rigor gradually resumed a place of importance in mathematics, there was a systematic attempt to

conceptualize the idea of expansions, as presented in Peacock's principle of permanence of equivalent forms. This attempt transferred the issue from the products of the expansion to the process of expansion itself. Peacock claimed that the symbolic algebra obtained from the expansion of

arithmetic is logically independent of arithmetic, yet suggested by it. How an expansion of a realm can be suggested by the existing realm has not, however, been analyzed properly. Apparently this lack is due to the fact that discussions in logic are generally centered on deduction, which involves closed realms, thus marginalizing the issue of the expansion of concepts.

But the most cursory survey shows that there is an abundance of logical, mathematical, and philosophical material that is continually raising the idea of expansions as logical and philosophical issue which naturally invites a more comprehensive discussion. (Buzaglo 2002, 3)

David Hilbert: aksjomat rozwi¡zywalno±ci

Optymizm poznawczy

Ignorabimusstreit (Emil i Paul Du Bois-Reymond, Rudolph Virchow).

Odpowied¹ Davida Hilberta: w matematyce nie ma ignorabimus!

Aksjomat rozwi¡zywalno±ci. Ka»dy problem matematyczny mo»e zosta¢, po precyzyjnym sformuªowaniu, rozwi¡zany (lub podany mo»e by¢ dowód, i» rozwi¡zanie przy danych zaªo»eniach nie istnieje).

Das schöpferische Princip: wolno±¢ i owocno±¢ w matematyce.

Together, the Axiom of Solvability and the Principle of Permanence guided the progressive extension of the number-concept. The Axiom of Solvability expressed the mathematician's goal to solve problems. The Principle of Permanence acted as a constraint upon the applicability of this axiom. It required that newly introduced numbers preserve the basic laws of

arithmetic. More precisely, it required that the laws governing new numbers be consistent with the laws governing the old ones. (Detlefsen 2005, 279)

Dygresja: liczby hiperzespolone Liczby zespolone

Pocz¡tkowe kªopoty z rozumieniem liczb zespolonych

Cardano: liczby urojone s¡ tyle» wyranowane co bezu»yteczne.

Kartezjusz wi¡zaª liczby urojone (termin u»yty przez niego) z niemo»liwo±ciami geometrycznymi.

Leibniz: liczby urojone s¡ czym± mi¦dzy bytem a niebytem.

De Morgan (On the Study and Diculties in Mathematics): We have shown the symbol √

−1 to be void of meaning, or rather self-contradictory and absurd.

√−1⁻

√−1

=e^π2. Benjamin Peirce: Gentlemen, this is surely true, it is absolutely paradoxical; we cannot understand it, and we don't know what it means. But we have proved it, and therefore we know it must be the truth.

Dygresja: liczby hiperzespolone Liczby zespolone

Oswajanie liczb zespolonych

Zespolone pierwiastki równa«: Cardano, Bombelli.

Dyskusja dotycz¡ca logarytmów z liczb ujemnych i zespolonych.

Euler: symbol i, funkcja wykªadnicza e^iα=cos α + i sin α, rozwi¡zania równania zⁿ=1.

Gauss: Podstawowe Twierdzenie Algebry.

Reprezentacje geometryczne: Wallis, Wessel, Argand, Gaus.

Denicja algebraiczna: Hamilton.

Funkcje zespolone i caªki krzywoliniowe: Poisson, Cauchy.

Ciaªo liczb zespolonych jest wyznaczone jednoznacznie (z dokªadno±ci¡

do izomorzmu) jako ciaªo algebraicznie domkni¦te charakterystyki zero, którego stopie« przest¦pno±ci nad ciaªem liczb wymiernych jest równy kontinuum.

Dygresja: liczby hiperzespolone Liczby hiperzespolone

Kwaterniony

Hamilton wprowadziª w 1843 roku kwaterniony rozumiane jako czwórki (a, b, c, d) liczb rzeczywistych, zapisywane tak»e w postaci

a + bi + cj + dk, gdzie i, j, k s¡ jednostkami urojonymi. Dodawanie kwaternionów i mno»enie przez skalar deniujemy tak, jak zwykle w przestrzeniach wektorowych. Mno»enie charakteryzuje tabela:

1 i j k

1 1 i j k

i i −1 k −j

j j −k −1 i

k k j −i −1

Nie mo»na okre±li¢ mno»enia trójek liczb rzeczywistych tak, aby zdeniowana przez nie norma byªa multiplikatywna.

Dygresja: liczby hiperzespolone Liczby hiperzespolone

Niektóre uogólnienia poj¦cia liczby

Liczby dualne. (a, b) ⊕ (c, d) = (a + b, c + d),

(a, b) ⊗ (c, d) = (ac, ad + bc). Tu (0, 1) ⊗ (0, 1) = (0, 0).

Liczby podwójne. (a, b) ⊕ (c, d) = (a + b, c + d),

(a, b) ⊗ (c, d) = (ac + bd, ad + bc). Tu (0, 1) ⊗ (0, 1) = (1, 0).

Kwaterniony H. 4D unormowana algebra z dzieleniem nad R.

Oktoniony O. 8D unormowana algebra z dzieleniem nad R.

Sedeniony S. 16D algebra nad R.

Konstrukcja Cayleya-Dicksona: niesko«czony ci¡g algebr nad ciaªem liczb rzeczywistych (pi¦¢ pierwszych w tym ci¡gu to: R, C, H, O, S).

Algebry Cliorda: algebry izomorczne z pier±cieniem macierzy nad R, C, H lub sumy proste takich algebr.

Dygresja: liczby hiperzespolone Liczby hiperzespolone

Uogólnienia, naturalno±¢, jednoznaczno±¢

R C H O S

wymiar 1 2 4 8 16 > 16

porz¡dek tak nie nie nie nie nie

przemienno±¢ mno»enia tak tak nie nie nie nie ª¡czno±¢ mno»enia tak tak tak nie nie nie alternatywno±¢ tak tak tak tak nie nie ª¡czno±¢ pot¦gowania tak tak tak tak tak tak dzielniki zera nie nie nie nie tak tak

Twierdzenia o izomorzmie (Frobenius, Ostrowski, Hurwitz, Pontriagin) charakteryzuj¡ jednoznacznie struktury R, C, H, O.

Inne struktury (np. liczby p-adyczne, liczby hiperrzeczywiste) tak»e znajduj¡ coraz liczniejsze zastosowania.

Zasada Permanencji Form w logice

Analogie?

S¡dzimy, »e pewne analogie z zasad¡ permanencji form w algebrze znale¹¢

mo»na m.in. w nast¦puj¡cych sytuacjach w logice:

Finitarno±¢ j¦zyka i operacji konsekwencji.

Niewyró»nianie staªych pozalogicznych.

Niesprzeczno±¢, trafno±¢, peªno±¢.

Logika niefregowska: peªna ekstensjonalno±¢ oraz dwuwarto±ciowo±¢.

Teza pierwszego rz¦du. Twierdzenia limitacyjne.

Omijanie paradoksów. Ujarzmianie intensjonalno±ci.

Punkty widzenia. Przyczyny niezupeªno±ci.

We wszystkich omawianych wy»ej przypadkach mamy do czynienia z zachowywaniem (permanencj¡) pewnych wªasno±ci, a tak»e z aspektami twórczymi, okre±laj¡cymi charakter poszczególnych systemów logicznych.

Dydaktyka matematyki

Umie¢ czy rozumie¢?

Uniwersa liczbowe wprowadzane s¡ w szkole metod¡ genetyczn¡.

‘lepe obliczenia! Np. oblicz ^z_c⁴2 · (b − a) +^z_c⁴2 · (a − b) (Menghini 1994).

Obja±nianie wzoru a⁰=1 przez odwoªanie si¦ do a^b+c =a^b·a^c. Poniewa» aⁿ=a⁰⁺ⁿ=a⁰·aⁿ, wi¦c a⁰ =1.

Negative times negative is positive! Repeat. . .

Z ankiety dla studentów I roku kognitywistyki: W szkole mówiono mi,

»e nie musz¦ rozumie¢, ale mam umie¢. Ja chc¦ rozumie¢.

Program Matematycznych podstaw kognitywistyki: wªa±ciwe proporcje mi¦dzy uzyskaniem sprawno±ci rachunkowych a wyksztaªceniem zdolno±ci do rozumienia poj¦¢ oraz umiej¦tno±ci dowodowych.

Uwagi ko«cowe

Heurystyki w matematyce

Twórczo±¢ matematyczna:

Leibniz (zasada ci¡gªo±ci), Euler (niesko«czone sumy i iloczyny).

Jaques Hadamard: etapy odkrycia matematycznego.

Henri Poincaré: rodzaje intuicji.

David Hilbert: rozpoznawalno±¢ konkretnych znaków.

Kurt Gödel: intuicja matematyczna jako zmysª.

Proces dydaktyczny:

George Polya: strategie rozwi¡zywania problemów.

Alan Schoenfeld: sens oraz kontrola rozumowa«.

Zoa Krygowska: rozumowania empiryczne, intuicyjne i formalne.

Anna Sierpi«ska: rozumienie w matematyce.

Bibliograa

Buzaglo, M. 2002. The Logic of Concept Expansion. Cambridge University Press, Cambridge.

Detlefsen, M. 2005. Formalism. W: Shapiro, S. (Ed.) 2005.

Philosophy of mathematics and logic. Oxford University Press, Oxford, 236317.

Hankel, H. 1867. Vorlesungen über die complexen Zahlen und ihre Funktionen. I Teil: Theorie der complexen Zahlensysteme insbesondere der gemeinen imaginären Zahlen und der Hamilton'schen Quaternionen nebst ihrer geometrischen Darstellung. Leopold Voss, Leipzig.

Hilbert, D. 1901. Mathematische Probleme. Archiv der Mathematik und Physik, seria 3 (1), 4463, 213237.

Menghini, M. 1994. Form in Algebra: Reecting, with Peacock, on Upper Secondary School Teaching. For the Learning of Mathematics 14 (3), 914.

Needham, T. 1997. Visual complex analysis. Clarendon Press, Oxford.

Bibliograa

Peacock, G. 1834. Report on recent progress and present state of certain branches of analysis. British Association for the Advancement of Science Rept. 3, 185352.

Peacock, G. 1845. A Treatise on Algebra (second edition, volume II).

J.J. Deighton, Cambridge.

Pycior, H. 1981. George Peacock and the British origins of symbolical algebra. Historia Mathematica 8, 2345.

’iki¢, Z. 1984. Euler's formula is almost unique. Proceedings of the conference Algebra and logic. Zagreb, 165170.

Toader I.D. 2019. Talking Past Each Other: Mach and Husserl on Thought Economy. W: Stadler, F. (Ed.) Ernst Mach  Life, Work, Inuence. Vienna Circle Institute Yearbook (Institute Vienna Circle, University of Vienna, Society for the Advancement of Scientic World Conceptions), vol 22. Springer, Cham, 213221.

Dodatek

Oswajanie liczb zespolonych: pocz¡tki

Rozwa»ania algebraiczne znane w ±wiecie arabskim udost¦pnione zostaªy w Europie w XII wieku (Gerard z Cremony, Fibonacci).

Ogólne równanie trzeciego stopnia x³+ax²+bx + c = 0 mo»na sprowadzi¢ do równania x³+px + q = 0 przez podstawienie x⁰ =x + ¹₃a, co znajdujemy w manuskryptach z XIV wieku.

Nad rozwi¡zaniami szczególnych przypadków takich równa« trzeciego stopnia pracowali: Scipione del Ferro, Antonio Maria Fiore, Niccoló Fontana (Tartaglia), Gerolamo Cardano. Ten ostatni opublikowaª ogólne rozwi¡zanie w Ars Magna w 1545 roku. Pojawiaj¡ si¦ w nim liczby zespolone (np. w problemie podziaªu 10 na sum¦ dwóch liczb, których iloczyn jest równy 40).

Dodatek

Oswajanie liczb zespolonych: kontynuacja

Rafael Bombelli w drugiej poªowie XVI wieku wprowadza znak dla

√−1. Zajmuje si¦ m.in. równaniem x³=15x + 4, którego

rozwi¡zaniem jest x = 4, za± wedle reguªy podanej przez Cardana jest:

x = p2 +³ √

−121 +p2 −³ √

−121. Bombelli przyjmuje p2 +3 √

−121 = a + bi, co daje mu p2 −³ √

−121 = a − bi, a po przeksztaªceniach algebraicznych dostaje a = 2 oraz b = 1 (i w konsekwencji x = 4).

John Wallis podaje zyczn¡ (geometryczn¡) interpretacj¦ liczb dodatnich i ujemnych na osi liczbowej z wyró»nionym punktem (zerowym) oraz próbuje poda¢ geometryczn¡ reprezentacj¦ dla√

−1.

Abraham de Moivre pisaª w 1698 roku, »e Newton znaª w 1676 roku zale»no±¢ znan¡ dzi± jako twierdzenie de Moivre'a:

(cos(α) + i sin(α))ⁿ=cos(nα) + i sin(nα).

Dodatek

Oswajanie liczb zespolonych: kontynuacja

Dyskusja dotycz¡ca logarytmów z liczb ujemnych.

Leonhard Euler wprowadziª oznaczenie i =√

−1 oraz podaª wizualizacj¦ liczb zespolonych jako punktów o prostok¡tnych wspóªrz¦dnych.

Euler korzystaª ze wzoru x + iy = r(cos α + i sin α) oraz przedstawiaª gracznie pierwiastki równania zⁿ=1 jako wierzchoªki wielok¡ta foremnego.

Euler zdeniowaª ponadto zespolon¡ funkcj¦ wykªadnicz¡ oraz udowodniª, »e e^iα =cos α + i sin α.

e^i·π+1 = 0. Niektórzy atei±ci pisz¡ to kred¡ na drzwiach (zamiast Christus Mansionem Benedicat).

Dodatek

Oswajanie liczb zespolonych: naª

Interpretacje geometryczne: Wessel (1797), Argand (1806), Gauss (1831).

Interpretacja algebraiczna: Hamilton (1831).

Gauss: dowód Podstawowego Twierdzenia Algebry (1799).

Pocz¡tek XIX wieku: badanie funkcji zmiennej zespolonej. Caªki krzywoliniowe (Cauchy, Poisson).

Zasada Lefschetza: dowolne zdanie w j¦zyku pierwszego rz¦du teorii ciaª, które jest prawdziwe w dziedzinie liczb zespolonych, jest prawdziwe w ka»dym ciele algebraicznie domkni¦tym charakterystyki zero.

Ciaªo liczb zespolonych jest wyznaczone jednoznacznie (z dokªadno±ci¡

do izomorzmu) jako ciaªo algebraicznie domkni¦te charakterystyki zero, którego stopie« przest¦pno±ci nad ciaªem liczb wymiernych jest równy kontinuum.