Przyczynek do teorii systemów ogólnych

Przyczynek do teorii systemów ogólnych

Jerzy Pogonowski

Zakład Logiki i Kognitywistyki UAM pogon@amu.edu.pl

LXVI KHL

Wstęp

Plan na dziś

Informacja o zakończonym projekcie badawczym Aksjomaty ekstremalne: aspekty logiczne, matematyczne i kognitywne.

Dzisiejsza prezentacja pośrednio wiąże się z odczytami na temat modeli zamierzonych, wygłoszonymi w kilku ostatnich latach na Konferencji Historii Logiki.

Definicja systemu ogólnego.

Glossematyka Hjelmsleva – model matematyczny.

Reprezentacje przez systemy ogólne.

Wstęp

Projekt NCN 2015/17/B/HS1/02232

Extremal axioms Essays on mathematical reasoning

Wstęp

Projekt NCN 2015/17/B/HS1/02232

Myślenie

matematyczne Postulaty i metafory (w druku)

System ogólny – definicja

Niech U = {U_i : i ∈ I } będzie dowolną rodziną zbiorów i niech U =S U . Mówimy, że Σ jest systemem ogólnym bazującym na U , jeśli Σ = (U , C ), gdzie C ⊆ V_U.

Tutaj V_U oznacza hierarchię kumulatywną zbiorów nad zbiorem atomów U: V_U⁰ = U, V_U^α+1 = ℘(U ∪ V_U^α), V_U^λ = S

α<λ

V_U^α dla granicznych liczb porządkowych λ, V_U =S

α

V_U^α.

Elementy rodziny U nazywamy poziomami systemu Σ, elementy zbioru U nazywamy obiektami systemu Σ, a C nazywamy sygnaturą systemu Σ.

Dodatkowo załóżmy, że C jest zbiorem, a nie klasą właściwą.

System ogólny – definicja

Niech U^∗ oznacza rodzinę wszystkich produktów kartezjańskich o skończenie wielu czynnikach zbiorów należących do U .

Funkcję c_Σ : U^∗ → ℘(C ) zdefiniowaną wzorem c_Σ(K ) = C ∩ ℘(K ) dla K ∈ U^∗ nazywamy charakterystyką relacyjną systemu Σ.

Dla dowolnego poziomu U_i, układ (U_i,S

n

c_Σ(U_iⁿ)) reprezentuje zatem wewnętrzną strukturę tego poziomu.

Można też w sposób ogólny określić relacje między poszczególnymi poziomami.

Proponowane ongiś definicje systemów ogólnych są szczególnymi przypadkami omówionej wyżej definicji.

Glossematyka Hjelmsjeva

Glossematyka Louisa Hjelmsleva to całościowa strukturalistyczna teoria języka (tzw. strukturalizm kopenhaski, w odróżnieniu od strukturalizmu amerykańskiego oraz praskiego). Przedstawimy jej logiczną rekonstrukcję, odwołującą się do następujących założeń:

Jedynymi danymi analizy lingwistycznej są konkretne wypowiedzi.

Zasadą analizy lingwistycznej jest dekompozycja wypowiedzi na części składowe.

Podstawę dekompozycji stanowią relacje między segmentami wypowiedzi.

Każda analiza lingwistyczna wyodrębnia poziomy języka. Dwa segmenty należą do tego samego poziomu dokładnie wtedy, gdy relacje między ich konstytutywnymi częściami są tego samego rodzaju.

Dla dowolnych dwóch sąsiednich poziomów językowych, segmenty należące do wyższego z nich są traktowane jako kombinacje segmentów z poziomu niższego.

Hierarchiczne analizy języka

Hierarchiczne analizy języka

Tolerance spaces with applications to linguistics

Hierarchiczne analizy języka

Niech (Ω₁, . . . , Ω_k), k > 1, będzie ciągiem skończonych zbiorów

predykatów. Mówimy, że ciąg zbiorów struktur relacyjnych (S₁, . . . , Sk) jest hierarchiczną analizą względem (Ω₁, . . . , Ω_k), jeśli zachodzą następujące warunki:

Jeśli 1 6 i 6 k, to Si ⊆ Str (Ω_i).

Sk jest niepusty i co najwyżej przeliczalny.

Jeśli 1 6 i < k oraz A ∈ Si, to istnieje B ∈ S_{i +1} taka, że A∈ dom(B).

Jeśli 1 6 i < k oraz A ∈ Si +1, to dom(A) ⊆ S_i.

Jeśli 1 6 i 6 k, A, B ∈ Si i A 6= B, to dom(A) ∩ dom(B) = ∅.

Tutaj dom(A) oznacza dziedzinę struktury A, a Str (Ω_i) jest klasą wszystkich struktur relacyjnych o sygnaturze Ω_i. Niech rel (A) oznacza zbiór wszystkich relacji struktury A.

Hierarchiczne analizy języka

Zbiory S_i odpowiadają poziomom językowym.

Relacje będące interpretacjami predykatów z Ω_i odpowiadają relacjom syntagmatycznym i -tego poziomu językowego.

Poszczególne struktury z S_i odpowiadają zanalizowanym segmentom wypowiedzi.

Jeśli S = (S₁, . . . , S_k) jest hierarchiczną analizą względem (Ω1, . . . , Ω_k), to przez rozszerzoną hierarchiczną analizę względem (Ω₁, . . . , Ω_k) rozumiemy system (S, Prd , Ilv ), gdzie:

Prd = (Prd1, . . . , Prd_k), gdzie każdy Prd_i jest zbiorem relacji paradygmatycznych na S_i, tj. dla dowolnej R ∈ Prd_i istnieje Q ∈ S_i^∗ taka, że R ⊆ Q.

Ilv jest zbiorem relacji międzypoziomowych między elementami zbiorów S₁, . . . , Sk, tj. dla dowolnej R ∈ Ilv istnieje

Q ∈ (S1∪ . . . ∪ S_k)^∗ taka, że R ⊆ Q, przy czym Q nie jest podzbiorem Sⁿ dla żadnych i oraz n.

Hierarchiczne analizy języka

Można pokazać, że rozszerzone hierarchiczne analizy są

matematycznymi modelami wielu strukturalistycznych koncepcji lingwistycznych.

Pojęcia i metody klasycznej teorii modeli wykorzystywane są w hierarchicznych analizach do reprezentowania różnego rodzaju relacji podobieństwa i opozycji lingwistycznych.

Sądzimy także, że opisana wyżej konstrukcja może być przydatna w formalnej analizie innych systemów o hierarchicznej strukturze.

Na koniec podamy dwie (dość sztuczne) możliwe reprezentacje hierarchicznych analiz o postaci (S₁, . . . , S_k) przez systemy ogólne zdefiniowane na początku prezentacji oraz trzecią reprezentacje, która wydaje się najbardziej naturalna, ale zawiera też pewną niedogodność formalną.

Reprezentacje

Pierwsza reprezentacja

Σ1 = (U1, C1)

U₁ = {dom(A) : A ∈ S₁} C1=S

i

S

A∈Si

rel (A), gdzie 1 6 i 6 k.

Tutaj każda dziedzina zanalizowanego segmentu z najniższego

poziomu językowego S₁ jest poziomem systemu ogólnego Σ₁. Obiekty systemu Σ₁ są więc syntagmatycznie nierozkładalne. Relacje z rel (A), gdzie A ∈ S_i, i > 2, nie są relacjami między obiektami systemu Σ1. Równość C₁ = S

K ∈U₁^∗

c_Σ1(K ) nie zachodzi.

Reprezentacje

Druga reprezentacja

Σ2 = (U2, C2) U₂ = { S

A∈S_idom(A) : 1 6 i 6 k}

C2=S

i

S

A∈S_irel (A), gdzie 1 6 i 6 k.

Każdy poziom systemu Σ₂ składa się ze wszystkich elementów wszystkich dziedzin analizowanych segmentów z poziomu językowego S_i.

Zachodzi równość C₂= S

K ∈U₂^∗

c_Σ2(K ).

Reprezentacje

Trzecia reprezentacja

Σ₃ = (U₃, C₃)

U₃ = {S_i : 1 6 i 6 k} ∪S{dom(A) : A ∈ S1} C3=S

i

S

A∈S_irel (A), gdzie 1 6 i 6 k.

Poziomy systemu Σ₃ to poziomy językowe S_i (1 6 i 6 k) oraz poziom złożony ze wszystkich segmentów syntagmatycznie prostych

(cenemów). Elementy poziomu S_k nie są powiązane syntagmatycznie.

Sygnatura systemu Σ₃ składa się ze wszystkich relacji syntagmatycznych rozważanej hierarchicznej analizy.

Z czysto ekstensjonalnego punktu widzenia wszystkie trzy sygnatury są tym samym zbiorem, tj. C₁= C₂ = C₃.

Równość C3 = S

K ∈U^∗

c_Σ3(K ) nie zachodzi.

Reprezentacje

Sygnatura systemu Σ₂ składa się wyłącznie z relacji między obiektami tego systemu. Jednak zbiór poziomów systemu Σ₂ jest o wiele bardziej złożony od zbioru poziomów systemu Σ₁. Z kolei system Σ₁ ma sygnaturę o wiele bardziej skomplikowaną (względem jego zbioru poziomów) niż sygnatura systemu Σ₂.

Relacje systemu Σ3 są relacjami między elementami zbioruS U3

(obiektami systemu), ale te relacje nie są podzbiorami produktów kartezjańskich poziomów systemu.

Można rzec, że różnica między systemami Σ₁, Σ₂ i Σ₃ odzwierciedla różne punkty widzenia na reprezentacje struktury języka: decydujemy czy wolimy mieć prostszą strukturę poziomów czy też sygnatur odnośnych systemów ogólnych.

Powyższe reprezentacje można też stosować, z odpowiednimi modyfikacjami, do rozszerzonych analiz hierarchicznych.

Bibliografia

Hjelmslev, L. 1963. Prolegomena to a theory of language. The University of Wisconsin Press, Madison.

Mesarovic, M.D., Takahara, Y. 1975. General systems theory:

mathematical foundations. Academic Press, New York, San Francisco, London.

Nowaczyk, A. 1990. Wprowadzenie do logiki nauk ścisłych. PWN, Warszawa.

Pogonowski, J. 1979. Formal methods in linguistics. Buffalo Papers in Linguistics Vol. 1, No 3, 31–83.

Pogonowski, J. 1982. Set-theoretical approach to general systems theory. W: R. Trappl (ed.) Cybernetics and Systems Research, North Holland Publishing Company, 15–18.

Pogonowski, J. 1991. Hierarchiczne analizy języka. Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań.